《數(shù)學(xué)分析1》課程教學(xué)大綱

1、數(shù)學(xué)分析1課程教學(xué)大綱課程名稱數(shù)學(xué)分析1課程編碼131500001課程類型學(xué)科基礎(chǔ)課程庫(kù)適用范圍院級(jí)課程學(xué)分?jǐn)?shù)4先修課程初等數(shù)學(xué)學(xué)時(shí)數(shù)64其中實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)其中實(shí)踐學(xué)時(shí)考核方式考試制定單位數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院執(zhí)筆者 審核者一、教學(xué)大綱說(shuō)明（一）課程的性質(zhì)、地位、作用和任務(wù)數(shù)學(xué)分析是綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)類各專業(yè)一門(mén)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)過(guò)渡的橋梁。本課程所占學(xué)分多，跨度大（計(jì)劃共四個(gè)學(xué)期），是一門(mén)內(nèi)容豐富而整體性強(qiáng)、思想深刻而方法基本的課程。本課程以經(jīng)典微積分為主體內(nèi)容，其中，極限的思想貫穿全課程，它不僅為許多后繼課程提供必要的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的訓(xùn)練，而且對(duì)全面培養(yǎng)學(xué)生的現(xiàn)代數(shù)學(xué)素質(zhì)以及

2、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問(wèn)題的能力起著十分重要的作用。本課程的任務(wù)是使學(xué)生系統(tǒng)地掌握極限理論、一元函數(shù)微積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)與多元函數(shù)微積分學(xué)等方面的知識(shí)，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的邏輯性、嚴(yán)密性方面的嚴(yán)格訓(xùn)練，使學(xué)生掌握近代數(shù)學(xué)的方法、技巧，使學(xué)生獲得初步應(yīng)用的能力,為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)乃至畢業(yè)后能勝任相應(yīng)的實(shí)際工作奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。（二）教學(xué)目的和要求本課程教學(xué)目的是通過(guò)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和嚴(yán)格的訓(xùn)練，使學(xué)生全面掌握數(shù)學(xué)分析的基本理論知識(shí)，初步掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)與方法，使學(xué)生具備靈活、快捷的運(yùn)算能力與技巧，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的邏輯思維能力與推理論證能力，簡(jiǎn)潔、清晰運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言的表達(dá)能力，提高建立數(shù)學(xué)

3、模型，并應(yīng)用微積分這一工具解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力。在教學(xué)基本要求上分為三個(gè)檔次，即了解、理解和掌握。1、掌握能聯(lián)系幾何與物理的直觀背景，從正反兩方面理解基本概念；熟練運(yùn)用基本理論進(jìn)行推理論證和分析問(wèn)題；熟練運(yùn)用基本方法、靈活運(yùn)用基本技巧進(jìn)行運(yùn)算和解決應(yīng)用問(wèn)題。包括實(shí)數(shù)與函數(shù)、各類極限、連續(xù)、（偏）導(dǎo)數(shù)、（全）微分、各類正常積分、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)有關(guān)概念、性質(zhì)、計(jì)算及應(yīng)用。2、理解能從正面理解基本概念；能應(yīng)用和了解如何證明基本理論；能掌握基本方法解決問(wèn)題，但不要求很熟練和技巧性。包括泰勒公式、函數(shù)圖像的討論、實(shí)數(shù)完備性基本定理、一般有理函數(shù)的不定積分及萬(wàn)能變換、非正常積分、歐拉變換、隱函數(shù)定理的

4、證明、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性、各類斂散問(wèn)題中的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法、傅里葉級(jí)數(shù)、斯托克斯公式。3、了解要求能應(yīng)用基本理論，不要求掌握證明方法；對(duì)基本方法一般要求會(huì)做，不要求靈活技巧。包括各類近似計(jì)算問(wèn)題、上、下極限問(wèn)題、可積性理論及積分在物理中的應(yīng)用、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的拉貝判別法，傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理的證明、n重積分與反常二重積分、復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)與歐拉公式、場(chǎng)論初步，流形上的微積分。（三）課程教學(xué)方法與手段本課程的教學(xué)以課堂教學(xué)為主，輔以習(xí)題練習(xí)與自學(xué)?；緝?nèi)容由老師講授，通過(guò)習(xí)題課鞏固，其余部分主要是*號(hào)部分由學(xué)生自學(xué)提高。由于本課程具有強(qiáng)烈的幾何背景，結(jié)合培養(yǎng)目標(biāo)，教學(xué)過(guò)程可恰當(dāng)?shù)厥褂矛F(xiàn)

5、代教育技術(shù)手段，把傳統(tǒng)的板書(shū)與現(xiàn)代化手段相結(jié)合，重要的定理、圖表、圖像制成多媒體，利用黑板進(jìn)行問(wèn)題分析與推理。另外由于本課程與數(shù)學(xué)應(yīng)用聯(lián)系密切，課程的教學(xué)中可適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)內(nèi)容，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模方法來(lái)解決各種實(shí)際問(wèn)題的能力。（四）課程與其它課程的聯(lián)系數(shù)學(xué)分析是綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)類各專業(yè)一門(mén)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)過(guò)渡的橋梁。因此要學(xué)習(xí)本課程，需先修初等數(shù)學(xué)，而本課程的多元微積分部分需運(yùn)用空間平面、直線等有關(guān)知識(shí)，故需先修空間解析幾何知識(shí)。而后繼課程包括：常微分方程、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、點(diǎn)集拓?fù)?、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、物理學(xué)及其他應(yīng)用數(shù)學(xué)相關(guān)課程。（五）

6、教材與教學(xué)參考書(shū)教材：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析(第四版)(上、下冊(cè))，高等教育出版社，2010年教學(xué)參考書(shū)：1、鄧東皋、尹小玲，數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程（第2版）（上、下冊(cè)），高等教育出版社，2010年2、陳紀(jì)修，數(shù)學(xué)分析（第二版）（上、下冊(cè)），高等教育出版社，2004年3、菲赫金哥爾茨，微積分學(xué)教程（第1卷）（第8版）、微積分學(xué)教程（第2卷）（第8 版）、微積分學(xué)教程（第3卷）（第8版），高等教育出版社，2006年4、James Stewart，微積分（第5版）（上、下冊(cè)），高等教育出版社，2004年5、毛羽輝、韓士安、吳畏，數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)（第四版）（上、下冊(cè)），高等教育出版社，2011年裴

7、禮文，數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法（第2版），高等教育出版社，2006年二、課程的教學(xué)內(nèi)容、重點(diǎn)和難點(diǎn)第一章 實(shí)數(shù)集與函數(shù)教學(xué)內(nèi)容：實(shí)數(shù)及其性質(zhì)，確界原理，函數(shù)有關(guān)概念與基本性質(zhì)。重點(diǎn)：三角形不等式，鄰域、有界集，確界概念、確界原理，基本初等函數(shù)與初等函數(shù)，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性及周期性。難點(diǎn)：上、下確界概念及確界原理。第二章 數(shù)列極限教學(xué)內(nèi)容：數(shù)列極限的概念與性質(zhì)，數(shù)列極限存在的條件。重點(diǎn)：數(shù)列極限的定義與幾何意義，收斂、發(fā)散數(shù)列與無(wú)窮小數(shù)列，收斂數(shù)列性質(zhì)，單調(diào)有界定理，柯西收斂準(zhǔn)則，收斂與發(fā)散數(shù)列的證明，數(shù)列極限的求法，重要極限： 。難點(diǎn)：利用-定義和柯西收斂準(zhǔn)則證明數(shù)列的斂散性，子列

8、的概念。第三章 函數(shù)極限教學(xué)內(nèi)容：各類型函數(shù)極限的概念與性質(zhì)、函數(shù)極限的存在性，兩個(gè)重要極限，無(wú)窮小量及階的比較，無(wú)窮大量，曲線的漸近線。重點(diǎn)：二十八種函數(shù)極限（含數(shù)列極限及無(wú)窮大）的定義，歸結(jié)原則及柯西準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限及函數(shù)極限的求法，等價(jià)無(wú)窮小與高階無(wú)窮小。難點(diǎn)：利用定義或柯西準(zhǔn)則證明函數(shù)極限的存在性，歸結(jié)原則的運(yùn)用。第四章 函數(shù)的連續(xù)性 教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的連續(xù)與間斷的定義，函數(shù)間斷點(diǎn)的分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)與閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性。重點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與左、右連續(xù)概念，間斷點(diǎn)及分類，函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)的概念，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性定理，初等函數(shù)的連續(xù)性及在求極

9、限中應(yīng)用。難點(diǎn)：間斷點(diǎn)的分類，一致連續(xù)性概念與運(yùn)用。第五章 導(dǎo)數(shù)和微分教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)（含高階導(dǎo)數(shù)）的概念，求導(dǎo)法則與公式、各類型函數(shù)的求導(dǎo)（含高階導(dǎo)數(shù)）法，函數(shù)極值的概念與費(fèi)馬定理，微分與高價(jià)微分概念、性質(zhì)及應(yīng)用。重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義，求導(dǎo)法則、公式及各種求導(dǎo)法，函數(shù)極值與費(fèi)馬定理，微分概念與性質(zhì)，可導(dǎo)、可微與連續(xù)的關(guān)系。難點(diǎn)：高階導(dǎo)數(shù)的各種求法，微分的概念。第六章 微分中值定理及其應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：三個(gè)微分中值定理，不定式極限。重點(diǎn)：三個(gè)微分中值定理，特別是拉格朗日中值定理及推論1、2，函數(shù)單調(diào)性的判定，利用中值定理以及導(dǎo)數(shù)證明不等式與恆等式，不定式極限求法。難點(diǎn)：利用中值定理以及導(dǎo)數(shù)證明不等式與恆等式。三、學(xué)時(shí)分配教學(xué)內(nèi)容各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配采用何種多媒體教學(xué)手段章節(jié)主要內(nèi)容學(xué)時(shí)分配講授實(shí)驗(yàn)討論習(xí)