數學必修1講義

1、高一數學第一章 集合一、集合有關概念1.集合的含義： 2.集合的中元素的三個特性： 3.集合的表示：A= 有 法和 法 。如：A=我校的籃球隊員，B=太平洋,大西洋，C=xR| x-32注意：常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集） 記作：N 正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R4、集合的分類：(1) 有限集 含有 個元素的集合；(2) 無限集 含有 個元素的集合；(3) 空集 元素的集合。例：x|x2=5二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集注意：有兩種可能：（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。另外規(guī)定：空集是 的子集。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B

2、不包含集合A,記作A B或B A真子集:如果 那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)規(guī)定:空集是任何非空集合的真子集。有n個元素的集合，含有 個子集， 個真子集性質：如果 AB, BC ,那么 A C； 如果AB 同時 BA 那么A B2“相等”關系：A=B 如：(55，且55，則5=5)實例：設 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同則兩集合相等”三、集合的運算運算類型交 集并 集補 集定 義由 的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB即AB=x|xA，且xB由 的元素所組成的集合，叫做A,B的并集記作：AB即AB =x|xA，或xB)設S是一個集合，A是S的一個子

3、集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中A的補集（或余集）SA記作，即CSA=韋恩圖示SA性 質AA=A A=AB=BAABA ABBAA=AA=AAB=BAABABB= Cu(AB)A (CuA)= A (CuA)= 記住這個結論： 例1：設例2：若集合，且，求的值。例3：已知集合,且,求的取值范圍。鞏固一下：請在30分鐘內完成下列各題：1.若集合中的元素是的三邊長，則一定不是（ ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形2.下列四個集合中，是空集的是（ ）A BC DABC3.下列表示圖形中的陰影部分的是（ ）ABCD 4.方程組的解集是（ ）A B C D。 5.設

4、集合，則集合（ ） A B C D 6.設集合,且，則的取值范圍是 。第一章（2） 函數及其表示1函數的概念：設A、B是非空數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集A中的任意一個數x，在集合B中都有 的數f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的 ； y叫做函數值，函數值的集合f(x)| xA 叫做函數的 注意：1定義域：能使函數式 的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；(4)指

5、數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合（取交集）.(6)指數為零底不可以等于零， (7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.2值域 :函數值的集合叫函數的值域求函數的值域應先考慮其定義域，常用方法有：配方法，換元法，圖像法，單調性法等。2.區(qū)間：3.函數的表示方法：解析法，列表法，圖像法求函數解析式的常見方法：待定系數法，換元法，消參法；4映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，

6、那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”對于映射f：AB來說，則應滿足：(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。（4）若集合A中有個元素，集合B中有個元素，則可構成的映射 有個，5.分段函數 (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。(2)各部分的自變量的取值情況(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集例1：設函數的定義域為，則函數的定義域為_ _ 若函數的定義域為，則函數的定義域

7、是 例2：已知，若，則的值是（ ）A B或 C，或 D例3：已知函數，求函數，的解析式已知函數滿足，則= 。1.函數的圖象與直線的公共點數目是（ ）A B C或 D或2.函數滿足則常數等于（ ）A B C D3已知，那么等于（ ）A B C D4已知函數定義域是，則的定義域是（ ）A B. C. D. 5.函數的圖象是（ ）6. 函數的值域是（ ）A B C D 7.求下列函數的值域（1） （2） （3）8.設是R上的奇函數，且當時,求在R上的解析式。第一章（3） 函數的基本性質1.函數的單調性(局部性質)(1)定義：設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個子區(qū)間D內的任意兩個

8、自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)/ f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增/減函數.區(qū)間D稱為y=f(x)的單調增/減區(qū)間.（2） 圖象的特點在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右是 的，減函數的圖象從左到右是 的.(3).函數單調區(qū)間與單調性的判定方法(A) 定義法： 任取 x1，x2D，且x11，且*u 負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是 。當是奇數時， 當是偶數時，2分數指數冪 正數的分數指數冪的意義，規(guī)定：u 0的正分數指數冪等于0， 0的負分數指數冪 3實數指數冪的運算性質（1） (2) (3) 二、對數函數1對數的概念：一般地，如果 ，那么數叫做以

9、為底的對數，記作： （ 底數， 真數， 對數式）說明： 注意底數的限制，且； ； 注意對數的書寫格式:兩個重要對數： 常用對數：以10為底的對數 ； ； 自然對數：以無理數為底的對數的對數 ；u 指數式與對數式的互化冪值 真數 N b 底數 指數 對數2.對數的運算性質如果，且，那么：(1) (2) (3) 注意：負數與零沒有對數；，換底公式： （，且；，且；）利用換底公式推導下面的結論（1）； （2）； (3)例1：已知函數 例2：計算：例3：求函數的值域.例4：已知，,試比較與的大小。1.若函數的圖象過兩點和，則( )A B C D2.化簡得（ ）A. B. C. D.3.設a，b，c都是

10、正數，且，那么（ ） A、 B、 C、D、4.下列是各式錯誤的是（ ） A、 B、 C、 D、全錯5.若，則m為（ ） A、B、C、D、6.方程的解是 。7.若函數的定義域為，則的范圍為_。第二章 基本初等函數（2）（一）指數函數及其性質1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為 注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是 2、指數函數的圖象和性質a10a10a0，a0，函數y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是 ( )2.若，則的表達式為（ ）A B C D3.下列函數中是奇函數的有幾個（ ） A B C D4.函數( )A. 是偶函數，在區(qū)間 上單調遞

11、增 B. 是偶函數，在區(qū)間上單調遞減C. 是奇函數，在區(qū)間 上單調遞增 D是奇函數，在區(qū)間上單調遞減5.函數上的最大值和最小值之和為，則的值為（ ）A B C D6.若,則( )A B C D9.若函數是奇函數，則為_。牛刀小試之高考1 A B C D2下列函數中,在區(qū)間上為增函數的是ABCD3 設函數集合 則為 AB(0,1)C(-1,1)D4 下列函數中,既是偶函數,又在區(qū)間內是增函數的為ABCD5 函數的圖象可能是 6 函數的定義域為ABC D7 下列函數為偶函數的是ABCD8設集合,集合是函數的定義域;則 A B C D9下列函數中,與函數y=定義域相同的函數為Ay=By=Cy=xex

12、D10.設是定義在上的奇函數，當時，則 A. B. .11.已知定義在R上的奇函數和偶函數滿足，若，則 A. B. C. D. 12. 已知函數若有則的取值范圍為 A B C D13.若函數為奇函數，則a= A B C D114.（2010天津）設，則 15. （2011湖南） 已知為奇函數， 16方程的解是_.17已知函數,若,則_.18.函數的定義域為_.19.已知函數，則第三章 函數及其應用一、方程的根與函數的零點1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的_。2、函數零點的意義：函數的零點就是方程_，亦即函數的圖象與軸交點的_即：方程有_函數的圖象與軸有_函數有_3、函數零點

13、的求法： （代數法）求方程的實數根； （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯(lián)系起來，并利用函數的性質找出零點4、基本初等函數的零點：正比例函數有_個零點。反比例函數有_個零點。一次函數有_個零點。二次函數（1），有_個零點（2），有_個零點（3），有_個零點指數函數有_個零點。對數函數有_個零點.冪函數，當時，有_個零點，當時，有_個零點。5、非基本初等函數（不可直接求出零點的較復雜的函數），函數先把轉化成，再把復雜的函數拆分成兩個我們常見的函數（為基本初等函數），這兩個函數圖像的交點個數就是函數零點的個數。6、選擇題判斷區(qū)間上是否含有零點，只需滿足。7、確定零點在某區(qū)間個

14、數是唯一的條件是:在區(qū)間上連續(xù)，且在區(qū)間上單調。8、函數零點的性質：從“數”的角度看：即是使的實數；從“形”的角度看：即是函數的圖象與軸交點的橫坐標；若函數的圖象在處與軸相切，則零點通常稱為不變號零點；若函數的圖象在處與軸相交，則零點通常稱為變號零點9、二分法的定義對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足_的函數，通過不斷地把函數的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做_10、給定精確度，用二分法求函數零點近似值的步驟：（1）確定區(qū)間，驗證，給定精度；（2）求區(qū)間，的中點；（3）計算：若=，則就是函數的零點；若，則令=（此時零點）；若，則令=（此時零點）；（4

15、）判斷是否達到精度；即若，則得到零點值（或）；否則重復步驟（2）（4）11、二分法的條件表明用二分法求函數的近似零點都是指變號零點。12、解決應用題的一般程序： 審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系； 建模：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；檢驗收集數據畫散點圖選擇函數模型求函數模型用函數模型解釋實際問題符合實際不符合實際 解模：求解數學模型，得出數學結論； 還原：將用數學知識和方法得出的結論，還原為實際問題的意義13、函數的模型 14、根據散點圖設想比較接近的可能的函數模型：一次函數模型：二次函數模型：冪函數模型：指數函數模型：（0，）利用待定系數法求出各解析式，并對各模型進行分析評價，選出合適的函數模型例1: 若方程有兩個解，則實數的取值范圍是 A、 B、 C、 D、例2:有一塊長為20cm，寬為12cm的矩形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為的小正方形，然后