實(shí)驗(yàn)報(bào)告簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究

1、實(shí)驗(yàn)報(bào)告姓名： 張偉楠 班級(jí)： F0703028 學(xué)號(hào)： 5070309108 實(shí)驗(yàn)成績(jī)：同組姓名： 邊楊 實(shí)驗(yàn)日期：08.02.25 指導(dǎo)教師： 批閱日期：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?. 觀察簡(jiǎn)諧振動(dòng)的現(xiàn)象；2. 測(cè)定彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)；3. 測(cè)定振動(dòng)周期T隨振子質(zhì)量變化的情況；4. 學(xué)習(xí)使用氣墊導(dǎo)軌、焦利氏秤和計(jì)時(shí)儀器；5. 測(cè)定彈簧的有效質(zhì)量【實(shí)驗(yàn)原理】1、胡克定律在彈性限度內(nèi)，彈簧的伸長(zhǎng)量x與其所受的拉力F成正比，這就是胡克定律： 比例系數(shù)k稱為彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)在本實(shí)驗(yàn)中k可以由焦利氏秤測(cè)得。2、彈簧振子的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程本實(shí)驗(yàn)中所用的是倔強(qiáng)系數(shù)分別為k1和k2的彈簧，k1和k2分別由焦利氏秤測(cè)

2、得k1和k2聯(lián)結(jié)在一個(gè)質(zhì)量為M的物體上，它們?cè)诠饣乃綒鈮|導(dǎo)軌上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，彈簧的另外兩端是固定在氣墊導(dǎo)軌上記M的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，該點(diǎn)x = 0如果忽略阻尼和彈簧質(zhì)量，則當(dāng)M距平衡位置為x時(shí)，只受彈性恢復(fù)力k1x和k2x的作用，根據(jù)牛頓第二定律，其運(yùn)動(dòng)方程為：方程的解為：其中是振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率，A是振幅，j 0是初位相w 0由系統(tǒng)本身決定，也稱固有頻率，A和 f 0 由初始條件決定系統(tǒng)的固有周期本實(shí)驗(yàn)通過改變M測(cè)出相應(yīng)的T，用以考察T與M的關(guān)系3、彈簧質(zhì)量的影響當(dāng)彈簧的質(zhì)量不可忽略時(shí)，振子的有效質(zhì)量為振動(dòng)物體的質(zhì)量與彈簧有效質(zhì)量的和，振動(dòng)系統(tǒng)的角頻率可記作m0為彈簧的有效質(zhì)量，在數(shù)值

3、上等于彈簧質(zhì)量的三分之一實(shí)驗(yàn)要求測(cè)定彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)，并測(cè)定振動(dòng)周期T隨振子質(zhì)量和振幅m變化的情況。4、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的機(jī)械能k=mvmax2/A2由此計(jì)算彈性系數(shù)。 【實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄、實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算】1. 利用焦利氏秤測(cè)量彈簧的倔強(qiáng)系數(shù) 砝碼質(zhì)量/g05.1110.0815.0820.0725.2245.15L1/cmL2/cm彈簧14.495.606.667.738.809.9114.15彈簧210.9213.0815.2717.4119.5921.8630.56彈簧313.6815.8017.8719.9322.0524.1932.53由k=mgL2-L1 可得 L2=gkm+L1作1號(hào)彈簧的L2關(guān)

4、于m的圖像：Linear Regression for Data1_B:Y = A + B * XParameterValueError-A4.503110.00584B0.213892.63837E-4-RSDNP-10.009770.0001-轉(zhuǎn)換單位有： B10-210-3=9.80K 得k1=4.58N/m作彈簧2的L2關(guān)于m的圖像：Linear Regression for Data1_B:Y = A + B * XParameterValueError-A10.873570.01838B0.435558.29908E-4-RSDNP-0.999990.030570.0001-轉(zhuǎn)換單

5、位有： B10-210-3=9.80K 得k2=2.25N/m作彈簧3的的L2關(guān)于m的圖像：Linear Regression for Data1_B:Y = A + B * XParameterValueError-A13.662110.0102B0.417664.6082E-4-RSDNP-10.0169470.0001-轉(zhuǎn)換單位有： B10-210-3=9.80K 得k3=2.35N/m2. 振子質(zhì)量M與振動(dòng)周期T的關(guān)系氣墊導(dǎo)軌水平情況： 號(hào)數(shù)123456振子質(zhì)量M/g168.09173.11178.03183.08188.11193.0610個(gè)周期 10T /ms10389.61052

6、5.810656.010787.110919.111045.1折合一周期的平方 /s21.079441.107921.135501.163621.192271.21994由簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期公式： 可得M=k1+k242T2做M關(guān)于T2的圖像：Linear Regression for DATA1_B:Y = A + B * XParameterValueError-A-23.85570.28672B177.803930.24915-RSDNP-10.0292960.0001-直線斜率為177.8557（g/s2）有 K=k1+k2=42B*10-3=7.02(N/m)由1中測(cè)得的數(shù)據(jù)： 有 k1

7、+k2=6.83(Nm)相對(duì)誤差為：2.767%氣墊導(dǎo)軌傾斜情況號(hào)數(shù)123456振子質(zhì)量M/g168.09173.11178.03183.08188.11193.0610個(gè)周期 10T /ms10387.010521.010651.810783.910914.811041.2折合一周期的平方 /s21.0788981.1069141.1346081.1629251.1913291.219081由簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期公式： 可得M=k1+k242T2做M關(guān)于T2的圖像：Linear Regression for Data1_B:Y = A + B * XParameterValueError-A-23

8、.95650.14842B178.018940.12907-RSDNP-10.0151660.0001-直線斜率為178.01894（g/s2）有 K=k1+k2=42B*10-3=7.03(N/m)由1中測(cè)得的數(shù)據(jù)： 有 k1+k2=6.83(Nm)相對(duì)誤差為：2.90%對(duì)比實(shí)驗(yàn)測(cè)得的彈簧有效質(zhì)量和理論有效質(zhì)量號(hào)數(shù)123彈簧質(zhì)量 /g5.4410.5610.83理論有效質(zhì)量 /g1.813.523.611中測(cè)得的彈簧倔強(qiáng)系數(shù) / N/m4.582.252.35可得彈簧1、2的有效總質(zhì)量 M=5.33g設(shè)振子質(zhì)量為M，彈簧1、2的有效質(zhì)量為M0有公式： k1+k242T2-M0=M所以，在T2

9、與振子質(zhì)量M的關(guān)系圖中，-M0體現(xiàn)為在縱坐標(biāo)上的截距 在上面的關(guān)系圖中，截距為A=-23.9565 所以實(shí)驗(yàn)測(cè)得的彈簧有效質(zhì)量為：M0=23.96g 與理論值的相對(duì)誤差為 349.5%（這個(gè)巨大誤差將在后面具體討論）3. 振幅與周期的關(guān)系號(hào)數(shù)123456振幅A /cm5.0010.0015.0020.0025.0030.0010T /ms10386.710387.010388.810390.310390.710387.2作振幅與周期的關(guān)系圖：Linear Regression through origin for DATA1_B:Y = B * XParameterValueError-A0-

10、B0.047950.01046-RSDNP-0.460880.4989760.0001-Linear Regression for DATA1_B:Y = A + B * XParameterValueError-A1.038691.61766E-4B8.62857E-68.30756E-6-RSDNP-0.460881.73765E-460.35763-不過原點(diǎn)的直線擬合斜率為 8.62857E-6s/cm相關(guān)系數(shù) r=0.46088。4. 振幅與振子最大速度的關(guān)系實(shí)驗(yàn)中選用的滑塊質(zhì)量 m0=192.55g擋光片間隔 l=10.020.02 mm號(hào)數(shù)123456振幅 A/cm5.0010.0

11、015.0020.0025.0030.00振幅的平方 A2 /m20.0025000.010000.022500.040000.062500.09000擋光時(shí)間間隔t /ms33.6817.1111.388.546.815.67算得的最大速度 vm / m/s0.29750.58560.88041.171.471.76最大速度的平方 vm2 /m2 s20.088500.34290.77511.3692.16113.10作振幅平方與最大速度平方的關(guān)系圖：Linear Regression through origin for DATA1_B:Y = B * XParameterValueErr

12、or-A0-B34.455820.04633-RSDNP-0.999990.0055260.0001-直線斜率 B=34.45582（s-2）相關(guān)系數(shù) r=0.99999由此可得彈簧的倔強(qiáng)系數(shù) K=k1+k2=34.46192.5510-3N/m=6.64N/m由1中測(cè)得的數(shù)據(jù)： 有 k1+k2=6.83(Nm)相對(duì)誤差為 2.90%5. 彈簧并聯(lián)測(cè)量周期用電子天平測(cè)量彈簧的質(zhì)量：號(hào)數(shù)123彈簧質(zhì)量 /g5.4410.5610.831中測(cè)得的彈簧倔強(qiáng)系數(shù) / N/m4.582.252.35情況1：振子左邊是彈簧2，右邊是彈簧1 測(cè)得 10T1=10255.2ms 算得 T1=1025.52ms

13、情況2: 振子左邊是彈簧2和3并聯(lián)，右邊是彈簧1 測(cè)得 10T2=8881.15ms 算得 T2=888.115ms可得 T1T2=1.155由上面的倔強(qiáng)數(shù)據(jù)可得 k1+k2+k3k1+k2=1.159相對(duì)誤差為 0.37%【對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果中的現(xiàn)象或問題進(jìn)行分析、討論以及感想】1. 對(duì)測(cè)量彈簧的有效質(zhì)量的誤差分析在測(cè)量系統(tǒng)振子質(zhì)量與周期平方的關(guān)系后，接著做了彈簧的有效質(zhì)量的計(jì)算，詳情請(qǐng)見第8頁?？傻脧椈?、2的有效總質(zhì)量 M=5.33g 由電子天平直接測(cè)量并計(jì)算得到的彈簧1、2的有效總質(zhì)量為M=5.33g，然而有實(shí)際的T2M關(guān)系圖的截距得出彈簧的有效質(zhì)量為23.96g，這使得我的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果

14、的相對(duì)誤差達(dá)到了驚人的349.5%?？吹竭@個(gè)數(shù)據(jù)，我感到非常的驚奇，畢竟我在這次實(shí)驗(yàn)中的感覺是很好的，幾次線性擬合的相關(guān)系數(shù)都在0.99999以上，然而在這里的誤差是不可想象的。就其原因，應(yīng)該歸結(jié)為：彈簧相對(duì)于振子的質(zhì)量實(shí)在太小，振子周期的測(cè)量的微小偏移都會(huì)導(dǎo)致直線在M軸上的截距大大變化。所以導(dǎo)致如此大的誤差。不過我還是覺得可能是我自己理論計(jì)算的問題，因?yàn)檫@個(gè)誤差畢竟太大了，但是檢查了半天也沒檢查出那里的公式推倒錯(cuò)了，于是只好作罷。 2. 在測(cè)量振幅與周期的過程中，我的到了一系列幾乎平行于橫軸的點(diǎn)，過這些點(diǎn)的直線擬合的斜率為8.62857E-6，我認(rèn)為其實(shí)這樣已經(jīng)能比較充分地說明在諧振中，周期

15、與振幅沒有關(guān)系的這一結(jié)論了。 然而，觀察到其周期隨著振幅的增長(zhǎng)還是有微小的增長(zhǎng)。分析其原因，是由于空氣阻力的原因。振幅越大，則振子的最大速度也就越快，那么受到的空氣阻力也就越大，甚至增長(zhǎng)速度大于v的增長(zhǎng)速度，所以，振幅越大，導(dǎo)致空氣阻力對(duì)振動(dòng)周期的時(shí)間延長(zhǎng)越大。所以表現(xiàn)為周期隨著振幅的增長(zhǎng)而有所增長(zhǎng)的現(xiàn)象，然而，畢竟空氣阻力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于彈簧的彈力，這也是我們能做成功這個(gè)實(shí)驗(yàn)的前提。3. 實(shí)驗(yàn)里要用到的一個(gè)常量就是重力加速度g，但是實(shí)驗(yàn)室并沒有明確給出重力加速度的大小，于是自己取了9.80ms2。感覺以后實(shí)驗(yàn)室里應(yīng)該為我們提供這些常量。我沒有選到聲速的測(cè)量那個(gè)實(shí)驗(yàn)，但希望至少那里應(yīng)該給出當(dāng)時(shí)的室溫，

16、以及聲速在某些特定溫度下的傳播速度。要不然是無法得出結(jié)論的。4. 最后談?wù)勛约旱母邢?。自己高中曾做過這個(gè)實(shí)驗(yàn)，但是當(dāng)時(shí)并沒有做得如此透徹，雖然大體上還是有印象，但是有很多細(xì)節(jié)都是在這次做實(shí)驗(yàn)的時(shí)候才重新找到感覺的。以前做實(shí)驗(yàn)都是一個(gè)人，這次做實(shí)驗(yàn)還有一位搭檔，然我找到了團(tuán)隊(duì)合作的感覺。在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)量中，我盡力做到了精益求精，記得在測(cè)量彈簧1的彈性系數(shù)時(shí)，自己的手不小心將連反射鏡的線拉了一下，感覺影響到了測(cè)量數(shù)據(jù)，我毅然重做了一遍。這種精神我并不常有，但看到我的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在Origin上的完美直線時(shí)，我認(rèn)識(shí)到這種精益求精的態(tài)度是正確的，并希望在以后的學(xué)習(xí)生活中有意識(shí)地去培養(yǎng)這種精神?！靖巾摗克伎碱}的解答1滑塊的振幅在振動(dòng)過程中不斷減少，是什么原因？對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有無影響？答：振幅不斷減小是因?yàn)榛瑝K在振動(dòng)過程中受到了空氣阻力的影響，使得系統(tǒng)的機(jī)械能降低，并體現(xiàn)在振幅逐漸減小，最大速度逐漸減小的現(xiàn)象中。非理想阻尼振動(dòng)在理論上是對(duì)系統(tǒng)的周期有影響的，但是這種影響在目前這種條件下是可以忽略的。2如果M T 2 圖不是一條直線，說明什么？答：首先除去操作的問題，因