初等函數(shù)連續(xù)性

1、3 初等函數(shù)連續(xù)性(一) 教學(xué)目的：了解指數(shù)函數(shù)的定義，掌握初等函數(shù)的連續(xù)性(二) 教學(xué)內(nèi)容：指數(shù)函數(shù)的定義；初等函數(shù)的連續(xù)性基本要求：(1) 掌握初等函數(shù)的連續(xù)性(2) 掌握指數(shù)函數(shù)的嚴(yán)格定義(三)教學(xué)建議： (1) 本節(jié)的重點(diǎn)是初等函數(shù)的連續(xù)性要求學(xué)生會用初等函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算極限(2) 本節(jié)的難點(diǎn)是理解和掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 從前面兩節(jié)知道基本初等函數(shù)中：常函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)，以及有理指數(shù)冪函數(shù)，都是定義域上的連續(xù)函數(shù).本節(jié)將討論指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與實(shí)指數(shù)冪函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性，以及初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性。一 指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性在第一章中，我們已定義了實(shí)指數(shù)的乘冪，并證明了指

2、數(shù)函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)的.下面先把關(guān)于有理指數(shù)冪的一個重要性質(zhì)推廣到指數(shù)冪,然后證明指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性。先回憶一下指數(shù)的定義和相應(yīng)的結(jié)論：在中學(xué)講過，為有理數(shù)情況的定義： 和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)： ， （1）第一章給出了為無理數(shù)時的定義，這樣，對任意實(shí)數(shù)， 都有了定義：自然要問：對于指數(shù)為一般實(shí)數(shù)的情況，運(yùn)算性質(zhì)（1）是否還成立呢？下面的定理就回答了這個問題。定理4.10 設(shè) 為任意實(shí)數(shù)，則有 證明定理之前先回顧一下，第一章講過的幾個結(jié)論：1）時是嚴(yán)格遞增的； 是嚴(yán)格遞減的。2）確界的定義： i) （是上界）; ii) ，使得 （是最小上界）定理的證明 不妨設(shè) ，先證 由指數(shù)的定義由上確界的定義，使得

3、，使得 ，（有理數(shù)，）因?yàn)?，由剛才回顧的結(jié)論：時是嚴(yán)格遞增的 由的任意性 再相反的不等式： 由 ，使得 記，由有理數(shù)的稠密性，存在有理數(shù)，使得 ， 由的任意性 定理4.11 指數(shù)函數(shù)在R上是連續(xù)的.證明 先設(shè).有第三章2例4知 ，這表明在連續(xù).現(xiàn)任取.由定理4.10得 .令則當(dāng)時有,從而有.這證明了在任一點(diǎn)處連續(xù).當(dāng)時,令,則有,而可看作函數(shù)與的復(fù)合，所以此時亦在上連續(xù)。 利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，以及第三章5例4中已證明的，可知的值域?yàn)椋ǎ?時也是如此).于是的反函數(shù)對數(shù)函數(shù)在其定義域()內(nèi)也連續(xù). 例1 設(shè).證明 . 證明 補(bǔ)充定義 ,則連續(xù),從而知在連續(xù),所以在連續(xù).由此得.二 初等函數(shù)的連續(xù)性由于冪函數(shù)（為實(shí)數(shù)）可表為，它是函數(shù)與的復(fù)合，故有指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性以及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，推得冪函數(shù)在其定義域（）上連續(xù)。前面已經(jīng)指出，常函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)都是定義域上的連續(xù)函數(shù).因此我們有下述定定理 4.12 一切基本初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù).由于任何初等函數(shù)都是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到,所以有定理4.13 任何初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù).例 1 求 解 利用對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，