2018二次函數(shù)壓軸題題型歸納

1、xAxB yAyB，221 、 兩點間的距離公式： AB yA yB 2 xA xB 22、 中點坐標：線段 AB 的中點 C 的坐標為：直線 yk1x b1 （k10）與 y k2xb2（k20）的位置關(guān)系：（ 1 ）兩直線平行k1k2且b1b2（ 2）兩直線相交k1k23）兩直線重合k1k2且b1b2（ 4）兩直線垂直k1k213、 一元二次方程有整數(shù)根問題，解題步驟如下： 用 和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍； 解方程，求出方程的根；（兩種形式：分式、二次根式） 分析求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)；若是二次根式，被開方式是完全平方式。例：關(guān)于x的一元二次方程x2 2 m 1 x m2

2、 0有兩個整數(shù)根，m< 5且 m 為整數(shù)，求m的值。4、 二次函數(shù)與x軸的交點為整數(shù)點問題。 （方法同上）例：若拋物線y mx2 3m 1 x 3與 x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式。5、 方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下：2已知關(guān)于x的方程mx 3（m 1）x 2m 3 0（ m為實數(shù)），求證：無論m 為何值，方程總有一個固定的根。解：當 m 0 時， x 1 ；當 m 0 時，m 3 20 ， x 3 m 1， x123 、 x21 ；2mm綜上所述：無論m 為何值，方程總有一個固定的根是1 。6、 函數(shù)過固定點問題，舉例如

3、下：已知拋物線y x2 mx m 2（ m 是常數(shù)） ，求證：不論m為何值，該拋物線總經(jīng)過一個固定的點，并求出固定點的坐標。解：把原解析式變形為關(guān)于m 的方程 y x2 2 m 1 x ；2yx 201x0y 1 ； x1拋物線總經(jīng)過一個固定的點（1 ，1） 。17m 的方程 y x2 2 m 1 x 不論 m為何值，方程恒成立）小結(jié) ：關(guān)于 x的方程 ax b有無數(shù)解a0b07、 路徑最值問題（待定的點所在的直線就是對稱軸）（ 1）如圖，直線l1 、 l 2 ，點 A 在l 2 上，分別在l1 、 l 2 上確定兩點M 、 N ，使得 AM MN 之和最小。2）如圖，直線l1 、 l 2相交

4、，兩個固定點A、 B ，分別在l1 、 l 2上確定兩點M 、 N ，使得BM MN AN 之和最小。（ 3）如圖，A、 B 是直線 l 同旁的兩個定點，線段a ，在直線l 上確定兩點E 、 F （ E 在 F 的左側(cè) ） ，使得四邊形AEFB 的周長最小。8、 在平面直角坐標系中求面積的方法：直接用公式、割補法三角形的面積求解常用方法：如右圖，S PAB=1/2 · pm·x=1/2 · an·y9、 函數(shù)的交點問題：二次函數(shù)（y ax2 bx c）與一次函數(shù)（y kx h ）1 ）解方程組2y ax bx c可求出兩個圖象交點的坐標。y kx h2）

5、解方程組2y ax bx c，即ax2b k x c h 0 ，通過 可判斷兩個圖象的交點y kx h有兩個交點>0僅有一個交點0沒有交點<010、 方程法（ 1 ）設(shè)：設(shè)主動點的坐標或基本線段的長度 求面積最大連接 AC, 在第四象限找一點P，使得ACP 面積最大，求出2）表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)的數(shù)量3）列方程或關(guān)系式 11 、 幾何分析法特別是構(gòu)造“平行四邊形”、 “梯形” 、 “相似三角形”、 “直角三角形”、 “等腰三角形”等圖形時，利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何要求幾何分析涉及公式應(yīng)用圖形跟平行有關(guān)的 圖形平移l1 l2k1 k2 、 k 12x1

6、x2平行四邊形 矩形梯形跟直角有關(guān)的 圖形勾股定理逆定理 利用相似、全等、平 行、對頂角、互余、 互補等22AByA yBxA xB直角三角形 直角梯形 矩形跟線段有關(guān)的 圖形利用幾何中的全等、 中垂線的性質(zhì)等。AByA yBxA xB等腰三角形 全等 等腰梯形跟角有關(guān)的圖 形利用相似、全等、平 行、對頂角、互余、 互補等一 基礎(chǔ)構(gòu)圖：y= x2 2x 3（以下幾種分類的函數(shù)解析式就是這個）和 最小，差最大1 在對稱軸上找一點P，使得PB+PC 的和最小，求出P 點坐標2 在對稱軸上找一點P，使得PB-PC 的差最大，求出P 點坐標 討論直角三角連接AC, 在對稱軸上找一點P，使得ACP 為直

7、角三角形，求出 P 坐標或者在拋物線上求點P，使ACP 是以 AC 為直角邊的直角三角形 討論等腰三角連接AC, 在對稱軸上找一點P，使得ACP 為等腰三角形，D求出 P 坐標 討論平行四邊形1 、 點 E 在拋物線的對稱軸上，且以B， A， F， E 四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點綜合題型例 1(中考變式)如圖，拋物線yx2bx c與 x 軸交與 A(1,0),B(-3交 Y軸于 C(1) 求該拋物線的解析式與ABC 的面積。0) 兩點，頂點為D。(2)在拋物線第二象限圖象上是否存在一點M ， 使 MBC 是以 BCM 為直角的直角三角形，若存在，求出點 P 的坐標。若沒有，請說明理由

8、(3)若 E 為拋物線B、 C 兩點間圖象上的一個動點(不與A、 B 重合)，過E 作 EF 與 X 軸垂直 ，交BC 于 F，設(shè) E 點橫坐標為x.EF 的長度為L，求 L 關(guān)于 X 的函數(shù)關(guān)系式？關(guān)寫出X 的取值范圍？當 E 點運動到什么位置時，線段EF 的值最大，并求此時E 點的坐標？(4)在 ( 5) 的情況下直線BC 與拋物線的對稱軸交于點D 為頂點的四邊形為平行四邊形？(5)在(5)的情況下點E 運動到什么位置時，使三角形例 2 考點： 關(guān)于面積最值如圖，在平面直角坐標系中，點A、 C 的坐標分別為（ 1 ， 0） 、 （ 0， 3 ） ，點 B 在 x 軸上已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)

9、過A、 B、 C 三點，且它的對稱軸為直線x 1 ，點 P 為直線 BC 下方的二次函數(shù)圖象上的一個動點（點P 與 B、 C 不重合） ，過點 P 作 y 軸的平行線交BC 于點 F1）求該二次函數(shù)的解析式；2）若設(shè)點P 的橫坐標為m，試用含m 的代數(shù)式表示線段3）求PBC 面積的最大值，并求此時點P 的坐標例 3 考點：討論等腰如圖，已知拋物線y1 x2bxc與 y軸相交于C，與 x軸相交于A、B，點A的坐標為（2，0） ，2點 C 的坐標為（0， 1 ） （ 1）求拋物線的解析式；（ 3）在直線BC 上是否存在一點說明理由（ 2）點E 是線段AC 上一動點，過點E 作 DE x 軸于點D，

10、連結(jié)DC，當 DCE 的面積最大時，求 點 D 的坐標；例 4 考點：討論直角三角 如圖，已知點A（一 1 ， 0）和點B（ 1， 2），在坐標軸上確定點P，使得ABP為直角三角形，則滿足這樣條件的點P共有（）（A）2個（B）4個（C）6個（D）7個 已知：如圖一次函數(shù)y 1 x 1 的圖象與x 軸交于點A，與y 軸交于點B；二次函數(shù)y 1 x 2221bx c 的圖象與一次函數(shù)yx 1 的圖象交于B、 C 兩點， 與 x軸交于 D、 E 兩點且 D 點坐標為 （ 1，0）（ 1）求二次函數(shù)的解析式；（ 2）求四邊形BDEC 的面積S；（ 3）在x 軸上是否存在點P， 使得 PBC 是以 P

11、為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點P，若不存在，請說明理由例 5 考點：討論四邊形已知：如圖所示，關(guān)于x的拋物線yax2xc（a0）與x軸交于點A（ 2，0） ，點B（6，0） ，與 y 軸交于點C（ 1 ）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；（ 2）在拋物線上有一點D，使四邊形ABDC 為等腰梯形，寫出點D 的坐標，并求出直線AD 的解析式；（ 3） 在 （ 2） 中的直線AD 交拋物線的對稱軸于點M， 拋物線上有一動點P， x軸上有一動點Q 是否存在以A、 M 、 P、 Q 為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點Q 的坐標；如果不存在，請說明理由綜合練習(xí)：1 、平面直角坐標

12、系xOy 中，拋物線y ax2 4ax 4a c與 x軸交于點A、點B，與y軸的正半軸交于點 C，點 A 的坐標為（1, 0）， OB OC，拋物線的頂點為D。（1） 求此拋物線的解析式；（2） 若此拋物線的對稱軸上的點P 滿足APBACB，求點P的坐標；（3） Q 為線段 BD 上一點，點A 關(guān)于 AQB 的平分線的對稱點為A ，若 QA QB 2 ，求點 Q 的坐 標和此時QAA 的面積。2、在平面直角坐標系xOy 中，已知二次函數(shù)y ax2+2ax c的圖像與y 軸交于點C 0， 3 ，與 x軸交于A、 B 兩點，點B 的坐標為3， 0 。（ 1 ） 求二次函數(shù)的解析式及頂點D 的坐標；

13、（ 2） 點 M 是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，若直線OM 把四邊形ACDB 分成面積為1 ： 2 的兩部分，求出此時點M 的坐標；（ 3） 點 P 是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：點P 在何處時 CPB 的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點P 的坐標。3、如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y 2 x2 2x與 x軸負半軸交于點A，頂點為B ，m且對稱軸與x 軸交于點C 。（ 1）求點B 的坐標（用含m 的代數(shù)式表示）；（ 2） D 為 OB 中點，直線AD 交 y 軸于 E ，若 E （ 0， 2） ，求拋物線的解析式；3）在（2）的條件下，點M 在直線 OB 上，且使得AMC 的

14、周長最小，P 在拋物線上，Q在直線 BC 上，若以A、 M、 P、 Q 為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P 的坐標。4、已知關(guān)于x的方程 （1 m）x2 （4 m）x 3 0。1 ） 若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m 的取值范圍；2 ） 若正整數(shù)m 滿足 8 2m 2，設(shè)二次函數(shù)y （1 m）x2 （4 m）x 3的圖象與x軸交于A、 B 兩點，將此圖象在x 軸下方的部分沿x 軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象；請你結(jié)合這個新的圖象回答：當直線 y kx 3與此圖象恰好有三個公共點時，求出 k 的值（只需要求出兩個滿足題意的k 值即可）。5 如圖，拋物線y=ax 2+2ax+c（

15、a0）與 y 軸交于點C（0，4） ，與 x 軸交于點A（4，0）和B（ 1）求該拋物線的解析式；（ 2）點Q 是線段 AB 上的動點，過點Q 作 QE AC，交 BC 于點E，連接 CQ當 CEQ 的面積最大時，求點Q 的坐標；（ 3） 平行于 x 軸的動直線l 與該拋物線交于點P， 與直線 AC 交于點 F，點 D 的坐標為（2， 0） 問是否有直線l ，使 ODF 是等腰三角形？若存在，請求出點F 的坐標；若不存在，請說明理由三、中考二次函數(shù)代數(shù)型綜合題題型一、拋物線與x 軸的兩個交點分別位于某定點的兩側(cè)例1已知二次函數(shù)yx 2（m1）xm2 的圖象與x 軸相交于A（x1， 0） ，B（

16、x2，0）兩點，且x1<x2（ 1）若x1x2< 0，且m為正整數(shù)，求該二次函數(shù)的表達式；（ 2）若x1< 1， x2> 1，求m的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)m，使得過A、B 兩點的圓與y 軸相切于點C（0，2） ，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；（ 4）若過點D（ 0， 1 ）的直線與（1 ）中的二次函數(shù)圖象相交于M、 N兩點，且MD 1 ，求該直2DN 3線的表達式題型二、拋物線與x 軸兩交點之間的距離問題例 2 已知二次函數(shù)y= x 2+mx+m-5 ，（ 1）求證：不論m取何值時，拋物線總與x 軸有兩個交點；（ 2）求當m取何值時，拋物線與x 軸兩交

17、點之間的距離最短題型三、拋物線方程的整數(shù)解問題22例 1 已知拋物線y x 2（m 1）x m 0與 x軸的兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且m< 5，則整數(shù)m的值為 例 2已知二次函數(shù)y x 2 2mx 4m 8（ 1）當x 2 時，函數(shù)值y 隨 x 的增大而減小，求m 的取值范圍；2（ 2）以拋物線y x 2mx 4m 8 的頂點A為一個頂點作該拋物線的內(nèi)接正AMN （ M， N 兩點在拋物線上），請問：AMN的面積是與m 無關(guān)的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明2y x 2mx 4m 8 與 x 軸交點的橫坐標均為整數(shù)，理由；（ 3）若拋物線求整數(shù) m 的值題型四、拋物線與對稱

18、，包括：點與點關(guān)于原點對稱、拋物線的對稱性、數(shù)形結(jié)合例 1已知拋物線y x2 bx c（其中b>0， c 0）與y 軸的交點為A，點對稱點為B（m,n），且AB=2.（1）求 m,b 的值（2）如果拋物線的頂點位于x軸的下方，且BO= 20 。求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（友情提醒：請 畫圖思考）題型五、拋物線中韋達定理的廣泛應(yīng)用（線段長、定點兩側(cè)、點點關(guān)于原點對稱、等等）例1已知：二次函數(shù)yx24x m的圖象與x 軸交于不同的兩點A（x1，0）、B（x2，0） （x1 <x2 ） ，其頂點是點C，對稱軸與x 軸的交于點D（ 1）求實數(shù)m的取值范圍；（ 2）如果（x1 +1） （ x

19、2+1） =8，求二次函數(shù)的解析式；（ 3）把（2）中所得的二次函數(shù)的圖象沿y 軸上下平移，如果平移后的函數(shù)圖象與x 軸交于點A1 、B1，頂點為點C1，且A1B1C1 是等邊三角形，求平移后所得圖象的函數(shù)解析式綜合提升1 已知二次函數(shù)的圖象與x 軸交于A， B 兩點，與y 軸交于點C（ 0， 4），且| AB| 2 3，圖象的對稱軸為x 1 （ 1 ）求二次函數(shù)的表達式；（ 2）若二次函數(shù)的圖象都在直線y x m的下方，求m的取值范圍22已知二次函數(shù)y x mx m 2（ 1 ）若該二次函數(shù)圖象與x 軸的兩個交點A、 B分別在原點的兩側(cè)，并且AB5，求m的值；（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象與y 軸的

20、交點為C，二次函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點對稱的兩點M、N，且SMNC 27，求m的值3. 已知關(guān)于x的一元二次方程x 2 2（k 1）x k2 0 有兩個整數(shù)根，k< 5且 k 為整數(shù)（ 1 ）求 k 的值；（ 2）當此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于x的二次函數(shù)y x2 2（k1）x k2的圖象沿x軸向左平移4 個單位，求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式；（ 3）根據(jù)直線y xb 與（2）中的兩個函數(shù)圖象交點的總個數(shù)，求b 的取值范圍4已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（ 1， 0）和點B（ 2， 1 ），且與y 軸交點的縱坐標為m（ 1 ）若m為定值，求此二次函數(shù)的解析式；（ 2）若二次函數(shù)的圖象與

21、x 軸還有異于點A的另一個交點，求m的取值范圍；（ 3）若二次函數(shù)的圖象截直線y x 1 所得線段的長為2 2，求m的值四、中考二次函數(shù)定值問題1. （ 2012 江西南昌8 分） 如圖，已知二次函數(shù)L1： y=x2 4x+3 與 x軸交于A B兩點（點A在點 B左邊） ，與 y 軸交于點C（ 1）寫出二次函數(shù)L1的開口方向、對稱軸和頂點坐標；（ 2）研究二次函數(shù)L2： y=kx2 4kx+3k（ k 0） 寫出二次函數(shù)L2與二次函數(shù)L1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；若直線y=8k 與拋物線L2交于E、 F 兩點，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由2. （ 2012 山東濰坊11 分） 如圖，已知拋物線與坐標軸分別交于A（ 2， O）、 B（2， 0）、 C（0，l）三點，過坐標原點O的直線y=kx 與拋物線交于M、 N兩點分別過點C、 D（0，2）作平行于x軸的直線l1、 l