線性代數(shù)總復(fù)習(xí)教案

1、2008-2009-2線性代數(shù)A總復(fù)習(xí)試卷題型及分?jǐn)?shù)分配大致：選擇題20分，填空題20分，計(jì)算題54分，證明題6分II重要例題、習(xí)題：第一章例題：P3例2;P5例4;P12例7;P13例9;P18例7(另解)；P21例J13;+,P22例14;習(xí)_第二章例題：目35例4、例5;P39例7;P40例8;P41例9;P44例10、11、12、習(xí)1"第三章例題：P64(|2；>653;P68tJ6;P73lj10;375南(行彳2.習(xí)P79:1(3,4),4(1),5(1),6.10(3),13(2),14,17第四章例題：P84例1;P85例2;P88例5;P88例6;P93例11

2、;P97例12;P10116；P103例18-21；P106例;習(xí)題：P106:1,2,4,9,12(2),(1),26(2),27,28,34,第五章例題：P114例2;P115例3;P118-120例5、例6、例7、例8、例9;P125例12;P126例13;P130例14;P131例15;例16;P133例17.習(xí)題：P134:2(1),3(1),6(1),12,13,19(1),20,21,22,28，31(1),33.Ill.基本內(nèi)容第一章行列式1例：計(jì)算下列各題：N(41253)；確定行歹IJ式中項(xiàng)84282183483的符旦(3)計(jì)算(=-7), (4)計(jì)算 D101213010

3、134211(D=31)22行列式的性質(zhì)及按第i行(列)注展開:ai2A23inAn意：anAjiai2Aj2ainAjn0(ij)3.克萊姆法則：AX=b當(dāng)DAO時(shí),XjDj/D(j1,2,n)AX=O有非零解DO。例：當(dāng)k為何值時(shí)，方程組xk)xyz(k)yzy(k)z00有非零解。:D(2k)(k1)2二k=2或第二章矩陣及其運(yùn)算521矩陣的簡(jiǎn)單運(yùn)算及性質(zhì)：例：設(shè)A34,B，求AB,BA注意(1)一舟殳地'ABBA,(2)AC=BC不一定有A=B(3)(AB)T(4)A為對(duì)稱矩陣(7)|ab|AB2逆矩陣4A為可逆|A|。且A1|A|*A.例:求A2的逆矩陣1例：解方程：AX=B

4、,A,B0(A111-12第三章矩陣的初等變換與線性方程組1行階梯形矩陣、行最簡(jiǎn)形矩陣、標(biāo)準(zhǔn)形2123例:化矩陣A4135為行最簡(jiǎn)形20122初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嘐經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣3解矩陣方程AXB)(E,A1B)特別地，當(dāng)B=E時(shí)(A,E)(E,A1)02例設(shè)A2,B，試求解方程00.Xr1解：由(代B)o04求矩陣的秩若AB,則R(A)R(B)例:求矩陣AI221523151114的秩28第四章向量組的線性相關(guān)性1向量的線性組合b是ai,a2,am的線性表示bk?a2gamXiaiX2a2XmQmb有華R(a'32,am)R(8(82,3m,b)2向量組的線性表示(A,a2

5、,am)及B(db,bj)B能由A線性表示（B中每個(gè)向量都能由A組向量線性表示）B=AKR(A)=R(AB)即R(am,am)只佝玄,"®3A、B兩向量組等價(jià)A,B能相互線性表示R(A)=R(B)=R(A,B)(只有零解)R(ai,a2, ,am)注意：a,a2, ,am線性相關(guān)4向量組朗例,枷線性相關(guān)(線性無關(guān))方程組xiaix2a2XmamO有非零解mR(ai,a2,am)m其中至少有一向量是其余向量的線性組合例：已知b=(k,3,2)T，i(2,-1,3)T，2(321V，問k為和值時(shí)b,12線性向關(guān),并用2線性表示b。解：由行列式為0得k=5，令2xi 3X25&#

6、171;2 2 卜得 X1 2x233xi20 1/7由 Ab1 11/700例：設(shè)己聲的線性無關(guān)證：令，證 明：xibiX2b2 xsbs。，貝lj : 保X1 2X3匕，a2,a3線性無關(guān) m qx2 3x3得 X1(1/7)CX2(11/7 )cbi ai a2,b292a3,b32ai 3a3也線性無關(guān)2X3 )ai (xi X2)a20xj00- X2 00*30(2x23X3 )a3 Q»,b2,b3也線性無關(guān)向量組B 002, ,am,am 1線性相關(guān);反(2)當(dāng) r(A)有無窮多組解(自由變量數(shù)為n-r)， 其通解為結(jié)論(定理5)向量組A:朗聲,am線性相關(guān)之向量組B

7、線性無關(guān)向量組A線性無關(guān)(2)當(dāng)向量維數(shù)n<m時(shí)，向量組一定線性相關(guān)；特別地：n+1個(gè)n維向量線性相關(guān)(3)若Aa,a2,am線性無關(guān)，而Ba,a,am,b線性相關(guān)，則b可由向量組A線性表示，且表示法唯一5 向量組A的最大線性無關(guān)組Ao:向量組Ao：a,a2,線性無關(guān)，(2)A中而任意r1個(gè)向量都線性相關(guān)注意：A的最大線性無關(guān)組有多個(gè)，但每個(gè)最大線性無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等例：i(i,i,2,4)T,2(0,3,i,2)T,3(i,i,2,0)T,4(i,7Q8)T,求該組向量的一個(gè)最大無關(guān)組，并用該最大無關(guān)組表示其余向量1001解(I,2,3,4)0102I,2,3是一個(gè)最大無關(guān)組，且0

8、01200006 -齊次線性方程組：AX=O當(dāng)r(A)n時(shí)，有唯一解：零解；Xki1k22knrnr淇中S。：1,2,nr一個(gè)基礎(chǔ)解系7 .線性方程組Axb有解R(Ab)R(A)當(dāng)R(Ab)R(A)n時(shí)有唯一解；當(dāng)R(Ab)R(A)rn時(shí)有無窮多組解。(自由變量個(gè)數(shù)為n-r)其通解為：X*C11+C22+-+nrnr(X一個(gè)特解)例：用基礎(chǔ)解系表示如下非齊次線性方程組的通解：X2" 內(nèi)積、范數(shù)及正交的有關(guān)概念。1.施密特正交化 TT例：試用施密特正父化將ai0,1,1 821,1,0 83,1,0,1規(guī)范正父化(bO,1,1T,b2 I 2,1, 1 f 1 1，I,可然后單位化即可

9、) . A為正交矩陣ATAE(即AAT),二方陣的特征值與特征向量1、AXX(AE)X0,則稱 為A的特征值，X為A的特征向量2 .特征值的性質(zhì)：(1)12 n an a 22 ann，(2) 1 2 n A ,特征向量的求法：(1)| 0(2)由(A iE)x 0得非零解X P，則P就是A的與i對(duì)應(yīng)的特征向量4.有關(guān)性質(zhì)：(1)設(shè)是A的特征值，則2是A2的特征值，1/是A1的特征值(2 )若“，m 互不相等，則對(duì)應(yīng)的特征向量Pl,P2, Pm線性無關(guān)三相似1、B、A 相似 PAP B，2、若A與B相似，則A與B有相同的特征多項(xiàng)式和特征值3、若A與 g9(*2,小)相似，貝”2一是人的11個(gè)特

10、征值X4TTT3X1X23X34X44(5/4,1/4,0,0G3/2,3/2,1,0C23/4,7/4,0,1)x-i5X29X38X408向量空間的有關(guān)概念(1)向量集構(gòu)成向量空間的條件，會(huì)判斷給出的向量集是否為向量空間(2)會(huì)判斷給出的向量組是否為一個(gè)基，并能由基來表示給出的向量101例：設(shè)A佝包鳳)112,驗(yàn)證ai,a2,a3是R3的一個(gè)基122第五章相似矩伸和二次型4、A與對(duì)角陣相似的充要條件為A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量5、若A有n個(gè)不相等的特征值，則A與對(duì)角陣相似四.對(duì)稱矩陣的對(duì)角化1'對(duì)稱陣的特征值為實(shí)數(shù)2、12是對(duì)稱陣A的特征值，貝U對(duì)應(yīng)的特征向量Pl與P2正交3、設(shè)A

11、對(duì)稱陣，則有正交陣P,使P1APPTAPdiag(1,2,L,n)4、設(shè)人是對(duì)稱陣A的k重特征根，而入恰有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量5、對(duì)稱陣對(duì)角化的一般步驟：m求出A的全部特征值i及重?cái)?shù)k(2) 求出與i對(duì)應(yīng)的K個(gè)線性無關(guān)的特征向量，并將特征向量正交化單位化(3) 將這n個(gè)兩兩正交的單位向量構(gòu)成正交矩陣P,則有P1APpTAP1例：0的特征值與特征向量，0解：3)(1)2=0得I3,2解方程(A3E)x3E得基礎(chǔ)解系：.與應(yīng)的所有特征向量為1解方程(AE)x1對(duì)應(yīng)的所有特征向量為PC22c3五.二次型：f&,X2,Xn)AX如：寫出與f（x,y,z）2y23z26xy2xzyz對(duì)應(yīng)的矩陣

12、（A201/201/2)31 .標(biāo)準(zhǔn)形：f皿xPy（正交）2 .二次型fk2Y22knYn2例：已知二次型f（X1,X2,11,1,12解:將T1,150,3正交化得:22y22(nvn12”n是A的特征值）xTAx的特征值為11.0.1T，試求TF布群檢23QIJ2ioiTJL1,0,125,231，特征向量為py將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形1,33,1,212然后單位化得p131Jp21T2no，p33.1.2令P(RR,p3)1/,31/,21/,31/-21/,303/,141/,14，貝U：P1APPTAP2/.1450001000122y2 ys例:化二次型 f2x1X2 2x1X32x2X

13、3為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的變換矩陣作正交變換xPy得fxTAx6用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形7正定二次型A為正定f（x）xTAx0，(x0）正慣性指數(shù)為n特征值全為正順序主子式全為正歷年試卷一.填空題（每小題4分，共20分）32E必有特征侑1 兩個(gè)矩陣既可相加，又可相乘的充要條件是_2 .設(shè)A是n階可逆矩陣，為A的一個(gè)特征值，則A（A是A的伴隨矩陣）3 .設(shè)齊次線性方程組AX=O（其中A（aj）mn）有惟一解，則時(shí)，對(duì)任意m維列向量b,非齊次線性方程組AX=b都有惟解145Xi4.設(shè) f X1X2X3X1X2X3 0 12 X2 ，寫出二次型的矩陣15.設(shè)向量a2,b3103X332,矩陣AabT，則

14、篁1二選擇題（每小題4分，共20分）1.設(shè)VXX!,X2,X3X(X2X30,且Xl,X2,X3R，貝U（A）V是1維向量空間；（C）V是3維向量空間；(B)(D)V是2維向量空間;V不是向量空間2.設(shè)A，B為n階方陣，滿足AB=O,則(B) A+B=O;(A)A=B=O;3（C） A o；4.（10分）求解非齊次線性方程絹3.設(shè)3階矩陣AX1X2X30）A40/3X1X22X3X4§X52X&娥*6x5均為3維2晌量，且A3,B5,則5X13X24X33X4x51235（1。條）忌知R中的兩個(gè)基為31及b©3,10/2,1,1T034,a3到基八也力3的過渡矩陣P

15、.（C）54.設(shè)A是3階矩陣，且AE（14分）求一個(gè)正交圖（A）3;（B）4;5.設(shè)有向量組A2E十22s，則1，2,Jm及（n）1,2,（A）若（I）線性相關(guān)，則（B）若（口）線性相關(guān)，則©若（i）雕知?jiǎng)t）（n）線性無關(guān)，三.解答題（在3會(huì)）線性相關(guān)；線性相關(guān)；線性無關(guān)；也未必線性無關(guān)1.（8分）0。，求AI及2.（8分）設(shè)n階方陣A滿足A22A3E0,證明A及A+4E均可逆，并分別求出其逆矩陣3.（6分）1已知A四、（4分）證明題無關(guān).x=Py,設(shè)21e22324線性無關(guān)，令0a1a2.b233,bsa3a4R4，貝ybnb2,b3,b4線性歷年試卷（參考答、填空題（每小題共20

16、分）1 .同階方陣.2.3/A-23. R ( / =R (A, b) = m1 24.213 15.3212 6 410 °。963二、選擇題（每小題4分，共20分）4分6分1旦2._D3.C三、解答題（共56分）1. (8分)Ai解：設(shè)A0A200，A3解得Ai1AsA?所以A12. (8分)2解：由A2A3E0A(A2E)3E所以A - A 2Eo3由 A2 2A 3E 0，得(A 4E)(A 2E) 5E9所以A4E3.（6分）解：A|A|A1得A1-A2Es111A|A|解得A14分IA|所以（A*）16分4.（10分）解（Ab）111131210212534310173二

17、a初等等016230011200121202r213232與原方程組同解的方程組為X12X5X2X3X43X5292（X3,X3Xs是自由未知量）23令X3X4Xs。彳導(dǎo)%10，X21,與導(dǎo)出方程組同解的方程組為923（金一,0,0,0）16分22Xx 2x5(Xx,X4,XX4 3X55是自由未知量）xi21X2-Xx201X，220,X22,X2令X1,X40,X5。得X13令X30,X41,X5°，得X1令x0,X40,X5L得X故原方程組的通解為11(1,-A,1,0,0)T222，I,2(0,10,1,0)T,3(2,-3,0,0,1)T9分*ki92232ki0005.(10分)解：A=(1.2k22k33120112k201100023kx05(ki5k2,kx01R)10分B=(1,2,x)=P=A-iB(A,B)(E,A"B),求得P=A-21-1130 1-14分B12151141分