2020年高考數(shù)學(xué)48條秒殺型公式與方法

1、1 .適用條件：直線過焦點(diǎn),必有ecosA=(x-1)/(x+1),其中A為直線與焦點(diǎn)所在軸夾角,是銳角.x為別離比,必須大于1.注上述公式適合一切圓錐曲線.如果焦點(diǎn)內(nèi)分(指的是焦點(diǎn)在所截線段上),用該公式；如果外分(焦點(diǎn)在所截線段延長線上),右邊為(x+1)/(x-1),其他不變.2 .函數(shù)的周期性問題(記憶三個(gè))：假設(shè)f(x)=-f(x+k),那么T=2k;(2)假設(shè)f(x)=m/(x+k)(m不為0),那么T=2k;(3)假設(shè)f(x)=f(x+k)+f(x-k),貝UT=6k.注意點(diǎn)：a.周期函數(shù),周期必?zé)o限b.周期函數(shù)未必存在最小周期,如：常數(shù)函數(shù).c.周期函數(shù)加周期函數(shù)未必是周期函數(shù)

2、,如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函數(shù).3 .關(guān)于對(duì)稱問題(無數(shù)人搞不懂的問題)總結(jié)如下：假設(shè)在R上(下同)滿足：f(a+x)=f(b-x)恒成立,對(duì)稱軸為x=(a+b)/2;函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于x=(b-a)/2對(duì)稱；(3)假設(shè)f(a+x)+f(a-x)=2b,那么f(x)圖像關(guān)于(a,b)中央對(duì)稱4 .函數(shù)奇偶性：(1)對(duì)于屬于R上的奇函數(shù)有f(0)=0;(2)對(duì)于含參函數(shù),奇函數(shù)沒有偶次方項(xiàng),偶函數(shù)沒有奇次方項(xiàng)(3)奇偶性作用不大,一般用于選擇填空5 .數(shù)列爆強(qiáng)定律：(1)等差數(shù)列中：5奇=池中,例如S13=13a7(13和7為下角標(biāo))；等差數(shù)列中：

3、S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比數(shù)列中,上述2中各項(xiàng)在公比不為負(fù)一時(shí)成等比,在q=-1時(shí),未必成立4,等比數(shù)列爆強(qiáng)公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q6 .數(shù)列的終極利器,特征根方程.(如果看不懂就算了).首先介紹公式：對(duì)于an+1=pan+q(n+1為下角標(biāo),n為下角標(biāo)),a1,那么特征根x=q/(1-p),那么數(shù)列通項(xiàng)公式為an=(a1-x)p2(n-1)+x,這是一階特征根方程的運(yùn)用.二階有點(diǎn)麻煩,且不常用.所以不贅述.希望同學(xué)們牢記上述公式.當(dāng)然這種類型的數(shù)列可以構(gòu)造(兩邊同時(shí)加數(shù))7 .函數(shù)詳解補(bǔ)充：(1)復(fù)合函數(shù)奇偶性：內(nèi)偶

4、那么偶,內(nèi)奇同外復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減重點(diǎn)知識(shí)關(guān)于三次函數(shù)：恐怕沒有多少人知道三次函數(shù)曲線其實(shí)是中心對(duì)稱圖形.它有一個(gè)對(duì)稱中央,求法為二階導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)為0,根x即為中心橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)可以用x帶入原函數(shù)界定.另外,必有唯一一條過該中央的直線與兩旁相切8 .常用數(shù)列bn=nX(22n)求和Sn=(n-1)x(22(n+1)+2記憶方法：前面減去一個(gè)1,后面加一個(gè),再整體加一個(gè)29 .適用于標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在x軸)爆強(qiáng)公式：k橢=-(b2)xo/(a2)yok雙=(b2)xo/(a2)yok拋=p/yo注：(xo,yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點(diǎn).10 .強(qiáng)烈推薦一個(gè)兩直線垂直或平行的必殺技：直線L

5、1:a1x+b1y+c1=0直線L2:a2x+b2y+c2=0假設(shè)它們垂直：(充要條件a1a2+b1b2=0；假設(shè)它們平行：(充要條件)a1b2=a2b1且a1c2wa2c1這個(gè)條件為了預(yù)防兩直線重合)注：以上兩公式預(yù)防了斜率是否存在的麻煩,直接必殺！11 .經(jīng)典中的經(jīng)典：相信鄰項(xiàng)相消大家都知道.下面看隔項(xiàng)相消：對(duì)于Sn=1/(1x3)+1/(2x4)+1/(3X5)+1/n(n+2)=1/21+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)注：隔項(xiàng)相加保存四項(xiàng),即首兩項(xiàng),尾兩項(xiàng).自己把式子寫在草稿紙上,那樣看起來會(huì)很清爽以及整潔12 .爆強(qiáng)面積公式：S=1/2lmq-npI其中向量AB=(m,n),

6、向量BC=(p,q)注：這個(gè)公式可以解決三角形三點(diǎn)坐標(biāo)求面積的問題！13 .你知道嗎？空間立體幾何中,以下命題均錯(cuò)：(1)空間中不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面；(2)垂直同一直線的兩直線平行；(3)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(4)如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直,那么直線垂直平面；(5)有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；(6)有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐注：對(duì)初中生不適用.14 .一個(gè)小知識(shí)點(diǎn)：所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐.15 .求f(x)=lx-1+lx-21+lx-31+lx-nl(n為正整數(shù))的最小值.答案為：當(dāng)n為奇數(shù),最

7、小值為(n2-1)/4,在x=(n+1)/2時(shí)取到；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),最小值為n2/4,在x=n/2或n/2+1時(shí)取到.16 .,(a2+b2)/2蕓a+b)/2>vab>2ab/(a+b)(a、b為正數(shù),是統(tǒng)一定義域)17 .橢圓中焦點(diǎn)三角形面積公式：S=b2tan(A/2)在雙曲線中：S=b2/tan(A/2)說明：適用于焦點(diǎn)在x軸,且標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線A為兩焦半徑夾角18 .爆強(qiáng)定理：空間向量三公式解決所有題目：cosA=|向量a.向量b/向量a的模x向量b的模|A為線線夾角；A為線面夾角(但是公式中cos換成sin);A為面面夾角注：以上角范圍均為0,派/2.19 .爆強(qiáng)公式12+

8、22+32+-+n2=1/6(n)(n+1)(2n+1);123+223+323+-+n23=1/4(n2)(n+1)220 .爆強(qiáng)切線方程記憶方法：寫成對(duì)稱形式,換一個(gè)x,換一個(gè)V.舉例說明：對(duì)于y2=2px可以寫成yXy=px+px再把(xo,yo)帶入其中一個(gè)得：yxyo=pxo+px21 .爆強(qiáng)定理：(a+b+c)2n的展開式合并之后的項(xiàng)數(shù)為：Cn+22,n+2在下,2在上22 .轉(zhuǎn)化思想切線長l=v(d2-r2)d表示圓外一點(diǎn)到圓心得距離,r為圓半徑,而d最小為圓心到直線的距離.23 .對(duì)于y2=2px,過焦點(diǎn)的互相垂直的兩弦AB、CD,它們的和最小為8p.爆強(qiáng)定理的證實(shí)：對(duì)于y2=

9、2px,設(shè)過焦點(diǎn)的弦傾斜角為A.那么弦長可表示為2p/(sinA)2,所以與之垂直的弦長為2p/(cosA)2,所以求和再據(jù)三角知識(shí)可知.(題目的意思就是弦AB過焦點(diǎn),CD過焦點(diǎn),且AB垂直于CD)24 .關(guān)于一個(gè)重要絕對(duì)值不等式的介紹爆強(qiáng)：I|a|-|b|I<a±bI<a1+lb25 .關(guān)于解決證實(shí)含In的不等式的一種思路：舉例說明：證實(shí)1+1/2+1/3+1/n>ln(n+1)把左邊看成是1/n求和,右邊看成是Sn.解：令an=1/n,令Sn=ln(n+1),貝Ubn=ln(n+1)-lnn,那么只需證an>bn即可,根據(jù)定積分知識(shí)畫出y=1/x的圖.an

10、=1x1/n=矩形面積>曲線下面積=bn.當(dāng)然前面要證實(shí)1>ln2.注：僅供有水平的童鞋參考！!另外對(duì)于這種方法可以推廣,就是把左邊、右邊看成是數(shù)列求和,證面積大小即可.說明：前提是含ln.26 .爆強(qiáng)簡(jiǎn)潔公式：向量a在向量b上的射影是：向量ax向量b的數(shù)量積/向量b的模.記憶方法：在哪投影除以哪個(gè)的模27 .說明一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：假設(shè)f(x+a)a任意為奇函數(shù),那么得到的結(jié)論是f(x+a)=-f(-x+a)等式右邊不是-f(-x-a),同理如果f(x+a)為偶函數(shù),可得f(x+a)=f(-x+a)牢記！28 .離心率爆強(qiáng)公式：e=sinA/(sinM+sinN)注：P為橢圓上一點(diǎn),其中

11、A為角F1PF2,兩腰角為M,N29 .橢圓的參數(shù)方程也是一個(gè)很好的東西,它可以解決一些最值問題.比如x2/4+y2=1求z=x+y的最值.解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可.比你去=0不知道快多少倍！30 .僅供有水平的童鞋參考爆強(qiáng)公式：和差化積sin0+sin=2sin0+/2cos.-/2sin0-sin=2cos0+6/2sin0-/2cos0+cos=2cos0+/2cos0-/2cos8-cos6=-2sin0+6/2sin0-加積化和差sinasinB=cosa-B-cosa+§/2cosacosB=cosa+B+cosa-B/2sinacosB=sin

12、a+B+sina-§/2cosasinB=sina+B-sina-B/231 .爆強(qiáng)定理：直觀圖的面積是原圖的,2/4倍.32 .三角形垂心爆強(qiáng)定理：向量OH=向量OA+向量OB+向量OCO為三角形外心,H為垂心2假設(shè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)y=1/x的圖象上,那么它的垂心也在這個(gè)函數(shù)圖象上.33 .維維安尼定理不是很重要僅供娛樂,-正三角形內(nèi)或邊界上任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值,這定值等于該三角形的高.34.爆強(qiáng)思路：如果出現(xiàn)兩根之積x1x2=m,兩根之和x1+x2=n,我們應(yīng)當(dāng)形成一種思路,那就是返回去構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù),再利用大于等于0,可以得到m、n范圍.35 .常用結(jié)論：過(

13、2p,0)的直線交拋物線y2=2px于A、B兩點(diǎn).O為原點(diǎn),連接AO.BO.必有角AOB=90度36 .爆強(qiáng)公式：ln(x+1)<x(x>-1)該式能有效解決不等式的證實(shí)問題.舉例說明：ln(1/(22)+1)+ln(1/(32)+1)+ln(1/(n2)+1)<1(n>2).證實(shí)如下：令x=1/(n2),根據(jù)ln(x+1)<x有左右累和右邊再放縮得：左和<1-1/n<1證畢！37 .函數(shù)y=(sinx)/x是偶函數(shù).在(0,派)上它單調(diào)遞減,(-派,0)上單調(diào)遞增.利用上述性質(zhì)可以比擬大小.38 .函數(shù)y=(lnx)/x在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e

14、,+無窮)上單調(diào)遞減.另外y=x2(1/x)與該函數(shù)的單調(diào)性一致.39 .幾個(gè)數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)f'(x)<0是函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件；(2)在研究函數(shù)奇偶性時(shí),忽略最開始的也是最重要的一步：考慮定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱！不等式的運(yùn)用過程中,千萬要考慮"="號(hào)是否取到！(4)研究數(shù)列問題不考慮分項(xiàng),就是說有時(shí)第一項(xiàng)并不符合通項(xiàng)公式,所以應(yīng)當(dāng)極度注意：數(shù)列問題一定要考慮是否需要分項(xiàng)！40 .提升計(jì)算水平五步曲：(1)扔掉計(jì)算器；仔細(xì)審題(提倡看題慢,解題快),要知道沒有看清楚題目,你算多少都沒用；(3)熟記常用數(shù)據(jù),掌握一些速算技巧；(4)增強(qiáng)心算

15、,估算水平；(5)檢驗(yàn)!41 .一個(gè)美妙的公式：爆強(qiáng)！三角形中AB=a,AC=b,O為三角形的外心,那么向量AOX向量BC(即數(shù)量積)=(1/2)b2-a2強(qiáng)烈推薦！證實(shí)：過O作BC垂線,轉(zhuǎn)化到邊上42 .(1)函數(shù)單調(diào)性的含義：大多數(shù)同學(xué)都知道假設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào),那么函數(shù)值隨著自變量的增大(減小)而增大(減小),但有些意思可能有些人還不是很清楚,假設(shè)函數(shù)在D上單調(diào),那么函數(shù)必連續(xù)(分段函數(shù)另當(dāng)別論)這也說明了為什么不能說y=tanx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,由于它的圖像被無窮多條漸近線擋住,換而言之,不連續(xù).還有,如果函數(shù)在D上單調(diào),那么函數(shù)在D上y與x對(duì)應(yīng).這個(gè)可以用來解一些方程.至于例子不

16、舉了.(2)函數(shù)周期性：這里主要總結(jié)一些函數(shù)方程式所要表達(dá)的周期設(shè)f(x)為R上的函數(shù),對(duì)任意xCR： f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加絕對(duì)值,下同) f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a) f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a設(shè)TW0,有f(x+T)=Mf(x)其中M(x)滿足MM(x)=x,且M(x)內(nèi)那么函數(shù)的周期為243 .奇偶函數(shù)概念的推廣：對(duì)于函數(shù)f(x),假設(shè)存在常數(shù)a,使得f(a-x)=f(a+x),那么稱f(x)為廣義(I)型偶函數(shù),且當(dāng)有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)a,b滿足時(shí),f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a)假設(shè)f(a-

17、x戶-f(a+x),那么f(x)是廣義(I)型奇函數(shù),當(dāng)有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)a,b滿足時(shí),f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a)(3)有兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b滿足廣義奇偶函數(shù)的方程式時(shí),就稱f(x)是廣義(II)型的奇,偶函數(shù).且假設(shè)f(x)是廣義(II)型偶函數(shù),那么當(dāng)f在a+b/2,+8)上為增函數(shù)時(shí),有f(x1)<f(x2)等價(jià)于絕對(duì)值x1-(a+bp=""<=""2)<絕對(duì)值x2-(a+b)="">44 .函數(shù)對(duì)稱性：假設(shè)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c那么函數(shù)關(guān)于(a+b/2,c/2)成中央對(duì)稱假設(shè)f(x)滿

18、足f(a+x)=f(b-x)那么函數(shù)關(guān)于直線x=a+b/2成軸對(duì)稱柯西函數(shù)方程：假設(shè)f(x)連續(xù)或單調(diào)：(1)假設(shè)f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),那么f(x)=logax假設(shè)f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),那么f(x)=x2u(u由初值給出)(3)f(x+y)=f(x)f(y)那么f(x)=a2x(4)假設(shè)f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,貝Uf(x)=ax2+bx(5)假設(shè)f(x+y)+f(x-y)=2f(x),那么f(x)=ax+b特別的假設(shè)f(x)+f(y)=f(x+y),那么f(x)=kx45 .與三角形有關(guān)的定理或結(jié)論

19、中學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何最根本的圖形就是三角形正切定理(我自己取的,由于不知道名字)：在非Rt中,有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC任意三角形射影定理(又稱第一余弦定理)：在4ABC中a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA任意三角形內(nèi)切圓半徑r=2S/a+b+c(S為面積),外接圓半徑應(yīng)該都知道了吧(4)梅涅勞斯定理：設(shè)A1,B1,C1分別是ABC三邊BC,CA,AB所在直線的上的點(diǎn),那么A1,B1,C1共線的充要條件是CB1/B1ABA1/A1CAC1/C1B=146 .易錯(cuò)點(diǎn)：(1)函數(shù)的各類性質(zhì)綜合運(yùn)用不靈活,比方奇偶性與單調(diào)性常用來配合解決抽象函數(shù)不等式問題