二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目

1、二次函數(shù)一、定義:一般地,如果y=心+公+C“也C是常數(shù),.0,那么叫做X的二次函數(shù).例：關(guān)于X的函數(shù)y=ar+以+ca,4c是常數(shù)當(dāng)a,b,c滿(mǎn)足什么條件時(shí)1是一次函數(shù)2是正比例函數(shù)3是二次函數(shù)二、二次函數(shù),V="2+以+c力"是常數(shù),的性1當(dāng)a>0時(shí)O拋物線(xiàn)開(kāi)口向上O頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)U>拋物線(xiàn)開(kāi)口向下.頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).I.I越大,開(kāi)口越小.2頂點(diǎn)是一±,4"一匕,對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-32a4a2a3當(dāng)a>0時(shí),在對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x的增大而減?。辉谠趯?duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x的增大而增大；當(dāng).<0時(shí),在對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x的

2、增大而增大；在在對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x的增大而減小.4y軸與拋物線(xiàn)y=a/+c得交點(diǎn)為0,cc>0,拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)缶軸上方,c<0,拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)缶軸下方例：1、2011四川重慶,7,4分拋物線(xiàn)6,什cQNO在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所練習(xí)：晨2011山東威海,7,3分二次函數(shù),=/一2工一3的圖象如下圖.當(dāng)yVO時(shí),自變量x的取值范圍是A.A.-lVx<3oB./一卜C.-v>3D.xV1或*>32、2010湖北孝感,12,3分如圖,二次函數(shù)廠(chǎng)ax2+bx+c的圖象與y1、軸正半軸相交,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為不1,以下結(jié)論：acO；a+b=O：24ac-b'=4

3、a；a+b+c<0,其中正確的個(gè)數(shù)是CA.1B.2C.3D.三、求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法(1)公式法：y=ax2+bx+c9頂點(diǎn)是(一二,4':一"),對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)工=一2.2a4.2a(2)配方法；),=.(1-)2+攵的頂點(diǎn)為(力,上),對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn).'=/?.(3)利用交點(diǎn)式求對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)：y=a(x-xj.r-xj,對(duì)稱(chēng)軸為x=三三至例1、求以下各拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)軸：(l)y=X-3x+5(2)y=2(x-l)2-7(3)y=-3(x-7)(x+9)例2、2011江蘇淮安,14,3分)拋物線(xiàn)9=d-2.廣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.(1,-4)四、拋物線(xiàn)的平移

4、方法1:計(jì)算機(jī)兩條拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),由頂點(diǎn)判定平移情況方法2:將函數(shù)換成頂點(diǎn)式,用口決“(x)左加右減,上加下減例1、拋物線(xiàn)y=/+2x+3經(jīng)過(guò)怎樣平移得到y(tǒng)=x2-4x+答案：向右平移3,再向下移5個(gè)單位得到；例2、(2021四川樂(lè)山5,3分)將拋物線(xiàn)),=-/向左平移2個(gè)單位后,得到的拋物線(xiàn)的解析式是(A)A.y=-(x+2)2B.y=-x2+2C.=-(x-2)2D.y=-x2-2例3、(2011重慶江津,18,4分)將拋物線(xiàn)y=xz-2x向上平移3個(gè)單位,再向右平移4個(gè)單位等到的拋物線(xiàn)是.(y=(x-5):+2或y=x3-10x+27)練習(xí)：1、拋物線(xiàn)y=2x2+2x+3經(jīng)過(guò)怎樣平移得到y(tǒng)

5、=2x2-4x+l2、拋物線(xiàn)y=/+2x+3向左平移2個(gè)單位,再向上移3個(gè)單位得到y(tǒng)=/+Z;x+c,求b和c.3、(2021山東濱州,7,3分)拋物線(xiàn)y=(x+2-3可以由拋物線(xiàn)),=/平移得到,那么以下平移過(guò)程正確的是(B)A.先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位B.先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位C.先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位D.先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)一般式：),=/+以+C.圖像上三點(diǎn)或三對(duì)X、的值,通常選擇一般式.(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k.圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸,通常選擇頂點(diǎn)式.(3)交點(diǎn)式：圖像與x

6、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為、/,通常選用交點(diǎn)式：y=4x-x/x-x2).(4)一般式與頂點(diǎn)式的變換例：1、根據(jù)條件確定以下函數(shù)的解析式：(1)拋物線(xiàn)過(guò)(一3,0),(0,-3),(5,0)(2)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在x軸上,且過(guò)點(diǎn)(1,0)、(-2,4);(3)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),過(guò)點(diǎn)(1,4)2例2、將y=/一6工+2和y=2/+2工一4換成頂點(diǎn)式(y=(工3)-7,y=2(工+)22練習(xí)：1、將y=元-415和y=3"+71+4換成頂點(diǎn)式2、(2021山東濟(jì)寧,12,3分)將二次函數(shù)y=/4x+5化為),=(x力/+攵的形式,那么y=(y=(x-2)?+i)七、y=ax2+bx+c(a

7、M0)與一元二次方程ax2+bx+c=0(.H0)的關(guān)系2=萬(wàn)一4acA>0=0<0ax2+bx+c=0aH0)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根XeXi方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根刀=工2方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根y=ax2+bx+cJaH0)拋物物與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)4工.)8(%,0)拋物物與X軸只有一個(gè)交點(diǎn)(Xi,°)拋物物與X軸沒(méi)有交點(diǎn)A8=,(X1+X2)-bc_韋達(dá)定理：x1+x2=-x.x2=-(二者都可以用)例1、(2011臺(tái)灣臺(tái)北,32)如圖(十四),將二次函數(shù)),=31/-999x+892的圖形畫(huà)在坐標(biāo)平面上,判斷方程式31/999x+892=0的兩根,以下表達(dá)何者正確？(A)A.

8、兩根相異,且均為正根B.兩根相異,且只有一個(gè)正根C.兩根相同,且為正根D.兩根相同,且為負(fù)根例2、.拋物線(xiàn),=/-2工-3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,那么AB的長(zhǎng)為三角形ABC的面積是一6°練習(xí)：1.二次函數(shù)y="W2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,-1.求這個(gè)二次函數(shù)的解析式,并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).y=/2,兩個(gè)交點(diǎn)2.2011湖北襄陽(yáng),12,3分函數(shù)y=A-3/+2x+l的圖象與x軸有交點(diǎn),那么的取值范圍是BA.k<4°£.&<4且女工3D.女£4且2x33、2011廣東東莞,15,6分拋物線(xiàn)y=g/+x+c

9、與*軸有交點(diǎn).1求.的取值范圍；2試確定直線(xiàn)產(chǎn)5H經(jīng)過(guò)的象限,并說(shuō)明理由.八、二次函數(shù)的應(yīng)用1、求y=ax2+bx+ca,b,c是常數(shù),aW0最大值或最小值a>0,函數(shù)有最小值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),此時(shí)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)；.<0,函數(shù)有最大值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),此時(shí)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo).2、面積問(wèn)題,主要利用各種圖形的面積公式,如三角形面積=底、高x!3、利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn):銷(xiāo)量x售價(jià)-進(jìn)價(jià)-其他4、拱橋問(wèn)題例1、2021廣東肇慶,10,3分二次函數(shù),=/+2工-5有DA.最大值一5B最小值一5C.最大值一6D.最小值一6例2、一塊矩形耕地大小尺寸如下圖單位:m,要在這塊上地上沿東西方向挖一條水渠

10、,沿南北方向挖兩條水渠,水渠的寬為Xm,余下的可耕地面枳為y%?.1請(qǐng)你寫(xiě)出y與x之間的解析式：2根據(jù)你寫(xiě)出的函數(shù)解析式,當(dāng)水渠的寬度為1m時(shí),余下的可耕地面積為多少？3假設(shè)余下的耕地而積為4408勿求此時(shí)水渠的寬度.例3、某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品,試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn),這種商品每天的銷(xiāo)量m件與每件的銷(xiāo)售價(jià)X元滿(mǎn)足一次函數(shù)：m=162-3x.1寫(xiě)出商場(chǎng)賣(mài)這種商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y與每件的銷(xiāo)售價(jià)x間的函數(shù)關(guān)系式：2如果商場(chǎng)要想每天獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn),每件商品的定價(jià)為多少最適宜?最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少？練習(xí)：1、某商店經(jīng)銷(xiāo)一種銷(xiāo)售本錢(qián)為每千克40元的水產(chǎn)品.據(jù)市場(chǎng)分析,假設(shè)按每千克50元銷(xiāo)售,一個(gè)月能售

11、出500千克;銷(xiāo)售單價(jià)每漲1元,月銷(xiāo)售量就減少10千克,針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷(xiāo)售情況,請(qǐng)解答以下問(wèn)題：1當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為每千克55元時(shí),計(jì)算月銷(xiāo)售量和月銷(xiāo)售利潤(rùn)；2設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為每千克X元,月銷(xiāo)售利潤(rùn)為Y元,求Y與X的函數(shù)關(guān)系式不必寫(xiě)出X的取值范圍；3商店想在月銷(xiāo)售本錢(qián)不超過(guò)10000元的情況下,使得月銷(xiāo)售利潤(rùn)到達(dá)8000元,銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少？2、盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線(xiàn)的一局部.在大橋截而1：11000的比例圖上,跨度AB二5cm,拱高0C=0.9cm,線(xiàn)段DE表示大橋拱內(nèi)橋長(zhǎng),DEAB,如圖1.在比例圖上,以直線(xiàn)AB為x軸,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸,以1cm作為數(shù)軸的單位長(zhǎng)度,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖(2).1求出圖2上以這一局部拋物線(xiàn)為圖象的函數(shù)解析式,寫(xiě)出函數(shù)定義域:18y=125x2+(-<x<)1022如果DE與AB的距離0X=0.45cm,求盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)備用數(shù)據(jù)：&長(zhǎng)1.4,計(jì)算結(jié)果精確到1米).12x11000x0.01=275138523、如圖6,一單杠高2.2m,兩立柱之間的距離為L(zhǎng)6m,將一根繩子的兩端拴于立柱與橫杠結(jié)合處,繩子自然下垂呈拋物線(xiàn)形狀,一身高0.7m的小孩站在離左邊立柱0.4m處,其頭部剛好觸到繩子