最新安徽省皖南八校屆高三第二次(12月)聯(lián)考數(shù)學(文科)試題

1、安徽省皖南八校2022屆高三第二次12月聯(lián)考數(shù)學文試題一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項 是符合題目要求的.1集合 A =xeZ |4 n4，B 5,2,0,1,4,6 ，貝卩 AB A. -2,0,1,4B. -2,0,1C. 0,1,4 D. 5,2,0,1【答案】B【解析】【分析】化簡集合A,根據(jù)交集求解.【詳解】因為 a 3,2,1,0,1,2,3 ,所以 A=B -2,0,1 .應(yīng)選B.【點睛】此題主要考查了集合的交集，屬于中檔題2.i為虛數(shù)單位，假設(shè)Z -匕2，那么在復平面中，復數(shù) z對應(yīng)的點在1十iA.第一象限B.第二象限C.第三

2、象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】計算z，根據(jù)實部，虛部確定復數(shù)z對應(yīng)的點所在的象限.【詳解】因為Z直 3丄，1 + i 1+i2222所以復數(shù)z對應(yīng)的點在第三象限.應(yīng)選C.【點睛】此題主要考查了復數(shù)的運算，復數(shù)的幾何意義，屬于中檔題3.“趙爽弦圖是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形圖1，圖2是由弦圖變化得到，它由八個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼接而成.現(xiàn)隨機的向圖2中大正方形的內(nèi)部去投擲一枚飛鏢，假設(shè)直角三角形的直角邊長分別為5和12,那么飛鏢投中小正方形陰影區(qū)域的概率為fflz49304960A.B.C.D.169169289289【答案】C【

3、解析】【分析】首先確定小正方形的面積在大正方形中占的比例，根據(jù)這個比例即可求出飛鏢投中小正方形陰影區(qū)域的概率.【詳解】直角三角形的直角邊長分別為5和12，那么小正方形的邊長為 5+12-(5 + 5) = 7，最大正方形的邊-49長為5+12=17，小正方形面積 49,大正方形面積 289，由幾何概型公式得：P，應(yīng)選C.289【點睛】此題主要考查了幾何概型，屬于中檔題4. a = 30.4，b= 0.43，c log30.4，貝卩A. a ：'b = c B. a> c> b C. c：'b；a D. c：、ab【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

4、，估算三個數(shù)的大致范圍，即可比擬大小【詳解】因為 a = 30.4 ：、3° = 1, 0 ： b = 0.43 v 0.4° = 1 , clog30.4 y log31 - 0 ,所以 a > b c.應(yīng)選A.【點睛】此題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增減性，屬于中檔題45. 住ABC中，角 代B,C的對邊為a,b,c，且a-5 , cosC ，住ABC的面積為3,那么c-5A. 11 B. 2 3 C. 13 D. 14【答案】C【解析】【分析】由三角形面積公式可求 b,再根據(jù)余弦定理可求 c.4 3【詳解】因為cosC ,所以sin C二一，5 51由 Sab

5、sin C，可得 b - 2 ,2根據(jù)余弦定理，c2 二a2 + b2 -2ab cosC 二 29 -20 上二 13,5所以c 一 13，應(yīng)選C.【點睛】此題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，屬于中檔題.6如圖，在 AABC 中，AD 丄 AB，DC - 2BD， AB, 2，貝V AC AB 的值為A. -4 B. -3 C. -2 D. -8【答案】D【解析】【分析】由題意把AC轉(zhuǎn)化為AB、BD求解即可.【詳解】因為 AD丄AB , DC2BD ,= 2 ,所以 AC -AB (AB+BC)、AB (AB + 3BD)，AB= AB2 十3BD AB=4-3：AB：|BD：

6、cos/ABD = 4-3：AB |2二-8,應(yīng)選D.【點睛】此題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，向量在向量方向上的投影，屬于中檔題7.直線y kx + 3與圓C : (x 3)2 +(y 3)2 4相父于AB兩點，假設(shè) AB&2 ,那么k的取值范圍是2 2【答案】AB*蔦C. 1,1D.一汁【解析】【分析】從而求解直線與圓相交，那么圓心距，半弦長，半徑構(gòu)成一直角三角形，利用該三角形即可表示出弦長,2 2【詳解】由圓C : X3 + y3 =4可知，圓心為(3,3)，半徑R= 2 ,圓心到直線y = kx + 3的距離d = 3k ,因為圓心距，半弦長，半徑構(gòu)成直角三角形，所以 TaB

7、i =R2 d2 =4-胡，解得-< .遼丿1 + k222應(yīng)選A.【點睛】此題主要考查了直線與圓的相交，圓的平面幾何性質(zhì)，屬于中檔題8某幾何體的三視圖如下列圖，該幾何體外表上的點P與點Q在三視圖上的對應(yīng)點分別為 A，B，那么在該幾何體外表上，從點 P到點Q的路徑中，最短路徑的長度為X4T|_-:h電1 一.丿I< RUHA. 14 B. 2 3 c. 10 D. 2 2【答案】D【解析】【分析】PQ間距離，比擬不同展開圖得到的距離即可求1，高為2，P,Q位置如圖：計算 PQ 二 22 + (1+1)2 二 2 2 ,根據(jù)三視圖可判斷出 P,Q點的位置，然后利用側(cè)面展開圖求解.【詳

8、解】由三視圖可知該幾何體為正四棱柱，底面邊長為沿EF展開，計算PQ二.12 (2 1)2'10，沿FM展開,因此點P到點Q的路徑中，最短路徑的長度為2 2 .應(yīng)選D.【點睛】此題主要考查了三視圖，棱柱的側(cè)面展開圖，屬于中檔題19.曲線f(x)，那么過點X(-1,3)，且與曲線y= f (x)相切的直線方程為A. y=2x+5或 y=-9x 6B. y = -x + 2 或 y = -9x 6C. y=-x+2 或 y=-8x-5【答案】BD. y = 2x + 5 或 y = -7x-4【解析】【分析】設(shè)切點為(xy。)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點(x0,y0)處的切線斜率，寫出切

9、線方程，把點-,3代入，列方程求出x0,y0，代入切線方程化簡即可.【詳解】設(shè)切點為1(Xo, yo),切線斜率 k-f (xo)-一 2 ， Xo那么切線方程是y-y0_ (X-X。)，又過點一 1,3 ，Xo所以 3y。$(1X。)，Xo又yo -1，Xo由解得,Jx。=1y。=1，代入切線方程化簡可得:切線方程為x + y2 = 0或9x + y + 6=0.應(yīng)選B.【點睛】此題主要考查了導數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于中檔題1O.函數(shù)f (x)的圖像與函數(shù)y二cos(2x)的圖像關(guān)于y軸對稱，將函數(shù)f(x)的圖像向左平移 個36單位長度后，得到函數(shù) g(x)的圖像，那么g(x) =托jr

10、jrjrA. sin(2x) B. sin(2x ) C. sin(2x ) D. sin(2x)6 666【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)f x的圖像與函數(shù)y=cos 2x-二 的圖像關(guān)于y軸對稱， 、3丿可得f(x)二cos(-2x) = cos(2x )，向左平移？個單位長度可得3362g(x)二cos2( x+二)+ 二二 cos(2x+),再由誘導公式即可求解 633【詳解】因為f x的圖像與函數(shù)y=cos2x-夕的圖像關(guān)于y軸對稱 I 3丿所以 f(x)=cos(2x) = cos(2x ),33向左平移二個單位長度可得g(x) =cos2(x+ )= co( 2x+ ),663

11、3因為 g(x) =co(2x+ )二cos(2x十上 十二)二一sin(2x十二)3626應(yīng)選D.【點睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的對稱性，三角函數(shù)圖象的平移變換，誘導公式，屬于中檔題11.一個三棱錐的六條棱的長分別為1,1,1,1/2, a，且長為a的棱與長為42的棱所在直線是異面直線,那么三棱錐的體積的最大值為A.遼12B.12D._36【答案】【解析】如下列圖，三棱錐 ABCD中,ADa,BC 2, AB AC BD CD 1，那么該三棱錐為滿足題意的三棱錐，將BCD看作底面，那么當平面 ABC _平面BCD時，該三棱錐的體積有最大值，此時三棱錐的高h -上2,2BCD是等腰直角三角形，

12、貝U S.BCD綜上可得，三棱錐的體積的最大值為1"2 <232212此題選擇A選項.點睛：求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，選擇適宜的底面是處理三棱錐體積問題 的關(guān)鍵所在.，使得12.函數(shù) f x =ln 弐冬，g x =m x J4 x +2，對于 0% e 0,4，x2 e 0,1 2 x 丿x2 < g x-，那么實數(shù)m的取值范圍是A.C.【答案】D【解析】【分析】Vln3 422 丿5匚0,4 ，忑匚0,1 ，使得f X2性、最值即可求得【詳解】對于“匚0,4，口x2匚0,1g 捲，可得 f(X2)ming(Xjmin，利用 f x ，g，使得

13、f x2 * g為，x的單調(diào)等價于 f(X2)min 吒 g(Xjmin2只Tn 2x 丿=ln(-1)，x-2因為u二-1 -y二In u是增函數(shù)，由復合函數(shù)增減性可知X-2f X =ln|耳荃二In(1在0,1上是增函數(shù)，12 - x 丿x - 2所以當 X-0 時，f(X2)min-0，令 t Xw(0,2)，那么 y m(r21+4) +2，假設(shè) m .> 0 時，2m+2 吒 y4m + 2 , g(x)min >2m + 2，所以只需2m + 2 20，解得0<： mE 1.假設(shè) m0 時，4m+2 ：. y ：2m+2， g(x)min 4m+2，1所以只需4m

14、 + 2上0，解得一 一乞m v. 0 .2當 m 0 時，g(x) 20=f (x)min 成立1綜上一蘭m乞1，應(yīng)選D.2【點睛】此題主要考查了復合函數(shù)的單調(diào)性，換元法求值域，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題二、填空題每題5分，總分值20分，將答案填在答題紙上y 乞 2x,13.實數(shù) x， y滿足條件2x+y2,貝V z=x-y的最大值為 【答案】1【解析】【分析】作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃知識求最優(yōu)解即可【詳解】作出可行域如圖：J為Vl Z34>* f X/nL作出直線10: y=x，平移直線10，當直線在y軸上的截距最小時，Z有最大值,如圖平移10過點(1,0)時，ZmaxT 0T.故填1.【點

15、睛】此題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，直線的截距，屬于中檔題3缸14.假設(shè) sin"= = & 是第二象限角，貝V sin(2" + ) =.54【答案】_1'250【解析】【分析】根據(jù)sin 二3 ,，.是第二象限角，可得cos/二一4 ,由二倍角公式可得sin 2處二一召,5525cos2/= 2cos2吃T =工，再由兩角和的正弦公式即可求解.25【詳解】因為sin = 3，.是第二象限角，所以cos空二一 424 27sin 2, cos2/= 2cos 1 =25 255-sin2&coscos2莊sin 2 x絲 + 工一一17蘭244225

16、2550由二倍角公式可得所以sin(2)4故填-1 2 .50【點睛】此題主要考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，正余弦的二倍角公式，兩角和的正弦公式，屬于中檔題15.過P(行)的直線丨與雙曲線C : x2y2-只有一個公共點，那么直線 丨的條數(shù)為【答案】2【解析】【分析】求出雙曲線C : X2 - y2 -1的漸近線方程y - ±x ,結(jié)合雙曲線的性質(zhì)討論，直線丨斜率不存在時和雙曲線右支相切，有一個公共點，直線過點P 1,1，可作與y = -x平行的直線，此時與雙曲線有一個公共點【詳解】雙曲線C : x2y2_1的漸近線方程y 土x,其中一條漸近線y = x 過點 P 1,1 ,所以過點P

17、1,1的直線x-1與雙曲線右支相切，只有一個公共點，過P 1,1與y = -x平行的直線y = x + 2和雙曲線右支相交，只有一個公共點, 綜上共有2條直線符合要求故填2.【點睛】此題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題116.假設(shè)函數(shù)f(x)-2xa-2x為奇函數(shù)，那么不等式 8f (-63： 0的解集為x1【答案】(-®0)(，+*)3【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)知f (0) = 0求出a- 1，原不等式轉(zhuǎn)化為 f (丄)彳63 =f，又函數(shù)f (x)在R上為增函x 8數(shù)，即可求解【詳解】因為f(x)為奇函數(shù)，所以有 f(0)_1a 0，得 a 1

18、，故 f (x) -2x-2 x，所以f(3)単8不等式8f(163： 0可化為f)，63，xx 81由函數(shù)f (x)在R上為增函數(shù)，可得 一v3，x解得：1x或 x ： 0.3所以不等式的解集為-OO0+OO1 6，故填oo,0J，+°°【點睛】此題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，不等式的解法，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題三、解答題：共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題, 每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答一必考題：60分17.數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn = n2 +于.I求數(shù)列 an的通項公式；111n假設(shè)a一 , ka

19、3,S3 -5k成等比數(shù)列，求實數(shù) k的值2 32【答案】1an2 n ; 2k-1 或- 2 .【解析】【分析】【詳解】1當n_1時，S,二1+蟲，解得：印-2，可得Sn_n2+n，2當 n 32 時，an =Sn Sn= n2in n -1和 n-1 =2n，由ai符合a2n門32且門匕N*，故數(shù)列an的通項公式為an - 2n，1112由一印二 1， ka3 二 k一2，S3 5k 二 6 5k，232有"二6-5k,解得 k 二1 或-2.+ -2工0,【點睛】此題主要考查了與an的關(guān)系，等比中項，屬于中檔題.18.如圖是2022年至2022年天貓雙一當天銷售額 y單位：百億

20、元的折線圖，為了預(yù)測 2022年雙十 當天銷售額，建立了 y與時間變量t的線性回歸模型I根據(jù)2022年至2022年的數(shù)據(jù)時間變量t的值依次為1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8用最小二乘法， 得到了 y關(guān)于t的線性回歸方程 y = 2.97t + a ,求a的值，并預(yù)測2022年此時t- 9雙一當天銷售額；假設(shè)你作為天貓商城董事會成員，針對雙十一當天銷售額增長情況，給天貓商城管理層制定一個股權(quán)獎勵方案從2022年開始到2022年，如果該年度雙十一當天銷售比照上一年增長超過五成，那么對天貓商城管理層進行股權(quán)獎勵從2022年到2022年中，求天貓商城管理層連續(xù)兩年都能獲得股權(quán)獎勵的概率1

21、附：a = ybt , -0.52 +1.91 +3.5 +5.71 +9.12+12.07+16.82 + 21.35二 8.8758【答案】1預(yù)測2022年雙一當天銷售額大約為22.24百億元；20.6 .【解析】【分析】1根據(jù)直線回歸方程過樣本中心點x,y即可求出a-4.49，直線回歸方程代入 t-9，即可2根續(xù)兩年作為根本領(lǐng)件，根本領(lǐng)件總數(shù)5,連續(xù)兩年能得到股票獎勵的根本領(lǐng)件共有3個，由古典概型計算其概率即可.【詳解】1由 f =1 1 +2+3+4+ 5+6 + 7 + 8 二 4.5，y = 8.875，代入線性回歸方程 y = 2.97t + a，有 88.875 -2.97尤4

22、.5 +a，得a 4.49，可得y關(guān)于t的線性回歸方程為 y=2.97t4.49，當t二9時，y =2.97 k9 4.49 = 22.24，可預(yù)測2022年雙一當天銷售額大約為22.24百億元.2由 1>1.5，0.523.51.915.715.5> 3.53.5 1 + 6.5，叱9=1.5，775.17612.079.1212.0710二 1.207 叮.5，12.0712.0712.07故從2022年到2022年管理層只有 2022年、2022年、2022年、2022年能獲得股票獎勵從2022年到2022年中連續(xù)兩年，根本領(lǐng)件為 2022,2022、2022,2022、20

23、22,2022、2022,2022、2022,2022，共5個根本領(lǐng)件；連續(xù)兩年能得到股票獎勵的根本領(lǐng)件為2022,2022、 2022,2022、 2022,2022 ，共3個根本領(lǐng)件.從2022年到2022年中，天貓商城管理層連續(xù)兩年都能獲得股權(quán)獎勵的概率為p二3二06 5【點睛】此題主要考查了線性回歸方程，古典概型，屬于中檔題19.如圖，四棱錐V ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，上BAD = 60，E為AB的中點.I在側(cè)棱 VC上找一點F，使BF |平面VDE，并證明你的結(jié)論；n假設(shè) VA - VC - 5 , VD -3，求四棱錐 V - ABCD的體積.【答案】1見解析；2

24、乙£.3【解析】【分析】1F為VC VD的中點為H，連EH、HF，可證四邊形EBFH為平行四邊形，可得 HE | BF即可證明2連接AC , BD交于點O，連接VO，根據(jù)VO _ AC , VO _ OD可證VO丄平面ABCD，根據(jù)棱錐體積公式計算即可【詳解】1F為VC VD的中點為H，連EH、HF .1 ABCD為菱形，E為AB的中點， BE II丄CD ,=21 H 為VD 的中點，F(xiàn) 為VC 的中點， HF CD , HF II BE，2四邊形EBFH為平行四邊形， HE | BF , EH平面 VDE , BF平面 VDE , BF | 平面 VDE . AC_BD , OB

25、-0D-1 , OA-0C- /3 , VA - VC - . 5 , VO _ AC , VO - VA2 -OA2 - 2 .又 VD- 3 , VD2 二VO2+OD2 , VO OD. ACOD O , AC,OD 匸平面 ABCD , VO 丄平面 ABCD .易求得菱形 ABCD的面積為2 3 , 四棱錐V ABCD的體積為丄衣2弓乂 2 - 2上6 .3 3【點睛】此題主要考查了線線平行，線面平行，線面垂直，棱錐體積公式，屬于中檔題2 2 £20.如圖，橢圓C ：篤+每= 1a = b0的右焦點為F，點T,蘭在橢圓C上，過原點O的直線與 a2 b2' 2橢圓C相

26、交于M、N兩點，且 MF+NF=4.I求橢圓C的方程;F 1n設(shè)P(1,O) , Q(4,0),過點Q且斜率不為零的直線與橢圓C相交于A、B兩點，證明:2【答案】1丄十y2_1; 2見解析.4【解析】【分析】I取橢圓C的左焦點F '，連MF '、NF ',由橢圓的幾何性質(zhì)知| NF -"MF '，那么 MF即可求解n設(shè)點A的坐標為設(shè)橢圓方程代入點X1, y,，點B的坐標為方程為：y - k x -4 k 0 ,聯(lián)立方程組,消兀得4k2 +12 2 2x 32k x + 64k 4=0同理得直線BP的斜率，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡即可得出結(jié)論【詳解】I如M

27、F '+|mf'二將點2 /2a - 4，得 a - 2 ,，取橢圓 C的左焦點F '，連MF '、NF '，由橢圓的幾何性質(zhì)知上 APO 乂 BPQ .+ MF - 2a- 4 ,y2，直線AB的,寫出AP的斜率，NF -MF'，那么C的方程得:13二 1，解得：b- 1a2 4b2占:八、2故橢圓C的方程為： + y2 - 1.B的坐標為 x2,y2由圖可知直線 AB的斜率存在，設(shè)直線 AB的方程為：y-k X-4 k0聯(lián)立方程 2x 2彳十y =14y = kx- 4消去y得:2 2 2 24k +1 x 32k x+64k 4=0,2 2

28、 2也一32k-4 4k +164k24 > 0 , k21 .12石+x2有丿住二同理直線BP的斜率為：k x2 一4X2 一 1直線AP的斜率為：也 乞勺4x1 1x1 1由k % 一4 k x2 一41 Xf 1X2 _ 1k % -4x2 -1十 k x2 4 x1 1k L2xX2 - 5 捲 + x2 +8皿2 一 x1 + x2 + 1_ 32k24k2 +1264k -44k2+1廣22,128k -8160kk 160k2-8T60k2 十 836k2-3k 十 8222,4k2 +14k2+1 J _ k 128k2 8T60k2 十32k2十864k2 4 32k2

29、64k2-4-32k2 十 4k2 十 12 2 14k +14k 十 1由上得直線 AP與BP的斜率互為相反數(shù)，可得 上APO二匚BPQ .【點睛】此題主要考查了橢圓的定義，橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的斜率，屬于難題21.函數(shù) f(x) Tn x-ax+a(a e R).I求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；n當a - 1時，對任意的0 "： m v n，求證:f (n)一 f (m) <n mm(1 十 m)11【答案】1f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,丄)，單調(diào)遞減區(qū)間為(丄，+S)； 2見解析.aa'【解析】【分析】I寫出導函數(shù)f x二1a二匸坐&0

30、)，根據(jù)a分類討論f'(x)的正負，即可求出單調(diào)區(qū)間nxxa -1 時，f x 一 I nx - x+1 ，根據(jù)1知 f x - ln x x+1 Ef 1-0 ,原不等式轉(zhuǎn)化為In- n -m 工二口一口，再轉(zhuǎn)化為lnLjn_1，根據(jù)ln x蘭x-1可證. mm1 十 mm1 十 mmm【詳解】I廠X二1 _a二上(xaO).XX當a乞0時，廠X >0恒成立此時f X的單調(diào)遞增區(qū)間為 0,+廠，無單調(diào)遞減區(qū)間11當 a > 0 時，由 f ' x - 0 得：0 x ，由 f' x Q 0，得 x .aa此時f X的單調(diào)遞增區(qū)間為(10,-，單調(diào)遞減區(qū)間為

31、十乂、.a/a'丿na =1時，f X -1nx x + 1，由1知f X在0,1上為增函數(shù)，在 i,tx 上為減函數(shù),f X 一1 nx x+1 屹 f 1 _0 , In xE x 1，當且僅當x 1時取“f n -f m 二 lnn-n 十1 - Inm-m + 1 二 In n- n-m mn m _n m_nm m 1 +mm 1 + m0、：my： n，二 1 + m> 1 , n m0 , ? 1 ,mn m n _ m < -1 +n只要證明：in n < n-1.m m【點睛】此題主要考查了利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，利用導數(shù)證明不等式，分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于 難題.二選考題：共10分.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第 題記分.x = 2cos 川22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為+0為參數(shù)，直線I的參數(shù)方程為ly = 2si n"lx 二 1 +(a 1)ti t為參數(shù)Ly 二1 +atI假設(shè)a二一，求曲線C與直線丨的交點坐標；2n求直線丨所過定點P的坐標，并求曲線 C上任一點Q到點P的距離的最大值和最小值.【答案】門(0,-2)與(5,8) ； 2dm