行列式的計(jì)算

1、行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算蔣銀山蔣銀山( (廣東外語外貿(mào)大學(xué)南國商學(xué)院公共課教學(xué)部廣東外語外貿(mào)大學(xué)南國商學(xué)院公共課教學(xué)部 廣東廣州廣東廣州 510545)510545) ：利用行列式的性質(zhì)其劃為上(或下)三角形行列式； 利用行列式的定義計(jì)算；利用摘要行列式按行(列)展開定理進(jìn)行降階和遞推關(guān)鍵詞：化三角形法，加邊法，逐行（或列）相加減法，數(shù)學(xué)歸納法，遞推法，構(gòu)造法，拆項(xiàng)法。行列式計(jì)算的基本思想：1.對于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定義計(jì)算。2.對于一般的行列式，我們主要有下面兩種計(jì)算思想：利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行行列式的初等變換,將其劃為上(或下)三角形行列式,進(jìn)而得到結(jié)果。利用行列式按行(列

2、)展開定理進(jìn)行降階和遞推。在典型的計(jì)算過程中一般兩種方法同時(shí)應(yīng)用,先利用性質(zhì)化出盡可能多的零元素,然后再利用行(列)展開定理降階,化為低階行列式進(jìn)行計(jì)算.行列式的計(jì)算方法：1.化三角形法。即把已知行列式通過行列式的性質(zhì)化為上（或下）三角形，以及化為非主對角線的三角形2.利用行列式的性質(zhì)。3.加邊法:把等 n 階增加一行一列變?yōu)?n+1 階行列式，再通過性質(zhì)化簡得到結(jié)果。4.把各行（或列）統(tǒng)加到某一行（或列）再通過性質(zhì)化簡得到結(jié)果。5.逐行（或列）相加減。6.將某一行（或列）的倍數(shù)分別加到其它各行（或列） 。7.展開（1）按某一行（或列）展開（2）按拉普拉斯定理展開8.利用已知公式（1）三角形公

3、式（2）范德蒙德公式（3）ab 型行列式公式（4）爪型行列式公式9.數(shù)學(xué)歸納法。10. 遞推法。11.構(gòu)造法：根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造一個(gè)新行列式，再進(jìn)行計(jì)算。12.拆項(xiàng)法：把某一行（或列）分裂成兩項(xiàng)和再按行列式的性質(zhì)拆開，再進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算行列式41111111111111111xxDxx法一：利用性質(zhì)法。12411111101110111ccxxxDxx21111022201110111rrxxxx 222111111xxxx按第一列展開2(2)(1)222(1)2(1)(2)x xxxxx按公式展開2(2)4 x xx434xx法二:逐行(列)拆項(xiàng)法. 411111 01111 01111 011

4、1xxDxx第一列寫成兩數(shù)和11111111 11101111111011111110111xxxxxxx11111111000111000111000rxxxxxxxi第一個(gè)行列式r第二個(gè)行列式按第一列展開31111 0111 011xxxxx3111111 11010 111001xxxxxxx311111001100 xxxxxxx322(121)xx xxxx323(3)xxxx434xx法三：遞推法.411111 01111 01111 0111xxDxx11111111 11101111111011111110111xxxxxxx1111111000111000111000 xxx

5、xxxx33xxD即343DxxD同理可得232DxxD21DxxD(1)xxx22xx則 223(2)Dxxxx233xx從而 3234(3)Dxxxx344xx用遞推法計(jì)算行列式的步驟:(1) 將行列式經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算,通常是利用按行(列)展開定理展開,得到高階與低階行列式的遞推關(guān)系.(2) 利用遞推關(guān)系求解出原行列式, 利用遞推法求解行列式時(shí),由遞推關(guān)系.最后通常化為nD求解123,D DD或用遞推法計(jì)算行列式的注意事項(xiàng):用遞推法只能計(jì)算一些特殊的行列式,即那些經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算后,所得到的低階行列式與原行列式有相同形狀的行列式,這樣才能建立遞推關(guān)系.用遞推法有時(shí)還會用到一種重要技巧,將行列式

6、的某一行(列)或某幾行(列)的各元素改寫成兩項(xiàng)的和,然后可以將原行列式拆成一些新的和進(jìn)行計(jì)算.法四：提公因式法.123444444111111111111rrrrxxxxxDxx1(4)11111 111(4)11111111rxxxxx1(2,3,4)1111000(4)000000irrixxxx3(4)xx434xx提共因式法:將所有行(或列)對應(yīng)元素相加后相等的行列式,這時(shí)可以把所有行(或列)加到第一行(或第一列)提取公因式后再化簡計(jì)算.法五：逐行相減法.123444111411141114111ccccxxxDxxxx2131414111000000000rrrrrrxxxx34xx

7、344xx434xx法六：拆項(xiàng)展開法.411111 01111 01111 0111xxDxx1111111000111000111000 xxxxxxx33(1)1 1 (1)(1)(1)xxxxxx 3233xxxx344xx法七:爪型行列式法/三線型行列式法.14(2,3,4)1111000000irrixxxDxxxx1234()()()4111000000000 xxxccccxxxxxxx3(4)xx344xx434xx法八:整體拆項(xiàng)法.411 01 01 01 011 01 01 01 011 01 01 01 01xxDxx100010001000100010001000100

8、0100010001000100010001000100010001000 xxxxxxxxxxxxxxxx33334xxxxx434xx此四階行列式可以拆成個(gè)四階行列式,但含有兩列的行列式的值為零,故不為42( , , , )Ta a a a零的行列式只有五個(gè).法九: .ab型行列式公式法 1()(1) nnabbbabDabanbbba 4111111111,1,11111111xxDax bxx 令則34(1)(4 1) 1Dxx3(4)xx434xx法十:加邊法爪型行列式計(jì)算公式1112131212231331000000nnnnaaaaaaDaaaa1211222()nnnnaacc

9、caa 121312233000000000nnnaaaaaa14(2,3,4)1111111111011111000011111000011111000011111000irrixxDxxxxxx1234511114111110000000000000000cccccxxxxxxxxx 44(1)xx434xx法十一:數(shù)學(xué)歸納法.111Dxx22211(1)1211xDxxxx 3323111111(1)1 1 3(1)3111xDxxxxxx 1nnnDxnx下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：101111nDxxx 當(dāng)時(shí)等式成立。假設(shè)時(shí)等式成立，即nk11111111111111111kkkk kxx

10、Dxkxxx那么當(dāng)時(shí)1nk1(1) (1)11111111111111111111111111kkkxxxDxx (1) (1)111111 011111 011111 011111 01111kkxxxxx 11(1) (1)1111111111111101111111110111111111011111111101111kkkkxxxxxxxxx 1(2,3,1)(1) (1)111110000000000000000irrkikkkxxxDxx (1)kkkxx xkx(1)kkkxxkx(1)(1)kkxkx綜上所述：當(dāng)時(shí)等式也成立，故對所有的自然數(shù) N 等式都成立。1xk4344Dxx參考文獻(xiàn)：李正元，李永樂，袁蔭棠： 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書，國家行政學(xué)