分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、湖北師范大學(xué)文理學(xué)院2018 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計）分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用1、前言每一條數(shù)學(xué)的結(jié)論都有讓能夠它成立的條件，每種數(shù)學(xué)方法也同樣有它的使用范圍及其限制，在我們?nèi)粘W(xué)習(xí)生活中所碰到的數(shù)學(xué)的問題之中，有部分的問題的結(jié)論并不是唯一確定的；有部分的問題，它的結(jié)論在解題過程中不能以統(tǒng)一的解題方法進(jìn)行求解，還有部分的問題所給出的已知量是用字母的形式代替的，當(dāng)其字母的取值的不同，最終也會導(dǎo)致問題的最后結(jié)論，所以，對于以上的幾種問題類型，我們要采取化整為零的解題策略，將原問題分成多個小問題進(jìn)行解決，這種解題方法策略就是分類討論.分類討論思想是指解決某個問題時，沒有辦法用同樣的一種方法進(jìn)行解

2、決，而需要一個標(biāo)準(zhǔn)將問題分成多個能用不同的方式進(jìn)行解決的小問題，將分成的小問題進(jìn)行解決，從而使原來的問題得以解決，這就是分類討論的思想. 在碰到需要分類討論的問題時， 要結(jié)合題意用能夠?qū)嵤┑臉?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后在劃分的每一個子類中逐步進(jìn)行討論y ax2 bx c是一次函數(shù)還是二次函數(shù). 對于這一道題，它的分類討論的標(biāo)準(zhǔn)就是a 0 或 a 0 . 這題的分類思路就是根據(jù)二次項系數(shù)與零的關(guān)系依據(jù)繼而分類 . 在 a 0這一類里還可以再一次的進(jìn)行分類，可以分為a 0和 a 0這兩類，這兩類的分類標(biāo)準(zhǔn)就是按照a的正負(fù)與其函數(shù)的圖象的開口方向是上或下的關(guān)系.32、分類討論的基本概念2.1 分類討論的原則實

3、施分類討論的因數(shù)有很多也都不相同，進(jìn)行分類討論也要遵循一些既定的原則.一般都有下面這幾個原則：1 、 解題時必須要依據(jù)同一個 標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，不能 同時使用多個不同的分類標(biāo)準(zhǔn)來進(jìn)行分類，不然就很容易會出現(xiàn)混亂、出現(xiàn)重復(fù)而且非常容易出錯.2、在一個分類下的各個子分類不可以存在相同的部分，要做到每個子分類相互排斥，類似于每個子分類相互之間的交集為空集.3、分類之后進(jìn)行檢查時要注意前后是不是相呼應(yīng)，分類的一些細(xì)節(jié)進(jìn)行整合后要和原來的題目相稱，類似于每個子分類的并集就是原來題目.2.2 分類討論的基本步驟一般的我們對一道數(shù)學(xué)題進(jìn)行分類討論時，第一步是確定我們所要討論的對象和對象的全體范圍；第二步是確定分

4、類的表準(zhǔn)，要合理的，正確的進(jìn)行分類，也就是標(biāo)準(zhǔn)要求統(tǒng)一，分得的類別要求不能重疊，不能遺漏；第三步就是將分類對象進(jìn)行逐步的分類討論，要分級進(jìn)行，得到每一類的小結(jié)果；第四步是將第三步的結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)，得出最終結(jié)論.例 1：函數(shù)y ax2 1 ， a 0 的圖象和x軸有沒有交點？解析：對于這一題這個函數(shù)與x軸有沒有交點與二次項系數(shù)a的正負(fù)有關(guān)，即當(dāng)a0 時，函數(shù)y 圖象開口方向是向上的，與x軸沒有交點；當(dāng)a0 時，函數(shù)y 圖象開口方向是向下的，與x軸有兩個交點.綜上所述，當(dāng) a 0時， y與 x軸沒有交點；當(dāng) a 0時， y與 x軸有兩個交點.總結(jié) ：例 1 很明顯要用分類討論的方法來解題，所以做

5、這題時，要按照分類討論的基本步驟來解答，先確定所要討論的對象a ，再確定分類標(biāo)準(zhǔn)a的正負(fù)，然后逐步進(jìn)行分類討論，得出a 0時沒有交點，a 0時有兩個交點.湖北師范大學(xué)文理學(xué)院2018 屆學(xué)士學(xué)位論文(設(shè)計)3、分類討論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1 、分類討論在數(shù)與代數(shù)中的應(yīng)用3.1.1 、在含有絕對值或偶次方根的代數(shù)式中的應(yīng)用在數(shù)學(xué)中因為絕對值運(yùn)算和偶次方根運(yùn)算的結(jié)果一定是非負(fù)的，所以在一些情況下我們要對絕對值里面和偶次方根里面的數(shù)或代數(shù)式進(jìn)行分類討論，例如下面的例2 和例3 兩道例題.例 2：若a b b a, 且 a 4, b 3則 a b 2的值為多少？解析：因為a 4 , b 3；所以 a

6、 4, b 3 .由于 a b b a ，所以 b a 0 ，即 b a .故當(dāng) b 3時， a 4， a b 2 1；當(dāng) b 3時， a 4， a b 2 49.綜上所述a b 2 1或 49.例 3：化簡3mn 2 .解析：因為算術(shù)平方根開出的結(jié)果都是正數(shù)，所以要對3m n 進(jìn)行討論.原式3mn .當(dāng)3mn 即mn 時，原式3m n .3當(dāng)3mn 即mn 時，原式n 3m .3點評 ：絕對值概念和算術(shù)平方根概念是需要分類討論的概念，通過分類討論可以快速的、簡潔的得到正確的、完整的的結(jié)果，若不進(jìn)行分類討論，就會很容易出現(xiàn)錯誤.1.1.2 、與函數(shù)及圖象、最值有關(guān)的應(yīng)用對于某些函數(shù)，例如：分段

7、函數(shù)，它在定義域內(nèi)，對于自變量x不同，函數(shù)有著不同的對應(yīng)關(guān)系，對于這種函數(shù)我們在進(jìn)行研究時要對它進(jìn)行分類討論；還有對于只有函數(shù)解析式難以畫出圖象的函數(shù)，求它的最大( 小 ) 值時也要進(jìn)行分類討論.例 4：已知函數(shù)f x |x| 2x 1，2 x 2 .2(1) 用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)f x .(2) 畫出函數(shù)f x 的圖象 .(3) 寫出函數(shù)f x 的值域 .解析：因為函數(shù)f x 在其定義域的范圍內(nèi)，無法用同樣的解析式表達(dá)，所以要對其進(jìn)行分類討論. 即7例5：點x, y 在曲線2xy 1上移動時，求x2 xy y2 的最大值和最小值.解析：當(dāng)x 0,y 0時， x 21 y且 0 y 1 .

8、 所以22 x xy y252 37y 10y 4 7 y7753故當(dāng) y 0時有最大值4，當(dāng)y 5 時有最小值3 .77x 0, y 0 時， x 2 y 1 ，且 0 y 1. 所以x2 xy y2 3y2 6y 4 3 y 1 2 1 .故當(dāng) y 0時有最大值4，當(dāng)y 1時有最小值1.x 0,y 0時同 x 0,y 0時結(jié)果一樣；當(dāng) x 0,y 0時同 x 0,y 0時結(jié)果一樣；綜上所述，x2 xy y2有最大值4，最小值73 .點評 ：分段函數(shù)是一個典型的分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用示例，分段函數(shù)在定義域的范圍內(nèi)，對于自變量x的不同的取值，函數(shù)有著不同的對應(yīng)關(guān)系，所以在解答分段函數(shù)類型的

9、題時，要合理的使用分類討論思想；而對于一些難以畫出函數(shù)圖象的函數(shù)和概念函數(shù)，對于此類函數(shù)的最值問題也要進(jìn)行合理的分類討論.1.1.3 、在含有參數(shù)的不等式中的應(yīng)用 對于一些含有參數(shù)的不等式，其最終結(jié)果會因參數(shù)的改變而產(chǎn)生變化，所以我們在研究這一類的題型時要應(yīng)用分類討論思想例 6：解關(guān)于x的不等式：mx2 m 1 x 1 0， (m R) .解析：當(dāng)m 0 時，原不等式將變?yōu)? 0不符舍 .當(dāng) m 0時，原不等式為一元二次不等式，即m 1 2 4mm2 2m 1 m 1 2 0.所以當(dāng) m 0，0時 m 1；此時不等式無解；當(dāng) m 0，0時，0 m 1 時，不等式解為1 x 1 ；m1m 1 ，

10、0 時，不等式解為1 x 1 ；m當(dāng)m0，0時m 1矛盾，舍.1當(dāng)m0，0時，不等式解為1x或x 1 .m點評 ：此題因含有參數(shù)m ，使此題情況復(fù)雜多變，要多次運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行多級多次分類，若不按分類討論的步驟逐步分類很容易造成錯誤、混亂.1.1.4 、在含參方程中的應(yīng)用方程是數(shù)學(xué)的一個重要的組成部分，方程中含參方程是方程的重要部分. 含參方程和含參不等式一樣，因含有參數(shù)，參數(shù)取值不同，最終結(jié)果也會不同. 所以對于研究含參方程，我們要合理使用分類討論思想.例 7： 關(guān)于x的含參方程mx2 2 m 3 x m 2 0至少有一個整數(shù)解，且 m是整數(shù)，求解 m 的值 .解析：當(dāng)m 0時，原方程變

11、為一元一次方程6x 2 0，湖北師范大學(xué)文理學(xué)院2018 屆學(xué)士學(xué)位論文(設(shè)計)此方程解為x 1 非整數(shù)，3當(dāng) m 0時 , 方程是一元二次方程，因為它至少有一個整數(shù)根，表明了判別式4 m 3 4m m 2 4 9 4m 為 完全平方數(shù)，所以 9 4m是 完全平方數(shù).2 m 3 2k 1 3 kx1、 2令 k2 9 4m，則k 為正奇數(shù)，因為m 0，所以 k 3；m43 k2.9 k22m所以x141，x24113k 23k要讓x1 為 整數(shù) ，而 k 為 正奇數(shù) ，所以只能k 1 即 m 2 ；要讓x2為整數(shù)，k可取 1、 5、 7，即m 2、 -4、 -10；綜上所述，m 的值為2、 -

12、4 、 -10.點評 ：此題因二次項系數(shù)含有參數(shù)，故要先討論二次項系數(shù)是否為零的情況，再討論根是整數(shù)的情況.通過以上幾種分類討論思想在數(shù)與代數(shù)中的應(yīng)用，我們可以看出分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)方面運(yùn)用很廣. 在代數(shù)中，特別是含有參數(shù)的題型中，我們往往要使用分類討論，還有像解一元二次方程實際上也運(yùn)用了分類討論思想. 接下來我將要討論分類討論思想在幾何中的幾種運(yùn)用.3.2、 分類討論在三角形中的應(yīng)用3.2.1 、在等腰三角形中的應(yīng)用對于等腰三角形的題目，無論是邊還是頂角、底角，在其不確定的情況下都會對最終結(jié)論造成影響，因此要對其邊或角進(jìn)行分情況求解.例 8： 一個 等腰三角形的某一個外角100 ，

13、則這個 三角形的頂角和底角為多少度？解析：若此三角形 的頂角的外角是100 ，則 頂角 為 80 ，底角為50 .若此 三角形 的底角的外角是100o，則底角 為 80o，頂角為20 .例 9：若實數(shù)x, y滿足 |x-5|y-7 0，則以 x,y的值為 等腰三角形的兩邊長，求等腰三角形的周長解析：由題可知可x 5, y 7；若以 x的值為底邊，y的值為腰，則三角形的周長L 5 7 7 19 ；若以 x的值為腰，y的值為底邊，則三角形的周長L 5 5 7 17 ；綜上所述，此等腰三角形的周長為17 或 19.點評 ：例 (7) 是等腰三角形中的角不確定，所以要進(jìn)行分類討論，而例(8) 是因為在

14、等腰三角形中，底邊和腰無法分辨時導(dǎo)致三角形無法確定，故要進(jìn)行分類討論. 由此可見，在等腰三角形中，邊或角的不確定，就要對它進(jìn)行分類討論.3.2.2 、在直角三角形中的應(yīng)用在直角三角形中，若題干沒有給出哪個角是直角或哪個邊是斜邊，對于這一情況需要進(jìn)行分類討論.例 10：如下圖，在Rt ABC 中 ACB 90 , B 30 , 邊 BC 3. 點 D 是邊 BC 上的一個動點(不和點B 與點 C 重合 )，過點D 作 DE BC 交 AB 于點 E ，將 B沿著直線DE 翻折， 點 B 落在射線BC 上的一點F 處 . 若 AEF 為直角三角形時，BD的長是多少？解析： 當(dāng) EFA 90 時；A

15、C BC tan30 3；FC AC tan30 1 .11故 BD DF BF BC FC 1.22當(dāng) EAF 90 時，點F 在 C的右側(cè)；AC BCtan303；FC AC tan30 1 .11故 BD DF BF BC FC 2 .22綜上所述，BD 的長為 1 或 2.點評 ：在直角三角形中直角的不確定會影響解直角三角形的結(jié)果，對于這種情況就要用到分類討論思想.分類別討論直角的可能性，這樣解題會得出完整的、正確的答案，否則結(jié)果很容易出現(xiàn)遺漏.3.2.3 、與相似三角形有關(guān)的應(yīng)用 對于兩個三角形相似，因圖形的不確定因素，就要對其進(jìn)行分類討論例 11： 如下圖， 在 Rt ABC 中，

16、 C 90 , BC 6cm， AC 8cm， 現(xiàn)有一 動點 P 從點 A開始向點C 運(yùn)動，它的運(yùn)動速度是2cm/s，有一動點Q由點C出發(fā)向點B運(yùn)動，它1cm/s，連PQ，經(jīng)過多長時間PCQ和ACB相似？解析：設(shè)經(jīng)過t 秒的時間兩三角形相似.由題意可知CQ=t ， AP=2t， PC=8-2t.當(dāng)CPQ= A時，CPQCAB；可得CQ CPCB CAt 8 2t12即；解得 t .685當(dāng) CPQ A，CPQCBA；CQ CPt 8 2t32可得, 即；解得 t .CA CB86111232綜上所述，經(jīng)過12 s或 32s后PCQ與ACB相似.511點評：此題就是因為圖形的不確定而引起結(jié)果變化

17、，對此就要運(yùn)用分類討論思想， 進(jìn)行分級分類，逐步討論分類討論在幾何中的應(yīng)用不僅僅只有三角形還有其他的圖形，本文在此就不作一一闡述. 一般的，在幾何中，若幾何圖形不確 定時，應(yīng)合理應(yīng)用分類討論思想3.3、 因公式適用條件而導(dǎo)致分類討論數(shù)學(xué)上的每個數(shù)學(xué)公式定理都有它的適用條件，這就要求我們進(jìn)行解題時要弄清題中條件，要根據(jù)條件來進(jìn)行分類.例12：設(shè)an 全部 是由正數(shù)組成的 等比數(shù)列，前 n 項和是Sn ，證明：lgSn lgSn 2 lgSn1；是否存在常數(shù)c 0，使得 lg Sn c lg Sn 2 c lg Sn 1 c 成立？13湖北師范大學(xué)文理學(xué)院2018 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計）解析：設(shè)a

18、n 的公比是q ，則a10,q 0；q 1時 ， Sn na1，則SnSn 2 Sn 1 na1 n 2 a1 n 1 a1a1 0 ；故 SnSn2 Sn21，則lgSn lgSn2 2lgSn1，即原式成立.q 1 時，Sna1 1 qn ，則1qSn Sn 2Sn 1a12 1 qn 1 qn 2a12 1 qn 1 21 q21q2na1 q0 .19故Sn Sn 2Sn2 1 ，則原式成立.綜上所述，lgSnlgSn 2lgSn1 恒成立 .2n假若lg Snc lg Sn 2 clg Sn 1 c成立，則必有Sn c Sn 2 cSn 1 c 2 成立，所以我們只用證明后者成立即可

19、.q 1 時，Sn na1，則SncSn 2cSn 1cna1c n 2a1c n 1a1ca120 .Sn c Sn 2 cSn 1 c 2，原式不成立.q 1 時，Sna1 1 qn ，則1qSnc Sn 2 cSn 1c 2a1 1 qn ca1 1 qn 21q1qca1 111qn12q ca1q a1 c 1 q .a1qn0 ，故a1 c 1 q 0，即 ca1 ；則1qnSn c Sn 1a1q1a1qq 0；所以對數(shù)式無意義，故原式無意義綜上所述，不存在常數(shù)c使 lg Sn c lg Sn 2 c lg Sn 1 c 成立 .點評 ：對于等比數(shù)列，公比是1 和公比不是1 會影

20、響等比求和的通項公式的假設(shè)，所以此題要根據(jù)它的公比為不為1 來進(jìn)行分類討論.4、分類討論思想結(jié)合其他數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用數(shù)學(xué)中解題方法策略有很多種，解題時往往不只使用一種方法策略，而經(jīng)常將幾種或多種方法結(jié)合起來，分類討論也是如此.4.1 、分類討論思想與數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)合應(yīng)用在數(shù)學(xué)研究中分類討論思想常常與數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合起來運(yùn)用，把問題分類別使用歸納法 .例 13：已知 x10，x11 ，且 xn 1xn x2n23n N ，試證：數(shù)列xn 或者對任意n3xn21n的正整數(shù)n 都滿足xn xn 1 ，或者對任意的正整數(shù)n 都滿足 xn xn 1 .解析：先作差xn xn2 3xn 1 xn2xn3xn

21、12xn 1 xn22xn 1 xn 1 xn3xn2 13xn2 1.由題設(shè)可知xn 0 n N ，所以xn 1 xn 與 1 xn 的符號相同.故要分 0 x1 1 及 x1 1 兩種情形討論.(1) 若 0 x1 1 時，可用數(shù)學(xué)歸納法證明1 xn 0.n 1 時，顯然成立. 假設(shè) n k 時，有 1 xk 0 ，則1xk 11xk xk2 33xk2 11 xk 33xk2 10，所以對n N ， 1 xn0，由 式可知xn 1xn.(2) 若x1 1 ，同 (1) 類似可證xn 1xn .點評 ：這題因為要比較xn和1 的大小關(guān)系，所以使用數(shù)學(xué)歸納法時要分0 x1 1和x11兩種情況

22、進(jìn)行歸納.4.2 、分類討論思想與賦值法的結(jié)合應(yīng)用例 14: 使用 n 個數(shù)（允許重復(fù)）組成一個長為N 的數(shù)列；且N2n . 求證：可在這個數(shù)列中找出若干個連續(xù)的項，它們的乘積是一個完全平方數(shù).解 析 ： 設(shè) n 個 數(shù)a1,a2,a3, ,an 組 成 的 長 為 N 的 數(shù) 列 為b1,b2,bn . 這 里bia1,a2, ,an ， i 1,2, ,N .建立映射Bb1,b2,bNv1,v2, ,vn .其中vjc1,c2,cn . 對于每個j 1 j n ，我們賦值0, 若 ai在 b1,b2, ,bj中出現(xiàn)偶數(shù)次,ci1, 若 ai在 b1,b2, , b j中出現(xiàn)奇數(shù)次.如果有某

23、個vj0,0, ,0 ，那么，在積b1,b2,bj中，每個ai 都出現(xiàn)偶數(shù)次，所以積為完全平方數(shù).如果每個vi0,0, ,0 ，那么，由于c1,c2, ,cn ci0或 1,i 1,2, ,n ，這個集合恰有2n 1 個元素，由題設(shè)N 2n 2n 1 ，所以必有h 和 k 1 k h N 滿足vh vk . 這時，在乘積b1,b2, ,bk和 b1,b2, ,bh中每個ai出現(xiàn)的次數(shù)具有相同的奇偶性，從而它們的商，即乘積ak1ak2ah中每個ai出現(xiàn)偶數(shù)次. 即ak1ak 2ah為完全平方數(shù).5、分類討論思想的延展分類討論是一種很重要的解題的方法策略 ， 但是分類討論和其他的數(shù)學(xué)解題方法一樣也

24、不是萬能的，在準(zhǔn)備使用分類討論思想解決一些問題時，不要盲目的進(jìn)行分類討論，要充分把題中潛在的簡單性及特殊性挖掘出來，能避免分類討論，或者簡化分類討論過湖北師范大學(xué)文理學(xué)院2018 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計）程 . 接下來本文對于避免或簡化分類討論的幾種方法進(jìn)行簡單的舉例說明5.1 、絕對值平方法代數(shù)式中出現(xiàn)參數(shù)以及實數(shù)絕對值等概念，使得引起分類討論，若采取合理方法，此類也可避免或簡化分類討論.例15：若x 0，1 ， a 0且 a 1，比較| loga 1 x |與 | loga 1-x |的大小 .解析：因在實數(shù)集中，| k |2 k2 .故可比較| loga 1 x | 和 | loga 1

25、x |2的大小，即|loga 1 x |2 |loga 1 x |2log2a 1 x log2a 1 x0 x 1,21lga1lg 1 x lg 1 x lg 1 x lg 1 x lga0 ，故 0 x2 1 , 即 1 1x20 lg 1x20 ，又由于1 x0 01x11x 1x1101 lg 0.11x21 1x 1x21x1x 1x故 lg 1 x2 lg 1 x 0，即 1x|loga 1 x |2 |loga 1 x |2 0 |loga 1 x |2 |loga 1 x |2.故 |loga 1 x | |loga 1 x |；點評 ：此題若進(jìn)行分類討論會很復(fù)雜，而將絕對值

26、進(jìn)行平方，就能將解絕對值問題轉(zhuǎn)換成平方問題，從而避免或簡化分類討論，使題目變得簡單.5.2、 分離變量法在含參方程中的一些題目，如果把方程轉(zhuǎn)化成函數(shù) ， 進(jìn)行變量分離，也可以避免分類討論 .例16：一個未知數(shù)是x的方程 x2 a 2 x 4 0在 0 x 1 內(nèi)有解，求出m 的取值 范圍 .解析：因m 2 x x2 4 ；故 m x 4 2,x 0,1 .x4令 f x x2；x則原來的問題就變成了求f x 的值域；44因為 x 4 4 ，等號當(dāng)且僅當(dāng)x 4 時成立，即x 2 ,xx4又因為 x 在定義域內(nèi)是減函數(shù)，x所以 x 4 1 4 5 . x1所以函數(shù)f x 的值域為7, ；即 m 7

27、 .點評 ：此題若用分類討論進(jìn)行解題，一般的做法是先設(shè)出兩根，在根據(jù)兩根在數(shù)軸上的位置進(jìn)行分類，而將方程轉(zhuǎn)化成函數(shù)，進(jìn)行分離變量，就可以避免分類討論，使解題更簡便 .5.3、 換元法對于一些含參方程或函數(shù)中，使用換元法能夠避免進(jìn)行分類討論，從而使解題變得簡便 .例17：已知f x log2 x 1 g x2log2 2x n . 假設(shè) x 0,1 ，恒有 f x g x ，問實數(shù) n 的取值范圍.解析：因f x g x 在 x 0,1 恒成立；所以 2log2 2x n log2x 1 成立 2x nx1 成立，即n 2x x 1 成立故可令 m 2x x 1 ，則m2 x 12x12而 x 0,1 x 1 1, 2 ， 11，,2 ；4所以 m 的最大值是1，即 n 1 時， f x g x 恒成立 .點評 ：此題若用分類討論思想會比較復(fù)雜，而使用換元法能避免分類討論，使解答變得簡單容易.6、總結(jié)本文通過探討分類討論思想在數(shù)與代數(shù)、幾何等方面的應(yīng)用，更深入的體現(xiàn)了分類討論思想的要求、標(biāo)準(zhǔn)以及分類討論的步驟和方法，注意合理的分類，對全體對象的分類一定要不重不漏，每進(jìn)行