試驗(yàn)設(shè)計(jì)(陳魁)第三章

1、3.3 混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì) 83第3章 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)在生產(chǎn)實(shí)踐中，試制新產(chǎn)品、改革工藝、尋求好的生產(chǎn)條件等，這些都需要先做試驗(yàn). 而試驗(yàn)總要花費(fèi)時(shí)間，消耗人力、物力，因此人們總希望做試驗(yàn)的次數(shù)盡量少，而得到的結(jié)果盡可能好.要達(dá)到這個(gè)目的，就必須事先對(duì)試驗(yàn)作合理的安排，也就是要進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì).實(shí)際問題是復(fù)雜的，對(duì)試驗(yàn)有影響的因素往往是多方面的.我們要考察各因素對(duì)試驗(yàn)影響的情況.在多因素、多水平試驗(yàn)中，如果對(duì)每個(gè)因素的每個(gè)水平都互相搭配進(jìn)行全面試驗(yàn)，需要做的試驗(yàn)次數(shù)就會(huì)很多.比如多兩個(gè)7水平的因素，如果兩因素的各個(gè)水平都互相搭配進(jìn)行全面試驗(yàn)，要做=49次試驗(yàn)，而3個(gè)7水平的因素要進(jìn)行全面試驗(yàn)，就

2、要做=343次試驗(yàn)，照這樣，對(duì)6個(gè)7水平的因素，進(jìn)行全面試驗(yàn)就要做=117649次試驗(yàn).做這么多次試驗(yàn)，要花費(fèi)大量的人力、物力，還要用相當(dāng)長的時(shí)間，顯然是非常困難的.有時(shí)，由于時(shí)間過長，條件改變，還會(huì)使試驗(yàn)失效.人們?cè)陂L期的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，要得到理想的結(jié)果，并不需要進(jìn)行全面試驗(yàn)，即使因素個(gè)位、水平都不太多，也不必做全面試驗(yàn).尤其對(duì)那些試驗(yàn)費(fèi)用很高，或是具有破壞性的試驗(yàn)，更不要做全面試驗(yàn).我們應(yīng)當(dāng)在不影響試驗(yàn)效果的前提下，盡可能地減少試驗(yàn)次數(shù).正交設(shè)計(jì)就是解決這個(gè)問題的有效方法.正交設(shè)計(jì)的主要工具就是正交表，用正交表安排試驗(yàn)是一種較好的方法，在實(shí)踐中已得到廣泛的應(yīng)用.3.1 正交表及其用法正交表是一

3、種特制的表格.這里介紹表的記號(hào)、特點(diǎn)及用法。下面以為例來說明.這個(gè)正交表的格式如表3.1.1.表 3.1.1 正 交 表 列號(hào)試驗(yàn)號(hào)123 411111212223133342123522316231273132832139 3321是什么意思呢？字母表示正交表；數(shù)字9表示這張表共有9行，說明用這張表來安排試驗(yàn)要做9次試驗(yàn)；數(shù)字4表示這張表共有4列，說明用這張表最多可安排4個(gè)因素；數(shù)字3表示在表中主體部分只出現(xiàn)1,2,3三個(gè)數(shù)字，他們分別代表因素的3個(gè)水平，說明各因素都是3個(gè)水平的.一般的正交表記為，n是表的行數(shù)，也就是要安排的試驗(yàn)次數(shù)；k是表中列數(shù)，表示因數(shù)的個(gè)數(shù)；m是各因數(shù)的水平數(shù).常見的

4、正交表中，2水平的有 等，這幾張表中的數(shù)字2表示各因素都是2水平的；試驗(yàn)要做的次數(shù)分別為4,8，12,16；最多可安排的因素分別為3,7,11,15.3水平的正交表有,這兩張表中的數(shù)字3表示各因素都是3水平的，要做的試驗(yàn)次數(shù)分別為9,27；最多可安排的因素分別為4,13.還有4水平的正交表如，5水平的正交表如，等等.詳細(xì)情況見書后的附表.正交表有下面兩條重要性質(zhì)：（1）每列中不同數(shù)字表現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如，每列中不同的數(shù)字是1,2,3，它們各出現(xiàn)3次；（2）在任意兩列中，將同一行的兩個(gè)數(shù)字看成有序數(shù)列時(shí)，每種數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如，有序數(shù)對(duì)共有9個(gè)： （1,1），（1,2），（1,3），（

5、2，1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），它們各出現(xiàn)一次.由于正交表有這兩條性質(zhì)，用它來安排試驗(yàn)時(shí)，各因素的各種水平的搭配是均衡的，這是正交表的優(yōu)點(diǎn).下面通過具體例子來說明如何用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì).例 3.1.1 某煉鐵廠為了提高鐵水溫度，需要通過試驗(yàn)選擇最好的生產(chǎn)方案，經(jīng)初步分析，主要有3個(gè)因素影響鐵水溫度，它們是焦比、風(fēng)壓和底焦高度，每個(gè)因素都考慮3個(gè)水平，具體情況如表3.1.2.問對(duì)這3個(gè)因素的3個(gè)水平如何安排，才能獲得最高的鐵水溫度？表 3.1.2因素水平A焦比B風(fēng)壓/113PaC底焦高度/m11:161701.221:182301.531:142001.3

6、解 在這個(gè)問題中，人們關(guān)心的是鐵水溫度，稱它為試驗(yàn)指標(biāo).如何安排試驗(yàn)才能獲得最高的鐵水溫度，這只能通過試驗(yàn)才能解決.這里有3個(gè)因素，每個(gè)因素有3個(gè)水平，是一個(gè)3因素3水平的問題.如果每個(gè)因素的每個(gè)水平都互相搭配著進(jìn)行全面試驗(yàn)，必須做試驗(yàn)次，我們把所有可能的搭配試驗(yàn)編號(hào)寫出，列在表3.1.3中.表 3.1.3序 號(hào)ABC序 號(hào)ABC111115223211216231311317232412118233512219311612320312713121313813222321913323322102112432311212253311221326332132212733314222進(jìn)行27次試驗(yàn)要

7、花很多時(shí)間，耗費(fèi)不少的人力、物力，我們希望減少試驗(yàn)次數(shù)，但又不能影響試驗(yàn)的結(jié)果，因此，不能隨便地減少試驗(yàn)，應(yīng)當(dāng)把有代表性的搭配保留下來，為此，我們按表（表3.1.1）中前3列的情況從27個(gè)試驗(yàn)中選出9個(gè)，它們的序號(hào)分別為1，5,9,11,15,16,21,22,26，將這9個(gè)試驗(yàn)按新的編號(hào)19寫出來，正好是正交表的前3列，如表3.1.4. 表 3.1.4因素 編號(hào)ABC111121223133421252236231731383219332 由前面對(duì)正交表的分析可知，這9個(gè)試驗(yàn)中各因素的每個(gè)水平的搭配都是均衡的.每個(gè)因素的每個(gè)水平都做了3次試驗(yàn)；每兩個(gè)因素的每一種水平搭配都做了1次試驗(yàn).從這9

8、個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果就可以分析清楚每個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響.雖然只做了9個(gè)試驗(yàn)（只占全部試驗(yàn)的1/3），但是能夠了解到全面情況.可以說這9個(gè)試驗(yàn)代表了全部試驗(yàn).按選定的這9個(gè)試驗(yàn)進(jìn)行試驗(yàn)，表3.1.4就成為具體的試驗(yàn)方案表，將每次試驗(yàn)測得的鐵水溫度記錄下來，得數(shù)值見表3.1.5.試驗(yàn)編號(hào)123456789鐵水溫度/136513551385139013951380139013901410表 3.1.5為便于分析計(jì)算，把這些溫度值列在表3.1.4的右邊，做成一個(gè)新的表3.1.6，這張表便于對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析計(jì)算.由于鐵水溫度數(shù)值較大，可把每一個(gè)鐵水溫度的值都減去1350，得到9個(gè)較小的數(shù)，這樣是計(jì)算簡單，

9、對(duì)這組新數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，與對(duì)原數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，效果是相同的.表 3.1.6因素試驗(yàn)號(hào)1A2B3C鐵水溫度/鐵水溫度值減去135011111365152122139545313313853542121390405223139545623113803073131390408321139040933214106095958511513014514012512031.731.728.338.343.348.346.741.740.0極 差15.111.620.0優(yōu) 方 案表3.1.6中下面的8行是分析計(jì)算過程中需要分析的內(nèi)容.這一行的3個(gè)數(shù)，分別是因素A,B,C的第1水平所在的試驗(yàn)中對(duì)應(yīng)的鐵水溫度（減去1

10、350以后）之和.比如對(duì)因素A（第一列），它的第1水平安排在第1,2,3號(hào)試驗(yàn)中，對(duì)應(yīng)的鐵水溫度值（減去1350以后）分別為15,45,35，其和為95，記在這一行的第1列中；對(duì)于因素B（第2列），它的第1水平安排在第1,4,7試驗(yàn)中，對(duì)應(yīng)的鐵水溫度值（減去1350以后）分別為15,40,40，其和為95，記在第一行的第2列中；對(duì)于因素C（第3列），它的第1水平安排在第1,6,8號(hào)試驗(yàn)中，對(duì)應(yīng)得鐵水溫度值（減去1350以后）分別為15,30,40，其和為85，記在這一行的第3列中.類似地，這一行的3個(gè)數(shù)，分別是因素A,B,C的第2水平所在的試驗(yàn)中對(duì)應(yīng)的鐵水溫度（減去1350以后）之和；這一行的

11、3個(gè)數(shù)，分別是因素A,B,C的第3水平所在的試驗(yàn)中對(duì)應(yīng)的鐵水溫度（減去1350以后）之和。這3行的3個(gè)數(shù)，分別是這3行中的3個(gè)數(shù)初一3所得的結(jié)果，也就是各水平所對(duì)應(yīng)的平均值。同一列中，這3個(gè)數(shù)中的最大者減去最小者所得的差叫做極差，一般地說，各列的極差是不同的，這說明各因素的水平改變時(shí)對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響是不同的，極差越，大，這個(gè)因素的水平改變時(shí)對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響越大，極差最大的那一列，則那個(gè)因素的水平改變時(shí)對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響就最大，那個(gè)因素就是我們要考慮的主要因素。這里算出的3列的極差分別為15.0，11.6,20.0，顯然第3列即因素C的極差20.0最大，這說明因素C的水平改變時(shí)對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響最大

12、，因此因素C是我們要考慮的主要因素，它的3個(gè)水平所對(duì)應(yīng)的鐵水溫度（減去1350以后）平均值分別為28.3,48.3，40.0，第2水平所對(duì)應(yīng)的數(shù)值48.3最大，所以取它的第2水平最好，第1列即因素A的極差為15.0，僅次于因素C，它的3個(gè)水平所對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為31.7,38.3,46.7，第3水平所對(duì)應(yīng)的石柱46.7最大，所以取它的第3水平最好，第2列即因素B的極差為11.6，是3個(gè)因素中極差最小的，說明它的水平改變時(shí)對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響最小，它的3個(gè)水平所對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為31.7,43.3,41.7，第2水平所對(duì)應(yīng)的數(shù)值43.3最大，所以取它的第2水平最好。從以上分析可以得出結(jié)論：各因素對(duì)試驗(yàn)指

13、標(biāo)（鐵水溫度）的影響按大小次序來說應(yīng)當(dāng)是C（底焦高度）A（焦比）B（風(fēng)壓）；最好的方案應(yīng)當(dāng)是，即：底焦高度，第2水平，1.5，：焦比，第3水平，1:14，：風(fēng)壓，第2水平，230.可以看出，這里分析出來的最好方案在已經(jīng)做過的9次試驗(yàn)中沒有出現(xiàn)，與它比較接近的是第9號(hào)試驗(yàn)，在第9號(hào)試驗(yàn)中只有風(fēng)壓不是處在最好水平，而且風(fēng)壓對(duì)鐵水溫度的影響是3個(gè)因素中最小的，從實(shí)際做出的結(jié)果看出，第9號(hào)試驗(yàn)中的鐵水溫度是1410，是9次試驗(yàn)中最高的，這也說明我們找出的最好方案是符合實(shí)際的。為了最終確定上面找出的試驗(yàn)方案是否為最好方案，可以按這個(gè)方案再試驗(yàn)一次，看是否會(huì)得出比第9號(hào)試驗(yàn)更好的結(jié)果。若比第9號(hào)試驗(yàn)的效果

14、好，就確定上述方案為最好方案，若不比第9好試驗(yàn)的效果好，可以取第9號(hào)試驗(yàn)為最好方案。如果出現(xiàn)后一種情況，說明我們的理論分析與實(shí)踐有一些差距，最終還是要接受實(shí)踐的檢驗(yàn)?，F(xiàn)將利用正交表安排試驗(yàn)并分析試驗(yàn)結(jié)果的步驟歸納如下：（1） 明確試驗(yàn)?zāi)康模_定要考核的試驗(yàn)指標(biāo)。（2） 根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康模_定要考察的因素和各因素的水平。要通過對(duì)實(shí)際問題的具體分析選出主要因素，略去次要因素，這樣可使因素個(gè)數(shù)少些。如果對(duì)問題不太了解，因素個(gè)數(shù)可適當(dāng)?shù)囟嗳∫恍?，?jīng)過對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的初步分析，再選出主要因素，因素被確定后，隨之確定各因素的水平數(shù)。以上兩條主要靠實(shí)踐來決定，不是數(shù)學(xué)方法所能解決的。（3）選用合適的正交表，安排試驗(yàn)

15、計(jì)劃。首先根據(jù)各因素的水平選擇相應(yīng)水平的正交表。同水平的正交表有好幾個(gè)，究竟選哪一個(gè)要看因素的個(gè)數(shù)。一般只要正交表中因素的個(gè)數(shù)比試驗(yàn)要考察的因素的個(gè)數(shù)稍大或相等就行了。這樣既能保證達(dá)到實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，又使試?yàn)的次數(shù)不至于太多，省工省時(shí)。（4）根據(jù)安排的計(jì)劃進(jìn)行試驗(yàn)，測定各試驗(yàn)指標(biāo)。（5）對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算分析，得出合理的結(jié)論。上述方法一般稱為直觀分析法。這種方法比較簡單，計(jì)算量不大，是一種很實(shí)用的分析方法。最后再說明一點(diǎn)，這種方法的主要工具是正交表，而在因素及其水平都確定的情況下，正交表并不是唯一的，常見的正交表列在本書末的附表中。 3.2 多指標(biāo)的分析方法 在3.1節(jié)的問題中，試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)，考

16、察起來比較方便。但在實(shí)際問題中，需要考察的指標(biāo)往往不止一個(gè)，可能有兩個(gè)、三個(gè)，甚至更多，這都是多指標(biāo)的問題。下面介紹兩種解決多指標(biāo)試驗(yàn)的方法：綜合平衡法和綜合評(píng)分法。這兩種方法都能找出使每個(gè)指標(biāo)都盡可能好的試驗(yàn)方案。 3.2.1 綜合平衡法 下面通過具體例子來說明這種方法。例3.2.1 為提高某產(chǎn)品質(zhì)量，要對(duì)生產(chǎn)該產(chǎn)品的原料進(jìn)行配方試驗(yàn)。要檢驗(yàn)3項(xiàng)指標(biāo)：抗壓強(qiáng)度、落下強(qiáng)度和裂紋度，前兩個(gè)指標(biāo)越大越好，第3個(gè)指標(biāo)越小越好。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，配方中有3個(gè)重要因素：水分、粒度和堿度。它們各有3個(gè)水平，具體數(shù)據(jù)如表3.2.1所示。試進(jìn)行試驗(yàn)分析，找出最好的配方方案。解 這是3因素3水平問題應(yīng)當(dāng)選用正交表

17、來安排試驗(yàn)。把這里的3個(gè)因素依次放在表的前3列（第4列不要），把各列的水平和該列相應(yīng)因素的具體水平對(duì)應(yīng)起來，得出一張具體的試驗(yàn)方案表。按照這個(gè)方案進(jìn)行試驗(yàn)，測出需要檢驗(yàn)的指標(biāo)的結(jié)果，列在表3.2.2中，然后用直觀分析法對(duì)每個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析。表3.2.1因素水平水分A/% 粒度B/% 堿度C/% 1 2 3 8 4 1.1 9 6 1.3 7 8 1.5表3.2.2因素試驗(yàn)號(hào)1 2 3 A B C 各指標(biāo)的試驗(yàn)結(jié)果抗壓強(qiáng)度/（kg/個(gè)） 落下強(qiáng)度/ (0.5m/次) 裂紋度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 2 2 1 3 3 2 1 2 2 2 3 2 3 1 3 1

18、3 3 2 1 3 3 211.54.511.07.08.018.59.08.013.41.13.64.61.11.615.11.14.620.2344320321抗壓強(qiáng)度 27.0 27.5 38.033.5 20.5 24.930.4 42.9 28.0 9.0 9.2 12.711.2 6.8 8.310.1 14.3 9.3 極差2.2 7.5 12.7 列 號(hào) 優(yōu)方案 1 2 3A B C裂紋度 11 9 5 5 8 8 6 5 9落下強(qiáng)度 9.3 3.3 20.8 17.8 9.8 24.9 25.9 39.9 7.3 3.7 3.0 1.7 1.7 2.7 2.7 2.0 1.7

19、 3.0 3.1 1.1 6.9 5.9 3.3 8.3 8.6 13.3 2.4 極差 2.0 1.3 1.3極差 5.5 12.2 5.9 優(yōu)方案 優(yōu)方案 用和例3.1.1完全一樣的方法，對(duì)3個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析，得出3個(gè)好的方案：對(duì)抗壓強(qiáng)度和裂紋度都是；對(duì)落下強(qiáng)度是。這3個(gè)方案不完全相同，對(duì)一個(gè)指標(biāo)是好方案，而對(duì)另一個(gè)指標(biāo)卻不一定是好方案，如何找出對(duì)各個(gè)指標(biāo)都較好的一個(gè)共同方案呢？這正是我們下面要解決的問題。為便于綜合分析，我們將各指標(biāo)隨因素水平變化的情況用圖形表示出來，畫在圖3.2.1中（為了看得清楚，將各點(diǎn)用線段連起來，實(shí)際上并不是直線）。堿度粒度水分抗壓強(qiáng)度/(kg/個(gè)) 7 8

20、 91413121110 9 8 7 6 04 6 81.1 1.3 1.516141210 8 6 4 2 0落下強(qiáng)度/（0.5m/次） 7 8 9 4 6 8 1.1 1.3 1.5 7 8 9 4 6 8 1.1 1.3 1.5裂紋度3210圖 3.2.1 把圖3.2.1和表3.2.2結(jié)合起來分析，看每一個(gè)因素對(duì)各指標(biāo)的影響。（1）粒度B對(duì)各指標(biāo)的影響，從表3.2.2看出，對(duì)抗壓強(qiáng)度和落下強(qiáng)度來講，粒度的極差都是最大的，也就是說粒度是影響最大的因素，從圖3.2.1看出，顯然取8最好；對(duì)裂紋度來講，粒度的極差不是最大，即不是影響最大的因素，但也是取8最好?？傊?，對(duì)3個(gè)指標(biāo)來講，粒度都是取8

21、最好。（2）堿度C對(duì)各指標(biāo)的影響。從表3.2.2看出，對(duì)于3個(gè)指標(biāo)，堿度的極差都不是最大的，也就是說，堿度不是影響最大的因素，是較次要的因素。從圖3.2.1看出，對(duì)抗壓強(qiáng)度和裂紋度來講，堿度取1.1最好，對(duì)落下強(qiáng)度來講，堿度取1.3最好，但取1.1也不是太差，對(duì)3個(gè)指標(biāo)綜合考慮，堿度取1.1為好。（3）水分A對(duì)各指標(biāo)的影響，從表3.2.2看出，對(duì)裂紋度來講，水分的極差最大，即水分是影響最大的因素。從圖3.2.1看出，水分取9最好，但對(duì)抗壓強(qiáng)度和落下強(qiáng)度來講，水分的極差都是最小的，即是影響最小的因素。從圖3.2.1看出，對(duì)抗壓強(qiáng)度來講，水分取9最好，取7次之；對(duì)落下強(qiáng)度來講，水分取7最好，取9次

22、之。對(duì)3個(gè)指標(biāo)綜合考慮，應(yīng)照顧水分對(duì)裂紋度的影響，還是取9為好。通過各因素對(duì)各指標(biāo)影響的綜合分析，得出較好的試驗(yàn)方案是：粒度，第3水平，8；：堿度，第1水平，1.1；：水分，第2水平，9.由此可見，分析多指標(biāo)的方法是：先分別考察每個(gè)因素對(duì)各指標(biāo)的影響，然后進(jìn)行分析比較，確定出最好的水平，從而得出最好的試驗(yàn)方案，這種方法叫做綜合平衡法。對(duì)多指標(biāo)的問題，由于各指標(biāo)的重要性不同，即所處的低位不同，要做到真正好的綜合平衡，是很困難的，這是綜合平衡法的缺點(diǎn)。下面要介紹綜合評(píng)分法，在一定意義上講，可以克服綜合平衡法的這個(gè)缺點(diǎn)。下面仍從具體的例題開始，介紹綜合評(píng)分法。3.2.2 綜合評(píng)分法例3.2.2 某廠

23、生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品。需要檢驗(yàn)兩個(gè)指標(biāo)：核酸純度和回收率，這兩個(gè)指標(biāo)都是越大愈好。有影響的因素有4個(gè)，各有3個(gè)水平，具體情況如表3.2.3所示，試通過試驗(yàn)分析找出較好方案，使產(chǎn)品的核酸含量和回收率都有提高。表 3.2.3因素水平 時(shí)間/h 加料中核酸含量 pH值 加水量 1 2 3 25 7.5 5.0 1:6 5 9.0 6.0 1:41 6.0 9.0 1:2解 這是4因素3水平的試驗(yàn)，可以選用正交表。和例3.1.1一樣，按表排出方案（這里有4個(gè)因素，正好將表排滿），進(jìn)行試驗(yàn)，將得出的試驗(yàn)結(jié)果列入表3.2.4中。表 3.2.4試驗(yàn)號(hào)因素 1 2 3 4 A B C D 各指標(biāo)試驗(yàn)結(jié)果 綜合評(píng)分

24、 純 度 回收率123456789 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1 17.5 12.0 6.0 8.0 4.5 4.0 8.5 7.0 4.5 30.0 41.2 60.0 24.2 51.0 58.4 31.0 20.5 73.0 100.0 89.2 84.0 56.2 69.0 74.4 65.0 48.5 91.5 273.2 221.2 222.9 260.5196.6 206.7 236.9 228.6205.0 249.9 218.9 188.7 677.8 91.1

25、73.7 74.3 86.865.5 68.9 79.0 76.268.3 83.9 72.7 62.9 極 差25.6 14.4 6.3 23.9 優(yōu)方案 綜合評(píng)分法就是根據(jù)各個(gè)指標(biāo)重要性的不同,按照得出的試驗(yàn)結(jié)果綜合分析,給每一個(gè)試驗(yàn)評(píng)出一個(gè)分?jǐn)?shù),作為這個(gè)試驗(yàn)的總指標(biāo),根據(jù)這個(gè)總指標(biāo)(分?jǐn)?shù)),利用例3.1.1的方法(直觀分析法)作進(jìn)一步的分析,從而選出較好的試驗(yàn)方案.這個(gè)方法的關(guān)鍵是如何評(píng)分,下面著重介紹評(píng)分的方法.在這個(gè)試驗(yàn)中,兩個(gè)指標(biāo)的重要性是不同的,根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo),純度的重要性比回收率的重要性大,如果化成數(shù)量來看,從實(shí)際分析,可認(rèn)為純度是回收率的4倍,也就是說,論重要性若將回收率看

26、成1,純度就是4.這個(gè)4和1分別叫兩個(gè)指標(biāo)的權(quán),按這個(gè)權(quán)給出每個(gè)試驗(yàn)的總分為: 總分=4×純度+1×回收率.根據(jù)這個(gè)算式,算出每個(gè)試驗(yàn)的分?jǐn)?shù),列在表3.2.4的最右邊,再根據(jù)這個(gè)分?jǐn)?shù),用直觀分析法作進(jìn)一步的分析,整個(gè)分析過程都記錄在表3.2.4中. 根據(jù)綜合評(píng)分的結(jié)果,直觀上看,第1號(hào)試驗(yàn)的分?jǐn)?shù)是最高的,那么能不能肯定它就是最好的實(shí)驗(yàn)方案呢? 還要作進(jìn)一步的分析.從表3.2.4看出，A，D，兩個(gè)因素的極差都很大，是對(duì)試驗(yàn)影響很大的兩個(gè)因素，還可以看出，A，D都是第1水平為好；B因素的極差比A，D的極差小，對(duì)試驗(yàn)的影響比A，D都小，B因素取第3水平為好；C因素的極差最小，是影

27、響最小的因素，C取第2水平為好.綜合考慮，最好的試驗(yàn)方案應(yīng)當(dāng)是,按影響大小的次序列出應(yīng)當(dāng)是：時(shí)間，第1水平，25h，：加水量，第1水平，1:6，:料中核酸含量，第3水平，6.0，:pH值，第2水平，6.0.可以看出，這里分析出來的最好方案，在已經(jīng)做過的9個(gè)試驗(yàn)中是沒有的，可以按這個(gè)方案再試驗(yàn)一次，看能不能得出比第1號(hào)試驗(yàn)更好的結(jié)果，從而確定出真正最好的試驗(yàn)方案.總的來講，綜合評(píng)分法是將多指標(biāo)的問題，通過加權(quán)計(jì)算總分的方法化成一個(gè)指標(biāo)的問題，這樣對(duì)結(jié)果的分析計(jì)算都比較方便、簡單.但是，如何合理地評(píng)分，也就是如何合理地確定各個(gè)指標(biāo)的權(quán)，是最關(guān)鍵的問題，也是最困難的問題. 這一點(diǎn)只能依據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來解

28、決，單純從數(shù)學(xué)上是無法解決的. 3.3混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)我們?cè)谇皟晒?jié)介紹的多因素試驗(yàn)中，各因素的水平數(shù)都是相同的，解決這類問題還是比較簡單的.但是在實(shí)際問題中，由于具體情況不同，有時(shí)各因素的水平是不相同的，這就是混合水平的多因素試驗(yàn)問題. 解決這類問題一般比較復(fù)雜. 我們?cè)谶@里介紹兩個(gè)主要的方法：（1）直接利用混合水平的正交表；（2）似水平法，即把水平不同的問題化成水平數(shù)相同的問題來處理.下面分別介紹這兩種方法3.3.1 混合水平正交表及其用法混合水平正交表就是各因素的水平數(shù)不完全相等的正交表.這種正交表有好多種，比如就是一個(gè)混合水平的正交表，如表3.3.1.這張表有8行，5列（注意5=1

29、+4）,表示用這張表要做8次試驗(yàn)，最多可安排5個(gè)因素，其中一個(gè)是4水平的（第1列），4個(gè)是3水平的（第2列到第5列）.表有兩個(gè)重要特點(diǎn)：（1）每一列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相同的.例如，第1列中有4個(gè)數(shù)字1,2,3,4，它們各出現(xiàn)兩次；第2列到第5列中，都只有兩個(gè)數(shù)字1,2，它們各出現(xiàn)4次. 84 第3章 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì) 表3.3.1 正交表列號(hào)試驗(yàn)號(hào) 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 1 1 2 2 4 2 2 2 1 1 5 3 1 2 1 2 6 3 2 1 2 1 7 4 1 2 2 1 8 4 2 1 1 2 （2）每兩列各種不同的水平搭配出現(xiàn)的

30、次數(shù)是相同的.但要注意一點(diǎn):每兩列不同水平的搭配的個(gè)數(shù)是不完全相同的.比如，第1列是4水平的列，它和其他任何一個(gè)2水平的列放在一起，由行組成的不同的數(shù)對(duì)一共有8個(gè)（1,1），（1,2），（2,1）,(2,2),(3,1),(3,2)，（4,1），（4，2），它們各出現(xiàn)1次；第2列到第5列都是2水平列，它們之間的任何兩列的不同水平的搭配共有4個(gè)：（1,1），（1,2），（2,1），（2,2），它們各出現(xiàn)兩次.由這兩點(diǎn)看出,用這張表安排混合水平的試驗(yàn)時(shí)，每個(gè)因素的各水平之間的搭配也是均衡的.其他混合水平的正交表還有等（見附表6），它們都具有上面所說的兩個(gè)特點(diǎn).下面舉例說明用混合正交表安排試驗(yàn)的方法

31、.例3.3.1 某農(nóng)科站進(jìn)行品種試驗(yàn).共有4個(gè)因素：A（品種）、B（氮肥量）、C（氮、磷、鉀肥比例）、D（規(guī)格）.因素A是4水平的，另外3個(gè)因素都是2水平的，具體數(shù)值如表3.3.2所示.試驗(yàn)指標(biāo)是產(chǎn)量，數(shù)值越大越好，試用混合正交表安排試驗(yàn)，找出最好的試驗(yàn)方案.解 這個(gè)問題中有4個(gè)因素，1個(gè)是4水平的，3個(gè)是2水平的，正好可以選用混合正交表，因素A為4水平，放在第1列，其余3個(gè)因素B,C,D,都是2水平的，順序放在2,3,4列上，第5列不用.按這個(gè)方案進(jìn)行試驗(yàn)，將得出的試驗(yàn)結(jié)果放在正交表的右邊，然后進(jìn)行分析，整個(gè)分析過程記在表3.3.3中. 表 3.3.2 因素 水平 A 品種 B 氮肥量/kg

32、 C氮、磷、鉀肥比例 D 規(guī)格 1 甲 2.5 3:3:1 66 2 乙 3.0 2:1:277 3 丙 4 丁3.3 混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì) 85表 3.3.3 因素 試驗(yàn)號(hào) 1 A 2 B 3 C 4 D試驗(yàn)指標(biāo)（產(chǎn)量） /kg減去200 1 1 1 1 1 195 -5 2 1 2 2 2 205 5 3 2 1 1 2 220 20 4 2 2 2 1 225 25 5 3 1 2 1 210 10 6 3 2 1 2 215 15 7 4 1 2 2 185 -15 8 4 2 1 1 190 -10 0 10 20 20 45 35 35 25 25 -25 0 2.5 5.0 5

33、.0 22.5 8.8 6.3 6.3 12.5 -12.5 極差 35.0 6.3 1.3 1.3 優(yōu)方案 這里分析計(jì)算的方法和例3.1.1基本上相同. 但是要特別注意，由于各因素的水平數(shù)不完全相等，各水平出現(xiàn)的次數(shù)也不完全相等，因此計(jì)算各因素各水平的平均值，時(shí)和例3.1.1 中有些不同. 比如，對(duì)于因素A，它有4個(gè)水平，每個(gè)水平出現(xiàn)兩次， 它的各水平的平均值， 是相應(yīng)的,分別除以2得到的； 而對(duì)于因素B,C,D，它們都只有兩個(gè)水平，因此，只有兩個(gè)水平值，又因?yàn)槊總€(gè)水平出現(xiàn)4次，所以它們的平均值， 是相應(yīng)的,分別除以4得到的. 這樣得出的平均值才是合理的. 從表3.3.3看出，因素A的極差最

34、大， 因此因素A對(duì)試驗(yàn)的影響最大，并且以取2水平為好； 因素B的極差僅次于因素A , 對(duì)試驗(yàn)的影響比因素A小，也是以取2水平為好； 因素C,D的極差都很小， 對(duì)試驗(yàn)的影響也就很小， 都是以取2水平為好. 總的來說， 試驗(yàn)方案應(yīng)以為好. 但這個(gè)方案在做過的8個(gè)試驗(yàn)中是沒有的. 按理應(yīng)當(dāng)照這個(gè)方案再試驗(yàn)一次， 從而確定出真正最好的方案. 但是，因?yàn)檗r(nóng)業(yè)生產(chǎn)受節(jié)氣的制約， 只有到第二年再試驗(yàn). 事實(shí)上，在這里因?yàn)橐蛩谼的影響很小， 這個(gè)方案與8個(gè)試驗(yàn)中的第4號(hào)試驗(yàn)接近， 從試驗(yàn)結(jié)果看出，第4號(hào)試驗(yàn)是8個(gè)試驗(yàn)中產(chǎn)量最高的， 因此86 第3章 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)完全有理由取第4號(hào)試驗(yàn)作為最好的試驗(yàn)方案加以推廣

35、.3.3.2 擬水平法例3.3.2 現(xiàn)在某一試驗(yàn)，試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)，它的數(shù)值越小越好.這個(gè)試驗(yàn)有4個(gè)因素A,B,C,D,其中因素C是2水平的，其余3個(gè)因素都是3水平的，具體數(shù)值如表3.3.4所示.試安排試驗(yàn)，并對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，找出最好的試驗(yàn)方案.表 3.3.4 因素水平 A B C D1 350 15 60 652 250 5 80 75 3 300 10 85解 這個(gè)問題是4個(gè)因素的試驗(yàn)，其中因素C是2水平的，因素A,B,D,是3水平的.這種情況沒有合適的混合水平正交表，因此不能用例3.3.1的方法解決.對(duì)這個(gè)問題我們可以設(shè)想：假若因素C也是3個(gè)水平，那么這個(gè)問題就變成4因素3水平的問題

36、，因此可以選正交表來安排實(shí)驗(yàn).但是實(shí)際上因素C只有兩個(gè)因素，不能隨便安排第3個(gè)水平.如何將C變成3水平的因素呢? 我們是從第1、第2兩個(gè)水平中選一個(gè)水平讓它重復(fù)一次作為第3水平，這就叫做虛擬視頻.取哪個(gè)水平作為第3水平呢? 一般來講，都是根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取一個(gè)較好的水平.比如，如果認(rèn)為第2水平比第1水平好，就選第2水平作為第3水平.這樣因素水平表3.3.4就變?yōu)楸?.3.5的樣子，它比表3.3.4多了一個(gè)虛擬的第3水平（用方框把它圍起來）.表 3.3.5 因素 水平 A B C D 1 350 15 60 65 2 250 5 80 75 3 300 10 85 下面就按表安排試驗(yàn)，測出結(jié)果，

37、并進(jìn)行分析，整個(gè)分析過程記錄在表3.3.6中88 第3章 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)表 3.3.6 因素試驗(yàn)號(hào) 1 A 2 B 3 C 4 D試驗(yàn)指標(biāo)測試結(jié)果 1 1 1 1 1 1 45 2 1 2 2 2 2 36 3 1 3 3 2 3 12 4 2 1 2 2 3 15 5 2 2 3 2 1 40 6 2 3 1 1 2 15 7 3 1 3 2 2 10 8 3 2 1 1 3 5 9 3 3 2 2 1 47 93 70 65 132 70 81 160 61 62 74 32 31.0 23.3 21.7 44.0 23.3 27.0 26.7 20.3 20.7 24.7 10.7 極差

38、10.3 3.7 優(yōu)方案 這里要注意的是，因素C的“第3水平”實(shí)際上就是第2水平，我們把正交表中第3列的C因素的水平安排又重寫一次，兩邊用虛線標(biāo)出，對(duì)應(yīng)地列在右邊，這一列是真正的水平安排.由于這一列沒有第3水平，因此在求和時(shí)并無,只出現(xiàn),.又因?yàn)檫@里C的第2水平共出現(xiàn)6次，因此平均值是除以6，即=/6;C的第1水平出現(xiàn)3次，平均值是除以3，即=/3.因素A,B,D都是3水平的，各水平都出現(xiàn)3次，因此求平均值時(shí)，都是，除以3.從表3.3.6中的極差看出，因素D對(duì)試驗(yàn)的影響最大，取第3水平最好；其次是因素A，取第3水平為好；再者是因素B，取第1水平為好；因素C的影響最小，取第1水平為好.總之，這個(gè)

39、試驗(yàn)的最優(yōu)方案應(yīng)當(dāng)是.但是這個(gè)方案在做過的9個(gè)試驗(yàn)中是沒有的.從試驗(yàn)結(jié)果看，效果最好的是第8號(hào)試驗(yàn)，這個(gè)試驗(yàn)只有因素B不是處在最好情況，而因素B對(duì)試驗(yàn)的影響是最小的.因此我們選出的最優(yōu)方案是合乎實(shí)際的.我們可以按這個(gè)方案再試驗(yàn)一次，看是否會(huì)得到比第8號(hào)試驗(yàn)更好的結(jié)果，從而確定出真正的最優(yōu)方案.從上面的討論可以看出，擬水平法是將水平少的因素歸入水平數(shù)多的正交表中的一種處理問題的方法。在沒有合適的混合水平的正交表可用時(shí)，擬水平法是一種比較好的處理多因素混合水平試驗(yàn)的方法。這種方法不僅可以對(duì)一個(gè)因素模擬水平，也可以對(duì)多個(gè)因素虛擬水平，具體做法和上面相同，不再重復(fù)。 這里要指出的是：虛擬水平以后的表對(duì)

40、所有因素來說不具有均衡搭配性質(zhì)，但是，它具有部分均衡搭配的性質(zhì)（部分均衡搭配的精確含義這里不細(xì)講了），所以擬水平法仍然保留著正交表的優(yōu)點(diǎn)。這里只介紹了兩種主要的解決多因素混合水平試驗(yàn)的方法，還有別的方法就不介紹了，有興趣的讀者，可以去看更專門的著作。3.4 有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)在多因素試驗(yàn)中，各因素不僅各自獨(dú)立地起作用，而且各因素還經(jīng)常聯(lián)合起來起作用。也就是說，不僅各個(gè)因素的水平改變時(shí)對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有影響，而且各因素的聯(lián)合搭配對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)也有影響。后一種影響就叫做因素的交互作用。因素和因素的交互作用記為，下面舉一個(gè)簡單的例子。例3.4.1 有4塊試驗(yàn)田，土質(zhì)情況基本一樣，種植同樣的作物?，F(xiàn)將氮肥

41、、磷肥采用不同的方式分別施在4塊地里，收獲后算出平均畝產(chǎn)量，記在表3.4.1中。 表 3.4.1 單位：kg 磷肥 氮肥200225215280從表3.4.1看出，不加化肥時(shí)，平均畝產(chǎn)只有200kg；只加2 kg磷肥時(shí)，平均畝產(chǎn)225 kg，每畝增產(chǎn)25 kg；只加3 kg氮肥時(shí)，平均畝產(chǎn)215 kg，每畝增產(chǎn)15 kg。這兩種情況下的總增產(chǎn)值合計(jì)為40 kg，但是，同時(shí)加2 kg磷肥，3 kg氮肥時(shí)，平均畝產(chǎn)280 kg，每畝增產(chǎn)80 kg，比前兩種情況的總增產(chǎn)量又增加40 kg。顯然，后一個(gè)40 kg就是2 kg磷肥，3 kg氮肥聯(lián)合起來所起的作用，叫做磷肥、氮肥這兩個(gè)因素的交互作用。由上

42、面的情況可知，應(yīng)有下面的公式： 氮肥磷肥交互作用的效果=氮肥、磷肥的總效果（只加氮肥的效果+只加磷肥的效果）交互作用是多因素試驗(yàn)中經(jīng)常遇到的問題。是客觀存在的現(xiàn)象。前面的幾節(jié)沒有提到它是出于兩方面的考慮：一是使問題單純、簡化，讓讀者盡快掌握正交設(shè)計(jì)的最基本的方法；二是在許多試驗(yàn)中，交互作用的影響有時(shí)確實(shí)很小，可以忽略不計(jì)，這樣對(duì)問題的影響也不大。下面我們就來討論多因素的交互作用。在多因素的試驗(yàn)中，交互作用影響的大小主要參照實(shí)際經(jīng)驗(yàn)。如果確有把握認(rèn)定交互作用的影響很小，就可以忽略不計(jì)；如果不能確認(rèn)交互作用的影響很小，就應(yīng)該通過試驗(yàn)分析交互作用的大小。 3.4.1 交互作用表 安排有交互作用的多因素試驗(yàn)，必須使用交互作用表。許多正交表的后面都附有相應(yīng)的交互作用表。它是專門用來安排有交互作用的試驗(yàn)的?，F(xiàn)在我們就來介紹交互作用表和它的用法。表3.4.2就是正交表所