初一三角形知識總結(jié)與練習題匯編

1、學(xué)習 好資料三角形的有關(guān)概念（ 1）三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，它有三條邊、三個內(nèi)角和三個頂點，三角形可用符號“”表示（2）三角形的角平分線：在三角形中，一個內(nèi)角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線（3）三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點與它對邊的中點的線段，叫做這個三角形的中線（4）三角形的高線：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線2、 三角形的有關(guān)性質(zhì)（ 1）邊的性質(zhì)：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊（ 2）角的性質(zhì)：三角形的內(nèi)

2、角和為180，一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角，直角三角形的兩個銳角互余（ 3）穩(wěn)定性：即三角形的三邊的長度確定后，三角形的形狀保持不變3、 三角形的分類1） 按邊分不等邊三角形等腰三角形底與腰不相等的等腰三角形等邊三角形直角三角形2） 按角分銳角三角形斜三角形鈍角三角形更多精品文檔4、 全等三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)（ 1）全等圖形：兩個能夠重合 的圖形稱為全等圖形全等圖形的特征：全等圖形的形狀和大小都相等全等三角形：兩個能夠完全重合的三角形叫做全等三角形，兩個全等三角形重合時，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的角叫做對應(yīng)角

3、（ 2）全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等5、 全等三角形的判定條件（ 1） 一般三角形全等的判別方法有四種方法：邊角邊 （ SAS） ； 角邊角（ASA）; 角角邊（AAS）; 邊邊邊（SSS）.（2）直角三角形的全等的條件:除了使用SAS、 ASA、 AAS 、 SSS 判別方法外，還有一種重要的判別方法，也就是斜邊、直角邊（HL）判別方法.6、 判別兩個三角形全等找夾角SAS1 已知兩邊找直角HL找另一邊SSS（ 1）邊為角的對邊找任一角AAS找夾角的另一邊SAS2已知一邊一角2已知一邊一角（ 2）邊為角的鄰邊找夾角的另一邊的對角ASA找邊的對角AAS找夾邊ASA3已知

4、兩角找夾邊外的任一邊AAS7. 作三角形 用尺規(guī)作三角形的類型主要有：1）己知三角形的三邊，求作這個三角形2）己知三角形的兩邊及夾角，求作這個三角形3）己知三角形的兩角及夾邊，求作這個三角形二、應(yīng)注意的問題1. 三角形的角平分線不同于一個角的平分線，前者是一條線段，后者是一條射線三角形的高線是線段，而線段的垂線是直線；銳角三角形的三奪高線都在三角形的內(nèi)部，直角三角形中，有兩條高線恰好是它的兩條邊，鈍角三角形的三條高線中，有兩條高線在三角形的外部，它們的垂足落在邊的延長線上三角形的三條角平分線交于一點，三條中線交于一點，三角形的三條高所在的直線交于一點2、注意：不能把“邊邊角”和“角角角”作為判

5、定兩個三角形全等的依據(jù)3書寫全等三角形時一般把對應(yīng)頂點的字母放在對應(yīng)的位置.4、注意：在作三角形等幾何作圖中，作圖痕跡務(wù)必保留，不能將作圖痕跡抹掉在作符合某些條件的三角形時，它的作法可能不惟一，只要作法合理，都是正確的三、經(jīng)典例題例 1 如圖1，有一塊邊長為4 的正方形塑料模板ABCD ，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落在A點，兩條直角邊分別與CD 交于點F，與CB 延長線交于點E則四邊形AECF 的面積是分析：本例看似是正方形的問題，其實質(zhì)是考查全等三角形的判定由于 EAF= BAD=90 可得出 EAB= DAF ， ABE= D=90， AB=AD ， ABE ADF，所以，四EAB

6、 DAF ，ABE D，AB AD邊形 AECF 的面積等于正方形ABCD 的面積等于16解：因為EAF= BAD=90 ，所以 EAB= DAF ， ABE ADF四邊形 AECF 的面積等于正方形ABCD 的面積等于16.例 2 如圖2，在ABC 與 DEF 中， 給出以下六個條件：AB=DE ； BC=EF ； AC=DF ； A= D；B= E；C= F，以其中三個條件作為已知，不能判斷ABC 與 DEF 全等的是 （）A B CD分析：三角形全等的判定方法有：、 “邊、角、邊”、 “角、邊、角”或“角、角、邊”.本題可采用排除法尋找答案（真 ）” 為“邊角邊”判定方法；（真 ）”為“

7、邊邊邊”判定方法；“、（真）”為“角角邊”判定方法；“、 （假 ）”，為兩邊和其中一邊的對角沒有這樣的判定方法，因此，不能判斷ABC 與 DEF 全等的是D.例 3 如圖3，巳知：CEAD 于E，BFAD 于F，你能說明BDF 和 CDE 全等嗎 ? 若能， 請你說明理由；若不能，在不用增加輔助線的情況下，請?zhí)砑悠渲幸粋€適當?shù)臈l件，這個條件是， 說明這兩個三角形全 等，并寫出證明過程 分析：題目要證明的兩個三角形全等已滿足兩組角對應(yīng)相等，但三角形全等至少要有一組邊對應(yīng)相等，因此，需要補充一組邊對應(yīng)相等.解：補充的條件為：BD=CD ， DE=DF 或 BF=CE.若補充 BD=CD. 證明過程

8、如下：CE AD 于 E， BF AD 于 F，所以，F(xiàn)= CED.F CED ，BDF CDE BDFCDE.BD CD注：本題和北師大版七年級數(shù)學(xué)下158 頁第 5 題雷同 .例 5 將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺放成如圖5 的形式，使點B 、 F、 C、 D 在同一條直線上（1）求證：AB ED；（2）若 PB=BC，請找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并給予證明5分析：充分利用邊相等或角相等或互余的關(guān)系.（ 1） 證明：由題意可知ABC DEF,因而A= D，而 A+ B=90故D+ B=90，即 BPD=90，所以， AB ED.也可以利用

9、兩直線平行，內(nèi)錯角相等證明A= D.（2）若 PB=BC，則有ABC DBP.B B，A D， ABC DBP.BP BC注：圖中與此條件有關(guān)的全等三角形還有如下幾對：APN DCN ；DEFDBP； EPMBFM.四、考點例析考點一：三角形三邊關(guān)系三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊例 1 在 ABC 中， AB=9 ， BC=2 ，并且 AC 的長為奇數(shù)，那么ABC 的周長是多少？分析 由三角形中第三邊取值范圍的確定方法： “兩邊之差第三邊兩邊之和”， 可求出 AC 的長， 從而求出ABC 的周長解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系有AB-BC AC AB+BC ， 所以 9-2

10、AC 9+2， 即 7 AC 11， 又因為 AC 的長為奇數(shù)，所以 AC=9 ， 所以 ABC的周長為9+9+2=20 練習1： （ 1 ） （ 2005 年昆明市中考題）以下列各組線段長為邊，能構(gòu)成三角形的是（） A 4cm，5cm，6cmB2cm，3cm，5cmC 4cm，4cm，9cmD12cm，5cm，6cm（ 2）有長分別為1cm、 2cm、 3cm、 4cm、 5cm 的線段，則以其中三條線段為邊可構(gòu)成個三角形答案與提示：（ 1）選 A； （2）其中2cm，3cm，4cm；2cm，4cm，5cm；3cm，4cm，5cm 共可構(gòu)成三個三角形考點二：三角形的內(nèi)角和三角形三個內(nèi)角的和等

11、于180 ，直角三角形的兩個銳角互余ABC 中，CD、 BE 分別是AB、 AC 邊上的高，且ACD、 BE 交于一）100例 2（ 2004 年陜西中考題）如圖，在銳角點 P，若A= 50 ，則 BPC 的度數(shù)是（A 150 B 130 C 120 D 分析：解這類題目的關(guān)鍵要明確所求的角是哪個三角形的內(nèi)角，要抓住題目中存在的等量關(guān)系，如“三角形的180 等” 解：在 ABC 中， A= 50 ， ABC+ ACB= 180 -50 =130 CD、 BE 分別是 AB、 AC 邊上的高，ADC= AEB= 90 在 Rt ABE 中，ABE= 90 - A= 90 - 50 = 40 在

12、Rt ACD 中，ACD= 90 - A= 90 - 50 = 40 PBC+ PCB=(ABC+ ACB ) -(ABE + ACD ) =130 80 =50在 BPC中， BPC=180 -（PBC+ PCB） =180 -50 =130 本題選B 練習2： （ 1） （ 2005年黑龍江中考題）已知BD、 CE 是 ABC 的高，直線BD、 CE 相交所成的角中有一個角為50 ，則 BAC 等于 （ 2）一塊模板如圖所示，按規(guī)定AB 、 CD 的延長線相交成85 角，因交點不在模板上，不便測量，所以工人師傅連結(jié)AC ，測得BAC= 32 ， DCA= 65 ，這時就可以知道，AB 、

13、CD 的延長線相交所成的角不符合規(guī)F定請說明理由 答案與提示：1） 50 ； （ 2）由三角形內(nèi)角和定理可得 H= 83考點三 三角形中的三條重要線段在三角形中，一個內(nèi)角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線E在三角形中，連接一個頂點與它的對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的 高例 3 如圖，在ABC 中，分別畫出它的中線AD 和高AE，并回答下列問題： （ 1） AE 還是哪些三角形的高？（ 2）ABD 與 ACD 的面積有什么關(guān)系？為什么？分析 應(yīng)根據(jù)三角形的

14、中線和高的意義畫圖解： （ 1）如圖，AE 還是 ABD 、 ADE 、 ADC 、 AEC、 ABE 的高（ 2）ABD 與 ACD 的面積相等，因為這兩個三角形等底同高練習3： （ 1 ）三角形一邊上的高（） A 必在三角形內(nèi)部B 必在三角形外部C 必在三角形的邊上D 以上三種情況都有可能2）如圖5， AE 是 ABC 的角平分線，則= = 2 ； AD 是 ABC 的中線，則1= 2 BC（ 3）三角形的三條角平分線的交點和三條中線的交點，一定在三角形的（A內(nèi)部B外部C邊上D 不確定答案與提示：（ 1）選D； （ 2） BAE ， CAE， BAC； BD， CD； （ 3）選A考點四

15、圖形的全等 兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形，全等圖形的形狀和大小都相同特別地，全等圖形的面積相等例 4 如圖（1） ，一個5 5 的正方形，去掉居于中心位置的畫陰影的一格，你能沿著圖中的虛線，把余下的部分分成四個全等的圖形嗎？分析 可以從方格的數(shù)量（即面積）入手考慮5 5 的正方形共有25 格，去掉一格后，還有24 格如果分成四個全等的圖形，則每個圖形應(yīng)該有6 格解：圖（2）（8）是幾種可能的劃分方案5）（ 6）7）（ 8）練習4：沿著圖中的虛線，請用至少三種方法把下面的圖形劃分為兩個全等圖形，把你的方案畫在下面的圖中考點五 全等三角形的特征及三角形全等的條件全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等

16、三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”學(xué)習 好資料兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA ”兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS ” 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS” 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL ”例 5 如圖， 如圖， 某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是（） A 帶去B 帶去C 帶去D 帶去更多精品文檔B 的理由是（ ） A 邊角邊B 角邊角C邊邊邊D 角角邊A

17、B2） （ 2004 年濰坊市中考題）如圖，已知）ABC 的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形中和ABC 全等C只有乙A 甲和乙B 乙和丙（ 3）如圖10，1= 2，D 只有丙，才能使ABC DEFBC=EF ，那么需要補充一個條件分析 怎樣做一個三角形與已知三角形全等，可依據(jù)全等三角形的判定條件來判斷題中的一塊三角形的玻璃被打碎成三塊，其中：（ 1）僅留一角；（ 2）沒邊沒角；（ 3）存在兩角和夾邊，可依據(jù)ASA ，不難作出與原三角形全等的三角形解：應(yīng)選C練習5： （ 1 ） （ 2005 年臨沂市中考題）如圖，將兩根鋼條AA 、 BB 的中點 O 連在一起，使AA、BB可以繞著點O 自由

18、轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工件，則 A B 的長就等于內(nèi)槽寬AB 的長， 那么 AOB OA分析 該題是作圖題中的文字題，答案與提示：（ 1）選A； （ 2）選B； （ 3）提示：此題答案不唯一，屬開放性問題根據(jù)三角形全等的條件：SSS，ASA ， AAS ， SAS， 對照圖中已知條件，只需有另外一角或邊均可） 考點六：與三角形有關(guān)的作圖例 6 已知兩角及其中一個角的對邊，求作三角形根據(jù)已知畫出相應(yīng)的圖形，這樣的圖形具有一定的隨意性本題的兩個角大小要適當，即它們的和必須小于180 ，否則無解已知：如圖 、 ，線段aED求作：ABC，使 B= ，A= ， BC=a作法： 1作線段BC=a；2在 B

19、C 的同側(cè)作DBC= ， ECB= 180 - - ， DB、 EC交于點A ABC 為所求作的三角形評注： 已知兩角及其中一個角的對邊作三角形，可根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180 ， 轉(zhuǎn)化為利用兩角及其夾邊作三角形，化未知為已知，使問題得以解決練習6：求作一個邊長為a 的等邊三角形a答案與提示：已知：線段a，求作ABC ，使 AB=AC=BC=a 作法： （ 1 ）作線段BC=a；（ 2）分別以B、 C 為圓心，以a為半徑畫弧，兩弧交于點AABC 為所求作的三角形考點七：全等三角形的應(yīng)用例 7公園里有一條“Z”字型道路ABCD ，如圖11，其中AB CD，在AB、 BC、 CD 三段路旁各有一只石

20、凳E、 M、 F， M 恰為 BC 的中點，且E、 F、 M 在同一直線上，在BE 道路中停放著一排小汽車，從而無法直接測量 B 、 E 之間的距離，你能想出解決的方法嗎？請說明其中的道理分析 由 EBM FCM 可知，測量C、 F 之間的距離就是B、 E 之間的距離EMB FMCBC理由： AB CD BM CM EBM FCM BE=CF 評注： 運用三角形全等的方法來解決實際問題，關(guān)鍵找出兩三角形全等的條件，并能運用自己的語言進行說理練習7： （ 2004 年福州中考題）三月三，放風箏，如圖12，是小明制作的風箏，他根據(jù)DE=DF， EH=FH ，不用度量，就知道DEH= DFH ，請你

21、用所學(xué)的知識給予說明答案與提示：連接DHDE DFEH FHDH DH DEH DFH DEH= DFH 三角形 測試題1 一個鈍角三角形的三條角平分線所在的直線一定交于一點，這交點一定在D三角形的某個頂點上A三角形內(nèi)部B 三角形的一邊上C 三角形外部2下列長度的各組線段中，能組成三角形的是A 4、 5、 66、 8、 155、7、 123、9、 133在銳角三角形中，最大角的取值范圍是A0 90 B60 9060 180D 60904下列判斷正確的是A有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等B有兩邊對應(yīng)相等，且有一角為30的兩個等腰三角形全等C有一角和一條邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

22、D有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等5等腰三角形的周長為24cm，腰長為xcm，則x 的取值范圍是(A x 6 B 6 x 120 x 126已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足關(guān)系式BC 3 A則此三角形A一定有一個內(nèi)角為4560C一定是直角三角形7三角形內(nèi)有一點，它到三邊的距離相等，則這點是該三角形的A三條中線交點B 三條角平分線交點D三條高線所在直線交點8已知等腰三角形的一個角為75，則其頂角為(A 30B 75 C 105D 30或759如圖5 124，直線l 、 l 、 l 表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)計劃建一個加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有A一處C 三處D四處

23、)10 三條線段長度分別為3、 4、6，則以此三條線段為邊所構(gòu)成的三角形按角分類是A銳角三角形B 直角三角形C鈍角三角形D根本無法確定二、填空題1 如果ABC中， 兩邊a 7cm， b 3cm， 則 c 的取值范圍是第三邊為奇數(shù)的所有可能值為周長為偶數(shù)的所有可能值為2四條線段的長分別是5cm， 6cm， 8cm， 13cm，以其中任意三條線段為邊可以構(gòu)成個三角形3過ABC的頂點C 作邊AB 的垂線將ACB分為20和40的兩個角，那么A，B 中較大的角的度數(shù)是4在Rt ABC中，銳角A的平分線與銳角B的平分線相交于點D，則ADB 5如圖5 125，AD， AC DF，那么需要補充一個直接條件 （

24、 寫出一個即可） ，才能使ABCDEF6三角形的一邊上有一點，它到三個頂點的距離相等，則這個三角形是三角形7ABC中，AB 5， BC 3，則中線BD的取值范圍是8如圖5126，ABC中，C90，CDAB，CM平分AB，CE平分DCM，則ACE的度數(shù)是9已知： 如圖5127，ABC中，BO，CO分別是ABC和ACB的平分線，過O點的直線分別交AB、AC于點D、E，且DE BC若AB 6cm， AC 8cm，則ADE的周長為10 每一個多邊形都可以按圖5 128 的方法割成若干個三角形而每一個三角形的三個內(nèi)角的和是180按圖 5 127 的方法，十二邊形的內(nèi)角和是度三、解答題1 ，已知：如圖5

25、129，ABC的B、C的平分線相交于點D，過D作MNBC交AB、AC分別于點M、N，求證：BMCNMN2已知：如圖5130，在ABC中，ACB90，CD為高，CE平分BCD，且ACD：BCD1：2，那么CE是 AB邊上的中線對嗎?說明理由學(xué)習 好資料3已知：如圖5 131 ，在ABC中有D、 E兩點，求證：BD DE EC AB AC更多精品文檔4已知一直角邊和這條直角邊的對角，求作直角三角形（ 用尺規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡） 5已知：如圖5 132，點C在線段 AB上，以 AC和 BC為邊在AB的同側(cè)作正三角形ACM和BCN，連結(jié)AN、BM，分別交CM、 CN于點P、 Q求證：PQ AB6已知：如圖5 133，ABDE，CDFA，AD，AFCDCF，則BCEF你能說出它們相等的理由嗎1、 1 A 2 A 3 D 4 D2、 1 4cm c 10cm ， 5cm、 7cm、DE（或BE 或CF） ；6 直角；【參考答案】5 B 6 A 7 B 8 9cm， 16cm 或 18cm；2 2；7 1 BD 4；8D 9 A 10 D3 704 1355 AB 45 ；9 14cm 10 180011 2，34證明：BD 、 CF平分ABC、ACB學(xué)習 好資料MN BC， 62