八年級數(shù)學(xué)探索勾股定理北師大

1、探索勾股定理一教學(xué)目標(biāo)與要求：1經(jīng)歷探索勾股定理過程，發(fā)展合情推理能力，體會由特殊到一般及數(shù)形結(jié)合思想。2了解利用拼圖驗證勾股定理的方法。 3了解勾股定理的歷史，了解勾股定理的廣泛應(yīng)用，體會勾股定理的文化價值。二. 重點與難點（一）重點1. 了解并掌握勾股定理，知道利用拼圖驗證勾股定理的方法。2. 運(yùn)用所學(xué)勾股定理解決一些問題。 （二）難點1. 掌握好勾股定理并能運(yùn)用勾股定理解決遇到的相關(guān)實際問題。2. 掌握好勾股定理的逆定理。3. 能熟練的區(qū)分勾股定理和勾股定理的逆定理。4. 能把勾股定理和勾股定理的逆定理運(yùn)用于實際，解決實際問題。 三 教材分析通過觀察、歸納、猜想探索勾

2、股定理及其逆定理，體驗由特殊到一般地探索數(shù)學(xué)問題的方法；教材通過拼圖的方法來驗證勾股定理，嘗試數(shù)形結(jié)合來解決數(shù)學(xué)問題的思想；通過運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決一些實際問題，學(xué)會從代數(shù)表示聯(lián)想到有關(guān)的幾何圖形，再由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)的代數(shù)表示，提高正確判定、合理推理的能力。四、學(xué)習(xí)資料1、關(guān)于勾股定理結(jié)論如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。注意：（1）由于我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，因此上結(jié)論被稱為“勾股定理”。（2）勾股定理有著悠久的歷史，古巴比倫和古中國人最早發(fā)現(xiàn)（看出）了這

3、個關(guān)系，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了這個關(guān)系，因此，國際上稱該結(jié)論為“畢達(dá)哥拉斯定理”（3）勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它從邊的角度進(jìn)一步刻畫了直角三角形的性質(zhì)。它把三角形有一個直角的“形”的特征，轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系，體現(xiàn)了重要的數(shù)學(xué)思想-數(shù)形結(jié)合。（4）勾股定理不僅源于生活，同時又廣泛應(yīng)用于生活。2、關(guān)于勾股逆定理結(jié)論如果直角三角形三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。（且C=90°）注意：（1）勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而此結(jié)論是直角三角形的判定定理，它不僅可以判定三角形是否為直角三角形，而且可以判定直角三角形中哪一個角為直

4、角，這種利用計算的方法來證明的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。（2）事實上，當(dāng)三角形三邊為a、b、c，且c為最大邊時，若a2+b2=c2，則C為直角；若c2>a2+b2，則C為鈍角；若c2<a2+b2，則C為銳角。（3）滿足條件a2+b2=c2的三個整數(shù)，稱為勾股數(shù)。常見的勾股數(shù)組有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41； 這些勾股數(shù)組的整數(shù)倍仍然是勾股數(shù)組。3、關(guān)于勾股定理的證明這里再介紹幾種典型的利用拼圖驗證的方法：（1）趙爽的方法如圖，由大正方形面積等于四個小直角三角形及中間一個小正方形面積之和，可得勾股定理。（2

5、）拼圖的方法如圖，由圖1中兩個小正方形的面積之和等于圖2中的小正方形面積可得勾股定理。 （3）總統(tǒng)的方法如圖，用兩個全等的正方形紙板拼得，由梯形面積等于三個三角形面積之和可得勾股定理。（4）七巧板拼法利用兩付同樣大小的七巧板拼圖，也能驗證勾股定理。 四典型例題例1 已知：一個直角三角形的兩邊長分別是3cm和4cm，求：第三邊的長。解：（1）已知的兩邊若是直角邊，則第三邊是斜邊。根據(jù)勾股定理，斜邊c2a2+b2=32+42=52所以第三邊（斜邊）的長為5cm。（2）已知的兩邊若一邊是直角邊、另一邊是斜邊，則較大的斜邊，第三邊就為另一條直角邊。根據(jù)勾股定理：c2a2+b2，則b2=c2-

6、a2=42-32=17，所以第三邊（直角邊）的長為。答：第三邊長是5cm或。點析：因為不清楚已知的兩邊是否全是直角邊還是其中一條是斜邊，所以在求第三邊的長時，應(yīng)考慮到分類進(jìn)行，從而避免漏解。例2 如圖，在ABC中，AB=15,BC=14,CA=13求BC邊上的高AD。解：設(shè)CD=x，則BD=14-x，在RTABD和RTACD中，由勾股定理可得：(14-x)2+AD2=152和x2+AD2=132，兩式相減，可得：(14-x)2- x2=56解之得：x =5在RTACD中，由勾股定理得：AD=12點析：ABC被高AD分成的兩個直角三角形的直角邊都是未知數(shù)，需在兩個直角三角形中分別用勾股定理，構(gòu)成

7、方程組，才能求得結(jié)果，這種方法在直角三角形的有關(guān)計算中是經(jīng)常應(yīng)用的。 例3 已知：如圖，在ABC中，E=C=90°，AD是BC邊上的中線，DEAB于E于，求證：AC2=AE2-BE2 證明：根據(jù)勾股定理，在RTACD中，AC2=AD2-CD2，在RTADE中，AD2=AE2+DE2，在RTBDE中，DE2=BD2-BE2AC2=AE2+DE2-CD2=AE2+BD2-BE2-CD2 又 BD=CD      AC2=AE2-BE2點析：證明線段的平方差或和，常常要考慮到運(yùn)用勾股定理；若無直角三角形，則可通過作垂線的方法，構(gòu)成直角三角形

8、，以便為運(yùn)用勾股定理創(chuàng)造必要的條件。例4 如圖，已知：ABC中，C=90°，點D是AC上的任意一點，請判斷AB2+CD2與AC2+BD2的大小關(guān)系。分析：這里有兩個直角三角形，結(jié)論又是平方形式，故考慮用勾股定理解：RtABC中，AB2=AC2+BC2, RtBCD中，CD2=BD2-BC兩式相加得，AB2+CD2= AC2+BD2例5 如圖，已知：AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于F，CB=CD，（1）求證：BCEDCF；（2）若AB=21，AD=9，CB=CD=10，求AC。解：（1）由角平分線性質(zhì)得CE=CF，由“HL”可證BCEDCF（2）由（1）可設(shè)BE=DF=x，則A

9、E=21-x，AF=9+x，易知ACEACFAE=AF，21-x=9+ x，x=6RtBCE中CE2=CB2-BE2=102-62=64，CE=8RtACE中，AC2=AE2+CE2=152+82=289，AC=17說明：在幾何證明和計算中出現(xiàn)直角時，?？紤]運(yùn)用勾股定理。五、鞏固練習(xí)1、 判斷（1）若直角三角形的兩邊長分別為3cm、4cm，則第三邊長為5cm。 （ ）（2）在直角三角形ABC中，a2+b2=c2。 （ ）（3）判斷：若直角三角形中兩直角邊長為a、b，斜邊長為c，斜邊上的高為h，則。（ ）2、 選擇（1）以面積為9m2正方形的對角線為邊作一個正方形，其面積為（ ）（A）9m2 (

10、B)13m2 (C)18m2 (D)24m2（2）在RtABC中，若斜邊，則 （ ） （A）2 （B）4 （C）8 （D）16(3). 把直角三角形兩條直角邊同時擴(kuò)大到原來的2倍，則其斜邊（    ）A. 擴(kuò)大到原來的2倍             B. 擴(kuò)大到原來的4倍  C. 不變             

11、            D. 減少到原來的2倍3、填空（1）已知ABC中，C=90°，若c=34，a:b=8:15，則a= ，b= .（2）如圖，求下列直角三角形中未知邊的長度 x= x= （3）若直角三角形兩直角邊長分別為3、4，則以斜邊為直徑的圓的面積為 。（4）若直角三角形的三邊長是不大于10的三個連續(xù)偶數(shù)，則其周長為 。（5）若三角形的三邊長分別為9cm、12cm、15cm，則長為15cm的邊上的高為 cm。（6）在RtABC中，C=90°，AC=3，BC=

12、8，則BC邊上的中線AD的長為 。4、解答：（1）如圖是水上樂園的一滑梯，AD=AB，若高BC=4cm，CD=2cm ,求滑道AD的長。 （2）A、B、C、D四個住宅小區(qū)位置如圖所示，已知：AB=0.5km，AD=1.2km，CD=0.9km，現(xiàn)要建一個公交總站，使它到四個小區(qū)路程和最短， 請在圖上畫出車站的位置，并說明為什么； 求這個最小的路程和。（3）如圖，已知矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，將紙片折疊，使點A與點C重合，求折痕EF長。（4）已知ABC中，AB=7，BC=6，AC=4，AD、AE分別為BC邊上的高和中線，求DE的長。六、中考題選做圖312cm1、沈陽市某中學(xué)舉辦校園

13、文化藝術(shù)節(jié)，小穎設(shè)計了同學(xué)們喜歡的圖案我的寶貝。圖案的一部分是以斜邊長為12cm的等腰直角三角形的各邊為直徑作半圓(如圖3)，則圖中陰影部分的面積為( )A、36cm2B、72cm2C、36cm2D、72cm2答案:D2、已知：在等腰梯形ABCD中，AD/BC, 對角線ACBD, AD=3cm, BC=7cm。則梯形的高是 cm。(2004年青島市中考數(shù)學(xué)試題)答案:53.如圖5,在長方形ABCD中,E為BC的中點,F在A B上,且.則四邊形AFEC的面積為_.答案:2七、參考答案1（1）錯 （2）錯 （3）對2（1）C （2）C (3)A3（1）16,30 （2）15,8（3）6.25 （4）24 （5）7.2 （6）5 4(1) 過點D作AB的垂線段DE，構(gòu)成直角三角形ADE，由勾股定理易得AD=5cm （2）連結(jié)