新編基礎(chǔ)物理學(xué)上冊(cè)3-4單元課后答案

1、第三章3-1 半徑為R、質(zhì)量為M的均勻薄圓盤上，挖去一個(gè)直徑為R的圓孔，孔的中心在 求所剩局部對(duì)通過原圓盤中心且與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。分析：用補(bǔ)償法負(fù)質(zhì)量法求解，由平行軸定理求其挖去局部的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，用原圓盤轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量減去挖去局部的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即得。注意對(duì)同一軸而言。解：沒挖去前大圓對(duì)通過原圓盤中心且與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：1 2 J1 MR21 2由平行軸定理得被挖去局部對(duì)通過原圓盤中心且與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:2 MR2322 1 MR 2 MJ2 Jc md()2 424由式得所剩局部對(duì)通過原圓盤中心且與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:13J J1 J2MR2323-2 如題圖3-2所示

2、，一根均勻細(xì)鐵絲，質(zhì)量為M長(zhǎng)度為 角，放在xOy平面內(nèi)，求鐵絲對(duì) 分析：解：JxL，在其中點(diǎn)O處彎成Ox軸、Oy軸、Oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 取微元，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義求積分可得1對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：2(lsi n60°)2Mdl ML20L 32r2dm1202Jyy軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：M (L)22(ls in 300)2 Mdl 2ml2220L 96Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：1 M32電風(fēng)扇開啟電源后經(jīng)過 5s到達(dá)額定轉(zhuǎn)速，此時(shí)角速度為每秒5轉(zhuǎn)，關(guān)閉電源后經(jīng)過16 s 風(fēng)扇停止轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)扇轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.5kg m2，且摩擦力矩 Mf和電磁力矩m均為常量，Jz3-32 1>2求電機(jī)的電磁力矩

3、M。分析：Mf , M為常量，開啟電源 5s內(nèi)是勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，關(guān)閉電源16s內(nèi)是勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)，可得相應(yīng)加速度，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律求得電磁力矩M。解：由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得：M Mf J t，即M J 1 M f J 1 J 20.55 20.54.12N m5163-4 飛輪的質(zhì)量為60kg，直徑為0.5 m，轉(zhuǎn)速為1000 r / min，現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動(dòng)， 求制動(dòng)力F,假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)0.4，飛輪的質(zhì)量全局部布在輪的外周上，尺寸如題圖3-4所示。分析：分別考慮兩個(gè)研究對(duì)象：閘瓦和桿。對(duì)象閘瓦對(duì)飛輪的摩擦力 f對(duì)O點(diǎn)的力矩使飛輪逐漸停止轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)飛由輪轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程，因摩擦系數(shù)是定值，那么飛輪

4、做勻角加速度運(yùn)動(dòng)， 由轉(zhuǎn)速求角加速度。對(duì)象桿受的合力矩為零。解：設(shè)閘瓦對(duì)飛輪的壓力為N,摩擦力為f ,力矩為M飛輪半徑為R,那么依題意得，MfRJfN0.4 NF(0.50.75)N0.5JmR2600.25 210002605解:式得 F314 N3-5 一質(zhì)量為m的物體懸于一條輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的軸上，如題圖3-5所止釋放后，在時(shí)間 分析：隔離物體， 解。解：設(shè)繩子對(duì)物體t內(nèi)下降了一段距離 S 試求整個(gè)輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 用 分別畫出輪和物體的受力圖，t和S表示由轉(zhuǎn)動(dòng)定律和牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求或繩子對(duì)輪軸的拉力為T,那么根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律得：mg T maTr J由運(yùn)

5、動(dòng)學(xué)關(guān)系有：a題圖3-5由、式解得:m(g-a)r2 a又根據(jù)條件VoS 2af，2S a r將式代入式得:2mr1)a題圖3-5示軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為r，整個(gè)裝置架在光滑的固定軸承之上當(dāng)物體從靜3-6 一軸承光滑的定滑輪，質(zhì)量為M 2.00 kg,半徑為R 0.100 m, 根不能伸長(zhǎng)的輕繩，一端固定在定滑輪上，另一端系有一質(zhì)量為m 5.00 kg,的物體，如題圖3-6所示.定1滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 j 1 MR2，其初角速度 0 10.0rad/s,方向垂直紙面向里求：2定滑輪的角加速度的大小和方向；2定滑輪的角速度變化到0時(shí)，物體上升的高度； 當(dāng)物體回到原來位置時(shí)，定滑輪的角速度的

6、大小和方向 分析：隔離體受力分析，對(duì)平動(dòng)物體由牛頓第二定律列方程，對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體由轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程。解：(1)- mg T maTR Ja RmgRmgRmR J mR2 丄 MR2 22mg2m M R81.7rad /s2方向垂直紙面向外-202 2當(dāng) o時(shí)，物體上升的高度h20.612 rad22R 6.1210 m210.0rad /s方向垂直紙面向外3-7 如題圖3-7所示，質(zhì)量為 m的物體與繞在質(zhì)量為 M的定滑輪上的輕繩相連，設(shè)定滑輪 質(zhì)量M=2m半徑R,轉(zhuǎn)軸光滑，設(shè)t 0時(shí)v 0，求：1下落速度 與時(shí)間t的關(guān)系；2t 4s時(shí),m下落的距離；3繩中的張力T。分析：對(duì)質(zhì)量為 m物體應(yīng)用

7、牛頓第二定律、對(duì)滑輪應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程。解:(1)設(shè)物體m與滑輪間的拉力大小為 T,那么mgTmaMTRJ1 2-MR22aRvat解:式得a 4.9 m /S2，并代入式得v 4.9 t2設(shè)物體下落的距離為s，那么s at21 4.9 4239.2 m2 23由1的式得，T mg ma 4.9 N3-8 如題圖3-8所示，一個(gè)組合滑輪由兩個(gè)勻質(zhì)的圓盤固接而成，大盤質(zhì)量M1 10kg，半徑R 0.10 m，小盤質(zhì)量 M2 4kg，半徑r 0.05 m。兩盤邊緣上分別繞有細(xì)繩，細(xì)繩的下端各懸質(zhì)量 m m2 2kg的物體，此物體由靜止釋放，求：兩物體口,0的加速度大 小及方向。分析：分別對(duì)

8、物體 m,%應(yīng)用牛頓第二定律，對(duì)滑輪應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律解：設(shè)物體 m,譏的加速度大小分別為 a2，與滑輪的拉力分別為 T,T2,T1 m1g m1a1 m2g T2 m2a2 a1r a2 RM T2R T1r J 題圖3-8J 1M1R21M2r2 2 1 2 2把數(shù)據(jù)代入，解上述各式得a10.6125m/ s2 方向向上a21.225 m/s2 方向向下3-9如題圖3-9所示，一傾角為30°的光滑斜面固定在水平面上，其上裝有一個(gè)定滑輪， 假設(shè)一根輕繩跨過它，兩端分別與質(zhì)量都為m的物體1和物體2相連。1假設(shè)不考慮滑輪的質(zhì)量，求物體 1的加速度。2假設(shè)滑輪半徑為r，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用

9、m和 r表示為J kmr2 k是常量，繩子與 滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，再求物體1的加速度。分析：1對(duì)兩物體分別應(yīng)用牛頓第二定律列方程。2兩物體分別應(yīng)用牛頓第二定律、對(duì)滑輪應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程。 解：設(shè)物體1、物體2與滑輪間的拉力分別為 T、T2它們對(duì)地的加速度為 a。1假設(shè)不考慮滑輪的質(zhì)量，那么物體1、物體2與滑輪間的拉力T、T2相等，記為T。那么對(duì) 1、2兩物體分別應(yīng)用牛頓第二定律得,mg T maT mg sin 30° ma解上兩式得：a g /4 m/s2，方向豎直向下。2假設(shè)考慮滑輪的質(zhì)量，那么物體1、物體2與滑輪間的拉力T、T2不相等。那么對(duì)1、2兩物體分別應(yīng)用牛頓第

10、二定律，和對(duì)滑輪應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得mg T1 ma T2 mg sin 30° ma a r M T1r T2r J J kmr2解上述各式得:gm/s2，方向豎直向下。2(2 k)3-10 一飛輪直徑為，質(zhì)量為，邊緣繞有繩子，現(xiàn)用恒力拉繩子的一端，使其由靜止均勻地繞中心軸加速，經(jīng)轉(zhuǎn)速達(dá)每秒 10轉(zhuǎn)，假定飛輪可看作實(shí)心圓柱體，求：1飛輪的角加速度及在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)； 2拉力及拉力所作的功；3從拉動(dòng)后t 10s時(shí)飛輪的 角速度及輪邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。分析：利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，力矩作的功定義，線量與角量的關(guān)系求解。解：1角加速度為：一 10_ 1 26 102 rad /s2t

11、 0.5轉(zhuǎn)過的角度為：1 t2 1 1.26 102 0.52 15.7rad2 2轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為：N 2 5圈22由轉(zhuǎn)動(dòng)定律M fR J 得f °5 5 °152 似 10247.1 NR0.15力矩做的功為：A MdM 47.1 0.15 15.7 111J03角速度為：t1.26231010 1.26 10 rad /s邊緣點(diǎn)的線速度為：VR0.151.26 103 1.8810 2m / s邊緣點(diǎn)的法向加速度為：anR 20.151.262 1062.37105m/s2邊緣點(diǎn)的切向加速度為：aR0.15 1.26 10218.84 m/ s23-11一質(zhì)量為M長(zhǎng)為i的

12、勻質(zhì)細(xì)桿，一端固接一質(zhì)量為m的小球，可繞桿的另一端 0無摩擦地在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)將小球從水平位置A向下拋射，使球恰好通過最高點(diǎn)C,如題圖3-11所示。求：1下拋初速度v0;2在最低點(diǎn)B時(shí)，細(xì)桿對(duì)球的作用力。分析：由機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律、角線量關(guān)系求解。 解：1如圖3-11，取向下拋點(diǎn)作勢(shì)能零點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得,mv；1J 2 Mg - mgl 2 0 2 2J=1mi2 3V0 l 解得，V0：(3M 6m)glV 3m M2取最低點(diǎn)作勢(shì)能零點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律得，題圖3-11122 mv!j 22Mgl2mglNmgv2 m lVlJ1 2Ml23解:得，N15m

13、 7M3m Mmg3-12冷壬曰斗3kg,t0時(shí)位于 物體質(zhì)量為r 4i m,i 6j m s 1，如一恒力f 5j N作用在物體上，求3s后，1物體動(dòng)量的變化；2相對(duì)z軸角動(dòng)量的變化。 分析：寫出r (t)的表達(dá)式及力f對(duì)Z軸的力矩M。由動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理求解。解：1由動(dòng)量定理得，動(dòng)量的增量為：P 0 f dt 0 5j dt 15 j kg m s2由角動(dòng)量定理得，角動(dòng)量的增量為：Lt0M dt ：M dt 而 M T(t) fr'(t) x(t)i y(t)j(X° Vx0t)i (y°1 2 r Vy°t at )j (4 t)i(6t6

14、4;f 5j把代入解得：M (205t)k 把代入解得：3LM03dt(200 J 25t)k dt 82.5k kg m1 s3-13 水平面內(nèi)有一靜止的長(zhǎng)為 l、質(zhì)量為m的細(xì)棒，可繞通過棒一末端的固定點(diǎn)在水平面 內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。今有一質(zhì)量為 m、速率為v的子彈在水平面內(nèi)沿棒的垂直方向射向棒的中點(diǎn)，子2彈穿出時(shí)速率減為 v，當(dāng)棒轉(zhuǎn)動(dòng)后，設(shè)棒上單位長(zhǎng)度受到的阻力正比于該點(diǎn)的速率比例2系數(shù)為k試求：1子彈穿出時(shí)，棒的角速度0為多少？ 2當(dāng)棒以 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，受到的 阻力矩Mf為多大？ 3棒從°變?yōu)閬A°時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間為多少？2分析：把子彈與棒看作一個(gè)系統(tǒng)，子彈擊穿棒的過程中，轉(zhuǎn)軸處的作用力的

15、力矩為零，所以擊穿前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，可求待擊穿瞬間棒的角速度。棒轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，對(duì)棒劃微元計(jì)算元 阻力矩，積分可得總阻力矩，應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律或角動(dòng)量定理可求得所需時(shí)間。解：1以子彈和棒組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。取子彈和棒碰撞中間的任一狀態(tài)分析受力，子彈與棒之間的碰撞力 f、f'是內(nèi)力。一對(duì)相互作用力對(duì)同一轉(zhuǎn)軸來說，其力矩之和為零。因 此，可以認(rèn)為棒和子彈組成的系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，那么系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒。mvL mvL122 222UJ1 2 mL3解上述兩式得：3v08L2設(shè)在離轉(zhuǎn)軸距離為I得取一微元dl，那么該微元所受的阻力為:df kvdl kl dl該微元所受的阻力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為

16、：dM f Idf k l2dl那么細(xì)棒所受到的總阻力矩為：M fLL2dM fk l2dl0 f 01k L333由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得，M fd1JJkdt3L3即上式可化為：j 1 kL3dt3對(duì)上式兩邊分別積分得: 解上式積分得：t 3J目2kL33-14mln 2kLImL2代入上式得：t3兩滑冰運(yùn)發(fā)動(dòng)，質(zhì)量分別為 Ma70kg，Mb 80kg，它們的速率A 7m s 1,，8m s1在相距的兩平行線上相向而行，當(dāng)兩人最接近時(shí)，便拉起手來，開始繞質(zhì)心作b圓周運(yùn)動(dòng)并保持兩人間的距離不變。求：1系統(tǒng)總的角動(dòng)量；2系統(tǒng)一起繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的角速度；3兩人拉手前后的總動(dòng)能，這一過程中機(jī)械能是否守恒，

17、為什么？分析：利用系統(tǒng)質(zhì)心公式，兩人組成系統(tǒng)前后角動(dòng)量守恒和動(dòng)能公式求解。解：1設(shè)兩人相距最近時(shí)以運(yùn)發(fā)動(dòng) A作原點(diǎn)，由質(zhì)心公式得，兩運(yùn)發(fā)動(dòng)的質(zhì)心為：M aXaM b Xb 70 0 80 1.5M a Mbx0.8 m7080兩人組成的系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心的總的角動(dòng)量為:2 1L M aVaXMbVb(1.5 x) 70 7 0.8 80 8 (1.5 0.8) 840 kg m s2兩人拉手過程中，所受力對(duì)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的力矩之和為零，那么兩人組成系統(tǒng)前后角動(dòng)量守恒。2 2MaXMb (1.5 x)即:840=(700.8 2+800.7 2)解上式得:10 rad / s3兩人拉手前的動(dòng)能為:Ek0avA

18、bvB2 2701780 824275 J2兩人拉手后的動(dòng)能為:Ek 丄J 2- (702 20.8802 20.7 ) 104200 J因此，系統(tǒng)前后的機(jī)械能不守恒。我們可以把兩人拉手的過程看作完全非彈性碰撞,此系統(tǒng)前后機(jī)械能不守恒。3-15 如題圖3-15所示，一長(zhǎng)為2l、質(zhì)量為M的勻質(zhì)細(xì)棒，可繞棒中點(diǎn)的水平軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)棒靜止在水平位置，一質(zhì)量為m的小球以速度u垂直下落在棒的端點(diǎn)，設(shè)小球與棒作彈性碰撞，求碰撞后小球的反彈速度v及棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度各為多少？分析：以小球和棒組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。取小球和棒碰撞中間的任一狀態(tài)分析受力，棒受的重力Mg和軸對(duì)棒的支撐力 N對(duì)O軸的力矩均為

19、零。小球雖受重力mg作用，但比起碰撞時(shí)小球與棒之間的碰撞力 f、f'而言，可以忽略不計(jì)。又 f、f'是內(nèi)力，一對(duì)相互作用力對(duì)同一轉(zhuǎn)軸來說，其力矩之和為零。因此，可以認(rèn)為棒和小球組成的系統(tǒng)對(duì)O軸的合外力矩為零，那么系統(tǒng)對(duì)O軸的角動(dòng)量守恒。解：取垂直紙面向里為角動(dòng)量 L正向，那么系統(tǒng)初態(tài)角動(dòng)量為 mul ,終態(tài)角動(dòng)量為J 小棒 和mvl 小球，有角動(dòng)量守恒定律得mul J mvl 因?yàn)閺椥耘鲎?，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，可得1mu2 !mv21J 22 2 2又 J >(2l)21m|2 聯(lián)立式，解得M 3mv uM 3m6mu(M 3m) l詠I題圖3-153-16所示，可繞水平軸

20、0在豎直面內(nèi)旋轉(zhuǎn),3-16 一長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)棒，如題圖 假設(shè)軸光滑，今使棒從水平位置自由下擺。 求：1在水平位置和豎直位置棒的角加速度2棒轉(zhuǎn)過角時(shí)的角速度。解: 1有剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律細(xì)棒在水平位置的角加速度為:細(xì)棒在豎直位置的角加速度為:M J 得,MLmg 23gJ1 . 2 mL32LM00J1 2 mL32細(xì)棒在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒,由機(jī)械能守恒定律得,題圖3-16mg?sin2解上述兩式得:分析：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律求角加速度，由在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒求角速度。3-17 彈簧、定滑輪和物體如題圖 3-17所示放置，彈簧勁度系數(shù)k為2.0 N m 1 ;物體的質(zhì) 量m為6.0kg?；?/p>

21、和輕繩間無相對(duì)滑動(dòng)，開始時(shí)用手托住物體，彈簧無伸長(zhǎng)。求：1假設(shè)不考慮滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，手移開后，彈簧伸長(zhǎng)多少時(shí)，物體處于受力平衡狀態(tài)及此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能；2設(shè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.5kg m2，半徑r為0.3 m，手移開后，物體下落時(shí)，它的速度為多大？分析：1不考慮滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由物體受力平衡求伸長(zhǎng)量X,再求彈性勢(shì)能。2假設(shè)考慮滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，貝U彈簧、滑輪、物體和地球題圖3-17組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒x距離解：1假設(shè)不考慮滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)了 時(shí)物體處于受力平衡狀態(tài)，貝V： mg kxmgV6 g""2""3g(m)此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為：12 1

22、 2 2Ep kx2(3g) 9g Jh時(shí)，它的速度為v,滑輪的角速度2假設(shè)考慮滑輪得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，設(shè)物體下落的距離為 為，那么由機(jī)械能守恒定律得，1 2kh21 2 1 2 mgh mv J2 2v r把數(shù)據(jù)代入上述兩式得，1 26 1° 0.46 v22v 0.3解上述兩式得：v2.0 m / s3-18 一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為j的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，起初角速度為 ° .設(shè)它所受阻力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度成正比，即 M k (k為正的常數(shù))，求圓盤的角速度從 °變?yōu)? °時(shí)所需的時(shí)間.2分析：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律及角加速度的定義，對(duì)角速度積分可求解。解：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律：I d.J k

23、dtdkdtJ° 1兩邊積分：乏丄d°dt° Jt (Jl n2).k3-19質(zhì)量為m的子彈，以速度v水平射入放在光滑水平面上質(zhì)量為m°、半徑為R的圓盤邊緣，并留在該處，v°的方向與射入處的半徑垂直，圓盤盤心有一豎直的光滑固定軸，如所示，試求子彈射入后圓盤的角速度。分析：在子彈射入圓盤的過程中， 子彈和圓盤組成的系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量和力矩為零，因此對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒。解：設(shè)子彈射入后圓盤的角速度為，那么由角動(dòng)量守恒定律得，2 1 2mv0R (mRm0R )2解上式得：2mVomR m0 R3-20 一均質(zhì)細(xì)桿，長(zhǎng)3-20所示。開始時(shí)桿處于鉛垂位

24、置,L 1m，可繞通過一端的水平光滑軸 O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，如題圖今有一子彈沿水平方向以 v 10m s 1的速度射入細(xì)桿。設(shè)入射點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為3 L，子彈的質(zhì)量為細(xì)桿質(zhì)量的 。試求：1子彈和細(xì)桿開始49共同運(yùn)動(dòng)的角速度。2子彈和細(xì)桿共同擺動(dòng)能到達(dá)的最大角度。 分析：子彈射入細(xì)桿過程中， 子彈和細(xì)桿組成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒； 解1子彈打進(jìn)桿的過程中子彈和桿組成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒， 設(shè)子彈開始時(shí)的角速度為細(xì)桿擺動(dòng)時(shí)，機(jī)械能守恒。0,彈和桿一起共同運(yùn)動(dòng)的角速度為，那么由角動(dòng)量守恒定律得J子0 J子 J桿又J子(91 2 J 桿 mL 桿3m | 2L1610口440340rad / s192設(shè)子彈與

25、桿共同擺動(dòng)能到達(dá)最大角度為角,在擺動(dòng)的過程中桿和子彈及地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒, 那么由機(jī)械能守恒定律得，把式代入式并解得:題圖3-20】(J 子 J 桿)2(-L -Lcos ) mgL 1L cos294422把式及g 10 , L=1代入式解得：cos 0.8496 。即0.56 rad第四章4-1 觀察者A測(cè)得與他相對(duì)靜止的 Oxy平面上一個(gè)圓的面積是12 cm2,另一觀察者 B相對(duì)于A以0.8 c(c為真空中光速)平行于Oxy平面作勻速直線運(yùn)動(dòng)，B測(cè)得這一圖形為一橢圓， 其面積是多少？分析：此題考察的是長(zhǎng)度收縮效應(yīng)。解：由于B相對(duì)于A以v 0.8 c勻速運(yùn)動(dòng)，因此B觀測(cè)此圖形時(shí)與v平

26、行方向上的線度將收 縮為2R 1 (v /c)2 2b，即是橢圓的短軸.而與v垂直方向上的線度不變，仍為2 R 2 a，即是橢圓的長(zhǎng)軸.所以測(cè)得的面積為(橢圓形面積)S abR, 1 (v/c)2 R R2 -1 (v /c)2 24-2 長(zhǎng)度為1m的米尺L靜止于k '中，與x軸的夾角 '30 , K '系相對(duì)k系沿x軸運(yùn)動(dòng)， 在K系中觀察得到的米尺與 x軸的夾角為 45 ，試求：1K '系相對(duì)K系的速度是多少？2K系中測(cè)得的米尺的長(zhǎng)度？分析：此題考察的是長(zhǎng)度收縮效應(yīng)。根據(jù)兩個(gè)參考系下米尺的不同長(zhǎng)度再結(jié)合長(zhǎng)度收縮效應(yīng)我們可以很方便的得到兩個(gè)參考系之間的相對(duì)速度解

27、：1米尺相對(duì)S'系靜止，它在x'和y'軸的投影分別為：Lx' L0 cos ' 0.866mLy' L0 sin '0.5m米尺相對(duì)S系沿x方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)速度為 v，為S系中的觀察者，米尺在 x方向?qū)a(chǎn)生長(zhǎng) 度收縮，而y方向的長(zhǎng)度不變，即Lx Lx'LyLy'故米尺與x軸的夾角滿足tgLyLxLx '1 v2 C2與Lx'、Ly'的值代入可得:0.816 cv2在S系中測(cè)得米尺的長(zhǎng)度為:LyL -0.707( m)sin 454-3 x介子在其靜止系中的半衰期為1.8 10 8s。今有一束介子以

28、0.8c的速度離開加速器，試問，從實(shí)驗(yàn)室參考系看來，當(dāng)介子衰變一半時(shí)飛越了多長(zhǎng)的距離？分析：此題考察的是時(shí)間膨脹效應(yīng)。根據(jù)靜止系中的半衰期加上時(shí)間膨脹效應(yīng)我們可以求出 在實(shí)驗(yàn)室參考系中的半衰期，然后根據(jù)該半衰期求出飛行距離。解：在 介子的靜止系中，半衰期t0 1.8 10 8s是本征時(shí)間。由時(shí)間膨脹效應(yīng)，實(shí)驗(yàn)室參系中的觀察者測(cè)得的同一過程所經(jīng)歷的時(shí)間為：t03 10 8(s)因而飛行距離為:d v t 7.2 m4-4 在某慣性系該兩事件的時(shí)間間隔為 6s，試問它們的空間間隔是多少？分析：此題考察的是時(shí)間膨脹效應(yīng)以及洛倫茲變換。根據(jù)時(shí)間膨脹效應(yīng)我們可以求出兩參考K中，兩事件發(fā)生在同一地點(diǎn)而時(shí)間

29、相隔為4s。在另一慣性系 K '中,系的相對(duì)速度，繼而根據(jù)洛倫茲變換演化出空間間隔變換的公式求出該兩事件在S系中的空間間隔。解：在k系中,to 4s為本征時(shí)間，在K '系中的時(shí)間間隔為 t 6s兩者的關(guān)系為:t°to1v2c2259故兩慣性系的相對(duì)速度為：v c 、,5 108(m/s)由洛倫茲變換，K '系中兩事件的空間間隔為:1Xk .：2( Xk v t°)Xk : to2675 108(m).1 24-5 慣性系K '相對(duì)另一慣性系K沿X軸作勻速運(yùn)動(dòng)，取兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合的時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。在K系中測(cè)得兩事件的時(shí)空坐標(biāo)分別為X1 6 10

30、4m,t1 2 10 4s以及X2 12 104m,t2 1 10 4s，在k '系中測(cè)得該兩事件同時(shí)發(fā)生。試問：1k '系相對(duì)K系的速度是多少？ 2K '系中測(cè)得的兩事件的空間間隔是多少？分析：此題所考察的是洛倫茲變換的應(yīng)用問題。根據(jù)洛倫茲變換在不同參考系下兩個(gè)事件的時(shí)間變換關(guān)系，我們可以很方便的得到兩個(gè)參考系之間的相對(duì)速度。 根據(jù)洛倫茲變換的空間變換關(guān)系，我們可以得到兩事件的空間間隔。有了相對(duì)速度以后，再解：1設(shè)S'系相對(duì)S系的速度為V,由洛倫茲變換，S'系中測(cè)得兩事件的時(shí)間為:t1t2't2V2 X2c由題意,t1' t2'

31、t2 t1c2(X2X1)因此有V C2_X2 X12 1.5其中負(fù)號(hào)表示S'系沿S系的S'系中測(cè)得的兩事件的空間位置為:X方向運(yùn)動(dòng)。2由洛倫茲變換,1LXVtJX2'Vt2)故空間間隔為：X' 1 2V1 Vc24(X2 X1) v(t2 tj5.2 10 (m)4-6火箭1火箭A和B分別以0.8 c和0.5 c的速度相對(duì)于地球向B測(cè)得的A的速度。2假設(shè)火箭A相對(duì)地球以的速度向X和 X方向飛行，試求由y方向運(yùn)動(dòng)，火箭B的速度不變，試問A相對(duì)B的速度是多少？分析：此題考察的是洛倫茲速度變換。在火箭B為靜止的參考系中，先求出地面參考系相，然后由火箭A相對(duì)地面的運(yùn)

32、A相對(duì)火箭B的速度。S,那么地面參考系相對(duì)S的運(yùn)動(dòng)速度為u 0.5 c。在地面參考由洛倫茲速度變換公式可得火箭A相對(duì)火箭B的運(yùn)0.8 c ,v' u 0.8c 0.5c v21 uv'/c210.8 0.5S系相對(duì)地面參考系以 u12由于1.40.93cU沿 x方向飛行，而在地面參考系中火箭A的運(yùn)動(dòng)對(duì)此參考系的運(yùn)動(dòng)速度此即為兩個(gè)參考系之間的相對(duì)速度 動(dòng)速度以及洛倫茲速度變換公式求出火箭 解：1設(shè)火箭B的靜止系為 系中，火箭A的運(yùn)動(dòng)速度為v 動(dòng)速度為：速度為vxVxUi1 u2vxc1生vxcvz尺Vy0.5c0.7c彳U112 vxv所以火箭A相對(duì)火箭B的速度為:'2

33、v'2 v'2x y z0.86c0, vy 0.8c, vz 0。那么根據(jù)洛倫茲速度變換公式在S系中火箭A的運(yùn)動(dòng)速度為:4-7 靜止在K系中的觀察者測(cè)得一光子沿與x軸成60。角的方向飛行，另一觀察者靜止于K系的速度,K '系中，K '系相對(duì)K系為0.6C的速度沿x軸方向運(yùn)動(dòng)，試問K '系中的觀察者測(cè)得的光子 運(yùn)動(dòng)方向是怎樣的？ 分析：此題考察的是洛倫茲速度變換。根據(jù)兩個(gè)參考系的相對(duì)速度以及光子在 由洛倫速度變換可以求出光子在 S系中的運(yùn)動(dòng)速度。解：K '系相對(duì)K系的速度為u 0.6 c，光子速度為c,在K系中的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)榕c x軸成60°

34、;角，因此該光子在 K系中的速度為0.5c, vy 3c/2, vz 0。所以在 k '系中光子的運(yùn)動(dòng)速度為:vx u1目vxcvyu：21 %cvzPj1 gvxc令該光子在K '系中的運(yùn)動(dòng)方向與 X軸成 角，那么有:tgVy4、398.24-8 子的靜止質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的207倍，靜止時(shí)的平均壽命02 10 8 s，假設(shè)它在實(shí)驗(yàn)室參考系中的平均壽命7 10 8s，試問其質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的多少倍？分析：此題考察的是時(shí)間膨脹效應(yīng)和相對(duì)論質(zhì)量問題。根據(jù)時(shí)間膨脹效應(yīng)我們可以求出該粒 子在實(shí)驗(yàn)室參考系中的運(yùn)動(dòng)速度，然后根據(jù)該速度可以求出速度下的相對(duì)論質(zhì)量。解：設(shè) 子在實(shí)驗(yàn)室參考系

35、中的速度為u、質(zhì)量為m，依題意有：將禾口 0的值代入得:當(dāng)子速度為u時(shí)其質(zhì)量為:mo7尹07 207me 724.5me4-9 一物體的速度使其質(zhì)量增加了10%試問此物體在運(yùn)動(dòng)方向上縮短了百分之多少?分析：此題涉及的是相對(duì)論質(zhì)量和長(zhǎng)度以收縮問題。根據(jù)質(zhì)量與靜止質(zhì)量之比可以求出該物 體的運(yùn)動(dòng)速度，然后根據(jù)速度可以求出該物體在運(yùn)動(dòng)速度方向上的長(zhǎng)度收縮。解：設(shè)物體速度為u、質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l，靜止質(zhì)量和長(zhǎng)度分別為 m0和，依題意有:因此，根據(jù)長(zhǎng)度收縮效應(yīng)有:L。11.1L。90.9% L0所以在運(yùn)動(dòng)方向上縮短了:L 9.1%L。4-10 一電子在電場(chǎng)中從靜止開始加速，試問它應(yīng)通過多大的電位差才能使其

36、質(zhì)量增加0.4%?此時(shí)電子速度是多少？電子的靜能為0.511MeV.分析：此題考察的是相對(duì)論質(zhì)量與速度之間的關(guān)系。根據(jù)相對(duì)論質(zhì)量公式可以很方便的求出電子的運(yùn)動(dòng)速度，再根據(jù)能量守恒，求出加速所需的電位差。解：設(shè)電子速度為u、質(zhì)量為m，靜止質(zhì)量為m0，所加的電位差為U。依題意有:1.04moJ U C2所以此時(shí)電子的速度為：u 0.275 c根據(jù)能量守恒，有：2 | | 2m0c eU mc4U 2.044 10 (V)4-11 一粒子的動(dòng)能等于其靜止能量的n倍，試求該粒子的速率。分析：該題考察的是相對(duì)論的質(zhì)能關(guān)系式。根據(jù)粒子的動(dòng)能和靜能比可以求出該粒子總能量和靜能之比，這個(gè)比值也就是該粒子的質(zhì)量

37、與靜止質(zhì)量之比，根據(jù)相對(duì)論質(zhì)量與速度的關(guān)系式，我們可以求出該粒子的速率，從而求出該粒子的動(dòng)量。解：依題意有： Ek nE0所以其質(zhì)量與靜止質(zhì)量之比為：2m mc Ek E02n 1m0 m°cE0根據(jù)相對(duì)論質(zhì)量與速度的關(guān)系有:所以該粒子的速度為：Vn2_2nu cn 14-12 一靜止的粒子質(zhì)量為 m3丨，裂變成兩個(gè)粒子，速度分別為0.6 c和0.8 c。求裂變過程的靜質(zhì)量虧損和釋放出的能量。分析：該題涉及到質(zhì)量虧損的概念和動(dòng)量守恒定律。由于反響后的兩個(gè)粒子的質(zhì)量未知，因此我們可以根據(jù)兩個(gè)粒子之間的速度關(guān)系推導(dǎo)出二者的質(zhì)量比，又由于該兩個(gè)粒子的總動(dòng)能來源于該反響的靜質(zhì)量虧損，因此結(jié)合

38、反響后兩個(gè)粒子的質(zhì)量比以及各自的速度大小，我們可以求出該反響的質(zhì)量虧損，從而求出該反響所釋放的能量。解：設(shè)反響后兩粒子的質(zhì)量分別為m、m2，那么根據(jù)動(dòng)量守恒定律有:m 0.6c m2 0.8cm,/m2 4/3 1反響前后總的能量守恒，所以有：m0c2 m1c2 1 mt (0.6c)2 mc2 m2 (0.8c)222 2將1式代入2式，得：m02.17m1所以反響前后的靜質(zhì)量虧損為：m mo g m20.19m0釋放出的能量為：2 2E me0.19m0c4-13 試求靜止質(zhì)量為mo的質(zhì)點(diǎn)在恒力F作用下的運(yùn)動(dòng)速度和位移。在時(shí)間很短t moe/ F丨和時(shí)間很長(zhǎng)tmoe/ F丨的兩種極限情況下

39、，速度和位移值又各是多少？分析：根據(jù)力和動(dòng)量的關(guān)系，經(jīng)過積分后我們可以求解在恒力作用下的力與速度之間的關(guān)系， 經(jīng)過再次積分，可以得到位移和力的關(guān)系。解：由于力代表的是動(dòng)量的變化率，因此有：dp dd , mo、F(mv) ( v)dt dtdt &v2/e2mo將上式積分，由于力為恒力與時(shí)間無關(guān)，再代入初始條件起始時(shí)為靜止，即初速度為零 可得：Ftv41 v2 /e2因此可得速度與力之間的關(guān)系式:Ft /mo/ 21 (Ft / moe)將上式再積分，并假定起始時(shí)所處位置為坐標(biāo)原點(diǎn),2dx vdt可得位移與力之間的關(guān)系:2m°cFe2t22 4 m°c 71/2Ft

40、2m°cm°cmoc/ F 時(shí)，有:Ft / mo1 (Ft/moC)2FtmotvdtoFt22mo當(dāng)tmoe / F時(shí)，有:Ft/mbc,tvdt eto1 (Ft/moe)22h原子結(jié)合而產(chǎn)生4 He原子。試求：1該反響中的質(zhì)量虧2在這一反響中釋放的能量是多少？3這種反響每秒必須發(fā)生多少次才能產(chǎn)生1W的功率？2 h原子的靜止質(zhì)量為 3.34365 1o27kg,4He原子的靜止質(zhì)量為4-14 在原子核聚變中，兩個(gè) 損為多少？276.6425 1o kg。分析：反響前后各種反響物和生成物的質(zhì)量，我們可以很方便的求出反響前后的質(zhì)量虧 損，并據(jù)此求出反響所釋放的能量。解：反響的質(zhì)量虧損為:272727m 2mHmHe 2 3.34365 106.6425 100.0448 10 (kg)該反響所釋放的能量為：Emc2 0.0448 10 27 9 1016 4.03 10 12(J)要到達(dá)1W的功率需要每秒鐘反響的次數(shù)為：n 1/ 4.0310 122.4810114-