角接觸球軸承

1、角接觸球軸承打滑行為的非線性動態(tài)模型Qinkai Han , Fulei Chu.The State Key Laboratory of Tribology, Tsinghua University, Beijing 100084, China.摘要：用一個(gè)三維非線性動態(tài)模型來預(yù)測復(fù)合載荷組合條件下角接觸球軸承的打滑行為。該模型考慮了鋼球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)引起的離心力和陀螺效應(yīng)、鋼球與內(nèi)外圈之間的赫茲接觸變形、鋼球與保持架之間的非連續(xù)接觸以及弾流動體潤滑。通過對試驗(yàn)結(jié)果的比較，驗(yàn)證了該動態(tài)模型正確性。在此基礎(chǔ)上，討論了在復(fù)合載荷作用下，軸承鋼球滑動速度隨時(shí)間和位置的變化規(guī)律。該模型表明，徑向載荷的變

2、化將使鋼球在內(nèi)外圈之間的的滑動速度產(chǎn)生波動，對低負(fù)載區(qū)域的鋼球影響更大。增加徑向負(fù)荷將大幅增加滑移速度的幅度和范圍，使打滑更加嚴(yán)重。當(dāng)鋼球在低載區(qū)時(shí)，大的滑動速度會使軸承和潤滑油的溫度升高，加劇軸承磨損，縮短軸承的使用壽命。因此，在旋轉(zhuǎn)工件的設(shè)計(jì)和檢測中應(yīng)考慮徑向載荷。1.導(dǎo)論：角接觸球軸承是許多旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心支撐部件，其動態(tài)特性對整個(gè)設(shè)備的使用性能、運(yùn)行可靠性和使用壽命起著決定性的作用。軸承在運(yùn)行過程中，滾道應(yīng)為鋼球提供足夠大的摩擦力和摩擦力矩，以確保鋼球處于純滾動狀態(tài)。否則，滾動體和內(nèi)、外滾道之間可能會出相對滑移。隨著現(xiàn)代旋轉(zhuǎn)機(jī)械的高速化、重載化，軸承的滑動將使軸承和潤滑油的溫度升高，從而

3、加速軸承磨損。如果軸承早期就開始打滑，它可能會導(dǎo)致軸承壽命減少，甚至更嚴(yán)重的事故。因此，當(dāng)前準(zhǔn)確預(yù)測滾動軸承的打滑行為并提出防滑設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是很重要的問題。哈里斯1,2已經(jīng)在這方面做了開創(chuàng)性的工作?；跍系揽刂评碚摵蜏?zhǔn)靜態(tài)學(xué)，哈里斯1,2建立了用于高速角接觸球軸承的滑行預(yù)測模型。該模型考慮了滾動體的各種受力情況（包括：接觸力，摩擦力，流體力和離心力等），還考慮了軸向載荷、旋轉(zhuǎn)速度、滾動體的數(shù)量對打滑的影響。Liao and Lin3在幾何約束條件和受力平衡中考慮了每一個(gè)滾動體受到的接觸力和每一個(gè)滾動體的接觸角。希拉諾4打滑的評判標(biāo)準(zhǔn)中分析了在軸向和徑向負(fù)荷下鋼球和滾道的打滑。此外,他們還研究了熱效

4、應(yīng)引起的鋼球滑動5。基于準(zhǔn)動態(tài)分析，Jiang et al.6, Cui et al.7 and Yuan et al.8等提出了估計(jì)防止軸承打滑的最小軸向載荷的經(jīng)驗(yàn)公式。最近，Chen et al. 9,10提出推力球軸承在固體潤滑條件下的準(zhǔn)靜態(tài)模型。該理論構(gòu)想了一種用于準(zhǔn)確界定鋼球與內(nèi)外圈之間相對運(yùn)動的滑動比和旋滾比。它表明，鋼球與滾道的密切接觸引起的滑差使滑動和接觸力分布不對稱。Xu et al.11建議用預(yù)載分析法作為球軸承的滑動準(zhǔn)則。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明采用最佳預(yù)緊力的軸承具有良好的溫度特性。Chen et al 12等人對高速旋轉(zhuǎn)的軸承進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)打滑分析，發(fā)現(xiàn)鋼球自轉(zhuǎn)擠壓油膜對打滑和軸承疲

5、勞壽命有不利的影響。上述的大多數(shù)分析是在穩(wěn)態(tài)條件下采用靜態(tài)/動態(tài)模型來研究打滑行為和防滑判據(jù)。實(shí)際上，滾動軸承上經(jīng)常被施加動載荷，滾動體和保持架之間的接觸和碰撞是不可避免的。這些因素往往造成滑移隨時(shí)間和空間的變化。顯然，基于靜態(tài)模型的穩(wěn)態(tài)分析很難準(zhǔn)確地描述和預(yù)測滾動體打滑的行為。因此，發(fā)展動態(tài)分析方法在當(dāng)前得到了廣泛關(guān)注。采用動態(tài)法，古普塔13首先建立微分方程來模擬一個(gè)推力球軸承在彈流潤滑條件下鋼球的瞬時(shí)運(yùn)動。奧斯滕森等人14建立了軸承運(yùn)動的動力學(xué)模型，并對軸承運(yùn)動進(jìn)行了仿真模擬，并與測量結(jié)果進(jìn)行比較。他們發(fā)現(xiàn)，卸載區(qū)的滑動主要受局部潤滑劑分布狀態(tài)和滾子在軸承中的位置的影響。Imado15提出

6、了一個(gè)霍爾元件檢測法來檢測鋼球在軸承中的運(yùn)動。最近，米尼安拉尼阿多哈科梅等人16利用有限元法建立了滾動軸承的動態(tài)接觸模型。動態(tài)接觸模型應(yīng)用在鋼球與滾道打滑的研究中。Jain和亨特17忽略離心力和鋼球接觸角引起的陀螺力的影響，提出了一種應(yīng)用在風(fēng)力機(jī)傳動系統(tǒng)高速輸出軸上的軸承的動力學(xué)模型。塞爾瓦拉和marappan 18研發(fā)了一種圓柱滾子軸承試驗(yàn)臺，用于測量各種工況下運(yùn)行的軸承元件的速度，在實(shí)驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上討論了工作參數(shù)對圓柱滾子軸承的影響。Tu et al.19以滾動體與滾道、保持架之間的接觸力和摩擦力，以及滾動體的離心力為基礎(chǔ)建立了研究滾動軸承加速時(shí)打滑的分析模型。對軸承打滑的動態(tài)問題的一些研

7、究工作已在目前的文獻(xiàn)中提出，但研究對象僅限于推力軸承（只適用于軸向載荷）和深溝軸承（僅適用于徑向載荷）。角接觸軸承在軸向和徑向載荷作用下（復(fù)合載荷條件下）的研究較少受到關(guān)注。高速度和復(fù)合載荷工況會使角接觸軸承的滾動元件具有三維運(yùn)動，而推力軸承和深溝軸承的運(yùn)動可以簡化為二維運(yùn)動。因此，本論文提出分析角接觸球軸承打滑行為的動力學(xué)模型。首先，考慮了內(nèi)圈的五個(gè)自由度，對軸承的載荷分布和每個(gè)滾動體的接觸力和內(nèi)/外接觸角進(jìn)行了分析。根據(jù)赫茲接觸理論和彈流動力潤滑，確定了鋼球與內(nèi)/外滾道之間的摩擦力和摩擦力矩隨時(shí)間的變化規(guī)律?？紤]到鋼球和保持架之間的不連續(xù)接觸，利用歐拉方程建立了角接觸滾動軸承的三維非線性動

8、力學(xué)模型。本論文給出了模型的求解方法和過程并通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較對其進(jìn)行了驗(yàn)證，在此基礎(chǔ)上，討論了在復(fù)合載荷作用下，軸承的滑動速度隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律。最后，得出了一些結(jié)論。2、 角接觸球軸承載荷分布分析通過對角接觸球軸承載荷分布的分析，獲得了三種類型的參數(shù)，包括接觸力，赫茲接觸面積的尺寸和鋼球和內(nèi)外圈之間的接觸角。鋼球摩擦力矩的大小和方向可以通過這些參數(shù)分析計(jì)算得到。因此，載荷分布分析在打滑分析之前進(jìn)行。外圈固定，內(nèi)圈以恒定的角速度i旋轉(zhuǎn)。兩個(gè)坐標(biāo)，其中一個(gè)(X-Y-Z) 固定在內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)中心線上，另一個(gè)（x-y-z）隨Z軸旋轉(zhuǎn)，如圖1所示。x-y-z的中心與球的質(zhì)心重合。忽略了內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)

9、自由度，重點(diǎn)考慮余下的五個(gè)自由度（包括：三平移和兩旋轉(zhuǎn)）。自由向量用表示。作用于內(nèi)圈的外力向量用Fin=(FXin; FYin; FZin; MXin; MYin)T表示。第i個(gè)球相對于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)x-y-z有三個(gè)旋轉(zhuǎn)角速度（xj;yj;zj）和一個(gè)基于固定軸Z的滾道旋轉(zhuǎn)速度Wcj。在時(shí)間t，第j個(gè)球的位置角用下公式表示： 圖1。軸承坐標(biāo)示意圖。cj =0+cj +2/Nb(j-1),其中0為初始位置角，cj 為滾道角速度，Nb為鋼球的數(shù)量。 一般情況下0=0，外力會使內(nèi)圈移動。因此，第j個(gè)球內(nèi)圈溝曲率中心的位移 ，包括沿y,z軸的移動和沿x軸的轉(zhuǎn)動，用 uj=（yj; zj; xj)T表示。在小

10、撓度的假設(shè)下,uj可以通過坐標(biāo)變換得到 uj=TjUin (1)。其中Tj是變換矩陣，可表示為其中Ri=0.5de+（rgi-0.5db)cos0表示由內(nèi)到槽曲率中心的內(nèi)軸旋轉(zhuǎn)中心的距離，de是軸承的節(jié)圓直徑 ，rgi是溝曲率半徑，db是鋼球的直徑，0是公稱接觸角。沒有負(fù)載時(shí)，鋼球與內(nèi)外滾道之間沒有接觸變形。由于偏轉(zhuǎn)是零，所以球的中心和內(nèi)外滾道的溝曲率中心位于一條直線，如圖2虛線。 鋼球的內(nèi)外接觸角是相同的，等于公稱接觸角0。施加負(fù)載后，內(nèi)圈滾道將首先移動，然后鋼球也因接觸變形而移動。平衡狀態(tài)，如圖2所示的實(shí)心線，可以表示鋼球和內(nèi)外滾道之間的狀態(tài)。因?yàn)橥馊κ枪潭ǖ?，所以它的溝曲率中心保持不變?/p>

11、根據(jù)公式（1）內(nèi)圈溝曲率中心的位移可以用 (yj;zj)表示。鋼球中心的位移是未知參數(shù)可用 (vjy;vjz)表示。因?yàn)樨?fù)載的影響，鋼球與內(nèi)外溝道的接觸角變的不相等。外接觸角減小為oj，而內(nèi)接觸角增大為ij。在偏轉(zhuǎn)前，內(nèi)圈溝曲率中心到鋼球質(zhì)心的距離為 Lij。偏轉(zhuǎn)后，距離變得 lij，如圖2所示。同樣，外圈溝曲率中心到鋼球質(zhì)心的距離從Loj（偏轉(zhuǎn)前）變?yōu)閘oj（偏轉(zhuǎn)后），對于給定的內(nèi)外溝曲率半徑(rgi; rgo)，有Lij=rgi-0.5db和Loj=rgo -0.5db。根據(jù)圖2的幾何關(guān)系，可以獲得以下公式：荷載分布分析應(yīng)滿足上述的四個(gè)幾何方程。圖3給出了第j個(gè)鋼球的受力情況。在圖中， F

12、cj 和 Mgj表示由于球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)引起的離心力和陀螺力。 圖2。軸承前后撓度的幾何關(guān)系 圖3，第j鋼球受力圖。20顯然有和 mb和Ib為鋼球的瞬時(shí)質(zhì)量和慣性。s和c為自轉(zhuǎn)角速度和溝道角速度，j 為自轉(zhuǎn)軸和Z軸之間的夾角。對于純滾動軸承，有 鋼球與內(nèi)、外滾道之間的接觸力用Qij和Qoj表示，根據(jù)赫茲接觸理論，有Qij=ijKiij3/2 和Qoj=ojKooj3/2。Ki和Ko為鋼球與內(nèi)外滾道的接觸剛度系數(shù)，ij和oj 為鋼球與內(nèi)外滾道的變形量。從上面的幾何分析中可以得到ij =lij-Lij和Oj=loj- Loj。 當(dāng)ij，oj0；ij =1,oj=1。ij,oj0時(shí)；ij=0， oj=

13、0 。接觸剛度系數(shù)通過接觸區(qū)材料性能和幾何尺寸的確定，即 K=，其中E=E/(1-2)表示的有效彈性模量,E為材料的彈性模量，為泊松比，R為等效曲率半徑，為橢圓率，和為橢圓第一類和第二類積分。這些參數(shù)的表達(dá)式從哈里斯和kotzalas 20 的論文中可以得到，接觸剛度系數(shù)Ki和Ko可以通過以上公式求解得到。 在負(fù)荷分布分析，忽略了x水平的摩擦力，陀螺力矩由y-z平面的瞬時(shí)摩擦力產(chǎn)生，如圖3所示。哈里斯和kotzalas 20在他們的論文中首先對鋼球進(jìn)行這樣的受力平衡分析。ij和oj表示鋼球與內(nèi)外溝道之間的摩擦系數(shù)。在這里對ij和oj都設(shè)置初始值為1。從圖3可以得到力的平衡方程如下：第j個(gè)鋼球與

14、內(nèi)溝道之間的接觸力和摩擦力的方向與圖3所示的方向相反。把這些力等效到內(nèi)溝曲率中心可以得到得到鋼球與內(nèi)滾道的力平衡方程上述研究表明在未知參數(shù)負(fù)荷分布的位移分析中可以用該鋼球與內(nèi)滾道的模型(vjy，vjz和Xin，Yin，Zin，X in，Y in)代替進(jìn)行計(jì)算。(公式(7)（10）)是一組非線性代數(shù)方程，可以用Newton-Raphson方法迭代求解。該非線性方程的維數(shù)是2Nb+5.得到這些未知參數(shù)后，每一個(gè)鋼球的接觸力（Q ij，Q oj）和內(nèi)外接觸角（ij；oj）可以通過公式（1）和（3）-（6）計(jì)算得到。3. 施加在球上的摩擦力矩和力矩運(yùn)行中滾動軸承，內(nèi)外溝道對鋼球產(chǎn)生摩擦力和摩擦力矩。彈

15、流潤滑條件下的鋼球和滾道之間的接觸與圖4所示。圖中的x，y軸分別表示接觸橢圓的主要和次要軸，Z表示垂直于接觸橢圓的軸。根據(jù)赫茲接觸理論，接觸應(yīng)力在接觸區(qū)為橢圓分布，并可以表示如下：其中， PHj 為最大接觸應(yīng)力，a和b為接觸橢圓的長半軸和短半軸。有b = a/。在求出接觸力，等效曲率半徑和橢圓率后， 可以求出接觸區(qū)的面積(ain，bin和aout，bout) 。一般情況下，油膜厚度hc遠(yuǎn)小于接觸區(qū)尺寸,接觸區(qū)域任一點(diǎn)的剪切應(yīng)力（x,y）可以用下公式表示：其中（pj，T）是潤滑劑的粘度，是接觸壓力Pj和油的溫度T的函數(shù)。相對之間的接觸界面的滑動速度用表u示，u=u1-u2。 圖4.對于鋼球和滾道

16、之間的接觸示意圖。根據(jù)結(jié)果Hamrock和道森 21 ，油膜厚度是由下面的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算：其中表示無量綱速度，0是20大氣壓力下潤滑油的粘度，表示沿滾動方向的等效半徑，外圈用“+”，內(nèi)圈用“-”。是等效轉(zhuǎn)速，dri，dro 表示內(nèi)圈和外圈溝道的直徑，G =Ecp是無量綱的彈性模量,其中cp為粘度壓力系數(shù)。無量綱載荷由計(jì)算得到 。潤滑油的粘度(pj, T)由經(jīng)典的巴勒斯方程17來確定。然而，目前的研究表明在接觸壓力大的情況下使用該公式將會產(chǎn)生較大的誤差。滾動軸承的接觸壓力通常大于1 GPa，屬于高接觸壓力。因此，在這種情況下，巴勒斯方程不能用。貝爾和科特基 22 的實(shí)驗(yàn)研究了潤滑劑的接觸壓力和油溫

17、在高接觸壓力（高達(dá)2 GPa）下的變化情況。以下的經(jīng)驗(yàn)公式是通過數(shù)據(jù)擬合得到的。（14） 其中B，R0，R分別潤滑油的杜利特泰特參數(shù)，r為油量隨溫度的線性變化，即r=1+1（T -T0），其中1為20室溫下體積的膨脹量。V/V0為體積隨壓力和溫度的變化率，公式如下： (15) 其中 a為熱膨脹系數(shù)，K0為體積模數(shù)， K0 為常數(shù)用計(jì)算，這里的溫度是Kelvin（絕對溫度）。 接觸界面之間的相對滑動速度u有鋼球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)速度以及內(nèi)外圈的旋轉(zhuǎn)速度確定。圖5給出了鋼球相對于x，y，z軸的三個(gè)旋轉(zhuǎn)速度（xj；yj；zj）和一個(gè)相對于軸心的軌道速度（cj) 。圖5.鋼球與內(nèi)外滾道之間的運(yùn)動關(guān)系圖。 對

18、于鋼球與外滾道的接觸，短軸（xo，鋼球的滾動方向）和長軸（yo軸）的滑移速度可以用下邊的公式計(jì)算。（16） （17） 當(dāng)時(shí)，soj 為鋼球的相對于zo軸的旋轉(zhuǎn)速度，有以下公式 （18） 內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為i，鋼球相對于內(nèi)圈滾道的速度為i -cj。同樣的，鋼球沿短軸（xi軸）和長軸（yi軸）的相對滑動速度可以用以下公式表示：當(dāng)時(shí)，sij 為鋼球相對于zi軸的旋轉(zhuǎn)速度有以下公式：（21） 知道油膜厚度，潤滑油的粘度和相對滑動速度后，接觸區(qū)任意點(diǎn)的剪切應(yīng)力（x,y ）可以按下公式求解得到。摩擦力矩的推導(dǎo)如下：4.三維非線性動力學(xué)模型 在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)（x-y-z）中，第j個(gè)鋼球的運(yùn)動包括三個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動 xj， yj

19、， zj 和一個(gè)沿滾道繞軸心的運(yùn)動cj。鋼球的旋轉(zhuǎn)矢量定義如下：其中，鋼球的慣性矩為Ixj =Iyj= Izj=Ib， Tvj為牽連角速度矩陣X，Y，Z 為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（x-y-z）相對于固定坐標(biāo)系（X-Y -Z）的旋轉(zhuǎn)速度?？梢缘玫絏 =Y =0 和Z =cj。為施加在滾動鋼球上的總外力矩。這些力矩由鋼球與內(nèi)外溝道之間的摩擦力和摩擦力矩計(jì)算得到。根據(jù)前面的分析和圖5中的幾何關(guān)系，可以得出如下的公式：對于鋼球的在溝道上的運(yùn)動，鋼球表面的摩擦力矩與內(nèi)外溝道的摩擦力有關(guān)，在鋼球的軌道運(yùn)動方程中也應(yīng)該考慮潤滑劑的阻力和鋼球與保持架之間的不連續(xù)接觸。哈里斯和kotzalas 20給了一個(gè)計(jì)算球軸承潤滑油

20、阻力的經(jīng)驗(yàn)公式 。其中，v 為潤滑油的密度，cv 為阻力系數(shù)，g為重力加速度。鋼球和保持架之間的相對位移+ ，-如圖6所示。其中t為時(shí)間，cage為保持架的角位移，cr為鋼球與保持架之間的間隙。根據(jù)圖6的幾何關(guān)系，可以得到計(jì)算+ ，-的公式：因此，保持架對第j鋼球的接觸力為kcage 為鋼球與保持架之間的接觸剛度。當(dāng)+ ，-0時(shí)， -=1， +=1；相反， -=0，+=0。根據(jù)動量定理，可以將鋼球的軌道運(yùn)動方程寫成其中，Icj為鋼球相對于軸線（Z軸）的轉(zhuǎn)動慣量，有。同樣的保持架的的運(yùn)動方程也可以利用動量定理求出 其中，Icage為保持架相對于軸線的轉(zhuǎn)動慣量 ，cage為保持架的旋轉(zhuǎn)角速度。從公

21、式（34）-（35）可以看出，要想求出鋼球與保持架之間的相對位移就必須先求出鋼球與保持架任意時(shí)間的角位移。 圖6.鋼球與保持架之間的相互作用示意圖 由角速度與角位移之間的微分關(guān)系可以得到每一個(gè)鋼球的一系列方程包括（28），（37），（39）在內(nèi)，都能夠得到，還包括兩個(gè)形容保持架運(yùn)動的動態(tài)方程（38），（40）。通過計(jì)算每個(gè)鋼球與滾道的運(yùn)動方程，可以得到角接觸球軸承的三維非線性動力學(xué)模型 。其中是（5Nb+2）X（5Nb +2）的尺寸系數(shù)矩陣 ，是（5Nb+2）X1的三維位移矢量，為（5Nb+2）X1的外力向量。由于鋼球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)產(chǎn)生的陀螺效應(yīng)和鋼球與保持架之間的間斷接觸，公式（41）為非線性耦

22、合一階微分方程。外部負(fù)載的大小，鋼球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的初始值，保持架和內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)速度都對方程（41）的收斂過程有顯著影響。顯然，外部負(fù)載的不足會導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)花費(fèi)更多的時(shí)間收斂， 不合理的旋轉(zhuǎn)和軌道速度的初始值可能會導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)的振蕩。本研究中，用滾道控制理論 20 所獲得的結(jié)果作為初始值。增加內(nèi)圈速度意味著陀螺耦合效應(yīng)變得顯著，鋼球與溝道之間的不連續(xù)接觸可能會更頻繁。在該計(jì)算中應(yīng)減少時(shí)長以保證收斂，公式（41）可用MATLAB的ode15s程序求解。該解算程序是專用剛性微分方程，在每一個(gè)時(shí)間段，解算程序可以估計(jì)該計(jì)算的局部誤差。這種誤差必須小于或等于可接受的誤差，這是一個(gè)指定的相對誤差（reltol

23、）與絕對容差（abstol）之間的函數(shù)。在本研究中RelTol和 AbsTol分別設(shè)置為1e-3 和1e-6,當(dāng)總時(shí)間超過設(shè)定時(shí)間時(shí)，計(jì)算停止，詳細(xì)的計(jì)算過程如圖7所示。 5.模型的驗(yàn)證 Pasdari and Gentle 23 測試了角接觸球軸承的保持架在軸向載荷下的旋轉(zhuǎn)速度，35毫米口徑的角接觸球軸承在最高轉(zhuǎn)速為3000轉(zhuǎn)的變速直流電機(jī)的驅(qū)動下旋轉(zhuǎn)，試驗(yàn)軸承的參數(shù)在表一中列出。軸承被安裝在驅(qū)動軸上，驅(qū)動軸由由2個(gè)深槽球軸承支撐，并通過皮帶輪與電機(jī)相連。軸承垂直安裝，可以用重力作為軸向載荷的一部分，使其更容易作用在軸承上。本文的動態(tài)模型可以預(yù)測保持架在各種軸向載荷下的作用，其速度隨時(shí)間變化

24、的規(guī)律。將計(jì)算數(shù)值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，以驗(yàn)證動態(tài)模型的正確性。本試驗(yàn)中未給出潤滑劑的類型23。本動態(tài)模型使用了一種專用于滾動軸承的典型潤滑油（MIL-L-23699）。拜爾和科特基 22提供了MIL-L-23699潤滑劑的參數(shù)，見表2，該潤滑劑的溫度T為30。 7.非線性動力學(xué)模型的求解過程。 試驗(yàn)中，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速2000 rpm (i =209:4395 rad/s)，在純滾動條件下= 82。0994 rad/s。在模擬中，初始角速度和位移被設(shè)置為軸向載荷為40,80,120.，300N，基于非線性動力學(xué)模型和圖8中的結(jié)果，可以得到保持架速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。結(jié)果表明在120N時(shí)，cage/i接

25、近純滾動比0.3920，表明保持架的打滑變?nèi)酢５?，無論球是否在純滾動狀態(tài)，應(yīng)通過觀察鋼球的自轉(zhuǎn)速度（xj，yj，zj）來判斷打滑的程度。以j=1的鋼球?yàn)槔?，三個(gè)旋轉(zhuǎn)速度隨時(shí)間和軸向載荷的變化如圖10所示。 它表明，隨著時(shí)間的增加，在500N后，三個(gè)轉(zhuǎn)動分量變?yōu)楹愣ㄖ?。該圖表明，當(dāng)=520N時(shí)，x10 rad/s, y1 187rad/s，z1-376rad/s。公稱接觸角0=25，鋼球的旋轉(zhuǎn)速度可以通過公式（18）和（20）計(jì)算得到該值近似為零。因此，當(dāng)500N時(shí)可以認(rèn)為鋼球是在純滾動狀態(tài)。4. 軸向和徑向載荷下軸承的打滑 在前一節(jié)中，僅在角接觸球軸承的內(nèi)圈上施加軸向載荷，在實(shí)際應(yīng)用中，軸向

26、和徑向載荷（聯(lián)合載荷）將同時(shí)作用于內(nèi)圈。與僅僅軸向加載系統(tǒng)相比，聯(lián)合負(fù)荷對打滑行為的影響有明顯的不同。在這一節(jié)中，考慮了2種類型的載荷，即：恒定的徑向載荷（時(shí)不變載荷）和正弦徑向載荷（時(shí)變載荷）。6.1.恒定的徑向負(fù)荷軸向負(fù)荷總是作用在內(nèi)圈，設(shè)置=600N，徑向載荷為為100,200,300,400,500N，第j=1個(gè)鋼球運(yùn)行速度隨時(shí)間的變化如11所示。徑向載荷的添加將引起鋼球運(yùn)行速度c1 的小幅波動。徑向載荷的增加僅僅減少c1的數(shù)值，一般情況下，徑向負(fù)載對軌道運(yùn)動的影響并不顯著。通過公式（16）-（17）和（19）-（20），可以得到uox，oy，和uix，iy，他們?yōu)殇撉蚺c內(nèi)外溝道之間橢

27、圓接觸區(qū)短長軸的相對滑動速度。為了準(zhǔn)確地計(jì)算滑動速度，滑動速度的絕對值定義如下：圖9.在不斷增加的情況下對 cage的計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。圖10.轉(zhuǎn)動分量（x1，y1，z1）隨時(shí)間和軸向載荷的變化在不同的徑向載荷作用下，ui ，uo 隨j=1的鋼球軌道運(yùn)動的變化分別如圖12和圖13所示。 從圖12的曲線中可以明顯的看出ui的波動，在軌道周期Top=(2/c1)的某些區(qū)域,u的值明顯大于0，表明嚴(yán)重打滑發(fā)生在鋼球與內(nèi)圈接觸的區(qū)域。一個(gè)軌道周期Top可以被劃分為四個(gè)區(qū)域：區(qū)域A（0-0.14）Top和（0.88-1）Top），B區(qū)域（0.14-0.42）Top，C區(qū)域（0.42-0.68）To

28、p，D區(qū)域（0.68-0.88）Top，如圖12所示，很明顯，在B和D區(qū)域，即使加更高的徑向載荷，滑動速度也很小。這表明，在這2個(gè)區(qū)域鋼球與內(nèi)滾道之間幾乎不存在打滑。而在A和C區(qū)域，隨著鋼球的旋轉(zhuǎn)，滑動速度先增加后減小，A區(qū)域滑動速度的最大值大于C區(qū)域的最大值。圖11.鋼球的運(yùn)行速度c1 在徑向載荷下隨時(shí)間的變化 圖12.在組合荷載作用下，鋼球相對于內(nèi)圈的絕對速度ui 。隨著徑向載荷的增加，A和C區(qū)域的滑動速度也相應(yīng)增大，表明在這兩個(gè)區(qū)域打滑變得更嚴(yán)重。從圖13中可以發(fā)現(xiàn)外圈的滑動也有此現(xiàn)象，不同的是，即使加更高的徑向載荷D區(qū)域的滑動速度也不太低，然而，與A區(qū)域和C區(qū)域的滑動速度相比，它仍然是

29、較低的值。在較高的徑向載荷下，鋼球與內(nèi)外圈之間的滑動速度出現(xiàn)波動。只要對內(nèi)圈施加徑向載荷其接觸載荷分布就會發(fā)生顯著變化，如圖14所示。徑向載荷的引入會導(dǎo)致B,D區(qū)域的接觸力變大，遠(yuǎn)大于只受到純軸向載荷時(shí)。徑向載荷的增加使接觸力明顯上升，B和D區(qū)域被稱為載荷增加區(qū)域，兩載荷區(qū)域是由軸向和徑向負(fù)載綜合作用產(chǎn)生的。從圖15可以看出徑向載荷使B區(qū)域的接觸力增大，使D區(qū)域的接觸力減小。在軸向載荷作用下，內(nèi)圈相對于X軸旋轉(zhuǎn)，如圖15所示。然后，鋼球和溝道在D區(qū)域再接觸時(shí)將會產(chǎn)生更大的接觸力。不過，在相同的載荷條件下，D區(qū)域接觸力的峰值低于B區(qū)域的峰值。在聯(lián)合載荷條件下，存在兩個(gè)接觸力增加區(qū)（B和D），同時(shí)

30、也存在兩個(gè)接觸力減小區(qū)（A和C）。當(dāng)施加徑向載荷時(shí)，這2個(gè)區(qū)域的接觸力減少，加大徑向載荷接觸力降低的更明顯。在聯(lián)合載荷作用下，該系統(tǒng)滑動速度的波動，可以用接觸力增加的區(qū)域來解釋。較高的接觸力，可提供足夠的阻力，以保證鋼球處于純滾動狀態(tài)，此時(shí)滑移速度很小，幾乎不存在打滑。鋼球從接觸力增加的區(qū)域移動到接觸力減小的區(qū)域時(shí)，接觸力降低，從而沒有足夠的摩擦力和摩擦力矩來帶動鋼球運(yùn)動。 圖13.在聯(lián)合荷載作用下，鋼球相對于外圈的絕對速度uo 圖14.第j=1個(gè)鋼球與內(nèi)圈之間的接觸力 圖15.軸承在聯(lián)合荷載作用下接觸力增加和降低區(qū)域示意圖宏觀的滑移發(fā)生在接觸區(qū)，嚴(yán)重打滑也發(fā)生在該接觸區(qū)。當(dāng)鋼球從接觸力減小區(qū)

31、運(yùn)動到接觸力增加區(qū)時(shí)，因接觸力的增加其滑動速度將減小，打滑減輕，滑動速度保持在較低值。 從上面的分析中可以得到，當(dāng)軸向載荷=600N時(shí)，軸承幾乎不會出現(xiàn)打滑，而徑向載荷的加入會使滑動速度產(chǎn)生波動，在接觸力減少區(qū)更明顯，當(dāng)徑向載荷增大時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)更為明顯的波動。在這些區(qū)域，鋼球仍然承受載荷。較大的滑動速度會增加軸承和潤滑油的溫度，加劇軸承的磨損，縮短軸承的使用壽命。6.2.正弦曲線的徑向載荷 由于旋轉(zhuǎn)機(jī)械的旋轉(zhuǎn)，在軸承上的徑向載荷可能隨時(shí)變化。這里，認(rèn)為隨時(shí)間變化的徑向載荷是正弦變化的，其頻率等于內(nèi)圈溝道的旋轉(zhuǎn)速度。它可以表示為，其中 Fr 為恒定的徑向負(fù)荷，r為正弦載荷的相對振幅。軸向載荷保持

32、恒定值即=600N，F(xiàn)r=400N，r =0.0,0.2,0.4時(shí)；滑動速度隨鋼球溝道速度的變化如圖16所示。r =0.0表示徑向載荷為常數(shù)，只要徑向載荷為時(shí)變載荷（r =0.2,0.4），滑動速度隨著鋼球軌道運(yùn)動的波動就是非周期性的，這是因?yàn)閮?nèi)圈旋轉(zhuǎn)速度和鋼球沿軌道速度之比不是整數(shù)。在載荷減小的區(qū)域，時(shí)變載荷使滑動速度增大了，然而，由于非周期性波動，當(dāng)鋼球再次進(jìn)入相同的載荷降低區(qū)域，時(shí)變載荷會使滑動速度減小。因此，很難說，時(shí)變載荷是否能提高或減輕鋼球的打滑。但可以肯定的是，時(shí)變載荷可以增大最大滑移速度，如圖16所示。此外，其對研究滑移速度隨時(shí)間穩(wěn)態(tài)變化中的頻率分量有很大意義。利用了快速傅里葉

33、變換，得到的滑移速度ui 的頻譜如圖17所示。其中恒定徑向載荷（r =0.0），鋼球的軌道速度為頻率整倍數(shù)即 ic1（i=1,2,3.）。當(dāng)徑向負(fù)荷為正弦時(shí)間載荷（r =0.2,0.4）時(shí)，ic1的振幅會相應(yīng)地增加。除了鋼球的軌道速度和它的整數(shù)倍外，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速和鋼球軌道速度的合速度，即（iic）（i=0,1,2，.）。本段考慮了恒定的正弦徑向負(fù)荷，分析其對鋼球滑動行為的影響。雖然該動態(tài)模型已通過與Ref23保持架速度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較得到驗(yàn)證，但本節(jié)中研究得到的結(jié)果在之前未被發(fā)現(xiàn)。幾個(gè)動態(tài)的研究已經(jīng)進(jìn)行了，重點(diǎn)是分析深溝球軸承的鋼球與保持架之間的作用力24，干摩擦的摩擦力矩25,26,潤滑劑的阻力

34、27。他們沒有研究鋼球在聯(lián)合載荷作用下其在三維空間中的運(yùn)動情況，下邊我們將對鋼球在不同載荷條件下的三維運(yùn)動進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。 圖16.時(shí)變的徑向負(fù)荷對滑動 圖17.在時(shí)變徑向載荷和恒定的軸向載荷作用下滑移速度ui的頻譜。5. 結(jié)論 該三維非線性動態(tài)模型用來預(yù)測角接觸球軸承的打滑行為，其綜合考慮了鋼球旋轉(zhuǎn)引起的離心力和陀螺效應(yīng)，鋼球與內(nèi)外圈的赫茲接觸，鋼球和保持架之間的不連續(xù)接觸，彈流動力潤滑等。通過與試驗(yàn)結(jié)果的比較，驗(yàn)證了動態(tài)模型可靠性。在此基礎(chǔ)上，得出了在聯(lián)合載荷作用下，鋼球滑動速度隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律。結(jié)果表明徑向載荷將使鋼球與內(nèi)外圈之間的滑移速度發(fā)生波動，在載荷降低區(qū)域其波動更明顯。徑向載

35、荷的增加將顯著增加滑動速度的幅度和范圍，使打滑更加嚴(yán)重。鋼球在接觸載荷降低區(qū)承受載荷會使滑動速度變大，較大的滑動速度會大大增加軸承和潤滑油的溫度，加劇軸承磨損，減少軸承的使用壽命。因此，在旋轉(zhuǎn)機(jī)械的設(shè)計(jì)與檢測中應(yīng)認(rèn)真考慮徑向載荷的影響。 本研究中的彈流潤滑模型用于重載接觸。當(dāng)軸承在低的外載荷下運(yùn)行時(shí)，鋼球與內(nèi)外溝道之間存在著嚴(yán)重的打滑。在這種情況下，該模型得到的油膜厚度和潤滑油的動態(tài)粘度可能是不準(zhǔn)確的。未來的研究應(yīng)致力于通過實(shí)驗(yàn)來改善嚴(yán)重打滑的條件下的該模型。致謝論文中所進(jìn)行的研究工作由國家摩擦學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助。SKLT2013D02 和北京自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目no. 3131002。參考文獻(xiàn)

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