積分方程一般概念與弗雷德霍姆方程

1、7 / 13第十五章 積分方程積分方程論是泛函分析的一個重要分支，它是研究數(shù)學(xué)其他學(xué)科(例如偏微分方程邊值 問題)和各種物理問題的一個重要數(shù)學(xué)工具。本章敘述線性積分方程，重點介紹弗雷德霍姆 積分方程的性質(zhì)和解法；并簡略地介紹了沃爾泰拉積分方程以及一些奇異積分方程；此外， 還扼要地敘述積分方程的逐次逼近法和預(yù)解核，并舉例說明近似解法；最后考察了一個非線 性積分方程。1 積分方程一般概念與弗雷德霍姆方程一 . 積分方程一般概念1. 積分方程的定義與分類(1)線形積分方程 在積分號下包含未知函數(shù) y(x)的方程 bx y x F x K( x, )y( )da稱為積分方程。式中(x),F(x)和K(

2、x,)是已知函數(shù)，,a,b是常數(shù)，變量x和可取區(qū)間 (a,b) 內(nèi)的一切值； K(x,)稱為積分方程的核， F(x)稱為自由項，稱為方程的參數(shù)。如果 K(x,) 關(guān)于 x, 是對稱函數(shù)，就稱方程 (1)是具有對稱核的積分方程；如果方程中的未知函數(shù)是一次的，就稱為線性積分方程， 方程 (1)就是線性積分方程的一般形式； 如果 F(x)0，就稱方程 (1) 為齊次積分方程，否則稱為非齊次積分方程。一維弗雷德霍姆積分方程( Fr 方程)第一類 Fr 方程K(x, ) y( ) dF (x)a第二類 Fr 方程y(x) F(x)K(x, ) y( ) da第三類 Fr 方程b(x)y( x) F (

3、x)K(x, ) y( ) dan 維弗雷德霍姆積分方程 (P) y(P) F (P) K(P,P1)y(P1)dP1稱為 n維弗雷德霍姆積分方程，式中 D是 n維空間中的區(qū)域， P,P1 D，它們的坐標(biāo)分別是 (x1,x2, ,xn)和 (x1,x2, ,xn), (P)= (x1,x2, ,xn),F(P)=F(x1,x2, xn)和 K(P,P1)=K(x1,x2, ,xn, x1,x2, ,xn) 是已知函數(shù)， f(P)是未知函數(shù)。關(guān)于 Fr 方程的解法，一維和 n(>1)維的情況完全類似，因此在以后的討論中僅著重考慮 一維 Fr 方程。沃爾泰拉積分方程 如果積分上限 b 改成變

4、動上限，上面三類 Fr 方程分別稱為第一、 第二、第三類沃爾泰拉積分方程。由于第三類 Fr 方程當(dāng) (x)在(a,b)內(nèi)是正函數(shù)時，可以化成F (x)b K ( x, )(x) y(x)( )y( ) d(x)a ( x) ( )它是含有未知函數(shù) (x)y(x),以 K(x, ) 為積分方程的核的第二類 Fr 方程。所以本章重點(x) ( )研究一維第二類 Fr 方程。2. 積分方程與微分方程之間的關(guān)系 某些積分方程可化為微分方程，也可從微分方程推導(dǎo)出積分方程。先來考慮二階線性微 分方程的初值問題：d2 yd y2 A(x)B(x)y f (x)dxdx(2)y( ) y0,y ( ) y0若

5、從方程 (2)中解出 的計算不難得出 *，d2 yd 2y ，然后在區(qū)間 (a,x) 上對 x 求積分兩次，利用初始條件，經(jīng)過簡單 dxxy(x)aA( ) (x )B( ) A( ) y( )daxa(x )f ( )d A( )y0 y0(x ) y0K(x, ) ( x)B( ) A ( ) A( )xF(x) 0(x ) f ( )d A( )y0 y0(x ) y0 上式就可寫為如下的形式 :y(x) a K(x, )y( )d F(x) a這是一個第二類沃爾泰拉方程，核 K 是 x的線性函數(shù)。例 1 初值問題(3)變?yōu)榉e分方程xxy(x)0( x)y( )d 1 0( x) f(

6、)dd2 y y f (x)2 y f (x) dx y(0) 1,y (0) 0(4)(5) 反之，應(yīng)用積分號下求導(dǎo)法則，微分兩次就可把積分方程 (3)化為微分方程 (2)。在(3)及其 第一次求導(dǎo)的結(jié)果中令 x=a,就得給定初始條件。在例 1 中，對(5)式求導(dǎo)，得出 d y0* xy( )d 0x f( )dd x0 0并從方程 (6)和(5)給出初始條件y(0)=1, y (0) 0再求導(dǎo)一次得出原微分方程 (4)，(6)x(n11)!(x n 1) f ( ) d(n2)對于邊值問題，方法類似，先考慮一個簡單的例子。 例 2 從問題d2 2yy 0dxy(0) 0, y(a) 0出發(fā)

7、，積分兩次，導(dǎo)出關(guān)系式xy(x) 0(x )y( )d Cx 從此立刻可知條件 y(0)=0 成立。從第二端點條件 y(a)=0 決定 C： a0(a )y( )d Ca所以有關(guān)系式ax則方程 (7)變?yōu)閤y(x)0a (a x)y( )dxa (a )y( )dK(x, )(a x), x a x(a ), x ay(x)0aK(x, )y( )d要從這個積分方程回到微分方程，只需對方程 (8)求導(dǎo)兩次，就得到 d 2 y2 xy(x) (a x)y(x) y(x) d x a在積分方程 (7)中，令 x=0 和 x=a,可以直接推出邊值條件 y(0)=y(a)=0 。 注意：在這個例中，K

8、 在 x=處不連續(xù)，并當(dāng) x 增加而過 時有一跳躍 -1。x這是第二類 Fr 方程。K是 x的一個線性函數(shù)，即滿足2K2 0 ，且 K 在端點 x=0,x=a 處等于零。 x23 如果利用類似的方法，對更一般的具有齊次端點條件的二階齊次方程的邊值問題： ddxy2 Addxy By 0dx dx y(0) 0, y(a) 0 則除 A=0 外，可得在 x= 不連續(xù)的一個核。二、格林函數(shù)及其物理意義K(x,)=K(,x),即核是對稱的。格林函數(shù) 在區(qū)間a,b上，考慮微分方程Ly+(x)=0的邊值問題，式中 L 是微分算子： dd pL dxdxq p d22 d p d qdx2 dx dx(7

9、)(8)dx齊次邊界條件為在端點 x=a, x=b 處，滿足 yd y 0，其中 ,為常數(shù)為了得出這個問題解的形式，首先構(gòu)造函數(shù) G,使對一給定數(shù) ，G1(x), xGG2 (x), x并且滿足條件：(i) 函數(shù) G1和 G2在它們的定義區(qū)間上滿足LG=0,即當(dāng) x<時,LG1=0。當(dāng) x>時，LG2=0。(ii) 函數(shù) G 滿足邊界條件，即 G1滿足在 x=a 的邊界條件， G2滿足在 x=b 的邊界條件(iii) 函數(shù) G 在 x=連續(xù)，即 G1( )=G2()。1p( )G2 ( ) G1( )(iv) G 的導(dǎo)數(shù)以 x= 為一不連續(xù)點，其跳躍是1 ，即p( )可以證明，若以

10、 為參數(shù)的這個函數(shù) G 存在，則原問題的解有如下的形式：(2)y a ( )G(x, )d例如 G(x,)可取G(x, )1 u( )v( x),A(3)式中 A 是由關(guān)系式u( )v ( ) v( )u ( )p( )決定的一個常數(shù)， u(x)是 Ly=0 滿足在 x=a 處所給定的齊次邊值條件的一個解， v(x)是在 x=b 處滿足邊值條件的一個解。則 G(x,)顯然滿足條件 (i)(iv) 。此外，還可證明，對由(3)定義的 G(x, ),由關(guān)系式 (2)確定的函數(shù) y 滿足微分方程 (1)并且滿 足 u(x)在 x=a 與 v(x)在 x=b 所規(guī)定的相同的齊次邊界條件。滿足條件( i

11、 ) (iv)或由(3)式所定義的函數(shù)稱為與微分表達(dá)式 Ly 和邊界條件相聯(lián)系的格 林函數(shù)。在許多物理問題中，這個函數(shù)具有簡單的物理意義，將在下一段中說明。線性積分方程的一個典型實例 考慮一條長為 l 的有彈性的弦，假定在平衡位置時，弦 的位置在 Ox軸的線段 Ol 上。在點 x 施加單位力，于是弦的每一點 得到一個離差，在點 處所產(chǎn)生的離差以G(x, )表示(圖15.1)。函數(shù) G(x, ) 為兩點(x和 )函數(shù)，在點 x 施加外力，在點 計量離差，稱 G 為影 響函數(shù)。如果弦的兩端固定在 x軸上 A,B 兩點，弦的張力為 T0,則在點 x 外處施加的單位力作用下，弦成圖 15.1 所示的形

12、狀。根據(jù)虎克 (Hooke)定律與力的平衡條件，在點 處有x(l ), x這就是弦的影響函數(shù)。從能量守恒定律可導(dǎo)出 G(x, )的互易原理：在點 x 處施加外力在點 處產(chǎn)生的離差等于在 點 處施加大小相同的力在點 x 處產(chǎn)生的離差，即G(x, )=G( , x)如果在弦上施加的力 F 是連續(xù)分布的，并設(shè)線性強(qiáng)度是 p( ),則作用于弦上點 和 + 之 間的一小弦段的力就接近于 p( ) 。把引起弦變形的這些力元素相加，便得弦的形狀ly(x) 0G(x, )p( )d1° 設(shè)在某個力的作用下，弦成已知形狀 y=y(x),求定力分布強(qiáng)度 p( ),就得到含未知函數(shù) p( ) 的第一類 F

13、r 積分方程ly 0 G(x, )p( )d2° 設(shè)作用力隨時間 t 改變，且在點 的強(qiáng)度是( >0)p( )sin t(1)則弦的運(yùn)動是由方程y=y(x)sin t描寫的周期運(yùn)動。設(shè) ( ) 為弦在點 的線性密度，則在時刻 t,點 與 + 之間的小弦段除受力 p( )sin t 的 作用外，還受慣性力( ) d 2y( )y( ) 2sin tdt2 的作用，則等式 (1)可化為如下的形式：ly(x) 0 K(x, )y( )d F(x)(2)式中 F(x) 0G(x, )p( )dK(x, )=G(x, ) ( ), = 2如果函數(shù) p( )給定，那么 注意，由于 F(x)

14、的定義，有若密度 ( )= 是常數(shù)，而2y(x) 2 0F(0)= F(l)=0F(x)有二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則方程 (2)的解為 x (l x) y( )d 2 lxT0lx(l ) y( )d F(x)T0lF(x)也就給定，這樣積分方程 (2)就是確定函數(shù) y(x)的 Fr 方程。x 2 l(3)y(x) l (l x) 0 y( )dlcx x(l )y( )d F(x)式中cT0把(3)式微分兩次就得到三、y (x) 2cy (x) F (x)另一方面，可以證明這個微分方程的任一在 x=0 及 x=l 處等于 0 的解是積分方程 (2)的解。具有可分離核(退化核)的 Fr 方程 可分離核

15、(退化核) 若核 K(x, )可分解為如下的形式：nK(x, )fk (x)gk ( )k1則稱 K(x, )為可分離核或稱為退化核。不妨假定 n 個函數(shù) fk(x) (k=1,2, ,n)在有關(guān)區(qū)間上是線性無關(guān)的。例如，如果核是關(guān)于 x 和 的任一多項式，那么這個核就是退化核，核 sin(x+ )也是退化 核。具有可分離核的第二類 Fr 方程解法 具有可分離核的第二類 Fr 方程by(x) a K(x, )y( )d F(x) (1)即的解法如下，首先設(shè)ny(x)k1bfk(x) a gk( )y( )d F(x)a(2)y(x)=c2(1-3x)11 / 13bck a gk(x)y(x)

16、dx(k=1,2, ,n)則 n y(x) F(x)ck fk(x)k1 于是給定積分方程 (1)的一切解應(yīng)取這個形式。因此問題歸結(jié)為求出常數(shù) c1,c2, ,cn。 再用 gi 乘(2)式兩邊且積分，令 bb aijagi(x) fj(x)dx，bi agi(x)F(x)dxi=1,2, ,n , j=1,2, ,n)則 c1,c2, ,cn 滿足方程組即nciaijcj bi (i=1,2, ,n)j1(1 a11)c1a12c2a1ncn b13)a21c1 (1 a22 )c2a2ncn b2an1c1an2c2(1ann )cn bn矩陣形式為 (I A)c= b式中 I 為 n 階

17、單位矩陣， A=(aij),c=(c1,c2, ,cn) ,b=(b1,b2, ,bn) 。這個方程組存在唯一解的充分 必要條件是：方程的系數(shù)行列式=det(I A ) 0 如果 F(x) 0,則 bi=0(i=1,2, n)，那末方程 (3)為齊次方程組。因此 ,當(dāng) 0 時， y(x) 0 是積 分方程(1)的平凡解(零解) ，且是唯一解。當(dāng) =0 時，至少有一個 ci可以任意指定，其余的 cj 可以求出，于是積分方程 (1) 存在無窮多個解。使 =0 的 值稱為特征值。齊次積分方程的任一非平凡解稱為對應(yīng)于積分方程的特征函 數(shù)。如果對于 的一個給定的特征值，可以從常數(shù) c1,c2, ,cn

18、中任意指定 r 個，那么可得到 r 個線性無關(guān)的對應(yīng)特征函數(shù)。如果 F(x)不恒為零 ,但與 g1(x), g2(x), ,gn(x)正交，即 bi=0 (i=1,2, n)。那末方程組 (3)仍為 齊次的， 以上的討論也適用， 除非這里積分方程的解也包含函數(shù) F(x)。這樣平凡值 c1= c2= = cn=0導(dǎo)出解 y=F(x)。對應(yīng)于 的特征值的解是 F 與特征函數(shù)的任意倍數(shù)之和。最后，如果 (3)式右邊的 bi至少有一個不為零，當(dāng)行列式 0時，方程組 (3)存在唯一的非 平凡解，于是可得到積分方程 (1)的唯一的非平凡解，當(dāng) =0時，則方程 (3)或者是不相容的， 這時積分方程 (1)沒

19、有解；或者 n 個方程中至少有兩個是相同的，這時積分方程 (1)有無窮多個 6 / 13例 解積分方程1y(x)0(1 3x )y( )d F(x)(1)解可把這個方程改寫為式中決定 c1,c2 的方程組是其系數(shù)行列式為y(x)= (c1 3c2x)+F(x)11c1 0 y( )d ， c2 0 y( )d(1 )c1c221c1 (1 )c2210F(x)dx10 xF(x)dx121(42)4(2)(3)則積分方程 (1)存在唯一解的條件是 ±2。由(3)解出 c1,c2并代入 (2)得到(1)的解。特別，若 F(x)=0, ±2,則唯一解是平凡解 y(x)=0。數(shù)

20、=±2 為問題的特征值。若 =2，則方程組 (3) 為 1c1 3c2F(x)dx01c1 3c2 0 xF(x)dx這兩個方程是不相容的，除非函數(shù) F(x)滿足條件10(1 x)F(x)dx 0 這時兩個方程相同。若 = 2，則方程組 (3) 為11c1 c2 3 0F(x)dx1c1 c2xF(x)d x這兩個方程也是不相容的，除非函數(shù) F(x)滿足條件10(1 3x)F(x)dx 0 這時兩個方程也是相同的?，F(xiàn)在具體討論積分方程 (1)的解。1° 先考慮齊次方程(即 F(x)=0)的情形。若 ±2，則唯一解是平凡解 y(x)=0。 當(dāng)=2 時，代數(shù)方程組只給

21、出一個條件 c1=3c2。這時，解是y(x)=c1(1-x)式中 c1=3c2=6c2是任意常數(shù)， 1-x 是對應(yīng)于特征值 =2 的特征函數(shù)。當(dāng)=-2 時，解是式中 c2=c1=-2c1是任意常數(shù)， 1-3x是對應(yīng)于 =-2的特征函數(shù) 方程 (2)表明原積分方程 (1)的任一解表示為如下形式：y(x)=F(x)+c3(1-x)+c4(1-3x)式中 c3 3 (c1 c2)， c4(3c2 c1) 。于是推出原積分方程 (1)的任一解可以用特征函數(shù)的22某一線性組合與 F(x)的和來表達(dá)。2°在非齊次的情形(即 F(x)不恒等于零)下，若 ±2，則積分方程 (1)存在唯一解

22、。 當(dāng)=2 時，積分方程 (1)沒有解，除非在區(qū)間 0,1上 F(x)正交于 =2 所對應(yīng)的特征函數(shù) 1-x*,即1(1 x)F(x)dx 01在此條件下，再利用 c1-3c2= F(x)dx ,給出積分方程 (1)的解。1y(x) F(x) 2 0 F(x)dx c1(1 x)式中 c1=6c2 是任意常數(shù)，因此，這時存在無窮多個解。 類似地，當(dāng) =-2時，積分方程 (1)沒有解，除非在區(qū)間 0,1上 F(x)正交于 1-3x,即這時存在如下的無窮多個解：1(1 3x)F(x)dx 021y(x) F(x) 3 0 F(x)dx c2(1 3x)3式中 c2=-2c1 是任意常數(shù)四 、希爾伯

23、特 -施密特的理論當(dāng)齊次 Fr方程的核 K(x,)不可分離，特別， K(x,)對于 x>和 x<,分別由不同的分 析表達(dá)式給定時，其特征值一般有無窮多個 n(n=1,2, ),每個特征值對應(yīng)的特征函數(shù)除一個 乘數(shù)外是確定的；在例外的情形，一個給定的特征值 k 可以對應(yīng)于兩個或更多個獨(dú)立的特征 函數(shù)。本段將介紹這種特征函數(shù)的某些性質(zhì)。具有對稱核的 Fr方程的性質(zhì) 如果在實核中交換它的變量時，它本身的值不變，這個 核就叫做對稱核。1°具有對稱核的齊次 Fr 方程的特征函數(shù)系是正交的。2°具有實對稱核的 Fr 方程的特征值都是實數(shù)。注意，核不對稱的 Fr 方程可以具有

24、虛的特征值。希爾伯特 施密特定理 設(shè)為一平方可積函數(shù)，則形如f (x) K(x, ) ( )da的函數(shù) f(x),可由對稱核齊次 Fr 方程y(x) a K(x, )y( )d在a,b上的特征函數(shù) y1(x), y2(x), 的線性組合表達(dá)，如果特征函數(shù)有無窮多個，那末所得的 無窮級數(shù)在區(qū)間 a,b上絕對且一致收斂。施密特公式 考慮非齊次第二類 Fr方程在下一段會看到，這個情形是原積分方程中核K(x,)=1-3x的對稱性的一個推論。8 / 13by(x) F(x) a K(x, )y( )d式中 K(x, )是在定義區(qū)間上平方可積的對稱核，并假定在正方形k0(a xb，ab)上是兩變量 x,的

25、連續(xù)函數(shù) ,F(x) 是已知的一致連續(xù)函數(shù)， y(x) 是未知函數(shù)，而是參數(shù)，則有施 密特公式Fy(x) F(x) n yn(x) (n，即不是特征值) (1)n 1 n 右邊的級數(shù)是絕對且一致收斂的，式中 Fn 由下式?jīng)Q定： bbFn ayn(x)2dx a F ( x) y n ( x )dx (n=1,2, ) (2) aa 核的展開定理 一個對稱核 K(x, )可展開為級數(shù)yn (x)yn( )n 1 n這個級數(shù)對任意固定的 ，有b m yn (x)yn ( )lim K(x, ) dx 0m a n 1 n 具有非對稱核的積分方程 設(shè)核 K(x, )不是對稱的，但可表為如下形式K(x

26、, )=r( )G(x, )式中 r( )在( a,b)內(nèi)連續(xù)且不變號，而 G(x, )是對稱的，這時有以下性質(zhì)：1° 對應(yīng)于不同特征值 m和 n的兩個特征函數(shù) ym(x)和 yn(x)在a,b上關(guān)于權(quán)函數(shù) r(x)是正 交的，即ba r(x)ym(x)yn(x)dx 02° K(x, )的特征值都是實數(shù)。3° 若非齊次第二類 Fr 方程有一個解，則這個解由 (1)給出，并以權(quán)函數(shù) r(x)去乘 (2)式兩 邊所包含的被積函數(shù)。 具有埃爾 M 特核的積分方程 設(shè)核 K(x, )為一復(fù)核，如果K( ,x) K(x, ) 則稱 K(x, )為埃爾 M 特核，式中K (

27、x, )表示 K(x, )的共軛復(fù)函數(shù)。具有埃爾 M 特核的積分方 程有以下性質(zhì)：1° 對應(yīng)于不同特征值 m和 n的兩個特征函數(shù) ym(x)和yn(x)在a,b上是按埃爾 M 特意義 正交的：b ym(x)yn (x)dx 0 a2° 在a,b 上與埃爾 M 特核相聯(lián)系的特征值都是實數(shù)。3° 設(shè)特征函數(shù)按埃爾ba ym ( x) yn (x)dx0,1,M 特意義是規(guī)范化的： mn mn15 / 13(1)給出，并且 (2) 式改為如果非齊次第二類 Fr 方程有一個解，那末這個解由bbFn Fn a yn(x)yn (x)dx a yn(x)F(x)dx(n=1,

28、2, )aa具有反對稱核的積分方程 設(shè)K(x, )滿足條件K( ,x)= K(x, )則稱 K(x, )為反對稱核，這時 iK(x, )是埃爾 M 特核。因此，具有反對稱核的積分方程 y(x) F(x) K(x, )y( )d如果以 i 代替 ，則得到具有埃爾 M 特核的積分方程b y(x) F(x) a iK (x, )y( )d 由此可見，具有反對稱核的積分方程必有特征值，而且都是純虛數(shù)。伴隨核與自伴隨核 設(shè) u(x)是一復(fù)核 K(x, )(它不一定是埃爾 M 特核)對應(yīng)于特征值 的 一個特征函數(shù)， v(x)是核 K( ,x) 對應(yīng)于特征值 的一個特征函數(shù)，若 ，則 bu(x)v(x)dx

29、 0這里 K( ,x)稱為 K(x, )的伴隨核。如果 K( ,x)= K(x, )，那么 K(x, )稱為自伴隨核，顯然實對 稱核與埃爾 M 特核都是自伴隨核。五、第二類 Fr 方程的逐次逼近法與諾伊曼級數(shù)解逐次逼近法 在某種情形下，第二類 Fr 方程可用逐次逼近法來解。為此，設(shè)方程 by(x) F(x) a K(x, )y( )d (1)的解可用 的冪級數(shù)來表達(dá)：2 y(x)= y0(x)+y1(x) +y2(x) + (2) 如果級數(shù) (2)在區(qū)間a,b上關(guān)于 x 是一致收斂的，那末把它代入 (1)中，可逐項積分，比較 的 系數(shù)就得到確定 yn(x)的遞推公式b y0(x)=F(x),y

30、n(x) a K (x, )yn 1( )d (n=1,2, ) (3)a式中 yn(x) (n=1,2, )都是連續(xù)函數(shù)。若 充分小，則級數(shù) (2)關(guān)于 x 絕對且一致收斂，于是級 數(shù)(2)是連續(xù)函數(shù)并且是積分方程 (1)的解。疊核 預(yù)解核 諾伊曼級數(shù)解 設(shè) K(x, )為核，經(jīng)遞推公式K1(x, )=K(x, ), Kn(x, ) a Kn 1(x, 1)K( 1, )d 1 (n=2,3,4, ) (4) a產(chǎn)生的 Kn(x, )稱為已知核 K(x, )的 n 次疊核。它滿足下面公式Kp q(x, )K p(x, 1)Kq( 1, )d 1式中 p,q 為任意正整數(shù)由于 F(x)和 K(

31、x, )分別在a,b上和 k0(axb，ab)上連續(xù)，所以各有極大值 m 和 M ：1M (b a)致收斂，記作F(x) m，|K(x, ) | M時，級數(shù) Kn 1(x, ) n 在 k0內(nèi)絕對且 n0(5)(6)R(x, ; )Kn 1(x, ) nn0如果用自由項 F(x)來表達(dá) yn(x),則由 (3),(4)推出yn(x)K n(x, )F( )d并把它代入級數(shù) (2)得到by(x) F(x) a Kn 1(x, ) nF( )dan0因為級數(shù) (5)在 k0 內(nèi)一致收斂，所以對 a,b上任一固定值 x,它在區(qū)間內(nèi)關(guān)于 一致收斂，故得 積分方程 (1)的解(7)bM (b a)y(x

32、) F(x) a R( , ; )F( )d ，式中不依賴于自由項 伊曼級數(shù)。F( )的函數(shù) R(x, 。 )稱為核的(或 Fr 方程的)預(yù)解核，級數(shù) (5)稱為諾 存在性與唯一性定理 如果把級數(shù) (5)改寫為 bR(x, ; ) K(x, )nKn 2(x, ) K(x, ) n K(x, 1)Kn 1( 1, )d由(5)上式化為n 0 n 0bR(x, ; ) K(x, ) aK(x, 1)R( 1, ; )d 1改變符號可寫為bR(x,y; ) K(x,y) a K(x, )R( ,y; )d因此，當(dāng)把方程 (1)中 F(x)換為 K(x,y)時，上式表明存在預(yù)解核 R(看作兩個變量

33、x,y 與參數(shù) 的 函數(shù))是方程 (1)的唯一解。例舉例說明預(yù)解核的實際算法。設(shè)積分方程 (1)中K(x, )=1 3x由公式 (4)算出它的各次疊核：13K2(x, ) 0(1 3x 1)(1 3 1 )d 1 1 32(x ) 3x11K3(x, ) 0K(x, 1)K2( 1, )d 1 (1 3x )04 KK 所以 K3 K 1 ，從此容易推出 Kn Kn 2 (n3),于是有 442 4 2 4R K1 K 2 2K3(1 )K1 (1)K21 2 3 4 16 1 4 16 2 即R(x, ; )12143(1 ) (x ) 3(1 )x ( 2)值得注意的是，由此式可以給出一切

34、 值(=±2 除外)的預(yù)解核，但相應(yīng)的諾伊曼級數(shù)只 當(dāng) 2 時才收斂。六、弗雷德霍姆的理論Fr 方母 預(yù)解核 R(x,。)可以用關(guān)于 的兩個冪級數(shù)之比來表達(dá)，這兩個級數(shù)對一 切值都是收斂的。若預(yù)解核表成式中R(x, ; )D(x, ; ) ()(1)17 / 132D(x, ; ) K(x, ) 1! D1(x, ) 2!D2(x, ) (2)2( ) 1 1! c1 2! c2(3)()稱為 Fr 分母，它與變量 x,無關(guān)。式中系數(shù) cn 與函數(shù) Dn(x,)可由下列遞推公式逐次算出：bbc1 a K ( x, x)dx, D1(x, ) c1K(x, ) a K(x, 1)K( 1, )d 1bbc2 a D1(x,x)dx, D2(x, ) c2K(x, ) 2 aK(x, 1)D1( 1, )d 1aabbcn a Dn 1(x,x)dx, Dn(x, ) cnK(x, ) n a K(x, 1)Dn 1( 1, )d 那末方程by(x) F(x) a K(x, )y( )d 的解可將( 1)代入上段( 7)式中得到，其形式為by(x) F(x) a D(x, ; )F( )d (4)