有關三角形及其概念經典習題

1、11、三角形及有關概念【知識精讀】1. 三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。2. 三角形中的幾條重要線段：1三角形的角平分線三條角平分線的交點叫做內心2三角形的中線三條中線的交點叫重心3三角形的高三條高線的交點叫垂心3. 三角形的主要性質1三角形的任何兩邊之和大于第三邊，任何兩邊之差小于第三邊；2三角形的內角之和等于 180 °3三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角，等于和它不相鄰的兩個內角的和;4三角形中，等角對等邊，等邊對等角，大角對大邊，大邊對大角；5三角形具有穩(wěn)定性。4補充性質：在 ABC中，D是BC邊上任意一點，E是AD上任意一

2、點，那么S ABES CDES BDES CAEA/I三角形是最常見的幾何圖形之一，在工農業(yè)生產和日常生活中都有廣泛的應用。三角形又是多邊形的一種， 而且是最簡單的多邊形，在幾何里，常常把多邊形分割成假設干個三角形，利用三角形的性質去研究多邊形。實際上對于一些曲線， 也可以利用一系列的三角形去逼近它，從而利用三角形的性質去研究它們。因此，學好本章知識，能為以后的學習打下堅實的根底。5.三角形邊角關系、性質的應用【分類解析】例1.銳角三角形ABC 中，/ C=2/B，那么/B的范圍是A.10/ B20B. 20/ B30C.30/ B45D. 45/ B60分析：因為ABC為銳角三角形，所以 0

3、/ B 90又/ C= 2/ B,0 2 / B 900/ B 45又/A為銳角， / A 180/ B / C為銳角/ B / C 903/ B 90，即/ B 3030/ B 45，應選擇C。例2.選擇題：三角形的一個外角等于160°,另兩個外角的比為 2:3，那么這個三角形的形狀是 A.銳角三角形B.直角三角形C鈍角三角形D.無法確定分析：由于三角形的外角和等于360。，其中一個角，另兩個角的比也知道，因此三個外角的度數(shù)就可以求出，進而可求出三個內角的度數(shù)，從而可判斷三角形的形狀。解：三角形的一個外角等于 160 °另兩個外角的和等于 200°設這兩個外角的

4、度數(shù)為 2x, 3x2x 3x 200解得：x 402x 80, 3x 120與80°相鄰的內角為100°這個三角形為鈍角三角形應選C11例3.如圖，：在 ABC中，ABAC，求證：/ C / B。22A/、E/z查I/F BC1分析：欲證/ C Z B，可作/ ABC的平分線BE交AC于E,只要證/ C / EBC 21即可。為與題設 AB AC聯(lián)系，又作 AF/BE交CB的延長線于F。2顯然Z EBC = Z F,只要證 Z C Z F即可。由AF 2AB AC可得證。證明：作Z ABC的角平分線 BE交AC于E,過點A作AF/BE交CB的延長線于FAF/BE,Z F

5、Z EBC,Z FAB Z ABE又 BE 平分Z ABC ,/ EBC = Z ABE Z F=Z FAB , AB = BF又 AB + FB > AF，即 2AB > AF1又 AB AC, AC AF21Z F Z C，又 Z F Z ABC21 1例4.：三角形的一邊是另一邊的兩倍。求證：它的最小邊在它的周長的一與一之間。64分析：首先應根據(jù)條件，運用邊的不等關系，找出最小邊，然后由周長與邊的關系加以證明。AbcBaC證明:如圖，設ABC的三邊為a、b、c，其中 a 2c，因此,因此,ac，ac是最小邊,2c2cb 3c3c c，即 c -(a b c)61(a b c)

6、6故最小邊在周長的1c (a b41 1一與一之間。64c)中考點撥:例1.選擇題:如圖是個任意的五角星,它的五個頂角的和是A. 50B.100C.180D. 200分析：由于我們學習了三角形的內角、 角的問題。解： / C / E / AGF,/ B/ A / B / C / E / D所以選擇C例2.選擇題：三角形的兩邊分別為A.大于2B.小于12分析：根據(jù)三角形三邊關系應有所以應選C例3.：P為邊長為1的等邊求證：3 PA PB PC2外角的知識，所以需要我們把問題轉化為三角形/ D / AFG/ A / AGF / AFG 1805和7,那么第三邊x的范圍是C.大于2小于12 D.不能

7、確定5x75，即 12 x 2ABC內任一點。2AA/1 / E * F/ 7 PBC證明：過P點作EF/BC，分別交 AB于E,交AC于F, 那么/ AEP =Z ABC = 60°/ EAP / EAF 60/ APE 60在AEP中，/ APE / AEP,AE AP/ AFE / ACB 60，/ AEF 60AEF是等邊三角形AFEFAEAPBEEPBPPFFCPCAEEBEPPEFCAPBPPCABEFFCAPBPPCABAFACAPBPPCPBPAPCABAC2PAPBABPBPCBCPCPAAC2 PAPBPC AB BC AC 332 PA PB PC 2題型展示：

8、例1.：如圖，在 ABC中，D是BC上任意一點，E是AD上任意一點。求證:1/ BEC >/ BAC ;2AB + AC > BE + EC。分析：在1中，利用三角形內角和定理的推論即可證出在2中，添加一條輔助線,轉化到另一個三角形中，利用邊的關系定理即可證出。證明：1T/ BED是 ABE的一個外角，/ BED / BAE同理，/ DEC / CAE/ BED / DEC / BAE / CAE即 / BEC / BAC2延長BE交AC于F點ABAFBEEF又EFFCECABAFEFFC BE EF EC即ABACBEEC例2.求證：直角三角形的兩個銳角的相鄰外角的平分線所夾的角

9、等于45°。：如圖，在 ABC中， C 90， EAB、 ABD是 ABC的外角，AF、BF分別平分/ EAB及/ ABD。求證：/ AFB = 45°CABED|/F分析：欲證 / AFB 45，須證 / FAB / FBA 135/ AF、BF 分另平分/ EAB 及/ ABD要轉證/ EAB +Z ABD = 270°又/ C = 90°,三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和問題得證證明：I / EAB =Z ABC +Z C/ ABD =/ CAB +/ C/ ABC +Z C+Z CAB = 180°,/ C= 90°

10、/ EAB / ABD / ABC / C / CAB / C 180 90270/ AF、BF分別平分Z EAB及Z ABD11Z FAB Z FBA Z EAB Z ABD 27013522在 ABF 中，Z AFB180Z FABZFBA 45【實戰(zhàn)模擬】1.：三角形的三邊長為3,8, 1 2x,求x的取值范圍。2.： ABC中，ABBC,D點在BC的延長線上，使 AD BC , BCACAD，求a和B間的關系為?3.如圖，ABC中，ABC、 ACB的平分線交于P點，BPC 134 ，那么 BAC A. 68°B.80°C.88°D.46°4.：如

11、圖,AD是 ABC的BC邊上高，AE平分BAC 。求證： EAD 1 C25.求證：三角形的兩個外角平分線所成的角等于第三個外角的一半?！驹囶}答案】1. 分析：此題是三邊關系的應用問題，只需用三邊關系確定第三邊的取值范圍即可。解: 三邊長分別為3, 8, 12x，由三邊關系定理得51 2x1142x102x52.解:ABBC,BCABAC又ADBC,AD ABDB，又BCADBDB根據(jù)三角形內角和，得:180180解:3.PBCPCB 46 BP、CP為Z B、Z C的平分線Z PBC-Z ABC,Z PCB -2 2Z ACBZ PBC1ZPCBZABC ZACB2Z ABCZ ACB 2 4692Z BAC180 Z ABC Z ACB88BPC134又4.證明：/ EAD / EAC / CAD1/ AE 平分/ BAC , Z EAC - Z BAC 2又 AD 丄 BC, Z ADC 90Z CAD 90 Z C又 Z BAC 180 Z B Z C1/ EAD / BAC / CAD21180/ B / C 90/ C211丄/ C丄/ B221Z EAD - Z C Z B25.證明：如圖，設 ABC的Z BAC和Z ABC的外角平分線交于點 DZ