數(shù)學(xué)高三第一輪復(fù)習(xí)——解三角形

1、一、知識(shí)必備：1直角三角形中各元素間的關(guān)系：在ABC中，C90°，ABc，ACb，BCa。（1）三邊之間的關(guān)系：a2b2c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：AB90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素間的關(guān)系：在ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。（1）三角形內(nèi)角和：ABC。（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：a2b2c22bccosA； b2c2a22cacosB； c2a2b22abcosC。 3三角形的面

2、積公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）absinCbcsinAacsinB；4解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等主要類型：（1）兩類正弦定理解三角形的問題：第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角. 第2、已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三角形的問題：第1、已知三邊求三角.第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.5三角形中的三角變換三角形

3、中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（1）角的變換因?yàn)樵贏BC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；數(shù)學(xué)高三第一輪復(fù)習(xí)解三角形1、在三角形ABC中“cosAsinAcosBsinB”是“C90°”的 ( ) A、充分非必要條件B、必要非充分條件 C、充要條件D、既不充分也不必要條件2、設(shè)分別是中所對(duì)邊的邊長(zhǎng),則直線與的位置關(guān)系是（ ）A平行 B垂直 C重合 D相交但不垂直3、（2009宣武區(qū)文）中，分別是內(nèi)角的對(duì)邊，且則b：的值是 ( )A. 3：1 B. ：1 C. ：1 D

4、. 2 ：14、（2009揭陽）設(shè)向量與的夾角為，定義與的“向量積”：是一個(gè)向量，它的模，若，則 （ ）A B2C D45、（2009汕頭潮南）ABC的三邊分別為a,b,c且滿足,則此三角形是（ ）（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等邊三角形6、（2010天津理）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若，則A=（ ）（A） （B） （C） （D）7、設(shè)，且，則等于（ ） 或8、在ABC中，是角A、B、C成等差數(shù)列的（ ）A充分非必要條件 B充要條件C必要非充分條件 D既不充分也不必要條件9.（2010江西理）E，F(xiàn)是等腰直角ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，

5、則（ ）A. B. C. D. 10、銳角三角形ABC中，若，則的范圍是（ ）A(0,2)B CD11、（2010北京文）某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽（如右上圖），它由腰長(zhǎng)為1，頂角為的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為（ ）（A） （B）（C） （D）12、ABC中，已知sinA：sinB：sinC=1:1:，且SABC=，則的值是（ ）A2BC2D13、已知非零向量則ABC的形狀是（ ）A三邊均不相等的三角形B直角三角形C等腰（非等邊）三角形D等邊三角形14、ABC中，AB=，AC=，BC=2，設(shè)P為線段BC上一點(diǎn)，且則一定有（ ）AAB·AC>PA

6、2，AB·AC>PB·PCBPA2>AB·AC，PA2>PB·PC CPB·PC > AB·AC，PB·PC>PA2 DAB·AC> PB·PC ，PA2 >PB·PC15、CD是ABC的邊AB上的高，且，則 ( )AB或C或D或16、的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別是，設(shè)向量，若，則角的大小為_17、在中，角所對(duì)的邊分別為，若則_. 18、(2008湖北)在中，三個(gè)角的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為,則的值為 .19、在平面直角坐標(biāo)系xoy中已知ABC的頂點(diǎn)A(6，0)

7、 和C(6，0)，頂點(diǎn)B在雙曲線的左支上， 20、若鈍角三角形三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最小邊長(zhǎng)與最大邊長(zhǎng)的比值為m，則m的取值范圍是 21、在ABC中，等于 。22、（2010廣東理）已知a,b,c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若a=1,b=, A+C=2B,則sinC= .23、（2010重慶文）如圖，圖中的實(shí)線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點(diǎn)（點(diǎn)不在上）且半徑相等. 設(shè)第段弧所對(duì)的圓心角為，則_ .24、（2010江蘇卷）在銳角三角形ABC，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則=_。25、中，所對(duì)的邊分別為，,.（1）求；（2）若,求. 26、設(shè)的

8、內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且.（1）求角的大??；（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.27、設(shè)的內(nèi)角、的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、，求28、(2009湖南卷理). 在，已知，求角A，B，C的大小.29、已知中，記，120°（1）求關(guān)于的表達(dá)式；（2）求的值域；30、（2007山東）如圖,甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當(dāng)甲船位于處時(shí),乙船位于甲船的北偏西的方向處,此時(shí)兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)處時(shí),乙船航行到甲船的北偏西方向的處,此時(shí)兩船相距海里,問乙船每小時(shí)航行多少海里?31、（2010福建理）。，輪船位于港口O北偏西且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/

9、小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小船沿直線方向以海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇。（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由。32、（2010江蘇卷）某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。（1）該小組已經(jīng)測(cè)得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值；（2）該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電

10、視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測(cè)量精確度。若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問d為多少時(shí)，-最大？33、（2009寧夏海南卷理）為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟。歷年模擬習(xí)題1已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是(A)(B)(C)(D)2.已知函數(shù)（其中，）的部分圖象如圖所示.（）求，的值； （）已知在函數(shù)圖象上的三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，求的值.1

11、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為（ ）ABCD2在ABC中，若B=，b=，則C= 3在ABC中，BAC=90º，D是BC的中點(diǎn)，AB=4，AC=3，則=(A) -7(B) (C) (D) 74在中，則 _ 5.在中， ，且的面積為，則 等于 A或 B C D或6在中，則 ( )(A) (B) (C) 或 (D) 或7已知定點(diǎn)，點(diǎn)和Q分別是在直線l：和y軸上動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)MPQ的周長(zhǎng)最小值時(shí)，MPQ的面積是( ) (A) (B) (C) 1 (D) 8. 中的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若°，

12、則= 。9在中，若，則 10在中， ，分別為角， ，C所對(duì)的邊.已知角為銳角，且,則 .11. 在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若，則. 12. 在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若，則角B的值為( )A B C D13.在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足（1）求的值; （2）若的面積是，求的值 14在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且（1）求A的值； （2）若，求的面積 15. 在銳角中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且（1）求B的值； （2）求的求值范圍。 16已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別

13、為a、b、c已知, ， ，求ABC的面積17在中，角，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且（）求角的大??；（）若，求的面積18.已知函數(shù).（）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（）在中，角，的對(duì)邊分別為. 已知，試判斷的形狀.19.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且（）判斷ABC的形狀；（）若，求的最大值20已知中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且， （）求的值；（）設(shè)，求的面積21已知函數(shù)f（x）=sin（2x+）+cos 2x （）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間。 （）在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知f（A）=，a=2，B=，求ABC的面積22在中,角,的對(duì)邊分別為,已知向量,且（）求角的大小;

14、（）若,求角的值23.已知向量（0），函數(shù)的最小正周期為。（I）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（II）如果ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C，且滿足求的值。24. 已知函數(shù)的圖象過點(diǎn). （）求的值； （）在中，角，的對(duì)邊分別是，.若， 求的取值范圍25.在中，三個(gè)內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且（）求角；（）若，求的最大值26在中，已知（）求角； （）若，求K班數(shù)學(xué)高三第一輪復(fù)習(xí)解三角形參考解答110：BBDBD、ADBDC； 1115：ACDDD16、；17、；18、；19、；20、(0,)；21、；22、1；23、；解析： 又，所以24、 解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)

15、化思想。一題多解。（方法一）考慮已知條件和所求結(jié)論對(duì)于角A、B和邊a、b具有輪換性。當(dāng)A=B或a=b時(shí)滿足題意，此時(shí)有：，= 4。（方法二），25、解：(1) 因?yàn)?，即，所以，?，得 . 所以,或(不成立).即 , 得，所以.又因?yàn)?，則，或（舍去） 得(2)， 又, 即 ，得26、（1）由得 又 ，又 （2）由正弦定理得：, 故的周長(zhǎng)的取值范圍為. （2）另解：周長(zhǎng) 由（1）及余弦定理 又即的周長(zhǎng)的取值范圍為. 27、分析：由，易想到先將代入得。然后利用兩角和與差的余弦公式展開得；又由，利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，得，進(jìn)而得.故。大部分考生做到這里忽略了檢驗(yàn)，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，由，進(jìn)而得，矛盾，應(yīng)

16、舍去。也可利用若則從而舍去。不過這種方法學(xué)生不易想到。評(píng)析：本小題考生得分易，但得滿分難。28、解：設(shè)由得，所以又因此 由得，于是所以，因此，既由A=知，所以，從而或，既或故或。29、120°解（1）由正弦定理有：；，；（2）由； 30、解 方法一 如圖所示，連結(jié)A1B2，由已知A2B2=，A1A2=，A1A2=A2B2，又A1A2B2=180°-120°=60°A1A2B2是等邊三角形，A1B2=A1A2=.由已知，A1B1=20，B1A1B2=105°-60°=45°，在A1B2B1中，由余弦定理，=+-·A1

17、B2·cos45°=202+()2-2×20××=200.B1B2=.因此，乙船的速度的大小為×60=（海里/小時(shí)）.答: 乙船每小時(shí)航行海里.31、【解析】解法一：（I）設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則 = 故當(dāng)時(shí)，此時(shí) 即，小艇以海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小。 （II）設(shè)小艇與輪船在B出相遇，則KS*5U.C#O 故 ， 即，解得 又時(shí)， 故時(shí)，t取最小值，且最小值等于 此時(shí)，在中，有，故可設(shè)計(jì)寒星方案如下： 航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇解法二：（I）若相遇時(shí)小艇的航行

18、距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向?yàn)檎狈较颉?設(shè)小艇與輪船在C處相遇。 在中， 又， 此時(shí)，輪船航行時(shí)間， 即，小艇以海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小。（II）猜想時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船在D出相遇，此時(shí) 又，所以，解得 據(jù)此可設(shè)計(jì)航行方案如下： 航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇 證明如下：KS*5U.C#O 如圖，由（I）得，故，且對(duì)于線段上任意點(diǎn)P， 有 而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)， 故小艇與輪船不可能在A，C之間（包含C）的任意位置相遇。 設(shè)，則在中， 由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為 和 所以，