【全程復(fù)習(xí)方略】2013版高考數(shù)學(xué) 8.2兩條直線的位置關(guān)系配套課件 文 北師大版

1、第二節(jié)第二節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系三年三年5 5考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直. .2.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；3.3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離行直線間的距離. .1.1.兩直線平行與垂直的判定、兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距兩直線平行與垂直的判定、兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、兩平行線間的距離公式是高考的重點(diǎn)；離公式、兩

2、平行線間的距離公式是高考的重點(diǎn)；2.2.常與圓、橢圓、雙曲線、拋物線交匯命題；常與圓、橢圓、雙曲線、拋物線交匯命題；3.3.多以選擇題和填空題為主，有時與其他知識點(diǎn)交匯，在解答多以選擇題和填空題為主，有時與其他知識點(diǎn)交匯，在解答題中考查題中考查. .1.1.兩條直線的平行與垂直的關(guān)系兩條直線的平行與垂直的關(guān)系(1)(1)直線直線l1 1、l2 2不重合，不重合，斜率分別為斜率分別為k k1 1、k k2 2且都存在且都存在l1 1l2 2l1 1l2 2k k1 1=k=k2 2k k1 1kk2 2=-1=-1(2)(2)當(dāng)直線當(dāng)直線l1 1與與l2 2的斜率至少有一個不存在時：的斜率至少有

3、一個不存在時：l1 1l2 2兩直線的斜率都不存在且在兩直線的斜率都不存在且在x x軸上的截距不等；軸上的截距不等；l1 1l2 2一直線斜率不存在，另一直線的斜率為一直線斜率不存在，另一直線的斜率為0.0.【即時應(yīng)用【即時應(yīng)用】(1)(1)已知直線已知直線l1 1過點(diǎn)過點(diǎn)A(-1,1)A(-1,1)和和B(-2,-1),B(-2,-1),直線直線l2 2過點(diǎn)過點(diǎn)C(1,0)C(1,0)和和D(0,a),D(0,a),若若l1 1l2 2, ,則則a=_a=_；(2)(2)直線直線l的傾斜角為的傾斜角為3030，若直線，若直線l1 1l，則直線，則直線l1 1的斜率的斜率k k1 1=_=_；

4、若直線；若直線l2 2l, ,則直線則直線l2 2的斜率的斜率k k2 2=_.=_.【解析【解析】(1)(1)l1 1與與l2 2的斜率分別為的斜率分別為 由由l1 1l2 2可知：可知：a=-2.a=-2.(2)(2)由直線斜率的定義知，直線由直線斜率的定義知，直線l的斜率的斜率k=tan30k=tan30= = ，l1 1l，k k1 1=k= ,=k= ,l2 2l,k,k2 2k=-1,k=-1,答案：答案：(1)-2 (2) (1)-2 (2) 1-1-1k =2-2+1，2a-0k =-a,0-133332-1k =- 3.k33- 32.2.兩條直線的交點(diǎn)兩條直線的交點(diǎn)直線直線

5、l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0與與l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組程組 的解一一對應(yīng)的解一一對應(yīng). .相交相交方程組有方程組有_，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；平行平行方程組方程組_；重合重合方程組有方程組有_._.111222A x+B y+C =0A x+B y+C =0唯一解唯一解無解無解無數(shù)組解無數(shù)組解【即時應(yīng)用【即時應(yīng)用】(1)(1)思考：如何用兩直線的交點(diǎn)判斷兩直線的位置關(guān)系？思考：如何用兩直線的交點(diǎn)判斷兩直線的位置關(guān)系？提示：提示：當(dāng)兩直線有一個交點(diǎn)時

6、，兩直線相交；沒有交點(diǎn)時，兩當(dāng)兩直線有一個交點(diǎn)時，兩直線相交；沒有交點(diǎn)時，兩直線平行；有無數(shù)個交點(diǎn)時，兩直線重合直線平行；有無數(shù)個交點(diǎn)時，兩直線重合. .(2)(2)直線直線l1 1：5x+2y-6=05x+2y-6=0與與l2 2：3x-5y-16=03x-5y-16=0的交點(diǎn)的交點(diǎn)P P的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是_._.【解析【解析】由直線由直線l1 1與與l2 2所組成的方程組所組成的方程組 得：得： 直線直線l1 1：5x+2y-6=05x+2y-6=0與與l2 2：3x-5y-16=03x-5y-16=0的交點(diǎn)的交點(diǎn)P P的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(2,-2).(2,-2).答案：答案：(2,-2)(2

7、,-2)5x+2y-6=03x-5y-16=0 x=2y=-2，(3)(3)直線直線l1 1：5x+2y-6=05x+2y-6=0與與l2 2：5x+2y-16=05x+2y-16=0的的位置關(guān)系是位置關(guān)系是_._.【解析【解析】由直線由直線l1 1與與l2 2所組成的方程組所組成的方程組 無解，無解，直線直線l1 1與與l2 2平行平行. .答案：答案：平行平行5x+2y-6=05x+2y-16=03.3.距離距離兩條平行線兩條平行線Ax+By+CAx+By+C1 1= =0 0與與Ax Ax +By+C+By+C2 2 = =0 0間的距離間的距離點(diǎn)點(diǎn)P P0 0( (x x0 0, ,y

8、 y0 0) )到直線到直線l: :AxAx +By +C = +By +C =0 0的距的距離離點(diǎn)點(diǎn)P P1 1( (x x1 1, ,y y1 1),),P P2 2( (x x2 2, ,y y2 2) )之間的距離之間的距離22122121PP(x -x ) (y -y )0022 Ax By Cd A B1222C -Cd A B【即時應(yīng)用【即時應(yīng)用】(1)(1)原點(diǎn)到直線原點(diǎn)到直線x+2y-5=0 x+2y-5=0的距離是的距離是_；(2)(2)已知已知A(a,-5)A(a,-5)，B(0,10)B(0,10)，|AB|=17|AB|=17，則，則a=_a=_；(3)(3)兩平行線

9、兩平行線y=2xy=2x與與2x-y=-52x-y=-5間的距離為間的距離為_._.【解析【解析】(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)?(2)(2)依題設(shè)及兩點(diǎn)間的距離公式得：依題設(shè)及兩點(diǎn)間的距離公式得： 解得：解得：a=a=8.8.22|0+2 0-5|d= 5.1 +222(a-0) +(-5-10) =17,(3)(3)因?yàn)閮善叫芯€方程可化為：因?yàn)閮善叫芯€方程可化為：2x-y=02x-y=0與與2x-y+5=0.2x-y+5=0.因此，兩因此，兩平行線間的距離為：平行線間的距離為：答案：答案：(1) (2)(1) (2)8 (3)8 (3)22|5-0|d= 5.2 +(-1)55 直線平行、垂直關(guān)系的

10、判斷及應(yīng)用直線平行、垂直關(guān)系的判斷及應(yīng)用【方法點(diǎn)睛【方法點(diǎn)睛】兩直線平行、垂直的判斷方法兩直線平行、垂直的判斷方法(1)(1)已知兩直線的斜率存在已知兩直線的斜率存在兩直線平行兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等；兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等；兩直線垂直兩直線垂直兩直線的斜率之積等于兩直線的斜率之積等于-1-1；(2)(2)已知兩直線的一般方程已知兩直線的一般方程可利用直線方程求出斜率，轉(zhuǎn)化為第一種方法，或利用以下方可利用直線方程求出斜率，轉(zhuǎn)化為第一種方法，或利用以下方法求解：法求解： A A1 1A A2 2+ +B B1 1B B2 2=0=0 l1與與l2 重合重合

11、 的充分條件的充分條件 l 1與與l2 相交相交 的充分條件的充分條件 l1與與l2 平行平行 的充分條件的充分條件 l1與與l2 垂直垂直 的充要條件的充要條件 l1: l2: 直線方程直線方程22111112222222A xB yC0(AB0)A xB yC0(AB0)111222222ABC(A B C0)ABC112222AB(A B0)AB111222222ABC(A B C0)ABC【例【例1 1】(1)(2012(1)(2012淮南模擬淮南模擬)“a=1”)“a=1”是是“直線直線x+yx+y=0=0和直線和直線x-x-ay=0ay=0相互垂直相互垂直”的的( )( )(A)(

12、A)充分不必要條件充分不必要條件 (B)(B)必要不充分條件必要不充分條件(C)(C)充要條件充要條件 (D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件(2)(2)已知過點(diǎn)已知過點(diǎn)A(-2,m)A(-2,m)，B(m,4)B(m,4)的直線與直線的直線與直線2x+y-1=02x+y-1=0平行，則平行，則m m的值為的值為_；(3)(3)已知四邊形已知四邊形ABCDABCD的四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是的四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,1)A(0,1)，B(1,0),B(1,0),C(3,2),D(2,3),C(3,2),D(2,3),試判斷該四邊形的形狀試判斷該四邊形的形狀. .【解題指南【解題指南

13、】(1)(1)本題關(guān)鍵是看由本題關(guān)鍵是看由a=1a=1是否能得出兩直線垂直，是否能得出兩直線垂直，由兩直線垂直是否能得出由兩直線垂直是否能得出a=1a=1；(2)(2)可根據(jù)兩直線平行，斜率相可根據(jù)兩直線平行，斜率相等，得出一個等式，解方程即可求值；等，得出一個等式，解方程即可求值；(3)(3)分別求出四條邊的分別求出四條邊的斜率及其邊長，即可判斷四邊形的形狀斜率及其邊長，即可判斷四邊形的形狀. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選C.C.當(dāng)當(dāng)a=1a=1時，直線時，直線x-ay=0 x-ay=0可化為可化為x-yx-y=0,=0,此時此時x+yx+y=0=0和直線和直線x-ay=0 x-

14、ay=0相互垂直；相互垂直；當(dāng)直線當(dāng)直線x+yx+y=0=0和直線和直線x-ay=0 x-ay=0相互垂直時，相互垂直時，1 11+11+1(-a)=0,(-a)=0,解得：解得：a=1,a=1,因此，因此，“a=1”a=1”是是“直線直線x+yx+y=0=0和直線和直線x-ay=0 x-ay=0相互垂直相互垂直”的充要的充要條件條件. .(2)(2)因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€2x+y-1=02x+y-1=0的斜率的斜率k=-2k=-2，又因?yàn)檫^又因?yàn)檫^A(-2,m)A(-2,m)，B(m,4)B(m,4)的直線與直線的直線與直線2x+y-1=02x+y-1=0平行，所以平行，所以 解得解得m=-8.m

15、=-8.答案：答案：-8-8(3)(3)因?yàn)樗倪呅蔚捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)樗倪呅蔚捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為A(0,1)A(0,1)，B(1,0),C(3,2),D(2,3),B(1,0),C(3,2),D(2,3),所以所以 ABCDABCD，BCADBCAD，且，且ABBCABBC，ABAD.ABAD.4-m=-2m+2，AB0-1k=-11-0，BCCDAD2-03-23-1k=1k=-1k=1.3-12-32-0，又因?yàn)橛忠驗(yàn)榧醇磡AB|AD|AB|AD|，所以，四邊形所以，四邊形ABCDABCD為長方形為長方形. .22|AB|= (0-1) +(1-0) = 2，22|AD|= (0-2) +(1-3)

16、=2 2，【互動探究【互動探究】本例本例(3)(3)中條件不變，試求該四邊形的四條邊所中條件不變，試求該四邊形的四條邊所在的直線方程在的直線方程. .【解析【解析】因?yàn)橐驗(yàn)锳(0,1)A(0,1)，B(1,0)B(1,0)，所以，所以ABAB邊所在的直線方程為：邊所在的直線方程為： 即即x+y-1=0;x+y-1=0;又因?yàn)橛忠驗(yàn)锽(1,0)B(1,0)，C(3,2)C(3,2)，所以，所以BCBC邊所在的直線方程為：邊所在的直線方程為： 即即x-y-1=0 x-y-1=0；同理可得：同理可得：CDCD邊所在的直線方程為：邊所在的直線方程為：x+y-5=0 x+y-5=0；ADAD邊所在的直線

17、方程為：邊所在的直線方程為：x-y+1=0.x-y+1=0.xy+=1,11y-0 x-1=2-03-1，【反思【反思感悟感悟】通過本例的解析過程可知，處理兩直線的位置通過本例的解析過程可知，處理兩直線的位置關(guān)系，在兩直線斜率都存在的前提下，利用兩直線的斜率和在關(guān)系，在兩直線斜率都存在的前提下，利用兩直線的斜率和在y y軸上的截距去處理；若直線的斜率不存在，則可考慮數(shù)形結(jié)軸上的截距去處理；若直線的斜率不存在，則可考慮數(shù)形結(jié)合合. .【變式備選【變式備選】若直線若直線l過點(diǎn)過點(diǎn)(-1,2)(-1,2)且與直線且與直線2x-3y+4=02x-3y+4=0垂直，則垂直，則直線直線l的方程為的方程為_

18、._.【解析【解析】方法一：直線方法一：直線2x-3y+4=02x-3y+4=0的斜率為的斜率為: :設(shè)所求直線的斜率為設(shè)所求直線的斜率為kk，所求直線與直線所求直線與直線2x-3y+4=02x-3y+4=0垂直，垂直，k kk k=-1,k=-1,k=所求直線方程為所求直線方程為即即:3x+2y-1=0.:3x+2y-1=0.2k=,33-.23y-2=-(x+1),2方法二：由已知方法二：由已知, ,設(shè)所求直線設(shè)所求直線l的方程為：的方程為：3x+2y+C=0.3x+2y+C=0.又又l過點(diǎn)過點(diǎn)(-1,2),3(-1,2),3(-1)+2(-1)+22+C=0,2+C=0,得得:C=-1,

19、:C=-1,所以所求直線方程為所以所求直線方程為3x+2y-1=0.3x+2y-1=0.答案：答案：3x+2y-1=03x+2y-1=0兩直線的交點(diǎn)問題兩直線的交點(diǎn)問題【方法點(diǎn)睛【方法點(diǎn)睛】1.1.兩直線交點(diǎn)的求法兩直線交點(diǎn)的求法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn)；方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn)；2.2.過直線過直線A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0與與A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0交點(diǎn)的直線系方程交點(diǎn)的直線系方程A A1 1x+Bx+B1 1y+

20、Cy+C1 1+ +(A(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0.()=0.(不包括直線不包括直線A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0)=0) 【例【例2 2】(1)(1)求經(jīng)過直線求經(jīng)過直線x+y+1=0 x+y+1=0與直線與直線x-y+3=0 x-y+3=0的交點(diǎn)，且也經(jīng)的交點(diǎn)，且也經(jīng)過點(diǎn)過點(diǎn)A(8,-4)A(8,-4)的直線方程為的直線方程為_；(2)(2)已知兩直線已知兩直線l1 1：mx+8y+n=0mx+8y+n=0與與l2 2：2x+my-1=02x+my-1=0，若，若l1 1與與l2 2相交，相交，求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)m m、n n滿足的條件滿足的條件.

21、 .【解題指南【解題指南】(1)(1)可求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式解決；可求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式解決；也可用過兩直線交點(diǎn)的直線系解決；也可用過兩直線交點(diǎn)的直線系解決；(2)(2)兩直線相交可考慮直兩直線相交可考慮直線斜率之間的關(guān)系，從而得到線斜率之間的關(guān)系，從而得到m m、n n滿足的條件滿足的條件. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)方法一：因?yàn)橹本€方法一：因?yàn)橹本€x+y+1=0 x+y+1=0與直線與直線x-y+3=0 x-y+3=0的的交點(diǎn)坐標(biāo)為交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,1)(-2,1)，直線又過，直線又過A(8,-4)A(8,-4)，所以所求直線方程，所以所求直線方程為：為： 即

22、即x+2y=0 x+2y=0；方法二：設(shè)過直線方法二：設(shè)過直線x+y+1=0 x+y+1=0與直線與直線x-y+3=0 x-y+3=0的交點(diǎn)的直線方程為的交點(diǎn)的直線方程為x+y+1+(x-y+3)=0 x+y+1+(x-y+3)=0，又因?yàn)橹本€過又因?yàn)橹本€過A(8,-4)A(8,-4)，所以，所以8-4+1+(8+4+3)=08-4+1+(8+4+3)=0，解得，解得:=:=- - 所以，所求直線方程為所以，所求直線方程為x+2y=0.x+2y=0.答案：答案：x+2y=0 x+2y=0y+4x-8=1+4-2-8，1,3(2)(2)因?yàn)閮芍本€因?yàn)閮芍本€l1 1：mx+8y+n=0mx+8y+

23、n=0與與l2 2：2x+my-1=02x+my-1=0相交，因此，當(dāng)相交，因此，當(dāng)m=0m=0時，時，l1 1的方程為的方程為 l2 2的方程為的方程為 兩直線相交，此時，兩直線相交，此時，實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)m m、n n滿足的條件為滿足的條件為m=0m=0，nRnR；當(dāng)；當(dāng)m0m0時，時，兩直線相交，兩直線相交， 解得解得mm4 4，此時，實(shí)數(shù)，此時，實(shí)數(shù)m m、n n滿足的條件為滿足的條件為mm4 4且且m0m0，nRnR, ,綜上所述綜上所述, ,實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)m,nm,n滿足的條件為滿足的條件為mm4,nR.4,nR.ny=-8，1x=2，m82m，【互動探究【互動探究】本例本例(1)(1)中的中的

24、“且也經(jīng)過點(diǎn)且也經(jīng)過點(diǎn)A(8,-4)”A(8,-4)”改為改為“與直與直線線2x-y=02x-y=0垂直垂直”, ,求該直線方程求該直線方程. .【解析【解析】方法一：因?yàn)橹本€方法一：因?yàn)橹本€x+y+1=0 x+y+1=0與直線與直線x-y+3=0 x-y+3=0的交點(diǎn)坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)為為(-2,1)(-2,1)，又所求直線與直線，又所求直線與直線2x-y=02x-y=0垂直，所以所求直線的斜垂直，所以所求直線的斜率率 因此所求直線方程為：因此所求直線方程為： 即即x+2y=0.x+2y=0.1k=-2，1y-1=-(x+2)2，方法二：設(shè)過直線方法二：設(shè)過直線x+y+1=0 x+y+1=0與直

25、線與直線x-y+3=0 x-y+3=0的交點(diǎn)的直線方程為的交點(diǎn)的直線方程為x+y+1+(x-y+3)=0 x+y+1+(x-y+3)=0，即，即(1+)x+(1-)y+1+3=0,(1+)x+(1-)y+1+3=0,又因?yàn)樗笾本€與直線又因?yàn)樗笾本€與直線2x-y=02x-y=0垂直，所以所求直線的斜率垂直，所以所求直線的斜率 即有即有解得解得: : 所以，所求直線方程為所以，所求直線方程為x+2y=0.x+2y=0.1k=-2，1+1-=-1-2，1=- ,3【反思【反思感悟感悟】1.1.本例本例(1)(1)中是求直線方程中是求直線方程, ,其關(guān)鍵是尋找確定其關(guān)鍵是尋找確定直線的兩個條件直線

26、的兩個條件, ,可以直接求交點(diǎn)可以直接求交點(diǎn), ,利用兩點(diǎn)式得出方程利用兩點(diǎn)式得出方程, ,此法此法要注意兩點(diǎn)的縱要注意兩點(diǎn)的縱( (或橫或橫) )坐標(biāo)相同時坐標(biāo)相同時, ,兩點(diǎn)式方程不適用兩點(diǎn)式方程不適用, ,也可以也可以利用直線系方程求解利用直線系方程求解, ,其關(guān)鍵是利用已知點(diǎn)求其關(guān)鍵是利用已知點(diǎn)求的值的值; ;2.2.本例本例(2)(2)考查兩直線相交的條件考查兩直線相交的條件, ,即斜率不等或有一條直線的即斜率不等或有一條直線的斜率不存在斜率不存在. .【變式備選【變式備選】當(dāng)當(dāng)m m為何值時，三條直線為何值時，三條直線l1 1：4x+y-3=04x+y-3=0與與l2 2：x+yx

27、+y=0,=0,l3 3：2x-3my-4=02x-3my-4=0能圍成一個三角形能圍成一個三角形? ?【解析【解析】三條直線能圍成三角形即三條直線兩兩相交且不共三條直線能圍成三角形即三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)，所以點(diǎn)，所以解得：解得：又因?yàn)橛忠驗(yàn)閘1 1：4x+y-3=04x+y-3=0與與l2 2：x+yx+y=0=0的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為(1,-1)(1,-1)，所以，所以2+3m-42+3m-400，解得，解得2-43m(m0)2-13m，12m-m-63且，2m3；當(dāng)當(dāng)m=0m=0時，時，l3 3:2x-4=0,:2x-4=0,l1 1:4x+y-3=0,:4x+y-3=0,l2 2:x+y

28、=0,:x+y=0,l1 1與與l3 3的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為(2,-5)(2,-5)，l1 1與與l2 2的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為(1,-1),(1,-1),l2 2與與l3 3的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為(2,-2)(2,-2)，能構(gòu)成三角形，符合題意，能構(gòu)成三角形，符合題意. .綜上可知：綜上可知：122m-,m-m.633且距離公式的應(yīng)用距離公式的應(yīng)用【方法點(diǎn)睛【方法點(diǎn)睛】1.1.兩點(diǎn)間的距離的求法兩點(diǎn)間的距離的求法設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A(xA(xA A,y,yA A),B(x),B(xB B,y,yB B) )，特例：特例：ABxABx軸時，軸時，|AB|=|y|AB|=|yA A-y-yB B|;|;AByABy軸時，

29、軸時，|AB|=|x|AB|=|xA A-x-xB B|.|.22ABAB|AB|= (x -x ) +(y -y ) .2.2.點(diǎn)到直線的距離的求法點(diǎn)到直線的距離的求法可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式必須為一般式. .3.3.兩平行直線間的距離的求法兩平行直線間的距離的求法(1)(1)利用利用“化歸化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離任意一點(diǎn)到另一條直線的距離. .(2)(2)利用兩平行線間的距離公式利用兩平行線間的距離公式. .【提

30、醒【提醒】應(yīng)用兩平行線間的距離公式求距離時應(yīng)用兩平行線間的距離公式求距離時, ,要注意兩平行要注意兩平行直線方程中直線方程中x x、y y的系數(shù)必須相等的系數(shù)必須相等. . 【例【例3 3】已知點(diǎn)】已知點(diǎn)A(2A(2，-1)-1)，(1)(1)求過點(diǎn)求過點(diǎn)A A且與原點(diǎn)距離為且與原點(diǎn)距離為2 2的直線的直線l的方程；的方程；(2)(2)求過點(diǎn)求過點(diǎn)A A且與原點(diǎn)距離最大的直線且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多的方程，最大距離是多少？少？(3)(3)是否存在過點(diǎn)是否存在過點(diǎn)A A且與原點(diǎn)距離為且與原點(diǎn)距離為6 6的直線？若存在，求出方的直線？若存在，求出方程；若不存在程；若不存在. .

31、請說明理由請說明理由. .【解題指南【解題指南】(1)(1)因?yàn)橐阎本€過點(diǎn)因?yàn)橐阎本€過點(diǎn)A A，因此可選擇點(diǎn)斜式方程，因此可選擇點(diǎn)斜式方程，利用到原點(diǎn)的距離為利用到原點(diǎn)的距離為2 2列方程，解方程即可，但要注意對斜率列方程，解方程即可，但要注意對斜率不存在的討論；不存在的討論；(2)(2)易知最大距離時的直線與易知最大距離時的直線與AOAO垂直，這樣問垂直，這樣問題即可解決；題即可解決；(3)(3)可由可由(2)(2)知道距離的最大值，從而得出直線是知道距離的最大值，從而得出直線是否存在否存在. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)過點(diǎn)過點(diǎn)A A的直線的直線l與原點(diǎn)距離為與原點(diǎn)距離為2 2

32、，而點(diǎn)，而點(diǎn)A A的坐標(biāo)的坐標(biāo)為為(2,-1).(2,-1).當(dāng)斜率不存在時，直線當(dāng)斜率不存在時，直線l的方程為的方程為x=2x=2，此時，原點(diǎn)到直線，此時，原點(diǎn)到直線l的距的距離為離為2 2，符合題意；，符合題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l的方程為的方程為y+1=k(x-2)y+1=k(x-2)，即，即kx-y-2k-1=0kx-y-2k-1=0，由已知得，由已知得 解得解得 此時直線此時直線l的方程為的方程為3x-4y-10=0,3x-4y-10=0,綜上可知：直線綜上可知：直線l的方程為的方程為x=2x=2或或3x-4y-10=0.3x-4y-10=0.2|-2k-1|=

33、2,k +13k=4，(2)(2)過點(diǎn)過點(diǎn)A A與原點(diǎn)與原點(diǎn)O O距離最大的直線是過點(diǎn)距離最大的直線是過點(diǎn)A A與與AOAO垂直的直線，由垂直的直線，由lAOAO，得，得k klk kOAOA=-1=-1，所以，所以 由直線的點(diǎn)斜式得由直線的點(diǎn)斜式得y+1=y+1=2(x-2)2(x-2)，即，即2x-y-5=02x-y-5=0，即直線，即直線2x-y-5=02x-y-5=0是過點(diǎn)是過點(diǎn)A A且與原點(diǎn)距離且與原點(diǎn)距離最大的直線最大的直線l的方程，最大距離是的方程，最大距離是 (3)(3)由由(2)(2)可知，過點(diǎn)可知，過點(diǎn)A A不存在到原點(diǎn)距離超過不存在到原點(diǎn)距離超過 的直線，因此的直線，因此

34、不存在過點(diǎn)不存在過點(diǎn)A A且與原點(diǎn)距離為且與原點(diǎn)距離為6 6的直線的直線. .OA1k =-=2kl，|-5|= 5.55【反思【反思感悟感悟】1.1.在解答本題時，直線斜率存在時在解答本題時，直線斜率存在時, ,根據(jù)題設(shè)根據(jù)題設(shè)條件，由點(diǎn)到直線的距離公式得關(guān)于斜率的方程，同時注意討條件，由點(diǎn)到直線的距離公式得關(guān)于斜率的方程，同時注意討論斜率不存在的情況；論斜率不存在的情況；2.2.求距離的最值時，除了考慮距離公式求距離的最值時，除了考慮距離公式所要求的條件，以防漏解、錯解外，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的所要求的條件，以防漏解、錯解外，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用應(yīng)用. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知已

35、知A(4,-3),B(2,-1)A(4,-3),B(2,-1)和直線和直線l:4x+3y-2=0:4x+3y-2=0，在坐，在坐標(biāo)平面內(nèi)求一點(diǎn)標(biāo)平面內(nèi)求一點(diǎn)P P，使，使PAPA=|PB|=|PB|，且點(diǎn)，且點(diǎn)P P到直線到直線l的距離為的距離為2.2.【解析【解析】設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(a,b(a,b).).A(4A(4，-3)-3)，B(2,-1)B(2,-1)，線段線段ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3(3，-2)-2)，線段線段ABAB的垂直平分線方程為的垂直平分線方程為y+2=x-3,y+2=x-3,即即x-y-5=0.x-y-5=0.由題意知點(diǎn)由題意知點(diǎn)P(a

36、,bP(a,b) )在上述直線上，在上述直線上，a-b-5=0.a-b-5=0.又點(diǎn)又點(diǎn)P(a,bP(a,b) )到直線到直線l：4x+3y-2=04x+3y-2=0的距離為的距離為2 2， 即即4a+3b-2=4a+3b-2=10,10,聯(lián)立聯(lián)立可得可得 或或所求點(diǎn)所求點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1(1，-4)-4)或或|4a+3b-2|=2,5a=1b=-427a=7.8b=-7278(,-).77【變式備選【變式備選】過點(diǎn)過點(diǎn)P(-1,2)P(-1,2)引一直線，兩點(diǎn)引一直線，兩點(diǎn)A(2,3)A(2,3)，B(-4,5)B(-4,5)到到該直線的距離相等，求這條直線的方程該直線的距離相等，

37、求這條直線的方程. .【解析【解析】方法一：當(dāng)斜率不存在時，過點(diǎn)方法一：當(dāng)斜率不存在時，過點(diǎn)P(-1,2)P(-1,2)的直線方程的直線方程為：為：x=-1x=-1，A(2,3)A(2,3)到到x=-1x=-1的距離等于的距離等于3 3，且，且B(-4,5)B(-4,5)到到x=-1x=-1的距的距離也等于離也等于3 3，符合題意；，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)斜率為當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)斜率為k k，過點(diǎn)，過點(diǎn)P(-1,2)P(-1,2)的直線方程為：的直線方程為：y-2=k(x+1)y-2=k(x+1)，即，即kx-y+k+2=0kx-y+k+2=0，依題設(shè)知：依題設(shè)知：22|2k-3

38、+k+2|-4k-5+k+2|=,k +1k +1解上式得：解上式得：所以，所求直線方程為：所以，所求直線方程為：x+3y-5=0 x+3y-5=0；綜上可知綜上可知, ,所求直線方程為所求直線方程為x=-1x=-1或或x+3y-5=0.x+3y-5=0.方法二：依題設(shè)知：符合題意的直線共有兩條，一條是過點(diǎn)方法二：依題設(shè)知：符合題意的直線共有兩條，一條是過點(diǎn)P(-1,2)P(-1,2)與與ABAB平行的直線，另一條是過點(diǎn)平行的直線，另一條是過點(diǎn)P P及及ABAB中點(diǎn)的直線中點(diǎn)的直線. .因?yàn)橐驗(yàn)锳(2,3)A(2,3)，B(-4,5)B(-4,5)，所以，所以1k=-3，AB3-51k=-2+

39、43，因此，過點(diǎn)因此，過點(diǎn)P P與與ABAB平行的直線的方程為：平行的直線的方程為：即即x+3y-5=0;x+3y-5=0;又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳(2,3)A(2,3)，B(-4,5)B(-4,5)的中點(diǎn)坐標(biāo)的中點(diǎn)坐標(biāo)D(-1,4)D(-1,4)，所以過點(diǎn)所以過點(diǎn)P P及及ABAB中點(diǎn)的直線方程為中點(diǎn)的直線方程為x=-1x=-1；綜上可知綜上可知, ,所求直線方程為所求直線方程為x=-1x=-1或或x+3y-5=0.x+3y-5=0.1y-2=- (x+1),3對稱問題對稱問題【方法點(diǎn)睛【方法點(diǎn)睛】1.1.對稱中心的求法對稱中心的求法若兩點(diǎn)若兩點(diǎn)A(xA(x1 1,y,y1 1) )、B(xB(x2

40、2,y,y2 2) )關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P(a,bP(a,b) )對稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)對稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得公式求得a a、b b的值，即的值，即2.2.軸對稱的兩個公式軸對稱的兩個公式若兩點(diǎn)若兩點(diǎn)M(xM(x1 1,y,y1 1) )、N(xN(x2 2,y,y2 2) )關(guān)于直線關(guān)于直線l：Ax+By+CAx+By+C=0(A0)=0(A0)對稱，對稱，則線段則線段MNMN的中點(diǎn)在對稱軸的中點(diǎn)在對稱軸l上，而且連接上，而且連接MNMN的直線垂直于對稱軸的直線垂直于對稱軸l. .1212x +xy +ya=b=22，；故有故有3.3.對稱問題的類型對稱問題的類型(1)(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱；點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)

41、對稱；(2)(2)點(diǎn)關(guān)于直線對稱；點(diǎn)關(guān)于直線對稱；(3)(3)直線直線 關(guān)于點(diǎn)對稱；關(guān)于點(diǎn)對稱；(4)(4)直線關(guān)于直線對稱直線關(guān)于直線對稱. .以上各種對稱問題最終化歸為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱、點(diǎn)關(guān)于直線對稱以上各種對稱問題最終化歸為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱、點(diǎn)關(guān)于直線對稱. 12121212x +xy +yA()+B()+C=0 22.y -yB=x -xA 【例【例4 4】已知直線】已知直線l：2x-3y+1=02x-3y+1=0，點(diǎn)，點(diǎn)A(-1,-2).A(-1,-2).求：求：(1)(1)點(diǎn)點(diǎn)A A關(guān)于直線關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)AA的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)(2)直線直線l關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A A的對稱直線的對

42、稱直線l的方程的方程. .【解題指南【解題指南】(1)(1)可設(shè)對稱點(diǎn)可設(shè)對稱點(diǎn)AA的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(m,n(m,n) )，利用，利用AAAA與與直線直線l垂直以及線段垂直以及線段AAAA的中點(diǎn)在直線的中點(diǎn)在直線l上，得出關(guān)于上，得出關(guān)于m m、n n的方的方程組，解方程組即可得程組，解方程組即可得AA的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)(2)本題實(shí)質(zhì)上是求直線的方程，可想法找到兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，本題實(shí)質(zhì)上是求直線的方程，可想法找到兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線即可求出直線l的方程的方程. .也可在也可在l上任取一點(diǎn)，利用該點(diǎn)關(guān)于上任取一點(diǎn)，利用該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)A A的對稱點(diǎn)在直線的對稱點(diǎn)在直線l上即可得出方程上即可得

43、出方程. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)設(shè)對稱點(diǎn)設(shè)對稱點(diǎn)AA的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(m,n(m,n) )，由已知可得，由已知可得解得解得 即即 n+22=-1m+13m-1n-22-3+1=022，33m=134n=13，33 4A(,).13 13 (2)(2)方法一：在方法一：在l上任取兩點(diǎn)上任取兩點(diǎn)(1,1)(1,1)與與(0, )(0, )，則它們關(guān)于點(diǎn)，則它們關(guān)于點(diǎn)A(-1A(-1，-2)-2)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5)(-3,-5)與與l的方程為的方程為: : 化簡得化簡得2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.方法二方法二: :設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(x,yP(x,y) )為

44、為l上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P P關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A A的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)為為P(-2-x,-4-y)P(-2-x,-4-y)，又因?yàn)?，又因?yàn)镻P在直線在直線l上，所以，上，所以，2(-2-x)-2(-2-x)-3(-4-y)+1=03(-4-y)+1=0，即即2x-3y-9=0. 2x-3y-9=0. 1313(-2,-)3y+5x+3=,13-2+3+53【反思【反思感悟感悟】1.1.此題是點(diǎn)關(guān)于線對稱，線關(guān)于點(diǎn)對稱，這類此題是點(diǎn)關(guān)于線對稱，線關(guān)于點(diǎn)對稱，這類問題都要抓住對稱的特征解決問題問題都要抓住對稱的特征解決問題. .2.(1)2.(1)利用方程思想利用方程思想;(2);(2)利用

45、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，找到已知點(diǎn)與未利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，找到已知點(diǎn)與未知點(diǎn)之間的關(guān)系，最后利用曲線方程的概念代入求解知點(diǎn)之間的關(guān)系，最后利用曲線方程的概念代入求解. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】求直線求直線m m：3x-2y-6=03x-2y-6=0關(guān)于直線關(guān)于直線l：2x-3y+1=02x-3y+1=0對稱對稱的直線的直線mm的方程的方程. .【解析【解析】由由 解得解得m m與與l的交點(diǎn)的交點(diǎn)E(4,3)E(4,3)，E E點(diǎn)也在直線點(diǎn)也在直線mm上上. .在直線在直線m m：3x-2y-6=03x-2y-6=0上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)A(2,0)A(2,0)，設(shè)，設(shè)A A點(diǎn)關(guān)于直線點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱的對稱點(diǎn)點(diǎn)

46、B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 (a,b(a,b) )，則，則3x-2y-6=02x-3y+1=0， 由由 解得解得由兩點(diǎn)式得直線由兩點(diǎn)式得直線mm的方程為的方程為即即9x-46y+102=0.9x-46y+102=0.b-02=-1a-23a+2b+02 ()-3 ()+1=022，6 30B(,). 13 13y-3x-4=,306-3-41313【創(chuàng)新探究【創(chuàng)新探究】新定義下的直線方程問題新定義下的直線方程問題 【典例】【典例】(2012(2012上海模擬上海模擬) )在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P(x,yP(x,y) )，定義定義OP=|x|+|yOP=|x|+|y| |，

47、其中，其中O O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn). .對于以下結(jié)論：對于以下結(jié)論：符合符合OP=1OP=1的點(diǎn)的點(diǎn)P P的軌跡圍成的圖形的面積為的軌跡圍成的圖形的面積為2 2；設(shè)設(shè)P P為直線為直線 上任意一點(diǎn)，則上任意一點(diǎn)，則OPOP的最小值為的最小值為1 1；其中正確的結(jié)論有其中正確的結(jié)論有_(_(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號號) .) .5x+2y-2=0【解題指南【解題指南】根據(jù)新定義，討論根據(jù)新定義，討論x x的取值，得到的取值，得到y(tǒng) y與與x x的分段的分段函數(shù)關(guān)系式，畫出分段函數(shù)的圖像，即可求出該圖形的面積；函數(shù)關(guān)系式，畫出分段函數(shù)的圖像，即可求出該圖形的面積

48、；認(rèn)真觀察直線方程，可舉一個反例，得到認(rèn)真觀察直線方程，可舉一個反例，得到OPOP的最小值為的最小值為1 1是假命題是假命題. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】由由OP=1OP=1，根據(jù)新定義得：，根據(jù)新定義得：|x|+|y|x|+|y|=1,|=1,上式可化為：上式可化為：y=-x+1(0 x1)y=-x+1(0 x1)，y=-x-1(-1xy=-x-1(-1x0)0)，y=x+1(-1x0)y=x+1(-1x0)，y=x-1(0 x1),y=x-1(0 x1),畫出圖像如圖所示：畫出圖像如圖所示：根據(jù)圖形得到：四邊形根據(jù)圖形得到：四邊形ABCDABCD為邊長是為邊長是 的正方形，所以面積的正方形，所以面積等于等于2 2，故，故正確；正確；當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P為為 時，時，OP=|x|+|yOP=|x|+|y|= +0|= +01,1,所以所以O(shè)POP的最的最小值不為小值不為1 1，故，故錯誤；錯誤；所以正確的結(jié)論有：所以正確的結(jié)論有：. .答案：答案：22(0)5，2