《平行四邊形》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識(shí)講解

1、?平行四邊形?全章復(fù)習(xí)與穩(wěn)固(提升)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理.2 .掌握三角形的中位線定理.3 .了解多邊形的定義以及內(nèi)角、外角、對(duì)角線等概念.掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式4 .積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),開展推理水平.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行四邊形的定義平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD己作“口ABC?讀作“平行四邊形ABCD.要點(diǎn)詮釋：平行四邊形是中央對(duì)稱圖形,兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中央要點(diǎn)二、平行四邊形的性質(zhì)定理平行四邊形的對(duì)角相等；平行四邊形的對(duì)邊相等；平行四邊形的對(duì)角線互相平分；要點(diǎn)詮釋：(1)平行四邊形的性質(zhì)定

2、理中邊的性質(zhì)可以證實(shí)兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證實(shí)兩角相等或兩角互補(bǔ)；對(duì)角線的性質(zhì)可以證實(shí)線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.(2)由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多,在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇(3)利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問(wèn)題,在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來(lái)解決.要點(diǎn)三、平行四邊形的判定定理1 .兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2 .一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；3 .兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；4 .兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；5 .對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點(diǎn)詮釋：(1) 這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的根底,必須牢固掌握,當(dāng)幾種方

3、法都能判定同一個(gè)行四邊形時(shí),應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法.(2)這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù),也可作為“畫平行四邊形的依據(jù).要點(diǎn)四、平行線間的距離1 .兩條平行線間的距離：(1)定義：兩條平行線中,一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離,叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長(zhǎng)度,是正值.2 .平行線性質(zhì)定理及其推論夾在兩條平行線間的平行線段相等.平行線性質(zhì)定理的推論：夾在兩條平行線間的垂線段相等.要點(diǎn)五、三角形的中位線三角形的中位線1 .連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線2 .定理：三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半3 點(diǎn)詮釋：(1)三角形有三條中位線,每一條

4、與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.(2)三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)1小三角形的周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的1,每個(gè)小三角形的面積為原三角形2,1面積的一.4(3)三角形的中位線不同于三角形的中線.要點(diǎn)六、多邊形內(nèi)角和、外角和n邊形的內(nèi)角和為(n2)180°(n>3).要點(diǎn)詮釋：(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：多邊形的邊數(shù),求其內(nèi)角和；多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等,都等于(n-2)180.n多邊形的外角和為360°.n邊形的外角和恒等于360°,它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).【典型例題】類型一、平行四邊形的性質(zhì)與判定1、(

5、2021喇淀區(qū)二模)如圖1,在ABC中,AB=AC/ABC=a,D是BC邊上一點(diǎn),以AD為邊作ADE使AE=AD/DAE廿BAC=180.(1)直接寫出/ADE的度數(shù)(用含“的式子表示)；(2)以AB,AE為邊作平行四邊形ABFE如圖2,假設(shè)點(diǎn)F恰好落在DE上,求證：BD=CD如圖3,假設(shè)點(diǎn)F恰好落在BC上,求證：BD=CF【思路點(diǎn)撥】1由在ABC中,AB=AC/ABC=a,可求得/BAC=180-2a,又由AE=ADZDAE+BAC=180,可求得/DAE=2a,繼而求得/ADE的度數(shù)；2由四邊形ABFE是平行四邊形,易得/EDC=ABC=a,那么可得/ADCWADE廿EDC=90,證彳導(dǎo)A

6、DLBC又由AB=AC根據(jù)三線合一的性質(zhì),即可證得結(jié)論；由在ABC中,AB=AC/ABC=a,可得/B=ZC=a,四邊形ABF比平行四邊形,可得AE/BF,AE=BF即可證得：/EACWC=a,又由1可證得AD=CD又由AD=AE=BF證得結(jié)論.【答案與解析】解：1,.在4ABC中,AB=ACZABC=a,./BAC=180-2a, /DAE廿BAC=180, /DAE=2a,.AE=AD /ADE=90-a;2證實(shí)：二四邊形ABFE平行四邊形, .AB/EF. ./EDCWABC=a,由1知,/ADE=90a, /ADCWADE廿EDC=90, ADLBC .AB=AC .BD=CD證實(shí)：A

7、B=AC/ABC=a,/C=/B=a. 四邊形ABF弱平行四邊形, .AE/BF,AE=BF /EACWC=a,由1知,/DAE=2a, /DAC=a,/DACWC.AD=CD.AD=AE=RF.BF=CD.BD=CF.【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)與判定.注意2中證得ADLBC是關(guān)鍵,2中證得AD=CM關(guān)鍵.舉一反三：【變式】分別以口ABCD/CDAW90°的三邊AB,CD,DA為斜邊作等腰直角三角形,ABE,CDGADF.(1)如圖1,當(dāng)三個(gè)等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時(shí),連接GF,EF.請(qǐng)判斷GF與EF的關(guān)系并證實(shí))；(2)如圖2,當(dāng)三個(gè)

8、等腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部時(shí),連接GF,EF,(1)中結(jié)論還成立嗎？假設(shè)成立,給出證實(shí)；假設(shè)不成立,說(shuō)明理由.C注F圍I【答案】解：(1)GF±EF,GF=EF成立； 四邊形ABC比平行四邊形,AB=CD/DAB+/ADC=180°,.ABE,ACDGADF都是等腰直角三角形,DG=CG=AE=BE,DF=AF,/CDG=/ADF=ZBAE=45°,/GDF=/GDCF/CD"/ADF=90°+ZCDA/EAF=360°-ZBAE-ZDAF-/BAD-270°-(180°-乙CDA=90°+ZCD

9、A ./FDG=/EAF, 在EAFAGDF中,DF=AFI一一ZFDG=/FAE,、DG=AE .EAFAGDI3(SAS,EF=FG/EFA=/DFG即/GF*/GFA=/EFA+/GFA /GFE=90°,GF±EF;(2) GF±EF,GF=EF成立；理由：.四邊形ABC皿平行四邊形,AB=CD/DA拼ZADC=180°, ABECDGADF都是等腰直角三角形,DG=CG=AE=BE,DF=AF,/CDG=/ADF=ZBAE=45°,/BA曰/FAA/EAF+/ADF+/FDC=180°, ./EAF+/CDF=45°

10、;, /CD斗/FDG=45°,/FDG=/EAF, 在£人5和4GDF中,DF=AF/FDG=/FAE,DG=AE EA陣GDF(SAS, .EF=FG/EFA=/DFG即/GFDF/GFA=/EFA+/GFA./GFE=90°,GF±EF.C2、如圖,點(diǎn)D是ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)B重合.以BDBF為鄰邊作平行四邊形BDEF又A呸BE點(diǎn)P、E在直線AB的一一,/1_同側(cè),如果BD=_AB,那么PBC的面積與ABC面積之比為4【答案與解析】解：過(guò)點(diǎn)P作PH/BC交AB于H,連接CHPF,.AP二BE, 四邊形APEB

11、是平行四邊形,PE/AB,PE=AB, 四邊形BDEF是平行四邊形, .EF/BDEF=BD,即EF/AB, .P,E,F共線,設(shè)BD=a,BD=IaB,PE=AB=4a,4貝UPF=PEEF=3a, PH/BC SAHBC1. PF/AB四邊形BFPH平行四邊形,.BH=PF=3a,Sahbc:S；Aabc=BHAB=3a：4a=3:4,此題難度較【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)與三角形面積比的求解方法.大,注意準(zhǔn)確作出輔助線,注意等高三角形面積的比等于其對(duì)應(yīng)底的比.舉一反三：【變式】ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,分別以ABAGBC為一邊在BC邊同側(cè)作正ABD正4ACE

12、和正BCF求以A、EF、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積.ED點(diǎn)"點(diǎn)'四邊形、在平行四邊形ABCDK點(diǎn)Ai,A2,As,A4和G,G,G,G分別AB和CD的五等分B,B和D,D分別是BC和DA的三等分點(diǎn),四邊形A4B2GD的面積為1,那么平行A.2ABCD!積為B.35C.D.15ye.55【答案】證實(shí)：AB=3,AC=4,BC=5,./BAC=90°.ABDACEDABCF為正三角形,AB=BD=AD,AC=AE=CE,BC=BF=FC,/1+/FBA=/2+ZFBA=60°1=/2易證BA%BDFSAS,DF=AC=AE=4,ZBDF=90°同

13、理可證4BA黃FECAB=AD=EF=3四邊形AEFD平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形DF/AE,DF±BD延長(zhǎng)EA交BD于H點(diǎn),AH,BD那么H為BD中點(diǎn)3,平行四邊形AEFD的面積=DFXDH=4X-=6.2DGQQ.C工A.<B月A,A:A3AaB【思路點(diǎn)撥】可以設(shè)平行四邊形ABC而面積是S,根據(jù)等分點(diǎn)的定義利用平行四邊形ABCDA4B2GD的面積,從而得到兩個(gè)四的面積減去四個(gè)角上的三角形的面積,就可表示出四邊形邊形面積的關(guān)系,即可求解.【答案】C;【解析】解：設(shè)平行四邊形ABC而面積是S,設(shè)AB=5a,BC=3b.AB邊上的高是3x,BC邊上的高是5y.S

14、那么S=5a?3x=3b?5y.即ax=by=.1514一AAD與B2CC全等,B2O-BC=b,BC邊上的圖是_?5y=4y.352S那么aAAQ和AB2CC的面積是2by=.15S同理!2GD與4A4BB的面積是.15262ssS9S9S那么四邊形A4B2CO的面積是S-26-26-=9S,即咨=1,151515151515.一5解得S=5.3【總結(jié)升華】考查平行四邊形的性質(zhì)和三角形面積計(jì)算,正確利用等分點(diǎn)的定義,得到兩個(gè)四邊形的面積的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵.類型二、三角形的中位線AE,垂足C4、如圖,ABC的周長(zhǎng)為26,點(diǎn)D,E都在邊BC上,/ABC的平分線垂直于為Q/ACB的平分線垂直于

15、AD,垂足為P,假設(shè)BC=10,那么PQ的長(zhǎng)為A.-B.-C.3D.4【答案】C;【解析】解：易證ABQEBQ,AB=BE,Q為AE中點(diǎn),ACFADCP,AC=CDP為AD中點(diǎn),八1 .PQ/DE,PQ=-DE,2 .AB+AC+BC=26,BC=10, .AB+AC=BE+CD=16=BD+DE+DE+EC=BC+DE,.DE=6,PQ=1DE=3.2【總結(jié)升華】此題考查了三角形的中位線定理及等腰三角形的判定,注意培養(yǎng)自己的敏感性,一般出現(xiàn)高、角平分線重合的情況,都需要找到等腰三角形.類型三、多邊形內(nèi)角和與外角和5、假設(shè)一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于600,那么它的內(nèi)角和等于A.180°

16、;B,720°C.1080°D,540°【思路點(diǎn)撥】由一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于60°,根據(jù)n邊形的外角和為3600計(jì)算出多邊形的邊數(shù)n,然后根據(jù)n邊形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可.【答案】B；【解析】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,多邊形的每個(gè)外角都等于60°,n=360+60°=6,這個(gè)多邊形的內(nèi)角和=62X180°=720°.【總結(jié)升華】此題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和=n-2?180°；也考查了n邊形的外角和為360°.舉一反三：【變式】2021秋？小金縣校級(jí)期末一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等,

17、且一個(gè)外角比一個(gè)內(nèi)角大60°,求這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)及邊數(shù).【答案】解：設(shè)內(nèi)角是x,外角是y0,yx60那么得到一個(gè)方程組y,xy=180口x=60解得y=120而任何多邊形的外角是360°,那么多邊形中外角的個(gè)數(shù)是360+120=3,故這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是60.,邊數(shù)是三邊形.C6、甲、乙兩人想在正五邊形ABCD西部找一點(diǎn)P,使得四邊形ABP日平行四邊形,其作法如下：甲連接BDCE兩線段相交于P點(diǎn),那么P即為所求乙先取CD的中點(diǎn)M,再以A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫弧,交AM于P點(diǎn),那么P即為所求.對(duì)于甲、乙兩人的作法,以下判斷何者正確？A.兩人皆正確B.兩人皆錯(cuò)

18、誤C.甲正確,乙錯(cuò)誤D.甲錯(cuò)誤,乙正確的度數(shù),根據(jù)平行四【思路點(diǎn)撥】求出五邊形的每個(gè)角的度數(shù),求出/ABR/AER/BPE邊形的判定判斷即可.【答案】C;【解析】解：甲正確,乙錯(cuò)誤,一,5-2180理由是：如圖,二.正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是=108AB=BC=CD=DAE,/DEG=/DC21X(180°-108°)=36°,2同理/CBD=ZCDB=36°, ./ABR=/AEA108°-36°=72°,/BPE=360°108°-72°-72°=108°=/A, 四邊形ABP弱平