線性代數(shù)試題庫(矩陣)

1、1.對任意n階方陣A,B總有A.ABBAB.ABBAC.(AB)TATBTD.(AB)2A2B2答案：B解:AXEA2X (A E)X A2 EABBAA|B2.在下列矩陣中，可逆的是（000A.0100011 10C.0111 21答案：D3.設A是3階方陣，且AA.-2C.1答案：B1114.設矩陣A121231A.2C.0答案：B提示：顯然第三行是第一行和)1 10B.2200011 00D.1111 012,則A1()B.12D.2的秩為2,則（）B.1D.-15.設A101020,矩陣X滿足方程AXEA2X,求矩陣X.答案：X101001A020AE010顯然A E可逆，所以:101

2、100(AE)1(AE)XX(AE)1(A2E)_1_(AE)(AE)(AE)AE6.求下列矩陣的秩0111202220A0111111011答案：3147.設矩陣P,D110,矩陣A由矩陣方程2P 1AP D確定，試求A5.1A 1A答案511/3127/3127/331/3P1APDAPDP又因為A 1A5PD5P1所以：A5 PD5P 11/34/ 31/31/3,D51 00 32141 01/3.110 32 4/31/31/3511/3 127/3127/331/38.設矩陣A可逆，證明（A*）1A1A. *證明：因為AAA*A A E ,矩陣A可逆，所以A 0AA*AA.一*所以

3、：（A）9若人是（），則A必為方陣.A.分塊矩陣C.轉(zhuǎn)置矩陣 答案：BC.D.AA*答案：A11若（），則 A: BA. A BB.秩口）=秩（8）C. A與B有相同的特征多項式D. n階矩陣A與B有相同的特征值，且 n個特征值各不相同 答案：B112.設 A 2 ，則 AAT 3123答案：24636913.設m n矩陣A,且秩（A）r, D為A的一個r 1階子式，則DB.可逆矩陣D.線性方程組的系數(shù)矩陣10.設n階方陣A,且A0,則（A*）1（）.B.答案：014已知P1AP答案：12031，一15 .已知X,求矩陣X。12031X1 1011101“一20上、解：矩陣可逆，所以由3/2

4、1/23/21/2111/2031X1/210116 .若對稱矩陣A為非奇異矩陣，則A1也是對稱矩陣證明：因為矩陣A為非奇異矩陣，所以AA1A1AE(AA1)T(A1A)TET,即：(A1)TATAT(A1)TE因為矩陣A為對稱矩陣，所以AA,則有：(A1)TAA(A1)TE所以：(A1)TA1,即A1也是對稱矩陣.。17 .設A是mn矩陣，B是sn矩陣，C是ms矩陣，則下列運算有意義的是(A.ABB.BCC.ABTD.ACT答案：C18 .設A,B均為n階可逆矩陣，則下列各式中不正確的是()A. (A B)T AT BT_11_B. (A B) A B1_ 11C. (AB) B AD. (

5、AB)T BTAT答案：B19 .設A為n階矩陣，秩(A)n1,則秩(A)()B.1D. nA.0C.n1答案：A因為A是由矩陣A的代數(shù) 余子式組成，但是秩(A) n 1,所以其代數(shù)余子式全部為0,.一 *所以：A 010120矩陣A 023000A.1C.3答案：321.設A為2階方陣，且A答案：204的秩為()5B.2D.41 -一,則 2A222.設A是3階矩陣，秩A=2,則分塊矩陣A A的秩為23.設矩陣A2 2 1110,求矩陣B ,使A 2B AB1 2 3解：由A 2BAB得：(A 2E)B A, A 2E021110,121(A 2E,A)021211 0 112110 302

6、0 21212 45302所以：B21224524.設三階方陣 A的行列式det(A)3,則A的伴隨矩陣A的行列式det(A )答案：9提示：det(A*)det(A)31ab25.設a，且det(A)adbc0,則Aad bc，C (2, 1),則(A B)CT0 3答案11 1 1 0且滿足XA B ,求X2 1 1cd答案：db27. (5 分)設 Aca解:XAA可逆1BA11/31/34/32/31/31/31/35/64/31/31/34/3所以:BA2/31/31/31/35/64/328.設矩陣A(A1)2*ABA1A其中，A一*A為A的伴隨矩陣.計算det(C)解:A(A1)

7、2*ABA1AE AB10顯然:det(C)29.A, B是兩個n階方陣,若AB0則必有(B.A.D.C.答案:30.若A,B都是方陣，且 A 2, BA. -2C.12答案：CD.B. 2131.矩陣一的伴隨矩陣A4A.34B.2D.4C.3答案：C32.設4矩陣,若矩陣A的秩為2,則矩陣3AT的秩等于（B.D.A.1C.3答案:33.設A為4階矩陣,A3,則答案：334.設A則A5答案：3235.設A答案:36.答案:14提示：用分塊對角矩陣做。1-00337.設 A1i0_0,求滿足關(guān)系式ABA6ABA的3階矩陣B410072A1BA6ABA(A1E)BA6AB6(A1E)11(A1E)

8、2a1解：A231041ab300所以：B6(A1E)102000112a138.設矩陣A2310的秩為2,求a,b.41ab12 a 10712a207 a 2 b12a10712a200a1b21,b 2因為：矩陣A的秩為2,所以a10,b202一一-39.已知n階萬陣A滿足關(guān)系式A3A2E0,證明A是可逆矩陣，并求出其逆矩陣證明：A2 3A 2E 0 A(A 3E) 2EA EA3E所以A是可逆矩陣，且其其逆矩陣為：40.設A是3階方陣，且A1,則2AA.8B.2C.2D.8答案：A41.設矩陣A1(答案：542B.A.0210C. 1101002答案：A210D. 11000242.設

9、A是n階方陣，A0,則下列結(jié)論中錯誤的是（A.秩(A)nB. A有兩行元素成比例C. A的n個列向量線性相關(guān)D. A有一個行向量是其余n個行向量的線性組合答案：B43.設A,B均為n階矩陣，且秩（A）=秩（B）,則必有（）A.A與B相似B.A與B等價C.A與B合同D.AB答案：B44.答案:2 517 445.若A,B均為3階矩陣，且A2,B3E,則AB46 .設矩陣A答案：1aibi aba2 bl a2 b2a3 bl a3b2aha2b3 ，其中 aiba3b30(i 1,2,3)則秩(A) =47 .設 A10 02 11,矩陣X滿足方程AX BT ,求X .1 2 2381答案： 4

10、124012100解：B211122BT1 21T1 T0 12 , AX B1 X A 1BI0 12A,BT r E,X.*n 148 .設A是n階方陣，A 0,證明A A證：AA* AE AA*AE| lAnAA*|lAn-*n1因為A0,所以：AA49.設A是3階方陣，且A2,則A(A.-6B.-2C.2D.6答案：B02050.設 A003,則A的伴隨矩陣A4000 0 6A 12 0 00 8 00 12 0B.0086 0 0012 0C. 008600006D. 1200080答案：A51.653答案：010422、14皿152.設A，則A10334101答案：A130353.

11、設A1112033答案：123110解：ABA2B23A2E11122(A2E,A)1154.設方陣A滿足A證：A2A2E(30且ABA2B3，求B。(A2E)BA30,很容易得到21123A2E0,證明A(AE)2E2E是可逆的。所以：100033010123001110A可逆，并求其逆陣。A”E2B(A2E)1A所以：A可逆，且其逆陣為55.設n階方陣A,B,C滿足ABCE,則必有()A.ACBEB.CBAEC.BACED.BCAE答案：D56.設n階方陣A中有n2n個以上元素為零，則A的值（A.大于零B.等于零C.小于零D.不能確定答案：B56.設3階矩階A=(

12、ai,3,丫)，B=(a2,3,丫)，且A2,BA.4B.2C.1D.-4答案：A57.設A是4階方陣，A2,則A*答案：-858.設矩陣A00000203040010皿1，則A100答案:00014100-0301002100059.設A423110,且矩陣X滿足AXA2X,求X。123解：AXA2X(A2E)XAA 2E22 311 0可逆，所以121223110,容易證明A2E1211X(A2E)A(A 2E,A)03860296121233所以：X21261.設A,B均為n階方陣,則必有（A.ABBAB.C.(AB)TBD.(AB)TattAB答案：A62.設A12B.A.0D.C.0

13、答案：C63.若方陣A與方陣B等價，則（A.R(A)R(B)B.C.D.存在可逆矩陣P,使P1AP答案：A2ATA, （ E為3階單位矩陣），則11.T.64.A(202),BEAA,CEBC答案：E3013,165.已知A2,且A1451一*4，則A3311答案：404251366.設A802-*-_*020,A為A的伴隨矩陣，則A301答案：1667.已知A10112020,則(A3E)(A9E)001201答案：01000268.設A,B為n階方陣，滿足ABAB130210,求矩陣A。002ABABA(BE)BBE可逆。所以：AB(BE)69.設A是4階矩陣，則A ()A.4AB.A答案

14、：C70.設A為n階可逆矩陣，下列運算中正確的是()TT11A.(2A)2AB.(3A)3AC(A)T)T1(A1)1TD.(A1)TA答案：A13771.設A是2階方陣可逆，且A1，則A(12A.B.C.D.答案：B72.設A,B均為3階矩陣，若A可逆，秩(B)2,那么秩(AB)(A.0B.1C.2D.3答案：C73.設A為n階矩陣，若A與n階單位矩陣等價，那么方程組AXb()A.無解B.有唯一解C.有無窮多解答案：B74.設矩陣Aa,則AATbD.解的情況不能確定答案:a2ababb212.75.設矩陣A,則行列式 A234答案：41176 .矩陣0100答案：3577 .設矩陣A0011

15、的秩等于1102001,求矩陣方程XA21B的解X.500解：A012,很容易得到A是可逆的。所以：XABXBA037500100012010A037C001,所以：XB100123120214113231411378.設A,B為同階對稱矩陣，證明ABBA也為對稱矩陣證：A,B為同階對稱矩陣，所以：ATA,BTB(ABBA)TBTATATBTBAABABBA所以：ABBA也是對稱矩陣。79.設矩陣A100020，則A1等于(003A1A.002001B.0C.010001答案：B81.設A是方陣，如有矩陣關(guān)系式A.B.BABAC,則必有（0C.D.答案:82.設A答案:84.設A答案:(1)(

16、2).則A2B.求（1）ABT;(2)4A.1810104A43A64A2.所以4A43A64A12885.設矩陣B使其滿足矩陣方程ABA2B.答案：212解：ABA2B即(A2E)B12231(A2E)1101 21所以B(A2E)1A143423153110164123386296212986.設矩陣A12102426210233332634求：秩（A）;1210212102A0006203283032820006209632000217解：對矩陣 A施行初等行變換所以：秩為3.87.設方陣A滿足A3 0,試證明E A可逆，且（E12102032830003100000A) 12(E A

17、A2)證:Q(EA)(EAA 1 011 02,所以：A* A3 1 |A2 40 0 2)EA3,A30(EA)(EAA2)EEA可逆，且(EA)1(EAA2)88.設行矩陣A現(xiàn)C2e3 , Bbb, b3，且 ATB答案：021089.設A110,A為A的伴隨矩陣，則A002答案：4一*312提不：AAA90.若A為使矩陣A的秩有最小秩,應為答案:解答：A要使得矩陣91.解:A的秩有最小秩,已知矩陣X滿足AXB容易證明矩陣1CB92.設A,B均為ABBA0、一2證：（AB）C,其中求矩陣X.（6分）A,B都可逆,所以:AXB階方陣,A2(AB)(AB)因為：A2A,B2B,所以:若（AB)

18、2AABBABABBA若ABBA0,A,B2A2(AABB)2AABABAAB則(AB)2AAB1CB1B,證明（ABAB2ABBAABBABABAAB34B)2BA010AB的充分必要條件是1293.設矩陣A, B3 41425,則下列矩陣運算有意義的是（）36AACBB.ABCCBACD.CBA答案：B94.設n階方陣A滿足A2E0,其中E是n階單位矩陣，則必有【A.AEB.AEC.AA1D.det(A)1答案：C195.設A為3階萬陣，且行列式det(A),則det(2A)【2A.-4B.4C.-1D.1答案：A1-1320tt96.設矩陣A,B,AT為A的轉(zhuǎn)置.則ATB=2010122

19、答案：206197.設矩陣2則行列式5det(AAT)的值為答案：199.設 B 是 n(n2）階方陣,B的元素全都是1,E是n階單位位矩陣。證明:(EB)1證明：（EB)(EIB)n 12BB n 1 n 1因為B的元素全都是1,所以:B2的元素全部為n ,即：B2 nB所以：（E B）（EB)E B B2n 1 n 1E ,即：(E B) 1nV100.設A是n階方陣，X是1矩陣，則下列矩陣運算中正確的是（）A. XTAX B.XAX C. AXA D. XAXT答案：A101.A,B,C,E為同階矩陣，E為單位陣，若ABCE,則下列各式中總是成立的有（）A.BACEB.ACBEC.CBA

20、ED.CABE答案：D102 .已知A有一個r階子式不等于零，則秩（A）（）A.rB.r1C.rD.r答案：D103 .設A是n階陣，且ABAC,則由（）可得出BC.A.A0B.A0C.秩（A）nD.A為任意n階矩陣答案：A2112104.X，則X1 214答案:1/301/32105.A=A11122332,則秩（A）1121答案：3106. 24614691答案：0107. 若A2A,且A不是單位陣，則A答案：0108. A4,則A1-1答案：14n1 1109. =22答案:3n110. A,B,C均為階可逆陣，則（ABC）1答案：C1B1A1111.設A是5階方陣,A1,則2A答案:3

21、2112A答案:113.答案:(A,E)22B2A2(B1A)1解：B2A2(B1A)B2A2A1BB2ABB(BA)22114.n階方陣A滿足A22A4E0,其中A給定，證明A可逆，并求其逆矩陣。證：A22A4EA(A2E)4EAATEE所以A可逆,且A12E4115.設矩陣A(1,2,3),B10，則AB為（A.0B.0C.106D.7答案：D116.設A,B均為n階矩陣，且A可逆，則下列結(jié)論正確的是（A.若AB0,則B可逆B.若AB0,則B0C.若AB0,則B不可逆D.若ABBA,則BE答案：B117.設3階方陣A的元素全為1,則秩父）為（）A.0C.2答案：BB.1D.3118.設A為

22、3階方陣，且行列式A1,則2A之值為（）A.-8C.2答案：A119.設A為n（n2）階方陣，且A的行列式AB.-2D.8a0,則A等于（A.B.aC.nD.a答案：C120.設矩陣A111答案：1551514121.設A,B均為3階方陣，且A3,B2,則ABT答案：6122 .設3階方陣A的秩為2,矩陣010100P100,Q010001101若矩陣BPAQ,則秩（B）=答案：2a00123 .設A0b0,則An00can00答案：0bn000cn124.已知矩陣A答案：1132k11k11753125.試求矩陣方程132k11k1，秩（A）2,求k的值.1753132k04k2k10433

23、k1321301X21111132k04k2k1，所以k1001k22k45中的未知矩陣X。3解:1321301211114100405r010112300114540所以：X1121451210126.設P,B且APPB,求An1402丘12解：P2141P可逆。又APPBAPBP從而得到：AnPBnP11 2 ,B1 4211 1，Bn2 2100 2n所以：An12 101 40 2n2 2n 2n 12 2n1 2n 1 1m1m1127.已知A0,證明：EA可逆，且（EA）EALA。0,所以:證：因為(EA)(EALAm1)EAm,又因為Am(E A)(E A L Am 1)E ,顯

24、然E A可逆，且（EA) 1 E A L Am 1。128.設A是n階非零矩陣,* .A是其伴隨矩陣，且滿足 a.Aj ,證明A可逆。T證：有a.Aj得:AA所以：A*AAA*AEATAAATAE假設A不可逆，則A0,所以：ATAAAT0nATAAAT0%加0級0(i1,2,n)k1所以A 0 ,這與題目A是n階非零矩陣矛盾，所以A可逆。129 .兩矩陣即可以相加又可以相乘的條件是 答案：兩矩陣為同階方陣。1 1130 .已知 A 2 51 26 10k 1 ,且其秩為2,則k 1 k答案：3131.若A是n階可逆矩陣,B是m階可逆矩陣，CO ,則 R(C) B答案：mn132.設A與B均為n

25、階方陣，則下列結(jié)論中()成立。Adet(AB)0,則A0,或B0;Bdet(AB)0,則det(A)0,或det(B)0;CAB0,則A0,或B0;DAB0,則det(A)0,或det(B)0。答案：B1331設A為n階方陣，且det(A)2,則det(1A)1A3答案：-2134.求解矩陣方程X111答案：X011001135設3階方陣A按列分塊為A(a1,a2,a3)(其中ai是A的第i歹U),B(a12a23al4a3,5a2),貝UB答案：-100136100220的伴隨矩陣為A,則(A)1333答案:137設A答案:138設A答案:1394 22 00 00 000001，且BAAB

26、,求矩陣B。735102002400001300571224a1,B為三階非零矩陣，且AB0,則a311-1已知A1 0 10 2 0 滿足 BA 2EB 2A2,求矩陣B。402答案：04060411400答案:14111.設A，則（2A）101答案:142若A,B為同階方陣，則（AB）（AB）A2B2的充分必要條件是答案：ABBA143設A,B都是n階矩陣，且AB0,則下列一定成立的是（）A0或B0BA,B都不可逆CA,B中至少有一個不可逆DAB0答案：C亦可逆,144設A,B均為可逆矩陣，則分塊矩陣答案:001145設A為3階可逆矩陣，且A1 23I*012,則A123答案：012001

27、146A,B均為n階矩陣，下列各式中成立的為()，一、_22_2(A) (AB)A2ABB(B) (AB)TATBT(C) AB0,則A0或B0(D)若|AAB|0,則|A|0或|IB|0答案：D147設A為6階方陣，且|A|=2，則AA=答案：644 0,人、，一r148設A,將A表示成3個初等矩陣的乘積，即A=5 3答案:4 0 10 100 15 10 3，人，、一，Er0，149 .任一個mKn矩陣A,僅經(jīng)過初等行變換可化為的標準形式。()00答案：x150 .A為5行6列矩陣，且r(A)=5，則A一定沒有不等于0的5階子式。()答案：X151 .兩個初等矩陣的乘積仍為初等矩陣。()答

28、案：X152 .A,B均為n階方陣，AwO,且AB=O則B的秩(A)等于O(B)小于n(C)等于n(D)等于n-1答案：B122153.已知A014且A2AB=E求矢I陣Bo0010412答案：008000解：A1,故A可逆，由于A2ABE,故A(AB)E,即即ABA1,即10故A1A(注：作行變換(AE)(EA1一)得到也正確)1012154.設A是mKn矩陣,則下列(A)答案：155設ABD(B)BTAT(0(AB)T(D)的運算結(jié)果是ATBTn階方陣。A,B為n階方陣,Aw0Bw0,且AB=0,則A,B的秩()(A)一個小于n,一個等于(C)都小于n答案：C156.下列結(jié)論中，不正確的是

29、(a)設A為n階矩陣，則(AE)(A(b)設A,B均為n1矩陣，則ATB(c)設A,B均為(d)設A,B均為答案:157.設(a)(c)答案：B(B)都等于n(D)必有一個等于零一2_E)A2EBTAn階矩陣，且滿足AB0,則(AB)2A2B2n階矩陣，且滿足ABBA,則AkBmBmAk,(k,mA,B均為n階矩陣,ATTABABBA158.設A為n階可逆矩陣,n2答案：AA159.設矩陣A陣，求矩陣X。k為正整數(shù)，則下列各式中不正確的是(b)(d)N)ATTAB(AB)k|AkB2,A是其伴隨矩陣，則(A)11。矩陣X滿足AXA12X,其中A是A的伴隨矩解：由AXA12X*AAXE2AXAX

30、2AXE(A2A)XE知（A2A）可逆，且（A2A）1X由(A2A,E)160.設n階矩陣A非奇異，n*2,A是其伴隨矩陣，則（*n1(a)(A)=AA(b)*n2(c)(A)=AA(d)答案：C(A)=A*_n(A)=A161.設A為m階矩陣，B為n階矩陣，且Aa,Bb。若C03AB0答案:(1)mn3mab12162 .設A4t31答案：3163 .已知XAX23,B為三階非零矩陣，且1010B,其中A111101AB0。則t11,B20,求矩陣X。53解：由XAXB,有(EA)XB所以(EA)1BX11011由(EA,B)10120102531101110011310100333003-

31、1所以X=20。1-11100011023An164.設A，求AA和a0011'10000100解A0010000101000010EB00010000n nCnB-n0n1n1-2n2-2(EB)CnECnEBCnEBL0 0 100 0 0 10 0 0 00 0 0 00102001B00000000100000101000100000001000010000000001000010000100000001000000000000B4b3b000100000000000001000010000100000000000000000000(EB)nC0EnC1En1BC2En2B2C

32、3En3B3nnnn12233EBBBnnn1000010000100001010010010Cn 0 0 0 1000000102000 1Cn 0 0 0 0000000013000 0Cn 0 0 0 00000121 CnCn10 1Cn0010003Cn2Cn1Cn121020121A20012000113313013300130001a11a12La1na11a12La1a21a22La2na21a22La2LLLLLLLL設A是實對稱矩陣，且A20,證明：A0證明：QA2nnan1an2annan1an2annn其主對角線上的元素為aa0ikkik1又，A是實對稱矩陣aikaki

33、2ai12ai2ai2n0ai1ai2Lain0即A0111A 的逆矩陣為 A121，試求伴隨矩陣A的逆矩陣。113解：QA(A)1(|A|A1)111(A)2(A1)1注：也可以用初等變換求逆:1.解矩陣方程(2)解:11112115設n階矩陣A滿足Am0,m是正整數(shù)。試證A可逆，且(EA)EAALA證明：(EA)(EAA2LAm1)AmE12m1EA可逆且(EA)EAALA7.若方陣A滿足A2A2E0,證明A及A2E都可逆，并求A1及（A2E）1.證明：由A2A2E0,有A(AE)2E(AE)A-E一一1所以A可逆且A(AE)2又由A2A2E0有(A2E)(A3E)4E(A2E)(A3E)

34、4所以A2E可逆且（A2E)1(A3E)已知APPB,其中B,P,求A及A10因為PA10B30,所以P可逆,PBPAPPB1P4P4)4PBp44)2PBp4%4吁P31)PB10P10所以B10B2A10PB10P21pb2p1100100200411設A是三階方陣，且A，求(3A)118A)27么11111解：(3A)1A1A9A33A1-(3A)18A) 9A 18A3329A ( 9) A ( 9) A 1112223已知矩陣A101235解：將矩陣化為行階梯形a 31 4 的秩為3,求a的值。1 55 4112 a 32 2 3 14A10 1152 3 5 5 411200101

35、1000a 31 2a 21 a26 3a0112001011000a 31 2a 21 a 26 3a 0所以6a 3 0a 2當時矩陣的秩為3設A是n階方陣，若存在n階方陣B 0 ,使AB0,證明 R(A) n。證明：反證法。設R(A)n,則A可逆，而由AB0,有A1ABA100與B0矛盾，所以R(A)n1的秩最小11確定參數(shù)，使矩陣1221解：將矩陣化為行階梯形112212121211203232032 2 2411203232002211時矩陣的秩最小為2設是三維列向量,的轉(zhuǎn)置，若T1，則設A,B為n階矩陣,*A,B分別為A,B對應的伴隨矩陣、分塊矩陣0,則C的伴B隨矩陣C1AA三階方

36、陣，AA11,B2,則T12解：2(ATB1)223AT設四階矩陣B-1T_TX(ECB)C解：先化簡，再計算。-1T_TX(ECB)C因為A%AT122(ATB1)20設A,B是IAbE,求矩陣XC(E23,CC1B)1)2122,且矩陣X滿足關(guān)系式11T八TCCBXCBE12 3 4012 3C BX00 1200 0 1100210321432101020110000100210121設列矩陣x(x1,L,xn)T,AExxT,證明2T.(1) AA的充分必要條件是xx1(2) 當xTx1時，A是不可逆矩陣.分析：線性代數(shù)中，若要證明A不可逆或|A 0,往往可以用反證法：假設A可逆，再在已知等式兩端同乘以A 1,即可得到所需要的結(jié)論?；蛘咧苯佑葾x 0有非零解，得A0。證明：(1)22T、2TT,T、TTAAA