數(shù)列型不等式的放縮技巧九法

1、數(shù)列型不等式的放縮技巧九法證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材。這類問(wèn)題的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下九種：一 利用重要不等式放縮1均值不等式法2例 1 設(shè) Sn 1 22 3 n(n 1).求證 n(n 1) Sn (n 1) .22解析 此數(shù)列的通項(xiàng)為akk(k 1), k 1,2, ,n.kk11nn1k k(k 1)k ， kSn(k ) ，2 2k1k12即

2、n(n 1)2Sn n(n 1) n (n 1)22216 / 9a b，ab ，注： 應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式n2若放成k(k 1) k 1則得 Sn (k 1) (n 1)(n 3) (n 1) ，就放過(guò)“度”了！n k122根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的重要不等式，這里n1 n 1 n a1ana1an22a12a2nna1an其中， n 2,3等的各式及其變式公式均可供選用。14例2求證：簡(jiǎn)析f (x)，若 f(1)4，且 f (x) 在 0， 1上的最小值為1 a 2bx511f (1) f (2) f (n) n n 1.( 02 年全國(guó)聯(lián)

3、賽山東預(yù)賽題)2n 12x4x111f(x) 4 x 11 x 11 x (x 0)f(1) f(n) (11 )1 4x1 4x 2 2x2 21111111(11 )(11 ) n 1 (1 11 ) n 11 .2 222 2n 422n 12n 12n1例 3 求證C 1nC n2C n3C nnn 2 2 (n 1, n N ) .簡(jiǎn)析 不等式左邊Cn1Cn2Cn3Cnn2n1 1 2 222n 1n1n n 1 2 222n 1 = n 2 2 ，故原結(jié)論成立.2利用有用結(jié)論例 4 求證 (1 1)(1 1)(1 1) (11 ) 2n 1.3 5 2n 1簡(jiǎn)析 本題可以利用的有用

4、結(jié)論主要有：法 1 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)b b m (b a 0,m 0)可得a am2 4 6 2n 3 5 7 2n 11 3 5 2n 1(2n 1)1 3 5 2n 12 4 6 2n 2 4 6 2n() 2 2n 1 即 (1 1)(1)(1) (1) 2n 1.1 3 5 2n 135 2n 1法 2 利用貝努利不等式(1 x)n 1 nx(n N , n 2, x 1, x 0) 的一個(gè)特例(11 )2 1 21 (此處n 2,x1 )得2k 12k 12k 11 2k 1 n 1 n 2k 12k 1 2k 1 k 1 2k 1 k 1 2k 1.注： 例 4 是 1985年

5、上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成 1998 年全國(guó)高考文科試題；進(jìn)行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。如理科題的主干是：證明 (1 1)(1 1)(1 1) (11 ) 3 3n 1.(可考慮用貝努利不等式n 3的特例 )例 5 已知函數(shù)f(x) lg 1 2x 3x(n 1)x a nx ,0 a 1,給定 n N ,n 2.n求證： f (2x) 2f (x)(x 0) 對(duì)任意 n N 且 n 2恒成立。( 90 年全國(guó)卷壓軸題)簡(jiǎn)析 本題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，詳參高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)；這里給出運(yùn)用柯西(Cauchy )nnn222不等式 (ai bi )aibi 的簡(jiǎn)捷證法：i1i

6、1 i1f (2x) 2f(x) lg1 22x 32x (n 1)2x a n2x 2lg 1 2x 3x (n 1)x a nx nn1 2x3x(n 1)x a nx2 n 1 22x 32x(n 1)2x a n2x而由 Cauchy不等式得 (1 1 1 2x 1 3x 1 (n 1)x a nx)2(1212) 1 22x 32x (n 1)2x a2 n2x ( x 0時(shí)取等號(hào) )n 1 22x32x(n 1)2x a n2x(0 a 1 ) ，得證！例 6 已知 a1 1,an 1 (12 1 )an 1 . (I ) 用數(shù)學(xué)歸納法證明an 2(n 2) ；nnn 2(II )

7、 對(duì) ln(1 x) x對(duì) x 0都成立，證明an e2(無(wú)理數(shù)e 2.71828 ) ( 05 年遼寧卷第22 題)解析 (II ) 結(jié)合第 (I ) 問(wèn)結(jié)論及所給題設(shè)條件ln(1 x) x( x 0)的結(jié)構(gòu)特征，可1111得放縮思路：an 1(12n )an ln an 1 ln(1 2) ln ann n 2n2 n 2n1111ln a n2 n 。于是 ln an 1 ln a n 2 n ，n n2n n211 n1n1n11( )2.(ln ai 1 ln ai )( 2 i ) ln an ln a1 122i1i1 i i 2n1ni1i112即 ln an ln a12 a

8、ne2 .注： 題目所給條件ln(1 x) x( x 0)為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論2n n(n 1)(n 2) 來(lái)放縮：1an 1 1 (1 n(n 1)(an 1)11 ln( an 1 1) ln( an1) ln(1).n(n 1) n(n 1)n1n1 11ln(ai 1 1) ln(ai1)ln( an1) ln(a2 1) 11 ，i 2i 2 i(i 1)n即 ln(an 1) 1 ln3 an 3e 1 e2.1111例 7 已 知 不 等 式 1111log2 n,n N ,n 2.log2 n表 示 不 超 過(guò)23n2log2

9、 n 的最大整數(shù)。設(shè)正數(shù)數(shù)列an 滿足：a1 b(b 0), an nan 1 ,n 2.n an 1求證 an 22b ,n 3.( 05 年湖北卷第( blog 2 n22)題)簡(jiǎn)析2時(shí) annan 1nk2akak 1n)k2n an 11于是當(dāng).k1ann an 1an 1an 13 時(shí)有 11ana1本題涉及的和式11231 為調(diào)和級(jí)數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可 n11anan 12blog 2 nan22 blog 2 n1111 log 2 n來(lái)進(jìn)行有效地放縮；23n22引入有用結(jié)論在解題中即時(shí)應(yīng)用，是近年來(lái)高考創(chuàng)新型試題的一個(gè)顯著特點(diǎn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識(shí)。1例

10、 8 設(shè) an(1)n ，求證：數(shù)列an 單調(diào)遞增且an 4.n解析 引入一個(gè)結(jié)論：若b a0則 bn 1 an 1 (n 1)bn(b a) (證略)整理上式得an 1 bn(n 1)a nb(.) ， 以 a 11 ,b 1 1 代入 ()n1 n式得 (11)n 1(11 )n .即an 單調(diào)遞增。n1n以 a1 b11 代入()式得1 (1)n (1)2n 4., 2n2n 2 2n此式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有(1 1 )n 4，又因?yàn)閿?shù)列an單調(diào)n遞增，所以對(duì)一切正整數(shù)n 有 (1 1 )n 4。n1注： 上述不等式可加強(qiáng)為2 (11 ) n 3. 簡(jiǎn)證如下：n利用二項(xiàng)展

11、開(kāi)式進(jìn)行部分放縮：an (1 1 )n 1 Cn1 1 Cn2 12Cnn 1n .nnnn只取前兩項(xiàng)有a 1 C 1 12. 對(duì)通項(xiàng)作如下放縮：nnnk11 nn 1 n k 1111C nk k n n nk 1 .n n k k! n n n k! 1 2 2 2k 1n1故有 an 1 1 1121 12 1 1 (1/ 2)3.n 2 222n 121 1/2上述數(shù)列an的極限存在，為無(wú)理數(shù)e； 同時(shí)是下述試題的背景：已知 i ,m, n是正整數(shù)，且1 i m n. ( 1)證明ni Amimi Ani ； ( 2)證明(1 m)n (1 n)m.( 01年全國(guó)卷理科第20 題)1簡(jiǎn)

12、析 對(duì)第(2)問(wèn)：用1/n 代替 n 得數(shù)列bn : bn (1 n)n 是遞減數(shù)列；借鑒此111結(jié)論可有如下簡(jiǎn)捷證法：數(shù)列 (1 n) n 遞減， 且 1 i m n, 故 (1 m) m (1 n)n ,即 (1 m)n (1 n)m。當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有10 多種 , 如使用上述例4 所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問(wèn)題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可1 。例9部分放縮11設(shè) an 1a2a 3a解析an111aa2a3a1a,an12. 求證：an 2.k 變成 k 1，進(jìn)行部分放縮)1112na22112321k212. n12又 k k k k(k 1),k 2

13、111k(k 1) 11k11， kan12232 n21 (12) (23)( n 11) 2 12.nn例 10 設(shè)數(shù)列a n 滿足 a有 (i)an n 2； (ii)n 1 an2 nan 1 n111 a11 a21anN ，當(dāng) a13時(shí)證明對(duì)所有n 1,1 ( 02 年全國(guó)高考題)2解析 (i)用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)n 1 時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng)n k時(shí)成立即ak k 2，則n k 1 時(shí)ak 1ak (akk)1ak (k 2 k)1 (k 2) 21 k 3 ，成立。(ii) 利用 上述 部 分放縮的 結(jié)論 ak 12ak1 來(lái) 放縮 通 項(xiàng) ， 可 得ak 112(ak 1)ak12k

14、 1(a11) 2k 1 42k 11k1 1 .ni11n11 ai i 1112i 141 (12)n1121.2ak 1： 上 述 證 明 (i)用 到 部 分 放 縮 ， 當(dāng) 然 根 據(jù) 不 等 式 的 性 質(zhì) 也 可 以 整 體 放 縮 ： (k 2)(k 2 k) 1 k 3； 證明 (ii) 就直接使用了部分放縮的結(jié)論ak 12ak1 。三 添減項(xiàng)放縮上述例 4之法 2 就是利用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行減項(xiàng)放縮的例子。(n 1)(n 2)例 11 設(shè) n 1, n N ，求證 (2)n 3231簡(jiǎn)析 觀察 ( ) n 的結(jié)構(gòu)，注意到( ) n (1) n ，展開(kāi)得(1 1 )n 1Cn11

15、 C2n2212Cn3221 n n(n 1) (n 1)(n 2) 6 ，28即 (1 1 )n2(n 1)(n 2) ，得證 .8例 12 設(shè)數(shù)列an 滿足a12, an 1一切正整數(shù)n 成立； ()令bnan(n 1,2, ) ，判定bn 與bn 1 的大小，并說(shuō)明理由(04年重慶卷理科第(22)題)簡(jiǎn)析法1本題有多種放縮證明方法，這里我們對(duì)()進(jìn)行減項(xiàng)放縮，有用數(shù)學(xué)歸納法(只考慮第二步)a2k 1 ak2 212 2k 1 2 2(k 1) 1 ；ak法22212a n 1an22 anan2ak2 1ak22,k 1,2, ,n 1.則 an2 a122(n 1)an22n 2 2n

16、 1an2n 1利用單調(diào)性放縮1 構(gòu)造數(shù)列2(n 1)222n 22n 1 2n 31，如對(duì)上述例1，令Tn Sn (n 1)2 則 Tn 1 Tn(n 1)(n 2) 2n 3 0，Tn Tn 1, Tn遞減，有Tn T12 2 0，故Sn111(1 1)(1 1)(1 1)(11) T再如例4，令T35 2n 1 則 Tn 1n2n 1Tn2即 TnTn 1 , Tn 遞增，有TnT11 ，得證！2n 1) 2 3 2n 1.并可改33注： 由此可得例4 的加強(qiáng)命題(1 1)(1 1)(1 1) (135造成為探索性問(wèn)題：求對(duì)任意n 1 使 (1 1)(1 1)(1 1)(11 ) k 2

17、n 1 恒成立的35 2n 1正整數(shù) k 的最大值；同理可得理科姊妹題的加強(qiáng)命題及其探索性結(jié)論，讀者不妨一試！2 構(gòu)造函數(shù)321111例 13 已知函數(shù)f(x) ax x 的最大值不大于1 ， 又當(dāng) x 1 , 1 時(shí) f(x) 1.()264281n104 年遼寧卷第21 題)求 a 的值； () 設(shè) 0a12 , an 1 f (an ),n N ， 證明 an33111解析 () a=1 ；() 由an1f(an), 得an1an3an23(an1)211nn2n2 n36 6且 an0. 用數(shù)學(xué)歸納法(只看第二步)ak 1f(ak) 在 ak (0 1 ) 是增函數(shù)，則得k111312

18、1ak 1 f (ak)f( )().k 1 k12k1 k2例 14 數(shù)列 xn 由下列條件確定：x1a 0 ， xn 1 1 x n a , n N ( I )證2xn明：對(duì) n 2總有xna ； (II) 證明：對(duì)n 2總有xn xn 1( 02 年北京卷第(19)題)解析 構(gòu)造函數(shù)f (x) 1 x a 易知 f (x) 在 a ,)是增函數(shù)。2x當(dāng) n k 1時(shí) xk 1 1 xka 在 a, )遞增，故xk 1 f( a) a.2 xk對(duì) (II) 有 xn xn 11 x a ，構(gòu)造函數(shù)f (x)1 x a , 它在 a, ) 上是增2 n xn2 x函數(shù)，故有xnxn 11 x

19、na f ( a) 0 ，得證。2 xn注 ：本題有著深厚的科學(xué)背景：是計(jì)算機(jī)開(kāi)平方設(shè)計(jì)迭代程序的根據(jù)；同時(shí)有著高等數(shù)學(xué)背景數(shù)列xn 單調(diào)遞減有下界因而有極限：ana(n ). f(x)1 xa是遞推數(shù)列x 1xa的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對(duì)此數(shù)列本f(x)2 xxxn12xnxn質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。類題有06 年湖南卷理科第19 題：f(x) x sin x,數(shù)列 an滿足 :0 a11,an 1 f (an),n 1,2,3,.13證明 :( ) 0an 1 an 1 ;( ) an 16 an . (證略)五 換元放縮例 15 求證 1 n n 1 (n N , n 2).n

20、1簡(jiǎn)析 令 an n n 1 hn ，這里 hn 0(n1), 則有n (1hn)nn(n 1) hn20hn2 (n 1)，從而有1 an 1 hn 122n1n1注 ：通過(guò)換元化為冪的形式，為成功運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。22例 16 設(shè) a 1 ， n 2, n N ，求證 an n (a 1) .4簡(jiǎn)析 令 a b 1 ，則 b 0， a 1 b ，應(yīng)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行部分放縮有an (b 1)nCn0bn C1nbn 1 Cn2bn 2CnnCn2bn 2 n(n 1)b2 ， 注 意 到nnnnn22222n 2, n N ，則 n(n 1) b2n b (證明從

21、略)，因此 an n (a 1)244六 遞推放縮遞推放縮的典型例子，可參考上述例10中利用 (i)部分放縮所得結(jié)論ak 12ak 111進(jìn) 行 遞 推 放 縮 來(lái) 證 明 (ii) ， 同 理 例 6 (II ) 中 所 得 ln an 1 lnan 211n 和n n2ln(an 1 1) ln(an 1)1 、例 7 中 111 、 例 12()之法2 所得n(n 1)anan 1 n22ak 1 ak 2都是進(jìn)行遞推放縮的關(guān)鍵式。七 轉(zhuǎn)化為加強(qiáng)命題放縮如上述例10 第 (ii) 問(wèn)所證不等式右邊為常數(shù)，難以直接使用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以通過(guò)從特值入手進(jìn)行歸納探索、或運(yùn)用逆向思維探索轉(zhuǎn)化為

22、證明其加強(qiáng)命題：就容易多了(略)。1 1111 . 再用數(shù)學(xué)歸納法證明此加強(qiáng)命題，1 a11 a21 an 2 2n 1例 17 設(shè) 0 a 1 ， 定義a1 1 a,an 11 a， 求證： 對(duì)一切正整數(shù)n 有 an1.an解析 用數(shù)學(xué)歸納法推n k 1 時(shí)的結(jié)論an 11 ，僅用歸納假設(shè)ak 1 及遞推式1ak 1a是難以證出的，因?yàn)閍 k出現(xiàn)在分母上！可以逆向考慮：akak 1a 1 akak1 a故將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：對(duì)一切正整數(shù)n 有 1 an1 . (證明從略)1a例 18 數(shù)列 xn 滿足x11 , xn 1xn xn . 證明x20011001.( 01 年中國(guó)西部數(shù)

23、學(xué)2 n2奧林匹克試題)簡(jiǎn)析 將問(wèn)題一般化：先證明其加強(qiáng)命題xn .用數(shù)學(xué)歸納法，只考慮第二步：n22xk 1 xk xk2 k 12 (k)2 k 1 k 1.因此對(duì)一切x N 有 xn n.k22 k222 42n 23例 19 已知數(shù)列an滿足：a1， 且an3nan1 ( n2，n N ) ( 1) 求數(shù)列 an22an 1 n 1(2)證明： 對(duì)一切正整數(shù)n 有a1a2an2n！ (06 年江西卷理科第22 題)解析： （ 1）將條件變?yōu)椋? n 1（ 1 n 1） ，因此1 n 為一個(gè)等比數(shù)列，an3an 1an其首項(xiàng)為1 1 1 ，公比 1 ，從而 1 n 1 ，據(jù)此得ann 3

24、n （ n 1 ）1a133an 3n3n 1（ 2）證：據(jù)1 得，a1a2ann！，為證 a1a2an2 n！ ，（ 1 1） （ 112）（1 1n）3331只要證 n N 時(shí)有 （ 1 1 ） （ 112）（11 ）23323n2顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明一個(gè)加強(qiáng)不等式：對(duì)每個(gè) n N ，有 （ 1 1 ） （ 112）（11n）1（112 1 ）33323n3323n（用數(shù)學(xué)歸納法，證略） 利用 3 得， （ 1 1 ） （ 112）（11 ） 1 （112 1 ）3323n3323n1 131 1 1 （1 ） n232232故 2 式成立，從而結(jié)論成立。八 分項(xiàng)討論例 20

25、 已知數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和Sn 滿足Sn2an ( 1)n,n 1.寫出數(shù)列an的前 3 項(xiàng) a1,a2,a3； （）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（） 證明：am 8a4a5對(duì)任意的整數(shù)m 4，有 1117 （ 04年全國(guó)卷）簡(jiǎn)析 ()略，()an2 2n 2 ( 1)n 1 .；32n 22n 122n 32n 12n 21（）由于通項(xiàng)中含有（ 1） n，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論：當(dāng) n 3且 n 為奇數(shù)時(shí)113（11） 3an an1 2 2n2 1 2n1 122n 2 2n 13112 22n 2332 (2n12 21n1)(減項(xiàng)放縮)，于是當(dāng) m 4且 m為偶數(shù)時(shí)1111( 1

26、1 )( 11 )a4a5 am a4 a5a6am 1 am13( 111 ) 131(11 ) 137.22 23242m22242m4288當(dāng) m 4且 m為奇數(shù)時(shí)1111111 (添項(xiàng)放縮)a4a5am a4 a5am am 1由知 11117 . 由得證。a4 a5amam18九 數(shù)學(xué)歸納法例21()設(shè)函數(shù) f(x) xlog2 x (1 x)log2(1 x) (0 x 1)， 求 f(x)的最小值；p1 , p2 , p3, p2n 滿足p1 p2p3p2n1 ，證明p1log2p1p2log2p2p3log2 p3p2nlog2p2nn（05年全國(guó)卷第22題）解析 這道高考題內(nèi)

27、蘊(yùn)豐富，有著深厚的科學(xué)背景：直接與高等數(shù)學(xué)的凸函數(shù)有關(guān)！更為深層的是信息科學(xué)中有關(guān)熵的問(wèn)題。（）略，只證（）：法 1 由 g（x） 為下凸函數(shù)得 g(p1) g(p2)g(p2n)p1p2 p3p2又2nn1，p1 p2pg(2n2n所以 p1log2 p1p2 log2 p2p3 log2 p3p2n考慮試題的編擬初衷，是為了考查數(shù)學(xué)歸納法，f（x） 為 a,b上的下凸函數(shù)，則對(duì)任意xia,b, in1log2 p2n2 g(2n ) n.于是借鑒詹森( jensen) 不等式 (若0(i1,n), 1n 1，1有 f ( 1x1n xn )1 f (x1 )n f (xn ). 特別地，若

28、i 則有nf（x1xn）1f（x） f（x ） 若為上凸函數(shù)則改“ ”為“”f （ n ） n f（x1）f （xn）.）的證明思路與方法有：法 2 （用數(shù)學(xué)歸納法證明）（ i ）當(dāng) n=1 時(shí)，由（）知命題成立（ ii） 假定當(dāng) n k 時(shí)命題成立，即若正數(shù).p1 , p2 , p2k滿足p1p2p2k1 ，則p1log2 p1p2log2p2p2klog2p2kk.當(dāng) n k 1 時(shí)，若正數(shù)p1, p2, p2k 1滿足 p1 p2 p2k 11, （ *）為利用歸納假設(shè)，將（*）式左邊均分成前后兩段：p1p2p2k令 x p1 p2p2k,q1,q2, ,q2k.xxx則 q1,q2,

29、,q2k為正數(shù)，且q1 q2q2k1.由歸納假定知q1 log 2 p1p2 log 2 p2 q2k log 2 q2k k.p1 log2p1p2log2 p2p2klog2p2kx(q1log2q1q2log2q2q2klog 2 q2kl o g2 x) x( k) xl og2 x, ( 1)同理，由p2k 1 p2k 2p2k 11 x得 p2k 1 log2 p2k 1p2k 1 log2 p2k 1(1x)( k) (1 x) log 2(1x). ( 2)綜合(1 )(2)兩式p1 log 2p1p2 log 2p2p2k1 log 2 p2k 1x (1x)( k) xlog 2 x (1 x) log 2(1 x) (k 1).即當(dāng) n k 1時(shí)命題也成立. 根據(jù)( i) 、 ( ii)可知對(duì)一切正整數(shù)n