構(gòu)造對(duì)偶式的八種途徑

1、構(gòu)造對(duì)偶式的八種途徑在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，合理地構(gòu)造形式相似，具有某種對(duì)稱關(guān)系的一對(duì)對(duì)偶關(guān)系式，對(duì)對(duì)偶關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?，差，積等運(yùn)算，往往能使問(wèn)題得到巧妙的解決，收到事半功倍的效果。一. 和差對(duì)偶并通過(guò)對(duì)這對(duì)于表達(dá)式u(x) _v(x)，我們可構(gòu)造表達(dá)式u(x)二v(x)作為它的對(duì)偶關(guān)系式。例1假設(shè)0 : n，且 3sin v - 4cos v - 5 ，求 tanv 的值。解析：構(gòu)造對(duì)偶式：2 3si n v - 4cos v - y那么3si"收5,得3sin v -4cos ) - y點(diǎn)評(píng)：這種構(gòu)造對(duì)偶式的方法靈巧， 富有創(chuàng)意，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思sizcos v -I 8再由

2、 sin? v cosA -1，得：tan維和創(chuàng)二例 2 ：a, b, c, d R，且 a2 3 b2c2 d2 乞 1,求證：(a b)4 (a c)4 (a d)4 (bc)4(b d)4(c d)4 _ 6。解:設(shè) M = (a b)4 (a c)4 (a d)4 (b c)4 (b d)4 (c d)4,構(gòu)造對(duì)偶式44444N=(a-b) (a-c) (a-d) (b-c) (b-d) (c-d)那么有：M N=6(a4b4c4d42a2 b22a2c2-6(a2b2c2d2)2豈 6又N _0 ,故M _6，即原不等式成立。2a2 d2 2b2c2 2b2d2 2c2 d2)10

3、a22 ,(1)x2 -8x 2110 -a例3解方程：2.x2 8x 2 V xA8x 21 =108x 2122x2421 n(100 a2) ,(3)2解：構(gòu)造對(duì)偶式：X2 8x 21- x2 8x ? 21 - a，再由原方程聯(lián)立可解得:那么(1)2(2)2得:(1) - (2)得： 16x = 10a ，即 a =5代入( 3)中得： 2x4 5 6 7 8 9 10 11 42 =丄( 100 -64x2)2 25 整理得：？ x2 =4 ,解得：x- -10。25 3二.互倒對(duì)偶互倒對(duì)偶是指針對(duì)式子的結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)式中的某些元素取倒數(shù)來(lái)構(gòu)造對(duì)偶式的方法。1 1 1例 4假設(shè) x,y

4、,z? (0,1)，求證：1x+y 1y+z 1z+x解：設(shè) M 二 1 1+ +_x y 1 -y z 1- z x構(gòu)造對(duì)偶式 :N =(1 一 x y) (1 - y z) (1 - z x) ,+ (1x + y) +1 +(1 y+z)(1_z x)1 -x y1 - y z1 -z x_2 2 2=61 1而N=3，故M_3，即一1一_3。1x+y 1y+z 1_z+x1 -y z例 5設(shè)印 82 月 3, ,an 為互不相等的正整數(shù)a? a3an1 11求證：a? -2 ?冷T -122 32n223na aa111解：設(shè) M= a? -2 ?冷2，構(gòu)造對(duì)偶式：N -23na1a2

5、an那么M N二1)(a；1 廠(a;1)-1 1 j 1a-i2a2nan2 3 n1 114 11M -15 3n點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)巧妙構(gòu)思，對(duì)其構(gòu)造了“意料之中的對(duì)偶式，化新為舊，等價(jià)轉(zhuǎn)化，完成對(duì) 難點(diǎn)的突破，以達(dá)化解問(wèn)題這目的。的解析1例6對(duì)任意x, (- 二, 0) - (0, ?:)總有f (x) 2f (廠x=0 ,求函數(shù)y = f (x)式。，因此2 3 n又aia,a3/耳為互不相等的正整數(shù)，所以N乞11解析：因 f(x)? 2f()? x = 0x111用一替代上式中的x,構(gòu)造對(duì)偶式：f (一)？ 2f (x) ?=0xxx1 2由一 X2 得： f (x) ? x _4f( )

6、0x x2 2故 f(x)二 x -2x3x三. 共軛對(duì)偶共軛對(duì)偶是反映利用共軛根式或共軛復(fù)數(shù)來(lái)構(gòu)造對(duì)偶式的方法。例7z ? c，解方程：z- 3iz = 1 3i。解析：由z-3iz =1 3i構(gòu)造對(duì)偶式：z3iz=1-3i由一得z - -z -2，代入得(z ? 1)(z T -3i) =0 ,2a . 2b 1故 z - -1 或 z - -1 ? 3i。例8假設(shè)Z E c，Z一 1且Z式±，證明：- 為純虛數(shù)。z + 1z 1z1 z 1解:設(shè)，貝y M構(gòu)造對(duì)偶式：N一 1z +1z +1 z +1那么M +N=廠1 +丈一=0(因?yàn)閦， z=|z2=1 ) z+1z+1z

7、1又0(因?yàn)閦 =二 1 )z 1Z d?為純虛數(shù)。z 1例9口： a 0,b0，且a ? b =1，求證：.2a 1,2bz 1證明：設(shè)皿=.2a . 2b 1，構(gòu)造對(duì)偶式：N=z 1z + 1? M 乞 M 2 N2 = 4(a b) 4 = 8? M <2 2，即原不等式成立。四. 倒序?qū)ε嫉剐驅(qū)ε际侵羔槍?duì)式子的結(jié)構(gòu)，通過(guò)和式或積式進(jìn)行倒序構(gòu)造對(duì)偶式的方法。解析：觀察和式聯(lián)想到 Ck =cn,Q< k < n,n ? N*，故首先在和式右邊添上一項(xiàng)0 C0,那么 S =0 C0 - 1C； 2C2 - ncn構(gòu)造對(duì)偶式：S 二 nC : (n -1)C ； (n- 2)

8、C"0C ；即亦為：S=0 C o +1C: +2C ; + +nC nn由+得：nC : ? nCn- nC : nC :?2S = nC ; + nC1 + + nC ：+ nC： = n(C : + C: + + C :)?- 2S 二 n 2n ?- S =n2n點(diǎn)評(píng)：利用現(xiàn)成的對(duì)偶式，使問(wèn)題本身變得簡(jiǎn)單，便易，如此處理，可謂“勝似閑庭信步例11正項(xiàng)等比數(shù)列an中，T豈不妙哉！a2aAan, a1a? a八'Hbn試用 s, T 表an示 Q ai a2解析：傳統(tǒng)解法都用 a1,q表示S,T及Q,然后通過(guò)ai和q找到S,T,Q的等量關(guān)系，這種解法雖思路正確，但運(yùn)算繁瑣

9、，加之在用等比數(shù)列求和公式時(shí)還要討論q =1和q = 1兩種情形，如此解題會(huì)陷入漫漫無(wú)期的運(yùn)算之中，很少有人能夠到達(dá)終點(diǎn)。其實(shí)，觀察和式子與積式特征不妨采取“本末倒置構(gòu)造倒序?qū)ε夹蚴揭辉?。由題意知：T =ai a 2 a" a n構(gòu)造倒序?qū)ε际剑篢 =an耳-an"a1由x得：T2 :=(a an) 叭)(an 已)=佝 an)2, 即卩 T :=(a再來(lái)看：Q丄丄a1a2an1 11構(gòu)造倒序?qū)ε际剑篞 -an an -1a1即+得:2Q 111111()()(),刁 an a2an-2 an ai,? Qai an2又 qan =TnS? Q=S即2Q二壬皀?.楚壬，.？

10、生。ai ana2, an_2暮，ai由等比數(shù)列性質(zhì)可知，右邊的分母均為a an,故(31 an) 2 an)(an aj2Q即 2Q 2SaianTn五. 定值對(duì)偶定值對(duì)偶是指能利用和，差，積，商等運(yùn)算產(chǎn)生定值，并借此構(gòu)造出對(duì)偶式的方法。1 1。？已-) - f(x)二f( ) f(1) f(2) f f(4),1 =1解析：f (x) f (!)(-)2X1 (1)2x2發(fā)現(xiàn)定值：1f(x) f( ) =1。x引&1 x21 11那么 S 二f() f()f( )f(1)f(2)f(3)f (4)4321 1 1構(gòu)造對(duì)偶式： S 二 f(4)f (3)f(2)f(1)f( )f()

11、 f()234由 +得：1112S 二f (匸廠 f(4) f(;) ? f(3) f(； )f(2) 2f(1)432111f(2) f(Jf(3)f(； )f(4) ? f(：)234? ?2S=7,I 卩 S = 7。2六 . 奇偶數(shù)對(duì)偶1心一1 1352n -124 v 6 72n解：設(shè)M =X XK，構(gòu)造對(duì)偶式：N 二X X 2 462n3572n 1由千12 342n-12n由于23 4-5 2n2n 1因此M:N ,從而M2 12 :MN-On d3n -1 3n>故 M :,2n 1例 14 求證：(11)(1) .1證明：待證不等式的左邊為：1 1 ).3 3n 143

12、n 2(1 1)(1丄)(13n 2XII)上 § "。3n 23n 13n73n 16，3n -23n -1> 3n直)3n -1(-=(Z 5 ： F)(3-143n -23n -23nXII 1 1 1而 N 二 b1a 14 (b-1)(a-1)42 2 = 8 ,b 1a 1b 1a1? M _ N -8 ,即M _8。當(dāng)且僅當(dāng)a二b = 2時(shí)等號(hào)成立。=3n 1? M3 3n 1故原不等式成立。七.輪換對(duì)偶輪換對(duì)偶是指針對(duì)式子的結(jié)構(gòu)，通過(guò)輪換字母而構(gòu)造對(duì)偶式的方法。2 b2例15求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a. 1,b .1 ,都有8不等式成立。b 1 a 1證明：設(shè)

13、M -2ab -12ba1構(gòu)造對(duì)偶式Nb22 ab -1 a -1那么 M 沖/2"2a2(a b)(a - b)2-0，即 M _ Nb-1 a-1 (b-1)(a-1)2 2 2 2 2 2 證明：設(shè) M = - c，構(gòu)造對(duì)偶式： N二 一-c - aa b b cc aa b b c c a例16設(shè)a,b, c ? R，求證:松完成有關(guān)三角例17X三a b b c c a 22.2 .2 2 2 2MN -ab b cc a+abb cc aa b c又M N = 0 ,即M = N2 ,2,22abca b c-+ >oa b八.互余對(duì)偶b cc a2三角中的正弦與余弦

14、是兩個(gè)對(duì)稱元素，利用互余函數(shù)構(gòu)造對(duì)偶式，借用配對(duì)思想可以輕 題的解答。，解方程： cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = 1 2解析：假設(shè)令 M = cos 2 x cos2 2x cos 2 3x ,構(gòu)造對(duì)偶式：N = sin 2 x sin2 2x sin2 3x貝 U： M N =3M -N = cos2x cos4x cos6x = 2cosxcos3x 2cos 3x-1=2cos3x(cosx cos3x) -1 = 4cosxcos2xcos3x -1M - N = 4cos x cos2x cos3 x -11由 + 得：cosxcos2xcos3x (2M-2)，又 M =14cosxcos2xcos3x = 0?- cosx 一 0 或 cos2x 一 0 或 cos3x 一 0, x 0,2JJtTt?- x 一 一或x 一一或 x =o642例 18 求 sin 10 cos 40 sinlO cos40 的值。解析：令 M =sin 10 cos 40 sin 10 cos40構(gòu)造對(duì)偶式：N = cos 210sin2 40 - cos10 sin40 ，貝卩M N =2 sin 10 cos40cos10 si n40 = 2 sin50M - N 二-cos20 cos80 sin 10 cos40 - co