無窮級數(shù)知識點

1、無窮級數(shù)1. 級數(shù)收斂充要條件：局部和存在且極值唯一，即：Sn limuk存在，稱級數(shù)收斂。n k 12. 假設(shè)任意項級數(shù)Un收斂， 血 發(fā)散，那么稱Un條件收斂，假設(shè)|比收斂，那么稱級數(shù)n 1n 1n 1n 1un絕對收斂，絕對收斂的級數(shù)一定條件收斂。n 12. 任何級數(shù)收斂的必要條件是lim Un 0n3. 假設(shè)有兩個級數(shù)un和 vn，un s, vnn 1n 1n 1n 1那么 Un Vn S ，UnVnS 。n 1n 1n 1Un收斂，Vn發(fā)散，那么Un Vn 發(fā)散n 1n 1n 11發(fā)散，而 1 1k 10收斂假設(shè)二者都發(fā)散，那么Un Vn不確定，如 1,n 1k 1 k 14三個必

2、須記住的常用于比擬判斂的參考級數(shù):n汁,收斂,ar1 rn 0發(fā)散，r 1r 11收斂，p 1n 1 n發(fā)冃攵，p 11收斂，p 1n 2 nlnp n發(fā)冃攵，p 1a等比級數(shù):bP級數(shù)：c對數(shù)級數(shù):5三個重要結(jié)論 務(wù)an 1收斂 汁*.存在正項不變號級數(shù)a.收a； 收,n 1n反之不成立，a；和b：都收斂|anbj收，或收nn6常用收斂快慢7.正項不變號級數(shù)斂散性的判據(jù)與常用技巧1.達朗貝爾比值法lim仏n Unl 1,收II 1,發(fā)實際上導(dǎo)致了 lim n 0 nI 1,單獨討論當n為連乘時2.柯西根值法| m曲 I I1,收1,發(fā)當n為某n次方時1,單獨討論3. |比階法|代數(shù)式UnVn

3、Vn收斂n 1un收斂，un發(fā)散vn發(fā)散n 1n 1n 1極限式IimnUnVnA，其中:Un和Vn都是正項級數(shù)n 1n 1?A 0Un是vn的高階無窮小UnVnVn收斂n 1Un收斂，Un發(fā)散n 1n 1Vn 發(fā)散cn 1?A 0Un是vn的同階無窮小UnkVnUn和n 1n 1Vn斂散性相同。?AVn是Un的高階無窮小VnUnUn收斂n 1Vn收斂，Vn發(fā)散n 1n 1Un發(fā)散n 1UnUn2dxx1，也可選用基準級數(shù)n213 n 12n2就可知原級8任意項級數(shù)的斂散性的判據(jù)與常用技巧萊布尼茨判交錯級數(shù)I任意項級數(shù)的特例Iim Un 0Un Un 1 1“比收斂n 0這是一個必要條件，如果

4、不滿足，那么1nUn必發(fā)散，假設(shè)只有不滿足，那么不一定收斂n 0還是發(fā)散，要使用絕對收斂判別其斂散性。任意項級數(shù)判斂使用絕對值，使之轉(zhuǎn)換為正項級數(shù)，即絕對收斂、條件收斂或發(fā)散 任意項級數(shù)判斂的兩個重要技巧：a微分積分法。換成連續(xù)變量，再利用微積分相關(guān)定理與性質(zhì)。b k階無窮小試探法。在不能估計出通項的無窮小階次時，使用該試探法，9.幕級數(shù)an(x Xo)nn 01阿貝爾Abel丨定理如果級數(shù)anxn當x x0 x0 0,因為x0=0n 0anx20顯然收斂點收斂，那么級數(shù)在圓n 1域x x0內(nèi)絕對收斂；如果級數(shù) anxn當xn 0Xi點發(fā)散，那么級數(shù)在圓域x Xi外發(fā)散。由阿貝爾Abel定理可

5、見收斂點集或發(fā)散點集是分別連接成對稱連續(xù)區(qū)域，這一定理是引入幕級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域概念的理論依據(jù)。注意，除x X。冷0夕卜，該定理并沒有完全保證圓上每一點的斂散性，正確理解阿貝爾定理是學(xué)好幕級數(shù)的關(guān)鍵。如推論：如果 anxn不是僅在x 0一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，那么必有一個確n 0定的正數(shù)R存在，使得：當x R時，幕級數(shù)絕對收斂；當x R時，幕級數(shù)發(fā)散；當x R與xR時，幕級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，我們稱R為 anxn的收斂半徑。n 110.幕級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域an(xx0)n，假設(shè)limnan 1limnn an ;那么根據(jù)比值判斂法有:liman 1x

6、 xx x01收斂x xR=limannannan+110n收斂。anan 1limn收斂半徑R :全平面收斂，只有一個收斂點x 0,=0收斂區(qū)間Xo R, Xo R :級數(shù)在XXoXo R, Xo R收斂；幕級數(shù)的收斂區(qū)間是非空點集，對 an(x Xo)n至少在X Xo處收斂，對 anX n至少在X o處收斂。由阿貝爾nono定理可以推出：幕級數(shù)的條件收斂點只能位于收斂區(qū)間端點。收斂域：由于級數(shù)在收斂區(qū)間的端點上收斂半徑R上收斂性待定，故收斂域是XoR,XoR、XoR,XoR、XoR,XoR 或XoR,xoR 四種情況之一。3.在收斂區(qū)域內(nèi)的性質(zhì)(1)nanXo的和函數(shù)f X連續(xù)并有任意階導(dǎo)

7、數(shù);可逐項微分f '(X) (anXn)n on anxn 1可逐項積分xo f(x)dx (n oanxndx)an n 1 X o n 1(4)anxn絕對收斂n o11.利用泰勒公式可將常用初等函數(shù)展開成幕級數(shù)-泰勒級數(shù)展開的充要條件是泰勒公式中余項包括拉氏余項，佩亞假設(shè)余項為零。以下是幾個常用的麥克勞林展開結(jié)論1七(1,1)1)1,1)eunuo n! sin u2n 1 u1)n(2n 1)! cosu2n 11)盂ln(1 u)n(1)n1 n 1nIn 2(1)n1u ( 1,1(1 u)(1)( n 1)unn on!CnUnU ( 1,1)2n 1 tanu n o

8、2n 1 arcta nu(1)nu2n1n o 2n 1u 1,1n nxn 1x21 xx1nln(1n 1 nx)1 1e1 . n e11n 111 n 0 n!n 1 n 1 !n 0n! n 1n 1 !5.幕級數(shù)求和方法函數(shù)項級數(shù)求和方法一般先求收斂域，然后逐次積分或微分，利用上述10各泰勒級數(shù)結(jié)論進行零部件組裝 數(shù)項級數(shù)求和方法構(gòu)造輔助幕級數(shù)法。付立葉級數(shù)1 周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)? f(x)為在I, I上周期為2I的周期函數(shù)，那么f(x)a02(an cosx1lbn sin 午 x),其中anbn1l1llnf (x)cos xdx li f (x)sinxdx?特別地，

9、當lf(x)a02(an cosnxn 1bnsin nx)其中anf (x)cos nxdxbnf (x)sin nxdx?當f (x)是偶函數(shù)f (x)a0an cos2n 11f(x)玄n xTanan cosnxn 1an2 0 f (x)cosn_ dxo f (x)cos nxdx?當f (x)是奇函數(shù)f(x)bn sin?n 1lbnf (x)bn sin nxn 1bn2 ln xf (x)s indxI 0lo f(x)sinnxdx2 非周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)方法如果非周期函數(shù)f x只是定義在區(qū)間0,l或 0,，兩種區(qū)間可以令t x相互轉(zhuǎn)換,為了利用付里葉級數(shù)展開,必須將f x拓展，其方式有兩種，即:1偶拓展令F(x)f(x)x)0 : ；，使 F(x)成為丨上的周期偶函數(shù)，展開后取0 x l上的函數(shù)值即為fx的付里葉展開。2奇拓展令F(x)ffx()x)0 ：；，使 F(x)成為“上的周期奇函數(shù)，展開后取Ox l上的函數(shù)值即為f x的付里葉展開。3 狄利