有關(guān)三角形及其概念經(jīng)典習(xí)題

1、11、三角形及有關(guān)概念【知識(shí)精讀】1. 三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。2. 三角形中的幾條重要線段：1三角形的角平分線三條角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心2三角形的中線三條中線的交點(diǎn)叫重心3三角形的高三條高線的交點(diǎn)叫垂心3. 三角形的主要性質(zhì)1三角形的任何兩邊之和大于第三邊，任何兩邊之差小于第三邊；2三角形的內(nèi)角之和等于 180 °3三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;4三角形中，等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；5三角形具有穩(wěn)定性。4補(bǔ)充性質(zhì)：在 ABC中，D是BC邊上任意一點(diǎn)，E是AD上任意一

2、點(diǎn)，那么S ABES CDES BDES CAEA/I三角形是最常見(jiàn)的幾何圖形之一，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用。三角形又是多邊形的一種， 而且是最簡(jiǎn)單的多邊形，在幾何里，常常把多邊形分割成假設(shè)干個(gè)三角形，利用三角形的性質(zhì)去研究多邊形。實(shí)際上對(duì)于一些曲線， 也可以利用一系列的三角形去逼近它，從而利用三角形的性質(zhì)去研究它們。因此，學(xué)好本章知識(shí)，能為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的根底。5.三角形邊角關(guān)系、性質(zhì)的應(yīng)用【分類解析】例1.銳角三角形ABC 中，/ C=2/B，那么/B的范圍是A.10/ B20B. 20/ B30C.30/ B45D. 45/ B60分析：因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以 0

3、/ B 90又/ C= 2/ B,0 2 / B 900/ B 45又/A為銳角， / A 180/ B / C為銳角/ B / C 903/ B 90，即/ B 3030/ B 45，應(yīng)選擇C。例2.選擇題：三角形的一個(gè)外角等于160°,另兩個(gè)外角的比為 2:3，那么這個(gè)三角形的形狀是 A.銳角三角形B.直角三角形C鈍角三角形D.無(wú)法確定分析：由于三角形的外角和等于360。，其中一個(gè)角，另兩個(gè)角的比也知道，因此三個(gè)外角的度數(shù)就可以求出，進(jìn)而可求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，從而可判斷三角形的形狀。解：三角形的一個(gè)外角等于 160 °另兩個(gè)外角的和等于 200°設(shè)這兩個(gè)外角的

4、度數(shù)為 2x, 3x2x 3x 200解得：x 402x 80, 3x 120與80°相鄰的內(nèi)角為100°這個(gè)三角形為鈍角三角形應(yīng)選C11例3.如圖，：在 ABC中，ABAC，求證：/ C / B。22A/、E/z查I/F BC1分析：欲證/ C Z B，可作/ ABC的平分線BE交AC于E,只要證/ C / EBC 21即可。為與題設(shè) AB AC聯(lián)系，又作 AF/BE交CB的延長(zhǎng)線于F。2顯然Z EBC = Z F,只要證 Z C Z F即可。由AF 2AB AC可得證。證明：作Z ABC的角平分線 BE交AC于E,過(guò)點(diǎn)A作AF/BE交CB的延長(zhǎng)線于FAF/BE,Z F

5、Z EBC,Z FAB Z ABE又 BE 平分Z ABC ,/ EBC = Z ABE Z F=Z FAB , AB = BF又 AB + FB > AF，即 2AB > AF1又 AB AC, AC AF21Z F Z C，又 Z F Z ABC21 1例4.：三角形的一邊是另一邊的兩倍。求證：它的最小邊在它的周長(zhǎng)的一與一之間。64分析：首先應(yīng)根據(jù)條件，運(yùn)用邊的不等關(guān)系，找出最小邊，然后由周長(zhǎng)與邊的關(guān)系加以證明。AbcBaC證明:如圖，設(shè)ABC的三邊為a、b、c，其中 a 2c，因此,因此,ac，ac是最小邊,2c2cb 3c3c c，即 c -(a b c)61(a b c)

6、6故最小邊在周長(zhǎng)的1c (a b41 1一與一之間。64c)中考點(diǎn)撥:例1.選擇題:如圖是個(gè)任意的五角星,它的五個(gè)頂角的和是A. 50B.100C.180D. 200分析：由于我們學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角、 角的問(wèn)題。解： / C / E / AGF,/ B/ A / B / C / E / D所以選擇C例2.選擇題：三角形的兩邊分別為A.大于2B.小于12分析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系應(yīng)有所以應(yīng)選C例3.：P為邊長(zhǎng)為1的等邊求證：3 PA PB PC2外角的知識(shí)，所以需要我們把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形/ D / AFG/ A / AGF / AFG 1805和7,那么第三邊x的范圍是C.大于2小于12 D.不能

7、確定5x75，即 12 x 2ABC內(nèi)任一點(diǎn)。2AA/1 / E * F/ 7 PBC證明：過(guò)P點(diǎn)作EF/BC，分別交 AB于E,交AC于F, 那么/ AEP =Z ABC = 60°/ EAP / EAF 60/ APE 60在AEP中，/ APE / AEP,AE AP/ AFE / ACB 60，/ AEF 60AEF是等邊三角形AFEFAEAPBEEPBPPFFCPCAEEBEPPEFCAPBPPCABEFFCAPBPPCABAFACAPBPPCPBPAPCABAC2PAPBABPBPCBCPCPAAC2 PAPBPC AB BC AC 332 PA PB PC 2題型展示：

8、例1.：如圖，在 ABC中，D是BC上任意一點(diǎn)，E是AD上任意一點(diǎn)。求證:1/ BEC >/ BAC ;2AB + AC > BE + EC。分析：在1中，利用三角形內(nèi)角和定理的推論即可證出在2中，添加一條輔助線,轉(zhuǎn)化到另一個(gè)三角形中，利用邊的關(guān)系定理即可證出。證明：1T/ BED是 ABE的一個(gè)外角，/ BED / BAE同理，/ DEC / CAE/ BED / DEC / BAE / CAE即 / BEC / BAC2延長(zhǎng)BE交AC于F點(diǎn)ABAFBEEF又EFFCECABAFEFFC BE EF EC即ABACBEEC例2.求證：直角三角形的兩個(gè)銳角的相鄰?fù)饨堑钠椒志€所夾的角

9、等于45°。：如圖，在 ABC中， C 90， EAB、 ABD是 ABC的外角，AF、BF分別平分/ EAB及/ ABD。求證：/ AFB = 45°CABED|/F分析：欲證 / AFB 45，須證 / FAB / FBA 135/ AF、BF 分另平分/ EAB 及/ ABD要轉(zhuǎn)證/ EAB +Z ABD = 270°又/ C = 90°,三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和問(wèn)題得證證明：I / EAB =Z ABC +Z C/ ABD =/ CAB +/ C/ ABC +Z C+Z CAB = 180°,/ C= 90°

10、/ EAB / ABD / ABC / C / CAB / C 180 90270/ AF、BF分別平分Z EAB及Z ABD11Z FAB Z FBA Z EAB Z ABD 27013522在 ABF 中，Z AFB180Z FABZFBA 45【實(shí)戰(zhàn)模擬】1.：三角形的三邊長(zhǎng)為3,8, 1 2x,求x的取值范圍。2.： ABC中，ABBC,D點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上，使 AD BC , BCACAD，求a和B間的關(guān)系為?3.如圖，ABC中，ABC、 ACB的平分線交于P點(diǎn)，BPC 134 ，那么 BAC A. 68°B.80°C.88°D.46°4.：如

11、圖,AD是 ABC的BC邊上高，AE平分BAC 。求證： EAD 1 C25.求證：三角形的兩個(gè)外角平分線所成的角等于第三個(gè)外角的一半?！驹囶}答案】1. 分析：此題是三邊關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，只需用三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍即可。解: 三邊長(zhǎng)分別為3, 8, 12x，由三邊關(guān)系定理得51 2x1142x102x52.解:ABBC,BCABAC又ADBC,AD ABDB，又BCADBDB根據(jù)三角形內(nèi)角和，得:180180解:3.PBCPCB 46 BP、CP為Z B、Z C的平分線Z PBC-Z ABC,Z PCB -2 2Z ACBZ PBC1ZPCBZABC ZACB2Z ABCZ ACB 2 4692Z BAC180 Z ABC Z ACB88BPC134又4.證明：/ EAD / EAC / CAD1/ AE 平分/ BAC , Z EAC - Z BAC 2又 AD 丄 BC, Z ADC 90Z CAD 90 Z C又 Z BAC 180 Z B Z C1/ EAD / BAC / CAD21180/ B / C 90/ C211丄/ C丄/ B221Z EAD - Z C Z B25.證明：如圖，設(shè) ABC的Z BAC和Z ABC的外角平分線交于點(diǎn) DZ