正方形中三垂直結(jié)構(gòu)

1、正方形專題一正方形中的三垂直結(jié)構(gòu)一【知識精析】1等腰直角三角形的特征： 邊、角方面的特征：兩直角邊相等，兩銳角相等都是 450 邊之間的關(guān)系：任意一邊長，可得到其它兩邊長。2、等腰直角三角形與全等三角形：以等腰直角三角形為背景的幾何問題中，常常包含全等三角形，發(fā)現(xiàn)并證明其中的全等三角形往往是解題的關(guān)鍵突破口。熟悉以下根本模型，對解決等腰直角三角形問題很有好處。1 以原等腰直角三角形的兩直角邊為對應(yīng)斜邊，必定可以構(gòu)造一對全等的直角三角形三垂直模型(1) (2) 2以原等腰直角三角形的兩直角邊為對應(yīng)直角邊，必定可以構(gòu)造一對全等的直角三角形:拓展：雙三垂直 ADMHA CBE為等腰直角三角形，F(xiàn)為A

2、B上一動點(diǎn)，假設(shè) DF丄EF那么DF=EF.2假設(shè) ADCD CBE為等腰直角三角形，F(xiàn)為AB上一動點(diǎn)，假設(shè) DF=EF那么DF丄EF.例1 如圖，在正方形 ABCD中.1假設(shè)點(diǎn)E、F分別在AB AD上，且AE=DF試判斷DE與CF的數(shù)量及位置關(guān)系，并說 明理由；2假設(shè)P、Q M N是正方形 ABCD各邊上的點(diǎn)，PQ與MN相交，且 PQ=MN問PQL MN成 立嗎？為什么？A例2.如圖，直線 MN不與正方形的邊相交且經(jīng)過正方形 MN于 N, BRL MN于 R.1求證： ADMA DCN2求證：MN=AM+CN3試猜測BR與MN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜測.ABCD的頂點(diǎn) D, AM! MN于

3、M CNL0C例3如圖，四邊形 ABCD是正方形，直線l i, 12, 13分別通過A, B, C三點(diǎn)，且l 1 / 12 / l 3,假設(shè)1 i與1 2的距離為5, 12與1 3的距離為7,那么正方形ABCD的面積等于C例4.如圖在平面直角坐標(biāo)系中正方形OABC的邊OC, OA分別在x軸正半軸上和y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B a,b在第四象限且滿足 b a 22 a 2 .1求點(diǎn)B的坐標(biāo)；2，E,F為OC,OA上的動點(diǎn)，連接 BE , CF交于M點(diǎn)，滿足/ OEF=45 °，是否存在點(diǎn)E,F，使得BE丄CF?假設(shè)存在，求出 E,F的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由；3F在線段 OA上，連 BF

4、，作OM丄BF于M , AN丄BF于N，當(dāng)F在線段 OA上運(yùn)動 時不與O、A重合，的值是否變化假設(shè)變化，求出變化的范圍；假設(shè)不變，求BN其值.EC、0J JTFA片例5如圖，直線AB交x軸正半軸于點(diǎn)Aa, 0，交y軸正半軸于點(diǎn) B0, b，且a滿足 a 4 + |4 - b|=01求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；2D為OA的中點(diǎn)，連接 BD過點(diǎn)O作OE! BD于F,交AB于E,求證/ BDOM EDA3如圖，P為x軸上A點(diǎn)右側(cè)任意一點(diǎn), 線MA交y軸于點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動時: 值；假設(shè)變化，求線段 OQ的取值范圍.以 BP為邊作等腰 Rt PBM 其中PB=PM直線段OQ的長是否發(fā)生變化？假設(shè)不變，求其

5、例題6、1如圖，在正方形 ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，BD與CE交于F點(diǎn)，求證:AF 丄 BE。2、正方形 ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，E是AB延長線上一點(diǎn)，MN丄DM且交/ CBE 的平分線于N。1求證：MD = MN ;2假設(shè)將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)改為“M是AB上任意一點(diǎn)，其余條件不變，那么結(jié)論“MD= MN還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由。第1題圖第2題圖1第2題圖2例7、如圖，正方形ABCD中，AC是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B ,直角頂點(diǎn)P在射線AC上移動，另一邊交 DC于Q.1如圖1,當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時，猜測并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)

6、系；并加以證明；2如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q落在DC的延長線上時，猜測并寫出 PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，請證 明你的猜測.例8.如圖1，四邊形ABCD為正方形，E在CD上，/ DAE的平分線交 CD于F, BG丄AF 于G ,交AE于H .1如圖 1,Z DEA=60，求證：AH=DF ;2如圖2, E是線段CD上不與C、D重合任一點(diǎn)，請問：AH與DF有何數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；3如圖3, E是線段DC延長線上一點(diǎn)，假設(shè) F是厶ADE中與/ DAE相鄰的外角平分線 與CD的交點(diǎn)，其它條件不變，請判斷 AH與DF的數(shù)量關(guān)系畫圖，直接寫出結(jié)論，不需 證明.例9.操作，將一把含45°的直三角尺放在邊長

7、為 1的正方形ABCDh，并使它的直角頂點(diǎn) P在對角線AC上滑行，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B,另一邊與射線 DC相交于點(diǎn)Q。探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x。1當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的關(guān)系？試證明你觀察得到的 結(jié)論；2當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時，設(shè)四邊形 PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。X值；如果不可能，請說明理由3當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑行時， PCQ是否可能成為等腰三角形，如果可能，指出所有能使 PCQ成為等腰三角形的點(diǎn) Q的位置，并求出相應(yīng)的題目中的圖形形狀大小都相同，供操作用課堂練習(xí)1、如圖，在正方形 ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，BD與CE交于F點(diǎn)，求證：AF丄B

8、E。2、正方形 ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，E是AB延長線上一點(diǎn)，MN丄DM且交/ CBE 的平分線于N。1求證：MD = MN ;2假設(shè)將上述條件中的 “M是AB的中點(diǎn)改為“M是AB上任意一點(diǎn)，其余條件不變，那么結(jié)論“MD= MN還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由。第1題圖第2題圖1第2題圖23、如圖，ABCD是正方形，P是對角線上的一點(diǎn)， 引PE丄BC于E, PF丄DC于F。求證:1AP = EF; 2AP 丄EF。4、如圖1，在正方形 ABCD中，E、F分別是邊 AD、DC上的點(diǎn)，且 AF丄BE.1求證：AF=BE;2如圖2,在正方形 ABCD中，M、N、P、Q分別是邊 AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且MP丄NQ . MP與NQ是否相等？并說明理由.5、如圖，正方形 ABCD的對角線 AC、BD相交于點(diǎn) 0,E是AC上一點(diǎn)，過A作AG丄EB于G , AG交BD于點(diǎn)F,那么0E = OF,對上述命題，假設(shè)點(diǎn)E在AC的延長線上，AG丄EB,“0E交EB的延長線于點(diǎn) G , AG的延長線交DB的延長線于點(diǎn)F,