2022年(教師版)考點(diǎn)專題二平面向量與復(fù)數(shù)

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -考點(diǎn)專題二平面對(duì)量與復(fù)數(shù)（ 2）【考情分析】從近四年高考試卷分析來(lái)看，本專題學(xué)問(wèn)理科每年考查1 2 題，所占分值比例約為4.8% ，難易度以簡(jiǎn)單題、中等題為主，文科每年考查1 2 題，所占分值比例約為4.5%，難易度以 簡(jiǎn)單題為主，此學(xué)問(wèn)是高考中的必考內(nèi)容.此學(xué)問(wèn)在近四年常以填空題、挑選題、 解答題的形式在高考題中顯現(xiàn)，主要考查復(fù)數(shù)的四就運(yùn)算，復(fù)平面等相關(guān)學(xué)問(wèn).復(fù)數(shù)在高考試卷中的考查形式比較單一.【學(xué)問(wèn)梳理】 重難點(diǎn) 1.復(fù)數(shù)的相等：兩個(gè)復(fù)數(shù)z1abi a, bR, z2cdi c, dR ，當(dāng)且僅當(dāng)ac 且bd 時(shí)，z

2、1z2 . 特殊地，當(dāng)且僅當(dāng)ab0 時(shí)， abi0.2. 復(fù)數(shù)的模： 復(fù)數(shù) z1abi a, bR 的模記作z 或 abi ， 有 zabia 2b 2 .3. 共軛復(fù)數(shù)： 當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù) z的共軛復(fù)數(shù)記作z, z 、 z 互為共軛復(fù)數(shù) .假如 zabi , zabi a, bR ，就有 zR 的充要條件是zz; z是純虛數(shù)的充要條件是 zz 且 z0.4.復(fù)平面在平面直角坐標(biāo)系中，可以用點(diǎn)Z a, b 表示復(fù)數(shù)z1a bi a, bR ，建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，在復(fù)平面上， 稱 x 、 y 軸分別為實(shí)軸和虛軸，并且復(fù)數(shù)集

3、C 和復(fù)平面內(nèi)全部的點(diǎn)構(gòu)成的集合建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.5.實(shí)系數(shù)一元二次方程實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集中恒有解，當(dāng)判別式b 24 ac0 時(shí)， 實(shí)系數(shù)一元二次方程 ax2bxc0 a, b, cR 且 a0在 復(fù) 數(shù) 集 中 有 一 對(duì) 互 相 共 軛 的 虛 數(shù) 根2xb4ac2a2ab i. 易錯(cuò)點(diǎn) 精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -131.在進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算時(shí)，要敏捷利用i 和i 的性質(zhì)，會(huì)適當(dāng)變形，制造條件，22從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于i 和的運(yùn)

4、算問(wèn)題，并留意以下結(jié)論的敏捷運(yùn)用： 1i 21i2i ；1ii ,1i1ii ； i 4n1,i 4n 1i , i 4 n 21,i 4n 3i nZ ；21322i1 ，31,120.2.在進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，不能把實(shí)數(shù)集的某些法就和性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來(lái)，如下面的結(jié)論，當(dāng) zC 時(shí)不總是成立的： zm nzmn m, n 為分?jǐn)?shù)）； zmznmnz1 ；22z1z20z1z20 ，zz2 .2【基礎(chǔ)練習(xí)】1. 如復(fù)數(shù) 1bi 3i 是純虛數(shù)（i 是虛數(shù)單位，b 為實(shí)數(shù)），就 b .2. 設(shè) z 2i 2 i為虛數(shù)單位） ，就復(fù)數(shù)z 的模為 .【答案】 5（ 2021 江蘇）3. 已知復(fù)數(shù)z

5、的共軛復(fù)數(shù)z12i （ i 為虛數(shù)單位） ，就 z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A 第一象限B其次象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【解析】 z 的共軛復(fù)數(shù)z12i ，就 z12i ，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為1,2 ，故答案為D （ 2021福建理）4. 已知集合 M1,2, zi,i 為虛數(shù)單位，N3,4 ， MN4 ，就復(fù)數(shù) z（）A. 2iB. 2iC. 4iD. 4i解析：由于M1,2, zi ， N3,4，由 MN4 ，得 4M ，所以 zi4 ，所以z4i .答案： C【命題立意】學(xué)問(wèn)：集合的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的運(yùn)算.試題難度：較小.（ 2021 江西理）5. 如向量，滿意 | | ，就與所成角的大小為 【答案

6、】 90°（ 2001 上春）6. 已知 zC ，且z22i1,i為虛數(shù)單位，就z22i的最小值是 B（A ） 2 .（ B） 3 .（ C） 4 .（D） 5 .（ 2021 上春）7. “2a2 ”是“實(shí)系數(shù)一元二次方程x2ax10 有虛根”的（）（ A）必要不充分條件（B）充分不必要條件（ C）充要條件（D ）既不充分也不必要條件精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -解： 由實(shí)系數(shù)一元二次方程x2ax1 0 有虛根 , 可得

7、a 240 ,即可得a2, 2, 2,22,2 ,“2a2 ”是“實(shí)系數(shù)一元二次方程x2ax1 0 有虛根”的必要不充分條件,故應(yīng)選 A（ 2021 上文）8. 設(shè)z1 、z2 是復(fù)數(shù)，就以下命題中的假命題是（）【答案】 D（ 2021 陜西理）A. 如z1z20 ，就 z1z2B. 如 z1z2 ，就 z1z2C. 如 z1z2 ，就 z1z1z2z2D .如 z1z2 ，就12zz22【 解 析 】 設(shè) z1abi , z2cdi, 如| z1z2 |0， 就 | z1z2 |acbd i，ac, bd ，所以 z1z2 ，故 A 項(xiàng)正確；如z1z2 ，就ac,bd ，所以 z1z2 ，故

8、B 項(xiàng)正確；如| z1 | | z2|，就222abc2d，所以z1 .z1z2.z2，故 C 項(xiàng)正確；2222當(dāng) | z | | z |時(shí)，可取z1, zi ，明顯 z1, z1，即 zz，假命題 .12121212【例題精講】例 1. 已知復(fù)數(shù)z1 滿意z121i 1i （ i 為虛數(shù)單位） ，復(fù)數(shù)z2 的虛部為 2 ， z1z2 是實(shí)數(shù)，求z2 .（ 2021 上）解： z121i 1iz12i設(shè) z2a2i, aR ，就z1z22i a2i 2a24ai ，z1z2R ，z242i例 2. 已知 z 是復(fù)數(shù)， z2 i 、 z2i均為實(shí)數(shù)（ i 為虛數(shù)單位） ，且復(fù)數(shù) za i 2 在

9、復(fù)平面上z2ix y2i，由題意得y2 .2i 2i 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a 的取值范疇 .（ 2005 上春）設(shè) zxyi x、yR ，zx2i2i2i1 x51 2x251 x54 i由題意得x4 . z42i . zai 2124aa 2 8 a2i ，依據(jù)條件，可知124aa 28a200 ，解得2a6 ，實(shí)數(shù) a 的取值范疇是2,6 .精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -例 3.已知復(fù)數(shù) zabi （ a 、bR ） i

10、是虛數(shù)單位 是方程x24 x50 的根 復(fù)數(shù) wu3i （ uR ）滿意wz25 ，求 u 的取值范疇（2021 上文）解：原方程的根為x1, 22i,a,bR,z2i ,| wz | u3i 2i |u2 2425 ,2u6 例 4.對(duì)于復(fù)數(shù) a,b, c, d，如集合 S a, b, c, d 具有性質(zhì)“對(duì)任意x ，yS ，必有 xyS ”，a就當(dāng)b 2c21,1 時(shí)， bcd 等于（）（2021 福建理）bA.1B.-1C.0D.i解法 1：由 b 21 ，得 b1或 b1 . 又a 1,由集合中元素的互異性知b1. 由c 2b ，即 c 21 ，得 ci 或 ci . （ 1）當(dāng) a1

11、, b1, ci 時(shí)， S1,1,i , d，由于集合S 具有性質(zhì)“對(duì)任意x 、 yS ，必有 xyS ”，所以 aciS,bciS ，故 di ，bcd1. （ 2）當(dāng) a1,b1,ci 時(shí)， S1,1,i , d，由于集合 S 具有性質(zhì) “對(duì)任意 x 、 yS ，必有 xyS ”，所以 aciS, bciS ，故 di ，bcd1.a1,a1a1a1a1解法 2：b21 ，b 1 或b1或b1或b1 ，又由于集合中的元素具有c2bc 1c1cicia1a1互異性， 且對(duì)任意x ， yS ，必有 xyS ，所以b1 或b1 ，所以 bcd1 cicididi點(diǎn)評(píng)：（ 1）此題涉及復(fù)數(shù)與集合等

12、學(xué)問(wèn)點(diǎn)，考查閱讀與懂得、 信息遷移以及同學(xué)的學(xué)習(xí)潛力,考查同學(xué)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的才能，屬于創(chuàng)新題型（ 2）解法 1 步步為營(yíng)，借助“分類爭(zhēng)論”求出不憐憫形下的c、d的不同取值，進(jìn)而求出 bcd ；解法 2 直接解方程，然后驗(yàn)證條件，排除不滿意的條件；明顯解法1 優(yōu)于解法 2（ 3）主要考查推理論證才能、運(yùn)算求解才能、數(shù)據(jù)處理才能、創(chuàng)新意識(shí)；考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -（ 4）與前

13、三年的復(fù)數(shù)、 集合題型有很大的不同， 往年較少顯現(xiàn)復(fù)數(shù)與集合的交匯題型， 在題目的設(shè)計(jì)上更顯新意， 雖然題型新奇， 但是萬(wàn)變不離其宗， 所以在復(fù)習(xí)中肯定要把握好基本學(xué)問(wèn)（5）隨著高中新課程標(biāo)準(zhǔn)、新教材的使用，高考對(duì)考生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新才能的要求逐步提高“出活題，考才能”就是要求同學(xué)能綜合敏捷運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)，思想方法，對(duì)新概念、新學(xué)問(wèn)、 新信息、 新情形、 新問(wèn)題進(jìn)行分析，探究、 制造性地解決問(wèn)題所以“新定義問(wèn)題”將是高考創(chuàng)新題中一種命題趨勢(shì)【才能強(qiáng)化】1. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2i 2 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 （ 2021 北京理）【答案】 DA. 第一象限B. 其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2. 如復(fù)數(shù)

14、 z 滿意 34i z443i ，就 z 的虛部為（）（ 2021 全國(guó)新課標(biāo)I 理）4A .4B .5C . 4D .5【命題意圖】此題主要考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，是簡(jiǎn)單題.22【解析】由題知z =| 43i |=43 34i 34=i ，故 z 的虛部為4，應(yīng)選 D.34i34i 34i 5553. z2 mi, mR ，如 11z 對(duì)應(yīng)點(diǎn)在其次象限，就m 的取值范疇為 .i4. 在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 .3 i 、1 i2 i 、0，就第四個(gè)頂5. 已知 z 為復(fù)數(shù)，就zz2 的一個(gè)充要條件是z 滿意. （2003 上春）【答案】6.

15、設(shè) 集 合 My yco s2 xsin2x , xR ， Nx x1 i2,i為虛數(shù)單位，xR, 就MN 為 . 【答案】0,1（ 2021 陜西理）7. （ 2021 福建理第5 題） 滿意a, b1,0,1,2，且關(guān)于 x 的方程ax22 xb0 有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)a, b 的個(gè)數(shù)為（）A 14B 13C 12D 10【答案】 B【解析】方程ax 22 xb0 有實(shí)數(shù)解，分析爭(zhēng)論當(dāng) a0 時(shí)，很明顯為垂直于x 軸的直線方程，有解此時(shí)b 可以取 4 個(gè)值故有4 種有序數(shù)對(duì)當(dāng) a0 時(shí)，需要44ab0 ， 即 ab1 明顯有 3 個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)不滿意題意， 分別為（ 1,2），精選名師 優(yōu)秀名師

16、- - - - - - - - - -第 5 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -（2,1），（2,2）滿足題意的a ,b的取值為1,0, 1,1, 1, 1, 1,2,1,1, 1,0, 1,1,2,1 ，（2,0），共 9 個(gè).8. 在復(fù)數(shù)范疇內(nèi)解方程2z zzi3ii 為虛數(shù)單位 （ 2005 上）2i解：原方程化簡(jiǎn)為z 2 zzi1i ,設(shè) z=x+yix 、y R,代入上述方程得x2+y 2+2xi=1-i, x 2+y 2=1 且 2x=-1, 解得 x=-1 且 y=±3 ,2213原方程的解是z=-±i.229. 已知實(shí)數(shù)p 滿意不等式2x1x20 ，試判定方程z22z5p 20，有無(wú)實(shí)根，并給出證明.（2004 上春）解：由2 x 1px 20 ，解得2x1 2p1 . 方程 z22z5p 20 的判別式4 p 24 .2222p1 ，124 ，0 ，由此得方程z22z5p 20 無(wú)實(shí)根 .410. 已 知 關(guān) 于 x 的 實(shí) 系 數(shù) 一 元 二 次 方 程ax 2bxc0