新編【人教A版】高中數(shù)學(xué)選修1-1同步輔導(dǎo)與檢測(cè)-第三章3.4生活中的優(yōu)化問題舉例

1、新編人教版精品教學(xué)資料第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.4生活中的優(yōu)化問題舉例I高效演練知能提升A級(jí)根底穩(wěn)固一、選擇題1把長(zhǎng)為12 cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自擺成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形的面積之和的最小值是 ()A.|. 3 cm2B. 4 cm2C. 3 2 cm2D. 2 3 cm2解析：設(shè)一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為x cm，那么另一個(gè)正三角形的邊 長(zhǎng)為(4-x)cm,那么這兩個(gè)正三角形的面積之和為 S43x2+£(4 x)23=2 (x 2)2 + 4 > 2 3(cm2).答案：D2. 某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定本錢為 20 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，本錢增加100元，假設(shè)總收

2、入R與年產(chǎn)量x(0< x< 390)的關(guān)系是R(x) = 900 + 400x, 0< x< 390,那么當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是()A. 150 B. 200 C. 250 D. 300x3解析：由題意可得總利潤(rùn)P(x)= 900+ 300x 20 000, 0< x <390,由 P'x(= 0,得 x < xv 300 時(shí)，P'(x)> 0;當(dāng) 300v x < 390 時(shí),P'(x)v0,所以當(dāng) x = 300時(shí)，P(x)最大.答案：D3. 將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和，使其立方和最小，那么這兩個(gè)數(shù)為

3、()A . 2 禾口 6B. 4 禾口 4C. 3和5D.以上都不對(duì)解析：設(shè)一個(gè)數(shù)為x，那么另一個(gè)數(shù)為8-x,其立方和y= x3 + (8x)3 = 83- 192x + 24x2 且 0W x< 8, y(磔8xy'= 0, 即卩 48x 192= 0, 解得x<xv4時(shí)，y'V;當(dāng)4vx< 8時(shí)，y(>，所以當(dāng)x = 4時(shí)，y 取得極小值，也是最小值.答案：B4. 做一個(gè)容積為256 m3的方底無蓋水箱，所用材料最省時(shí)，它的高為()A. 6 m B. 8 m C. 4 m D. 2 m解析：設(shè)底面邊長(zhǎng)為x m，高為h m.那么有x2h =256,所以

4、h =警所用材料的面積設(shè)為S m2,zv"，一22562 256 X 42那么有 S=4x h + x2=4x -x2 + x2= x + x2.S =256 X 4 人2562x x2 ，令 S = 0 得 x = 8,因此 h = 64 = 4(m).答案：C5. 設(shè)底面為正三角形的直棱柱的體積為V，那么其外表積最小時(shí)，底面正三角形的邊長(zhǎng)為()A.3 VB.3 2VC.3 4VD. 23 V1解析：設(shè)底面正三角形的邊長(zhǎng)為 x，側(cè)棱長(zhǎng)為I，那么V = ?x2 sin 60° I;所以丨=(3纟，所以S表=x2 sin 60°H3xl = ¥x2+魚嚴(yán)令

5、S'表 = /3x加|丫 = 0,得 x = 4V，又當(dāng) x (0,3 4V)時(shí)，S'表 <0;x (4¥ ； x3+ 乂)時(shí)，S'表>0，所以x = 4V時(shí)，外表積最小.答案：C二、填空題6. 某商品每件的本錢為 30元，在某段時(shí)間內(nèi)，假設(shè)以每件 x 元出售，可賣出(200x)件，當(dāng)每件商品的定價(jià)為 時(shí)，利 潤(rùn)最大.解析：由題意知，利潤(rùn) S(x) = (x 30)(200 x) = x2 + 230x 6 000(30<x<200)，所以 S'x) = 2x + 230,令 S'x( = 0,解得 x<x v 1

6、15 時(shí)，S'x)>0;當(dāng) 115vx< 200 時(shí)，S'(x)v 0,所以當(dāng) x= 115 時(shí)，利潤(rùn)S(x)取得極大值，也是最大值.答案：1157. 某矩形廣場(chǎng)面積為4萬平方米，那么其周長(zhǎng)至少為 米.40 000解析：設(shè)廣場(chǎng)的長(zhǎng)為x米，那么寬為米，于是其周長(zhǎng)為y=X令y丄0,解得X= 200x=- 200舍去，這時(shí)y= 800.當(dāng) 0vxv200 時(shí)，y'G;當(dāng) x>200 時(shí)，y'x = 200 時(shí)，y 取得最小值，故其周長(zhǎng)至少為800米.答案：800&做一個(gè)無蓋的圓柱形水桶，假設(shè)要使其體積是27 n且用料最省，那么圓柱的底面半徑為

7、.解析：設(shè)圓柱的底面半徑R,母線長(zhǎng)為L(zhǎng),那么V = nR2L = 27n,27所以L = R2.要使用料最省，只需使圓柱外表積最小.S表=nR2 + 2nRL2754 冗=tR2 + 2 n r，令 S'>= 2 nR r2 = 0,得 R= 3,即當(dāng) R= 3 時(shí)，S 表 最小.答案：3三、解答題9. 某單位用木料制作如下列圖的框架，框架的下部是邊長(zhǎng)分別為x, y單位：m的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積 為8 m2，問x, y分別為多少精確到時(shí)用料最少？1 x2解：依題意，有xy + 2*2 = 8,x28 -X4 8 x 所以=84o<x<4y2

8、,于是框架用料長(zhǎng)度為l = 2x + 2y+ 2 2X = 3+ 2x+Y,31613+ 2 x2.令 1 = 0,即 2+ 2 x2 = 0,解得 xi = 8 4 2, X2= 4 2 8舍去.當(dāng) 0<x<8 4 2時(shí)，1<0;當(dāng) 8 4 2<x<4 2時(shí)，1 >0,所以，當(dāng)x = 8 4 2時(shí)，I取得最小值.此時(shí)，x = 8 4 2，y違.828.即當(dāng)x, y,用料最省.10. 現(xiàn)有一批貨物由海上從 A地運(yùn)往B地，輪船的最大航 行速度為35海里/時(shí)，A地到B地之間的航行距離約為500海里，每 小時(shí)的運(yùn)輸本錢由燃料費(fèi)和其余費(fèi)用組成，輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)與輪

9、 船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6)，其余費(fèi)用為每小時(shí)960元.(1) 把全程運(yùn)輸本錢y(元)表示為速度x(海里/時(shí))的函數(shù)；(2) 為了使全程運(yùn)輸本錢最小，輪船應(yīng)以多大速度航行？解：(1)依題意得y=警x2) =48000+ 300x，且由題意知函數(shù)的 定義域?yàn)?0, 35,即 y= 48(x000+ 300x(0vx< 35).由1得y丄48羅00+ go。，令°,解得 x= 40 或 x =40舍去.因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?, 35,所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒有極 值點(diǎn).又當(dāng)0vx< 35時(shí)，所以函數(shù)y= 48：000+ 300x在0,35上單調(diào)遞減，故當(dāng)x = 35時(shí)，

10、函數(shù)y= 48巳000+ 300x取得最小值.故為了使全程運(yùn)輸本錢最小，輪船應(yīng)以 35海里/時(shí)的速度航行.B級(jí)能力提升1. 某公司的盈利 y元和時(shí)間x天的函數(shù)關(guān)系是y= fx，且f' 100 1,這個(gè)數(shù)據(jù)說明在第100天時(shí)A .公司已經(jīng)虧損B .公司的盈利在增加C.公司的盈利在逐漸減少D .公司有時(shí)盈利有時(shí)虧損解析：因?yàn)閒' 100 1,所以函數(shù)圖象在x = 100處的切線的斜率為負(fù)值，說明公司的盈利在逐漸減少.答案：C2. 某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi)y1萬元與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2萬元與倉庫到車站的距離 成正比.如果在距離車站10千米處建倉庫，

11、y1和y2分別為2萬元和 8萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站 千米處.解析：依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi) w = 丫，每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2= k2X，其中x是倉庫到車站的距離，ki, k2是比例系數(shù).k14于是由 2= io，得 ki = 20;由 8= 10k2，得 k2 = 5.因此，兩項(xiàng)費(fèi)用之和為y=弓+4x(X > 0),20 4y，=x2 + 5，令 y = 0，得 x= 5 或 x = 5(舍去).當(dāng) 0v xv 5 時(shí)，;當(dāng) x>5 時(shí)，y>.因此，當(dāng)x = 5時(shí)，y取得極小值，也是最小值.故當(dāng)倉庫建在離車站5千米處時(shí)，兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小.答案：5

12、3. 某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定本錢為 20 000元，每生產(chǎn)1噸該 產(chǎn)品需增加投入100元，總收益滿足函數(shù) R(x) =1其中x是該產(chǎn)品的月產(chǎn)量(單位:400 x 2x2 0< x< 400 J,80 000x>400，噸).(1) 將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x);(2) 當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，該公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？1pX2 + 300x 20 000 0w xW 400，解: (1)f(x) =260 000- 100x x > 400.當(dāng) 0Wxw400時(shí)，f '(x)= x + 300,當(dāng) 0W xv 300 時(shí)，f(x)>0, f(x)是增函數(shù);當(dāng) x> 300 時(shí)，f '(x)v 0, f(x)