全國卷高考數學圓錐曲線大題集大全

1、高考二輪復習專項：圓錐曲線大題集1. 如圖，直線 l 1與 l2是同一平面內兩條互相垂直的直線，交點是A，點 B 、D 在直線 l1上(B、 D 位于點 A 右側 ) ，且 |AB|=4 ， |AD|=1 ，M 是該平面上的一個動點， M 在 l 1上的射影點是 N，且 |BN|=2|DM|.( ) 建立適當的坐標系，求動點M 的軌跡 C 的方程( )過點 D 且不與 l1、 l 2垂直的直線 l 交( )中的軌跡 C 于 E、 F 兩點；另外平面上的點G、H 滿足：AGAD(R); GE GF2GH ; GH EF 0.求點 G 的橫坐標的取值X圍l 2MBAD NBl 13x 軸上，離心率

2、e2. 設橢圓的中心是坐標原點，焦點在2 ，已知點P(0,3)到這個橢圓上的點的最遠距離是4，求這個橢圓的方程.x 2y21(a b 0)x25 ,C1 :2b23. 已知橢圓a的一條準線方程是4 其左、右頂點分別C 2x2y21:b2是 A 、B；雙曲線a2的一條漸近線方程為 3x 5y=0.（）求橢圓 C1的方程及雙曲線C2的離心率；（）在第一象限內取雙曲線C2上一點 P，連結 AP 交橢圓 C1于點 M ，連結 PB 并延長交橢圓 C1于點 N，若AMMP .求證：MN AB 0.4. 橢圓的中心在坐標原點 O,右焦點 F（ c,0）到相應準線的距離為橢圓于 A ， B 兩點 .設 AB

3、 中點為 M ，直線 AB 與 OM 的夾角為（ 1）用半焦距c 表示橢圓的方程及tan;（ 2）若 2<tan<3，求橢圓率心率e 的取值X圍 .1，傾斜角為 45°的直線交 a.x2y 265.已知橢圓 a2b2e（ a b0）的離心率3 ，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線3與原點的距離為2（1）求橢圓的方程（2）已知定點 E（ -1，0），若直線 ykx 2（ k0）與橢圓交于 C D 兩點 問：是否存在 k 的值，使以 CD 為直徑的圓過 E 點 ?請說明理由6.在直角坐標平面中， ABC 的兩個頂點A, B的坐標分別為A( 1,0)，B(1,0)，平面內兩

4、點 G, M 同時滿足下列條件： GAMA MBMCGB GC 0；GM AB（1）求ABC 的頂點C的軌跡方程；（2）過點P(3,0)的直線l與（ 1）中軌跡交于E, F兩點，求 PEPF 的取值X圍7.設 x, y R ，i , j為 直 角 坐 標 平 面 內 x軸 y 軸 正 方 向 上 的 單 位 向 量 ， 若a xi ( y 2) j ,b xi( y 2) j ，且 | a | | b | 8（）求動點M(x,y) 的軌跡 C 的方程；（） 設曲線 C 上兩點 A B，滿足 (1)直線 AB 過點（ 0，3），(2)若OPOA OB，則 OAPB為矩形，試求AB 方程8. 已知

5、拋物線C： y 2m(xn), (m 0, n 0)的焦點為原點， C 的準線與直線l : kx y 2k0(k0)的交點 M 在 x 軸上，l與 C 交于不同的兩點 A 、 B，線段 AB 的垂直平分線交x 軸于點 N（ p， 0）（）求拋物線C 的方程；（）XX數p 的取值X圍；（）若 C 的焦點和準線為橢圓Q 的一個焦點和一條準線，試求Q 的短軸的端點的軌跡方程yDCEAOA 1xD1C19. 如圖， 橢圓的中心在原點，長軸 AA1 在 x 軸上 .以 A 、A1 為焦點的雙曲線交橢圓于C、D 、1AE23D1、C1四點，且 |CD|2|AA 1|.橢圓的一條弦AC 交雙曲線于E，設EC

6、，當 34時，求雙曲線的離心率e 的取值X圍 .10. 已知三角形 ABC 的三個頂點均在橢圓4x25 y280上，且點 A 是橢圓短軸的一個端點（點 A 在 y 軸正半軸上） .若三角形 ABC 的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC 的方程 ;若角A為900， AD 垂直 BC 于 D ，試求點 D 的軌跡方程 .11. 如圖，過拋物線x24 y的對稱軸上任一點P (0, m) (m 0)作直線與拋物線交于A, B兩點，點Q是點 P 關于原點的對稱點.(1)設點 P 分有向線段AB 所成的比為，證明: QP (QA QB) ;(2)設直線 AB 的方程是x 2y 120，過A, B兩點的圓 C

7、 與拋物線在點A 處有共同的切線，求圓C的方程 .1p 2p2 ），過Q作斜率為 2的直線 l， P Q 中點 M 的軌跡12. 已知動點 P（ p， -1），Q（ p，為曲線 C.（1）證明： l 經過一個定點而且與曲線C 一定有兩個公共點；（2）若（ 1）中的其中一個公共點為A ，證明： AP 是曲線 C 的切線；（3）設直線 AP 的傾斜角為， AP與 l 的夾角為，證明：或是定值 .13. 在平面直角坐標系內有兩個定點F1、F2 和動點P，F(xiàn)1、F2坐標分別為F1(1,0) 、| PF1|2F2 (1,0)，動點P滿足| PF2|2，動點 P 的軌跡為曲線C，曲線C關于直線yx 的對稱

8、曲線為曲線 C ' ，直線 yx m3與曲線C'交于 A 、 B 兩點， O 是坐標原點， ABO的面積為7 ，（1）求曲線C 的方程；（ 2）求m的值。x2y 21( a 0,b0)14. 已知雙曲線a2b 2F1、F2 ,點 P 在雙曲線右支的左右兩個焦點分別為上.(3 41,16)PF2 ,求雙曲線的方程；（）若當點P 的坐標為55 時,PF1（）若 | PF 1| 3 | PF2| ,求雙曲線離心率e的最值 ,并寫出此時雙曲線的漸進線方程.x2y215. 若 F1、F 2為雙曲線a1b的左右焦點， O 為坐標原點， P 在雙曲線的左支上，點OF1OM )(0)F1O P

9、M ,OP(M 在右準線上，且滿足；OF1OM 1.（1）求該雙曲線的離心率；（2）若該雙曲線過 N （ 2，3 ），求雙曲線的方程；（3）若過 N（ 2，3 ）的雙曲線的虛軸端點分別為B1、B2（ B 1在 y 軸正半軸上） ，點 A 、B 在雙曲線上，且B2 AB2B,求B1AB1 B 時，直線AB的方程 .16. 以 O 為原點，OF 所在直線為x 軸，建立如所示的坐標系。設OF FG 1，點 F 的坐標為(t ,0)，t3, )，點 G的坐標為(x0 , y0 )。（1）求x0關于 t 的函數x0f (t ) 的表達式，判斷函數f (t ) 的單調性，并證明你的判斷；（ 2）設 OFG

10、的面積最小值時橢圓的方程；S31 tG，求當|OG |取6，若以 O 為中心， F 為焦點的橢圓經過點（3）在（ 2）的條件下，若點 P 的坐標為(0, 9)PD(1) ，2 ，C、D是橢圓上的兩點， 且PCXX數的取值X圍。17.已知點 C 為圓( x1) 2y 28 的圓心，點A（1，0），P是圓上的動點，點Q在圓的半徑 CP 上，且MQ AP0, AP2AM .（）當點 P 在圓上運動時，求點 Q 的軌跡方程；（）若直線 ykxk 21與（）中所求點 Q的軌跡交于不同兩點F， H， O 是坐標原點，23OF OH4 ，求FOH的面積的取值X圍。且 318. 如圖所示， O 是線段 AB

11、的中點，|AB| 2c，以點 A 為圓心，2a 為半徑作一圓， 其中ac 。AOB（1）若圓 A 外的動點P 到 B 的距離等于它到圓周的最短距離，建立適當坐標系，求動點P的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線；（2）經過點O 的直線 l 與直線 AB 成 60°角，當 c 2， a1 時，動點P 的軌跡記為E，設過點 B 的直線 m 交曲線 E 于 M 、 N 兩點，且點M 在直線 AB 的上方，求點M 到直線 l 的距離 d 的取值X圍。19.設O為坐標原點,曲線 x 2y 22x6y 1 0 上有兩點P、 Q 滿足關于直線x my4 0對稱，又以 PQ 為直徑的圓過O 點 .（1）求

12、m的值 ;（2）求直線 PQ 的方程 .20. 在平面直角坐標系中，若a ( x3, y), b ( x 3, y)ab 4，且，（1）求動點Q (x, y)的軌跡C的方程；（2）已知定點 P(t,0)( t0)，若斜率為 1的直線l過點 P 并與軌跡C交于不同的兩點A, B，且對于軌跡 C 上任意一點M ，都存在0, 2 ，使得OMcos OA sin OB 成立，試求出滿足條件的實數 t的值。x2y 21（ a>0,b>0）的右準線l2與一條漸近線l交于兩點 P、Q，F(xiàn) 是21.已知雙曲線 a2b 2雙曲線的右焦點。（I ）求證： PFl；（II ）若 PQF 為等邊三角形，且

13、直線y=x+b 交雙曲線于 A ， B 兩點，且AB30 ，求雙曲線的方程；（III ）延長 FP 交雙曲線左準線l1和左支分別為點 M 、N ，若 M 為 PN 的中點，求雙曲線的離心率 e。22. 已知又曲線在左右頂點分別是A ，B，點 P 是其右準線上的一點，若點 A 關于點 P 的對稱點是 M ，點 P 關于點 B 的對稱點是 N，且 M、 N 都在此雙曲線上。（I ）求此雙曲線的方程；（II ）求直線 MN 的傾斜角。23. 如圖，在直角坐標系中， 點 A（ -1，0），B（ 1，0），P（ x，y）（y0）。設AP、OP、 BP與 x 軸正方向的夾角分別為、 、，若。（ I）求點

14、P 的軌跡 G 的方程；（ II ）設過點 C（ 0，-1）的直線l與軌跡 G 交于不同兩點 M 、N 。問在 x 軸上是否存在一點E x0，0，使 MNE 為正三角形。若存在求出x0 值；若不存在說明理由。yPAOBx22C : x2y21 a b 0M 2,1F12 , 024. 設橢圓ab過點，且焦點為。（1）求橢圓C的方程；（2）當過點P 4 ,1的動直線與橢圓 C 相交與兩不同點A、B 時，在線段AB上取點Q，滿足 AP QBAQPB ，證明：點Q總在某定直線上。25. 平面直角坐標系中，O 為坐標原點，給定兩點A （ 1， 0）、 B （ 0， 2），點C 滿足OCOA OB, 其

15、中、R,且21（1）求點 C 的軌跡方程；x 2y21(a0,b 0)a 2b2（2）設點 C 的軌跡與雙曲線交于兩點 M 、N ，且以 MN 為直徑11為定值的圓過原點，求證： a2b2.26.設F (1,0)， M 、 P 分別為x 軸、y軸上的點，且PMPF0 ，動點N 滿足：MN2NP .（1）求動點N的軌跡E的方程；（2）過定點C (c,0)(c 0) 任意作一條直線l與曲線 E 交與不同的兩點A 、 B ，問在x軸上是否存在一定點Q ，使得直線AQ 、BQ的傾斜角互補？若存在，求出Q 點的坐標；若不存在，請說明理由.27. 如圖，直角梯形 ABCD 中，橢圓 F 以 A 、 B 為

16、焦點，且經過點（）建立適當的直角坐標系，求橢圓31DAB90，AD BC，AB=2 ，AD= 2，BC= 2D，F(xiàn) 的方程；（）是否存在直線 l與橢圓 F交于 M 、N 兩點，且線段MN的中點為點 C ，若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由 .DCB28. 如圖所示， B（c，0），C（ c，0），AH BC ，垂足為 H，且BH3HC （1）若AB AC = 0，求以 B 、C 為焦點并且經過點A 的橢圓的離心率；（2） D 分有向線段AB 的比為 ，A、D同在以B、C為焦點的橢圓上，7當5 2時，求橢圓的離心率e 的取值X圍29.在直角坐標平面中，ABC 的兩個頂點A, B 的坐標分

17、別為A( 1,0)，B(1,0)，平面內兩點 G, M 同時滿足下列條件： GAMA MBMCGB GC 0；GMAB（1）求ABC 的頂點C的軌跡方程；（2）過點P(3,0)的直線l與（ 1）中軌跡交于E, F兩點，求 PEPF 的取值X圍答案：1.解： ( ) 以 A 點為坐標原點，l1 為 x 軸，建立如圖所示的坐標系，則D(1 ， 0)， B(4 ， 0)，設 M （ x， y），則 N （ x， 0） . |BN|=2|DM| ，|4 x|=2(x1)2+y2,整理得 3x2+4y2=12,動點 M 的軌跡x2y2方程為4+ 3=1 .( )AGAD(R),A 、D 、G 三點共線，

18、 即點 G 在 x 軸上；又GEGF 2GH , H 點為線段 EF 的中點；又 GHEF0,點 G 是線段 EF 的垂直平分線GH 與 x 軸的交點。設 l ：y=k(x 1)(k 0)，代入 3x2+4y2=12 得(3+4k2)x2 8k2x+4k2 12=0，由于 l 過點 D(1 ， 0)是橢圓的焦點，l 與橢圓必有兩個交點，設 E(x1 ， y1)， F(x2 ， y2) ， EF 的中點 H 的坐標為（ x0， y0），x1+x2=8k24k2 123+4k2， x1x2=3+4k2，x1+x24k23kx0=2= 3+4k2， y0=k(x0 1)=3+4k2 ，線段 EF 的

19、垂直平分線為1y y0 = k (x x0)，令 y=0 得， 3k24k2k2點 G 的橫坐標 xG = ky0+x0 =+ 3+4k2= 3+4k23+4k213= 4 4(3+4k2) ，k0， k2>0 ， 3+4k2>3 ，0<1113<3， 4< 4(3+4k2) <0，(3+4k2)xG= 13(0，1）4 4(3+4k2)4點 G 的橫坐標的取值X圍為(0，1） .4e3c3 a2.解：2，2由 a2b2c2得 a2bx2y214b2b2設橢圓的方程為（ b 0）即 x24b 24 y2（b y b ）設 M ( x, y) 是橢圓上任意一點

20、，則|PM |2x2( y 3) 23( y 1)24b 212（by b ）若 b1即 b1b，則當y1時，| PM |max24b212由已知有 4b21216 ，得b1；若 0b1即1b，則當yb 時， | PM |max2b26b 926b916，得 b 7 （舍去）.由已知有 b綜上所述， b1， a2.x2y21所以，橢圓的方程為4.a 225c4a5b3解之得 :b3a5c4c2a 2b 23.解：（ I）由已知x2y21x 2y 21259259橢圓的方程為，雙曲線的方程.34又C25934 雙曲線的離心率e25（）由（） A （ 5，0），B（ 5，0） 設 M ( x0,

21、y0)則由AMMP得 M 為 AP的中點x02y021259(2x0 5)y02( 2x5,2 y0 )251P 點坐標為0將 M 、 p 坐標代入 c1、 c2方程得9消去 y0 得2x25x0 25 0x05或 x05(舍 )0解之得2由此可得 P（ 10，33)當 P為（10，33) 時y3 3 (x 5)y3 3 ( x 5)PB：10 5即52 2x y 1得 : 2x2代入25 95xNxN xM 2a 24.解：（ 1）由題意可知c15 x 25 0x5或5(舍)2MN x 軸即 MNAB0c1,則 a2cc 2 , b2a2c2c,所以橢圓方程為x2y 21 4分設A( x1,

22、 y1 ), B(x2 , y2 )，將其代入橢圓方程相減，將c2cc111 , tgc 1 |c 2y1y2y1y2kOMc|1與 kOM111cx1x2x1x2代入 可化得c12c 23, 1 c 2,則eccc1(2,6)cac212 31（2）若 2<tan<3 ，則c5.解：（ 1）直線 AB 方程為： bx-ay-ab 0c 6 ，a 3ab3a3，依題意a2b22解得b1x2y21 橢圓方程為3ykx2，（ 2）假若存在這樣的k 值，由x 23y23 0 得(1 3k2)x212kx 9 0(12k )236(1 3k2 )0x1x212k2 ，13k設C(x1 ，y

23、1 )x1x291 3k 2D(x2 ，y2 )，則而 y1y2(kx12)(kx22)k 2 x1 x22k( x1x2 ) 4y1y21E（ -1， 0），當且僅當 CE DE 時，則x11要使以 CD 為直徑的圓過點x2 1，即y1 y2( x1 1)( x21) 0( k21)x1 x2 2( k 1)( x1x2 ) 5 0k776k將式代入整理解得經驗證，6 ，使成立7k綜上可知，存在6 ，使得以CD為直徑的圓過點E6.解：（1）設 C ( x, y) , G ( x0 , y0 ) , M (xM , yM ).MAMB， M 點在線段 AB 的中垂線上由已知A( 1,0) ,

24、B(1,0) ,xM0 ；又GM AB，yMy0又 GAGBGC01x0 , y01x0 ,y0xx0 , yy00,0x0x ,y0yyMy333y2y2MBMC01 200 x 2y33x2y 21y0 ，x2y 21y 0 .3頂點 C 的軌跡方程為3(2) 設直線l方程為：yk (x3) ，E (x1, y1)，F(xiàn) ( x2, y2)yk( x3)由 x2y 21消去 y 得： k 23 x 26k 2 x 9k 233 0 x1 x26k 29k 2323 ，x1 x223kkPEPFPEPFcos0PEPF1k 23 x11k 2 3x2而21k29k 22718k 29k 23x

25、2x1 x2k 231 k 9 3 x124 k212448k23k 236k 224 k 23 9k 23 03由方程知k 283k2327PEPF8,880 k28，3,k 0 ，89.7.解：解：令M ( x, y), F1(0,2), F2 (0,2)則 a F1 M , b F 2 M即 | a | | b | | F1 M | | F2 M |即|F1 M| |F2M| 8又F1 F24 2Cc 2, a 4, b 212y 2x 21所求軌跡方程為1612（）解：由條件（2）可知 OAB 不共線，故直線AB 的斜率存在設 AB 方程為ykx3, A( x1 , y1 ), B(x

26、 2 , y2 )ykx 3(3k 24) x2y2x2118kx210則 1612x1x218kx1x2213k243k 24y1y2(kx13)( kx23)k 2 xx23k( x1x2)93b 48k 213k 24 OAPB 為矩形，OA OBOA OB0 x1 x2y1 y20k5得4y 5 x 3所求直線方程為48.解：（ I）由題意，拋物線頂點為（n， 0），又焦點為原點m 0xm4n準線方程且有 m=4n.m準線與直線 l 交點在x軸上，交點為(,0)2又 l與 x 軸交于（ 2， 0）， m=4， n=1拋物線方程為 y2=4 （ x+1 ）kxy2k04( k21) x4

27、(k 21)0( k 0)y 24(x 1)得k2 x2（II）由16(1k 2 )0 1 k 1且 k 0x1x22(12k )2k 2y1y222k212(1k 2 )0 AB 的中垂線方程為y x2, 令 ykkkp22(1k 2 )2k 2k 2得 p（ 2， +）（ III ）拋物線焦點 F（ 0，0），準線 x= 2 x= 2 是 Q 的左準線設 Q 的中心為 O（x， 0），則短軸端點為（若 F 為左焦點，則 c=x 0， b=|y| a2=b2+c2=x2+y2a2x 2y2c 2x 2依左準線方程有cx±x， y）即 y2=2x（ x 0）若 F 為右焦點，則 x

28、0，故 c= x， b=|y| a 2a2=b2+c2=x2+y2c 2依左準線方程有c22xy2( x)即x化簡得 2x2+2x+y2=04( x1 )22 y21即2（ x 0， y0）xy1,9.解：建立如原題圖所示的坐標系，則AB 的方程為30 20由于點 P 在 AB 上，可設 P( x,202x).S(100x)80( 202x )( 0 x 30).點的坐標為3則長方形面積3S2 x220 x 6000(0x 30).易知，當x 5, y50時, Smax 6017(m2 ).化簡得333D (cc, h), h),C (h 為 C、（21）解：設 A （ c,0） ,A1(c,0) ，則22（其中 c 為雙曲線的半焦距，AEccc(2)h,xE2, y Ec(2)hD 到 x 軸的距離）EC12(1)1(,)即 E 點坐標為2(1)1x2y 21c設雙曲線的方程為 a2b2a，將e 代入方程，得e2 x 2y21c2b2C( c ,h), E