導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、拉格朗日一、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 二、洛必達(dá)（二、洛必達(dá)（L Hospital）法則）法則 三、函數(shù)的單調(diào)性三、函數(shù)的單調(diào)性 四、函數(shù)的極值四、函數(shù)的極值 五、函數(shù)的凸凹性和拐點(diǎn)五、函數(shù)的凸凹性和拐點(diǎn) 六、函數(shù)的漸近線六、函數(shù)的漸近線本節(jié)主要內(nèi)容有：本節(jié)主要內(nèi)容有：一、一、 Lagrange中值定理中值定理定理定理 （拉格朗日定理）（拉格朗日定理） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)在在a,b上上有定義，如果有定義，如果 （1）函數(shù)）函數(shù) f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上連續(xù)上連續(xù)； （2）函數(shù)）函數(shù) f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)

2、內(nèi)可導(dǎo)； 則在則在(a，b)內(nèi)內(nèi)至少存在至少存在一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn) a x1 ，則存在一點(diǎn)，則存在一點(diǎn) ，使得，使得故故 f ( x1)=f ( x2)由于由于x1 , x2是任意選取的，故在整個(gè)是任意選取的，故在整個(gè)(a , b)區(qū)間內(nèi)，區(qū)間內(nèi)，f (x)取恒定的值，即取恒定的值，即 f (x)在在(a , b)恒為常數(shù)。我們假設(shè)它為恒為常數(shù)。我們假設(shè)它為c，故可得，故可得 f (x)=c。推論推論2：如果對(duì)于任意如果對(duì)于任意x(a , b) ，有，有f (x) = g(x) ，則，則f (x)= g(x)+c(c為常數(shù)為常數(shù)) 故由推論故由推論1知知 f (x)g(x)=c 即即 f (x)=g

3、(x)+c 由已知條件知由已知條件知 u(x)=0證明：證明：令令u(x)=f (x)g(x) , 則則 u(x)=f (x)g(x)例例: :.)1ln(1,0 xxxxx 時(shí)時(shí)證證明明當(dāng)當(dāng)證證),1ln()(xxf 設(shè)設(shè), 0)(上上滿滿足足拉拉氏氏定定理理的的條條件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即()(),( )( ),( )0lim.( )0 xaxxaxf xF xf xF x 如如果果當(dāng)當(dāng)或或時(shí)時(shí) 兩兩個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)

4、與與都都趨趨于于零零或或都都趨趨于于無無窮窮大大 那那么么極極限限稱稱為為或或型型不不定定式式例如例如,tanlim0 xxx)00(,sinlnsinlnlim0bxaxx)( 定義定義:二、二、 Lhospital法則法則定理定理1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x), g(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某個(gè)去心的某個(gè)去心鄰域上有定義，如果鄰域上有定義，如果（1）當(dāng)）當(dāng) x x0 時(shí)，時(shí)，函數(shù)函數(shù) f(x)及及g(x)都趨于都趨于0或都趨于無窮大；或都趨于無窮大；（2）函數(shù)）函數(shù) f (x)，g(x)在在 x0 的某個(gè)去心鄰域的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且g (x) 0 ； （3）極限）極限 存在（或者為

5、無存在（或者為無窮大）窮大）, 則有則有)( )( lim0 xgxfxx)( )( lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx 如果極限如果極限 仍屬于仍屬于 型的不定式，且滿足定理的條件，則可型的不定式，且滿足定理的條件，則可以繼續(xù)使用上述定理，即以繼續(xù)使用上述定理，即)()(lim0 xgxfxx或00)()(lim)()(lim)()(lim 000 xgxfxgxfxgxfxxxxxx例例1 求極限求極限 .sinlim30 xxxx20303cos1limsinlimxxxxxxx616sinlim0 xxx解解：容易驗(yàn)證，該極限滿足洛必達(dá)法則的：容易驗(yàn)證，該極限滿足洛必達(dá)

6、法則的要求，所以要求，所以 定理定理 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x), g(x)在在| x| N 時(shí)有定義，如時(shí)有定義，如果果 （1）當(dāng)）當(dāng) x 時(shí)，時(shí)，函數(shù)函數(shù) f(x)及及g(x)都趨于都趨于0或都或都趨于無窮大；趨于無窮大； （2）函數(shù)）函數(shù) f(x)，g(x)在在 | x| N 時(shí)可導(dǎo)，且時(shí)可導(dǎo)，且g (x) 0 ； （3）極限）極限 存在（或者為無存在（或者為無窮大）；窮大）； 則有則有)()(lim)()(limxgxfxgxfxx)()(limxgxfx如果極限如果極限 仍屬于仍屬于 型的不定式，且滿足定理的條件，則可型的不定式，且滿足定理的條件，則可以繼續(xù)使用上述定理，即以繼續(xù)使用

7、上述定理，即)()(limxgxfx或00)()(lim)()(lim)()(lim xgxfxgxfxgxfxxx例例2 求極限求極限.sinln3sinlnlim0 xxxxxxxxxxxsincos33sin3coslimsinln3sinlnlim0013sinsinlim30 xxx解解：這是一個(gè)：這是一個(gè) 型的不定式，且滿足洛必達(dá)型的不定式，且滿足洛必達(dá)法則的條件，所以有法則的條件，所以有例例3 求極限求極限lim(,0nxxxne為正整數(shù)）xnxexlimxnxxnxexnnenx221) 1(limlim0!limxnxen解解：這是一個(gè)：這是一個(gè) 型的不定式，且滿足羅型的不定

8、式，且滿足羅必達(dá)法則的條件，相繼應(yīng)用洛必達(dá)法則必達(dá)法則的條件，相繼應(yīng)用洛必達(dá)法則 n次，次，即有即有例例4 求極限求極限.lim2120 xxex2120limxxex0（對(duì)于這種類型的不定式，我們也可以將其變形為（對(duì)于這種類型的不定式，我們也可以將其變形為 形）形） 002101lim2xexxueuu lim1limuue解解：這是一個(gè)：這是一個(gè) 型的不定式，將它變形為型的不定式，將它變形為 形形 例例 5 求極限求極限xxxxln11lim1xxxxln11lim10000000101xxxxxxln) 1(1lnlim1則則解解：對(duì)于這種：對(duì)于這種 型的不定式，我們的型的不定式，我們的

9、方法是方法是2lnln1limln) 1(1lnlim11xxxxxxxxx21)ln2(lim)ln1 (lim11xxxx例例6：求求解：解：xxx1limxxxxxexln11limlim011limlnlimln1limxxxxxxxx1lim0ln1lim1eexxxxxx)(0根據(jù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)性，我們可以把極限號(hào)根據(jù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)性，我們可以把極限號(hào)拿入，故拿入，故其中其中例例7：求求解：解：xxx0limxxxxxexln00limlim1lim0lnlim00eexxxxxx)0(0 xxxlnlim0 xxx1lnlim00lim11lim020 xxxxx根據(jù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)性，

10、我們可以把極限號(hào)拿入，根據(jù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)性，我們可以把極限號(hào)拿入，故故其中其中例例8：求求解：解：xxxxcos110)sin(limxxxxxxexxsinlncos110cos110limsinlim)1 (01sinlimln1 cosxxxx而0sinlnlim1 cosxxxx22000cossinsinlimlimsinsin2 sincos11limsin32cosxxxxxxxxxxxxxxxxx 011cos01sin1limln1cos3sinlimxxxxxxxxee故故對(duì)于對(duì)于 這三種類型求極限，這三種類型求極限，我們要使用洛必達(dá)法則時(shí)，先將其化為指我們要使用洛必達(dá)法則時(shí)

11、，先將其化為指數(shù)函數(shù)的形式，再對(duì)其指數(shù)使用洛必達(dá)法數(shù)函數(shù)的形式，再對(duì)其指數(shù)使用洛必達(dá)法則求極限，然后根據(jù)我們的復(fù)合函數(shù)連續(xù)則求極限，然后根據(jù)我們的復(fù)合函數(shù)連續(xù)性，就可以把極限符號(hào)拿進(jìn)函數(shù)符號(hào)里面，性，就可以把極限符號(hào)拿進(jìn)函數(shù)符號(hào)里面，這樣我們就可以求出極限了。這樣我們就可以求出極限了。1 ,000注意注意三、函數(shù)的單調(diào)性三、函數(shù)的單調(diào)性abxy=f(x)axby=f(x)f (x)=tan0f (x)=tan0單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)單調(diào)減函數(shù)單調(diào)減函數(shù)沿沿 x 軸正向逐漸上升軸正向逐漸上升沿沿 x 軸正向逐漸下降的曲線軸正向逐漸下降的曲線定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間在區(qū)間 （a，b）內(nèi)

12、可）內(nèi)可導(dǎo)，如果在區(qū)間（導(dǎo)，如果在區(qū)間（a，b）內(nèi)，）內(nèi)， f (x) 0 （或（或 f (x) 0，因此，因此， f( x2) f( x1)。即。即 f(x)為單調(diào)增加。為單調(diào)增加。( 對(duì)于單調(diào)減少的情況類似可對(duì)于單調(diào)減少的情況類似可以證明。以證明。)證明：證明：在區(qū)間（在區(qū)間（a，b）內(nèi)的任意兩點(diǎn)）內(nèi)的任意兩點(diǎn) x1 ， x2 ，且，且設(shè)設(shè) x1 x2 ，則，則f( x)在在x1 ， x2上滿足拉格上滿足拉格朗日中值定理，從而有朗日中值定理，從而有利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性關(guān)系求單調(diào)區(qū)間的步驟：利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性關(guān)系求單調(diào)區(qū)間的步驟：4、判斷分段區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，利用定理、判斷分段區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，利

13、用定理 判斷在判斷在 此區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性。此區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性。3、以上述求出的點(diǎn)作為分界點(diǎn)劃分區(qū)間；、以上述求出的點(diǎn)作為分界點(diǎn)劃分區(qū)間；2、找出使一階導(dǎo)數(shù)為零或使其不存在的點(diǎn)；、找出使一階導(dǎo)數(shù)為零或使其不存在的點(diǎn)；1、先求給定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；、先求給定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；例例 1 確定函數(shù)確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。31292)(23xxxxf2( )618126(1)(2)f xxxxx當(dāng)當(dāng)x=1 和和 x=2時(shí)，時(shí)， f (x) =0，故以，故以1，2作為作為分界點(diǎn)。分界點(diǎn)。解解：該函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ涸摵瘮?shù)的定義域?yàn)椋? ， ），由于），由于當(dāng)當(dāng) x （- ，1）時(shí)，有）時(shí)，有 f

14、(x) 0，所以，所以，函數(shù)函數(shù) f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為單調(diào)增加。在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為單調(diào)增加。當(dāng)當(dāng) x （1，2）時(shí)，有）時(shí)，有 f (x) 0，所以，函，所以，函數(shù)數(shù) f(x)在該區(qū)間內(nèi)為單調(diào)減少。在該區(qū)間內(nèi)為單調(diào)減少。當(dāng)當(dāng) x （2， ）時(shí)，有）時(shí)，有 f (x) 0，所以，函，所以，函數(shù)數(shù) f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為單調(diào)增加。在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為單調(diào)增加。例例 2 證明證明 ) 0(1)1ln(122xxxxx221)1ln(1)(xxxxxf)0(,0)1ln()(2xxxxf【注意】可用單調(diào)性條件來比較給定區(qū)間上兩個(gè)函【注意】可用單調(diào)性條件來比較給定區(qū)間上兩個(gè)函 數(shù)的大小。數(shù)的大小。又由于又由于

15、f(0) = 0，所以，所以， f(x) f(0)=0，即不等式成立。，即不等式成立。從而，當(dāng)從而，當(dāng) x （0， ）時(shí)，）時(shí)，函數(shù)函數(shù) f(x)為單調(diào)增加。為單調(diào)增加。則則證明證明：令：令四、四、 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值1.函數(shù)的極值函數(shù)的極值 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)在在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)對(duì)于該鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn) x ，只要，只要 x x0 ，就一定，就一定滿足滿足 f(x) f(x0)（或（或 f(x) f(x0)）, 則稱則稱f(x0)為函數(shù)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值（或極小值），而點(diǎn)的一個(gè)極大值（或極小值），而點(diǎn)

16、x0稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)的極大值（或極小值）點(diǎn)。的極大值（或極小值）點(diǎn)。 函數(shù)的極大值和極小值函數(shù)的極大值和極小值 統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。而統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。而 極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng) 稱為極值點(diǎn)。稱為極值點(diǎn)。xy0 x0ab注意注意：函數(shù)的極值是函數(shù)的一個(gè)局部最大：函數(shù)的極值是函數(shù)的一個(gè)局部最大值或局部最小值，它通常并不等于函數(shù)的值或局部最小值，它通常并不等于函數(shù)的整體最大值或最小值。函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上整體最大值或最小值。函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上可能有若干個(gè)極大值和極小值，極大值可可能有若干個(gè)極大值和極小值，極大值可能必極小值還小，因?yàn)闃O值是一個(gè)局部性能必極小值還小，因?yàn)闃O值是一個(gè)局

17、部性的概念。的概念。同時(shí)，我們還看到，在同時(shí)，我們還看到，在函數(shù)取得極值的地方，曲函數(shù)取得極值的地方，曲線的切線是水平的，即線的切線是水平的，即 f (x)=0；但切線水平，即；但切線水平，即 f (x)=0，該點(diǎn)未必取極值，該點(diǎn)未必取極值，如下圖所示此類點(diǎn)。如下圖所示此類點(diǎn)。定理定理 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0可導(dǎo)，且函數(shù)可導(dǎo)，且函數(shù) f(x)在在點(diǎn)點(diǎn) x0 取得極值，則取得極值，則 f ( x0 ) = 0。注意，當(dāng)函數(shù)注意，當(dāng)函數(shù) f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0不可導(dǎo)時(shí)，上述定理不可導(dǎo)時(shí)，上述定理不成立，但它也可能會(huì)取得極值。例如，函不成立，但它也可能會(huì)取得極值。例如，函數(shù)數(shù)()f

18、xx在在 x0 = 0 處不可導(dǎo)，但處不可導(dǎo)，但f (0)=0為函數(shù)的極小值。為函數(shù)的極小值。 今后，今后，我們稱使得我們稱使得 f ( x ) = 0 的點(diǎn)為函數(shù)的點(diǎn)為函數(shù) f(x) 的駐點(diǎn)（顯然，可導(dǎo)下的極值點(diǎn)必的駐點(diǎn)（顯然，可導(dǎo)下的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)）。是駐點(diǎn)）。 函數(shù)的極值點(diǎn)只可能在駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在函數(shù)的極值點(diǎn)只可能在駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在 的點(diǎn)中取得。的點(diǎn)中取得。定理定理 2 （函數(shù)在一點(diǎn)取得極值的第一充分條件）（函數(shù)在一點(diǎn)取得極值的第一充分條件）設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù) f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在點(diǎn) x0處連續(xù)，處連續(xù)，則有如下結(jié)果：則有如下結(jié)果：（1）當(dāng)）當(dāng) x

19、x0 時(shí)，有時(shí)，有 f (x) 0 ；當(dāng)；當(dāng) x x0 時(shí)，有時(shí)，有 f (x) 0；則函數(shù)在點(diǎn)；則函數(shù)在點(diǎn) x0處取得極大值。處取得極大值。（2）當(dāng)）當(dāng) x x0 時(shí)，有時(shí)，有 f (x) 0 ；當(dāng)；當(dāng) x x0 時(shí)，有時(shí)，有 f (x) 0；則函數(shù)在點(diǎn)；則函數(shù)在點(diǎn) x0處取得極小值。處取得極小值。（3）如果在）如果在 x0 的兩側(cè)，導(dǎo)數(shù)的兩側(cè)，導(dǎo)數(shù) f (x) 不變號(hào)，則函不變號(hào)，則函 數(shù)在點(diǎn)數(shù)在點(diǎn) x0處不能取得極值。處不能取得極值。例：例：.593)(23的的極極值值求求函函數(shù)數(shù) xxxxf解解)3)(1(3963)()1(2 xxxxxf，令令0)()2( xf. 3, 121 xx

20、得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)極大值極大值x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf0 0 0 00極小值極小值)3(593)(23 xxxxf圖形如下圖形如下)3(f極小值極小值.22 )1()4( f極大值極大值,10 MN322( ).3f xxx 練練習(xí)習(xí): : 求求函函數(shù)數(shù)的的極極值值解解例：例：.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf31)2(32)(2 xxfx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng).)(,2不不存存在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的的極極大大值值為為xff M定理定理 3 （函數(shù)在一點(diǎn)取得極值的第二充分條件

21、）（函數(shù)在一點(diǎn)取得極值的第二充分條件） 設(shè)函設(shè)函數(shù)數(shù) f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 有二階導(dǎo)數(shù)，且有二階導(dǎo)數(shù)，且 f (x0) = 0，則函數(shù)，則函數(shù) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 有極值：有極值：（1）當(dāng)）當(dāng) f (x0) 0 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 有極大值；有極大值；（2）當(dāng)）當(dāng) f (x0) 0 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 有極小值；有極小值；（3）當(dāng)）當(dāng) f (x0) = 0 時(shí)，無法判定時(shí)，無法判定 f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 是否是否 取得極值。取得極值。（第（第（3）個(gè)的情況如）個(gè)的情況如f (x)=x3在在x=0點(diǎn)處，不取極值；點(diǎn)處，不取極值；而而g(x)=

22、x4 在在x=0點(diǎn)處，可以取到極小值。）點(diǎn)處，可以取到極小值。）例例.1)1()(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf解解22) 1(6)() 1 ( xxxf，令令0)() 2( xf. 1, 0, 1321 xxx得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)) 15)(1( 6)()3(22 xxxf06)0()4( f(0)0f 故故極極小小值值 第第二二充充分分條條件件失失效效。 ,)(f)(f0115 .1)1()(32的圖形如下的圖形如下函數(shù)函數(shù) xxf-2-1120.511.522.5;)x(fx01 左左側(cè)側(cè)鄰鄰近近的的值值時(shí)時(shí)，取取當(dāng)當(dāng);)x(fx01 右右側(cè)側(cè)鄰鄰近近的的值值時(shí)時(shí)，取取當(dāng)當(dāng)點(diǎn)沒有極值。

23、點(diǎn)沒有極值。在在故故1 x)x(f點(diǎn)也沒有極值。點(diǎn)也沒有極值。在在同理同理1 x)x(f【注意注意】如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)存在二階導(dǎo)】如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)存在二階導(dǎo)數(shù)，且一階導(dǎo)數(shù)為零，那么判斷在這一點(diǎn)處數(shù)，且一階導(dǎo)數(shù)為零，那么判斷在這一點(diǎn)處是否取得極值，我們使用第一、第二判別法是否取得極值，我們使用第一、第二判別法均可；若其左右鄰域內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)很難判均可；若其左右鄰域內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)很難判斷，則可用第二判別法。斷，則可用第二判別法。而對(duì)于而對(duì)于一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，我們要判斷其，我們要判斷其是否為極值點(diǎn)，就直接用第一判別法判斷。是否為極值點(diǎn)，就直接用第一判別法判斷。利用導(dǎo)數(shù)求極值

24、的步驟：利用導(dǎo)數(shù)求極值的步驟：4.判斷分段區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，利用定理判斷分段區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，利用定理 判斷第判斷第2步中所求出的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。步中所求出的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。3.以上述求出的點(diǎn)作為分界點(diǎn)劃分區(qū)間；以上述求出的點(diǎn)作為分界點(diǎn)劃分區(qū)間；2.找出使一階導(dǎo)數(shù)為零或使其不存在的點(diǎn)；找出使一階導(dǎo)數(shù)為零或使其不存在的點(diǎn)；1.先求給定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；先求給定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的最值函數(shù)的最值由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值。根據(jù)函數(shù)極值的定一定存在最大值和最小值。根據(jù)函數(shù)極值的定義，連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值只能在區(qū)間的義

25、，連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值只能在區(qū)間的端點(diǎn)、駐點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)中取得。端點(diǎn)、駐點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)中取得。1.1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); ;2.求區(qū)間求區(qū)間端點(diǎn)端點(diǎn)及及駐點(diǎn)駐點(diǎn)和和不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值的函數(shù)值,比比較大較大小小,哪個(gè)最大哪個(gè)就是最大值哪個(gè)最大哪個(gè)就是最大值,那個(gè)那個(gè)最小那個(gè)就是最小值最小那個(gè)就是最小值;求最值的步驟求最值的步驟: :)1)(2(6)( xxxf得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7 )4(f;142解解計(jì)算計(jì)算32231214 3,4.yxxx 求求函函數(shù)數(shù)在在上上的的最最大大值值

26、與與最最小小值值例：例：，最大值最大值142)4( f. 7)1( f最最小小值值比較得比較得14123223 xxxy例例 求求 的極值的極值, 并問是否存在最值。并問是否存在最值。xexxf2)(xxexxexxxf)2()2()(2當(dāng)當(dāng) x (0， ) 時(shí)時(shí), 有有 f (x) 0 ；當(dāng)當(dāng) x (-2，0 ) 時(shí)時(shí), 有有 f (x) 0，則函，則函數(shù)數(shù) f (x)在區(qū)間（在區(qū)間（a, b）上的圖形是凹的；）上的圖形是凹的；（2) 若對(duì)任意若對(duì)任意x(a ,b)， 有有 f (x) 0f ”(x)0例例: :.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點(diǎn)及的拐點(diǎn)及求曲線求曲線 xxy解解),

27、(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( (2,)/3/3(0,2)/3/302/3/3)(xf )(xf 00上凹上凹上凸上凸上凹上凹拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)(0,1)(2,11)/ /3 3/ /2 27 7(,0,0,2,2,). 凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間為為/ /3 3/ /3 3利用導(dǎo)數(shù)判斷曲線凹凸性及拐點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷曲線凹凸性及拐點(diǎn)：（3）判別）判別f ”(x) 在每個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而得出在每個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而得出曲線在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的凹凸性，同時(shí)可以確定出上述曲線在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的凹凸性，同時(shí)可以確定出上述各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)是否

28、為拐點(diǎn)（各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)是否為拐點(diǎn)（拐點(diǎn)可以是二拐點(diǎn)可以是二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，也可以是二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，也可以是二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，但是一定要求拐點(diǎn)兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)但是一定要求拐點(diǎn)兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)）。）。（2）求）求f ”(x) 等于零和不存在的點(diǎn)，并用這些點(diǎn)將等于零和不存在的點(diǎn)，并用這些點(diǎn)將其定義域分成若干個(gè)開區(qū)間；其定義域分成若干個(gè)開區(qū)間；（1）求）求f ”(x) ；六、函數(shù)曲線的漸近線六、函數(shù)曲線的漸近線求漸近線實(shí)際上是考慮曲線遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)的變化求漸近線實(shí)際上是考慮曲線遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)的變化狀態(tài)，可以讓我們對(duì)函數(shù)的整體變化有一個(gè)較狀態(tài)，可以讓我們對(duì)函數(shù)的整體變化有一個(gè)較全面的認(rèn)識(shí)。在函數(shù)作圖時(shí)規(guī)范出了函數(shù)曲線全面的認(rèn)識(shí)。在函數(shù)作圖時(shí)規(guī)范出了函數(shù)曲線的基本變化范圍。的基本變化范圍。定義定義 當(dāng)曲線當(dāng)曲線 C上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn) M 沿著曲線無沿著曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，如果限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，如果 M 與某一直線與某一直線 L