浙江師范大學(xué)微分幾何全套模擬卷

1、浙江師范大學(xué)微分幾何考試模擬卷（A卷）說明：考生應(yīng)有將全部答案寫在答題紙上，否則作無效處理一、判斷題（正確打，錯誤打×）（每小題2分，共10分）1、等距變換一定是保角變換( )2、空間曲線的形狀由曲率與撓率唯一確定. ( )3、二階微分方程總表示曲面上兩族曲線. ( )4、連接曲面上兩點(diǎn)的所有曲線段中，測地線一定是最短的( )5、坐標(biāo)曲線網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是，這里是第一基本量( ). 1.× 2. 3. × 4.× 5. 二、填空題（每小題3分，共15分）1. 半徑為的圓的曲率為_.2. 曲面的坐標(biāo)曲線網(wǎng)正交的充要條件是_,3. 坐標(biāo)曲線網(wǎng)成為曲率線網(wǎng)

2、的充要條件是_.4. 在臍點(diǎn)處曲面的第一, 第二類基本量滿足_,5. 使法曲率達(dá)到最大值和最小值的方向是_方向.1. 2.F=0 3. 4. ， 5、 主方向三、計算題（第1小題各18分，第2、3、4小題各10分，共48分）1. 已知空間正則參數(shù)曲線(1) 求基本向量.(2) 求的曲率和撓率.解： 所以，曲率和撓率為2、 求拋物面在原點(diǎn)處的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判斷原點(diǎn)是否為臍點(diǎn).解：令，則， 由于，所以坐標(biāo)曲線是曲率線，主曲率為, 高斯曲率為，平均曲率為. 3、 設(shè)一個曲面的第一基本形式為求它上面兩條曲線的交角.解：有題意可知 兩曲線的交點(diǎn)為(0,0)，故由得 4.確定螺旋面上的曲率

3、線。解 對于正螺面，曲率線的方程為， 化簡得 ，即 。 積分得。所求曲率線為，。 五、 證明題(每小題各9分，共27分)1. 證明撓曲線(的曲線)的主法線曲面是不可展曲面.證：主法線曲面方程為，是直紋面 又因為有已知，所以，有定義知此直紋面是不可展曲面。 2、證明如果一條曲線的所有法平面包含常向量，那么這曲線是直線或平面曲線.證：設(shè)所給的常向量為，則。所以，兩邊對求微商得，即。若，則曲線是直線。若，則，于是，由于，所以有。由可知，從而，所以，即曲線為平面直線3、設(shè)在兩條曲線、的點(diǎn)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，使它們在對應(yīng)點(diǎn)的切線平行，證明它們在對應(yīng)點(diǎn)的主法線以及副法線也互相平行。 證 設(shè)曲線：=與：

4、點(diǎn)s與一一對應(yīng)，且對應(yīng)點(diǎn)的切線平行，則=, 兩端對s求微商得, 即，(這里k0，若k=0，則無定義)，所以，即主法線平行，那么兩曲線的副法線也平行。浙江師范大學(xué)微分幾何考試模擬卷（B卷）說明：考生應(yīng)有將全部答案寫在答題紙上，否則作無效處理一、判斷題（正確打，錯誤打×）（每小題2分，共10分）1、保角變換一定是等距變換 ()2、空間曲線的位置和形狀由曲率與撓率唯一確定. ()3、坐標(biāo)曲線網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是，這里是第一基本量()4、高斯曲率恒為零的曲面必是可展曲面.()5、測地曲率是內(nèi)蘊(yùn)量 ()1. ´2. ´，34. Ö 5. Ö二、填空題（

5、每空3分共30分）1、 已知，則，2、已知曲面，則它的第一基本形式為 ，第二基本形式為 ，高斯曲率 ，平均曲率 ，點(diǎn)處沿方向的法曲率 ，點(diǎn)處的兩個主曲率分別為 .三、計算題（每小題12分共36分）1、求曲面的漸近曲線.解 設(shè)則，因漸近曲線的微分方程為即或漸近曲線為或2、 已知曲面的第一基本形式為，求坐標(biāo)曲線的測地曲率.解 ，u-線的測地曲率v-線的測地曲率3、求曲線 的曲率和撓率：解：因為，所以，四、證明題（每小題12分，共24分）1. 設(shè)空間兩條曲線和的曲率處處不為零，若曲線和可以建立一一對應(yīng)，且在對應(yīng)點(diǎn)的主法線互相平行，求證曲線和在對應(yīng)點(diǎn)的切線夾固定角.證設(shè)，則由知，從而，即這表明曲線和在

6、對應(yīng)點(diǎn)的切線夾固定角. 2. 給出曲面上一條曲率線，設(shè)上每一點(diǎn)處的副法向量和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角. 求證是一條平面曲線.證設(shè)，其中是的自然參數(shù)，記，則，兩邊求導(dǎo)，得， 由為曲率線知，即， 因此 . 若，則為平面曲線； 若，則因為曲面上的一條曲率線，故. 而，所以，即為常向量.于是為平面曲線. 浙江師范大學(xué)微分幾何考試模擬卷（C卷）說明：考生應(yīng)有將全部答案寫在答題紙上，否則作無效處理一、判斷題(正確的在題后括號內(nèi)打“”，錯的打“×”。每小題2分，共10分)1. 曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件為L=N=0.()2. 曲面上曲率線網(wǎng)一定存在.()3.存在第一類基本量E=1，F(xiàn)=-

7、3，G=3的曲面 ()4.高斯曲率與第二基本形式有關(guān)，不是內(nèi)蘊(yùn)量。()5.曲面上的直線一定是測地線。()1、×，2，3×，4×，5二、填空題(每小題3分，共15分)1.向量函數(shù)r=r(t)具有固定長的充要條件是_。2.曲線r=r(t)的撓率是_。3.曲面上曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件_。4.直紋曲面的高斯曲率值滿足_。5.球面上的測地線是_。1、，2、，3、L=N=0，4、， 5、大圓。三、計算題（每小題10分共50分）1、求曲線= t,t,t在原點(diǎn)的密切平面、法平面、從切面、切線、主法線、副法線。解 原點(diǎn)對應(yīng)t=0 ,(0)=+t,- t,+t=0,1,1，2+

8、 t,- t,2+t =2,0,2 ，所以切線方程是 ，法面方程是 y + z = 0 ；密切平面方程是=0 ，即x+y-z=0 ，主法線的方程是 即 ；從切面方程是2x-y+z=0 ,副法線方程式2、求曲面z=axy上坐標(biāo)曲線x=x ,y=的交角.解 曲面的向量表示為=x,y,axy, 坐標(biāo)曲線x=x的向量表示為= x,y,axy ，其切向量=0，1，ax；坐標(biāo)曲線y=的向量表示為=x , ,ax，其切向量=1，0，a，設(shè)兩曲線x=x與y=的夾角為，則有cos=3、 求曲面的漸近線.解：曲面的向量表示為,.漸近線的微分方程為,即一族為dy=0, 即,為常數(shù). 另一族為2ydx=-xdy, 即

9、.4、確定拋物面z=a()在（0，0）點(diǎn)的主曲率.解 曲面方程即， ， 。在（0，0）點(diǎn),E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以-4a+4=0 ，兩主曲率分別為 = 2 a ,= 2 a .5、求曲面上的曲率線的方程.解 M=,N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是: .四、 證明題(第1小題5分，2、3小題各10分，共25分)1、證明極小曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn).證： 由H=0有=0或=-0 .若=0,則沿任意方向,=0 ,即對于任意的du:dv ,所以有L=M=N=0,對應(yīng)的點(diǎn)為平點(diǎn).若=-0,則K=<0 ,即LN-M<0,對應(yīng)的點(diǎn)為雙曲

10、點(diǎn).2、證明如果曲線的所有切線都經(jīng)過一的定點(diǎn)，則此曲線是直線。證：取定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐標(biāo)系，曲線的方程設(shè)為，則曲線在任意點(diǎn)的切線方程是，由條件切線都過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，可見，所以具有固定方向，故是直線3、證明曲面=是可展曲面.證： 已知曲面方程可改寫為=+v，令=，=，則=+ v，且0，這是直紋面的方程 ，它滿足=0 ,所以所給曲面為可展曲面。浙江師范大學(xué)微分幾何考試模擬卷（D卷）說明：考生應(yīng)有將全部答案寫在答題紙上，否則作無效處理一、判斷題(正確的在題后括號內(nèi)打“”，錯的打“×”。每小題2分，共10分)1.在空間曲線的非逗留點(diǎn)處，密切平面存在且唯一。 ( )2.空間曲線的曲率與撓率完

11、全確定了空間曲線的形狀與位置。 ( )3.在曲面的非臍點(diǎn)處，最多有二個漸近方向。 ( )4.LN-M2不是內(nèi)蘊(yùn)量。 ( )5.高斯曲率恒為零的曲面一定是可展的。 ( )1、，2、×，3，4、×，5、二、填空題（每小題3分，共15分）1.曲線r=r(s)的曲率定義是_。2.空間曲線為一般螺線的充要條件是它的副法向量_。3.曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件是_。4.坐標(biāo)網(wǎng)是漸近線網(wǎng)的充要條件是。5.平面上的測地線一定是_。1、，2、與一固定方向成定角，3、M=0，4、L=N=0，5、直線。三、計算題(每小題12分，共48分)1、求雙曲面z=axy上的曲率線.解： N=0 .

12、由=0得,積分得兩族曲率線為.2、求第一基本形式為的曲面高斯曲率 。 證： 因為 ，所以=-=4c3、將圓柱螺線=a，a，b化為自然參數(shù)表示。解 = -a,a,b，s = ，所以，代入原方程得=a, a, 4、求曲線x=1+3t+2,y=2-2t+5,z=1-的撓率，并求出它所在的平面方程 。證 =3+4t,-+10t,-2t，=4，10，-，0，0曲線的撓率是，所以曲線為平面曲線。曲線所在平面是曲線在任一點(diǎn)的密切平面。對于=0,有 =,，=3,-,0，=4，10，-，0，0。所以曲線的密切平面，即曲線所在平面是即2x+3y+19z270四、 證明題(每小題各9分，共27分)1、證明不存在曲面

13、，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.證 若存在曲面滿足題設(shè)條件，則所給E,F,G,L,M,N 必須滿足在正交坐標(biāo)網(wǎng)下的GCM公式，但，所以不滿足高斯公式，故不存在滿足題設(shè)條件的曲面。2、證明曲面=cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v是可展曲面。證： 曲面的方程可改寫為 =+ u，其中=cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v，=-sinv, cosv,1 ，易見0，所以曲面為直紋面，又因為=0，所以所給曲面為可展曲面3、 證明在曲面上的給定點(diǎn)處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證 曲面上的給定點(diǎn)處兩主曲率分別為、，任給一方向及與其

14、正交的方向+，則這兩方向的法曲率分別為， ，即為常數(shù)。浙江師范大學(xué)微分幾何考試模擬卷（E卷）說明：考生應(yīng)有將全部答案寫在答題紙上，否則作無效處理一、判斷題(正確的在題后括號內(nèi)打“”，錯的打“×”。每小題2分，共10分)1.曲線=(s)為一般螺線的充要條件為(,)=0 ( )2.主法向量正向總是指向曲線凹入的方向。 ( )3.不存在兩條不同曲線,使得一條曲線的主法線都是另一曲線的主法線。( )4.曲面上平點(diǎn)對應(yīng)的杜邦指標(biāo)線是一條直線。 ( )5.每一個可展曲面或是柱面,或是錐面,或是一條曲線的切線曲面。 ( )1、，2、，3、×，4×，5、二、填空題(每小題3分，共

15、15分)1、當(dāng)曲線參數(shù)是自然參數(shù)時，它的一階導(dǎo)向量的長度是_。2、螺旋線在點(diǎn)（1,0,0）處的單位切向量是_，法平面方程是_。3、設(shè)為曲面上曲線，點(diǎn)P在上，在P點(diǎn)的測地曲率為1，又在P點(diǎn)沿切方向的法曲率為2，則在P點(diǎn)的曲率為。4、曲面的第一、二、三基本形式的關(guān)系是。1、12、，3、4、三、計算題（每小題12分共48分）1、計算拋物面在原點(diǎn)的第一基本形式,第二基本形式.解 曲面的向量表示為, , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,I=, II=.2、 求出拋物面在(0,0)點(diǎn)沿方向(dx:dy)的法曲率.解 ,E=1,F=0,G=1,L=a,

16、M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率3、確定拋物面z=a()在（0，0）點(diǎn)的主曲率.解 曲面方程， 。在（0，0）點(diǎn),E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以-4a+4=0 ，兩主曲率分別為 = 2 a ,= 2 a .4、在xoz 平面上去圓周y = 0,并令其繞軸旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)面,參數(shù)方程為 =(b+acos)cos , (b+acos)sin , asin,求圓環(huán)面上的橢圓點(diǎn)、雙曲點(diǎn)、拋物點(diǎn)。 解： E=, F=0 , G=, L = a, M=0, N=cos(b+acos), LN -=a cos(b+acos), 由于b> a > 0 , b+

17、acos > 0,所以LN -的符號與cos的符號一致,當(dāng)0<和 <<2時, LN ->0 ,曲面上的點(diǎn)為橢圓點(diǎn)，即圓環(huán)面外側(cè)的點(diǎn)為橢圓點(diǎn)；當(dāng)-<<，曲面上的點(diǎn)為雙曲點(diǎn), 即圓環(huán)面內(nèi)側(cè)的點(diǎn)為雙曲點(diǎn)；當(dāng)=或 時，LN -=0，為拋物點(diǎn)，即圓環(huán)面上、下兩緯圓上的點(diǎn)為拋物點(diǎn)。四、 證明題(每小題9分，共27分)1、如果兩曲線在對應(yīng)點(diǎn)有公共的副法線，則它們是平面曲線。證 ：設(shè)一曲線為：，則另一曲線的表達(dá)式為： ，為曲線在點(diǎn)s的主法向量，也應(yīng)為在對應(yīng)點(diǎn)的副法線的方向向量。與正交，即·，于是，為常數(shù)。，k（k）也與正交，即·-=0,而,所以有，

18、曲線為平面曲線。同理曲線為平面曲線。2、證明曲線為一般螺線的充要條件為證：，其中k0.曲線為一般螺線的充要條件為 為常數(shù),即=0,也就是 。3、若曲線的主法線是曲線的副法線，的曲率、撓率分別為，求證，其中是常數(shù)。證明：設(shè)曲線，曲線。在的主法線與在的副法線重合，則。于是有，。因為，于是，上式兩邊點(diǎn)乘，可得，從而是常數(shù)。設(shè)，則。上式兩邊對求微商，可得。上式兩邊點(diǎn)乘，可得，即 。浙江師范大學(xué)微分幾何考試模擬卷（F卷）說明：考生應(yīng)有將全部答案寫在答題紙上，否則作無效處理一、判斷題(正確的在題后括號內(nèi)打“”，錯的打“×”。每小題2分，共10分)1.橢圓的曲率和撓率特征為k=1,=0。 ()2.

19、若曲線的所有切線都經(jīng)過定點(diǎn),則該曲線一定是直線.()3.球面曲線的主法線必過球心()4.曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件為L=N=0.()5. 曲面上的漸進(jìn)網(wǎng)一定存在.()二、填空題(每小題3分，共15分)1.向量函數(shù)平行于固定平面的充要條件是_.2._是空間曲線的切向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度.3.以杜邦(Dupin)指標(biāo)線為分類標(biāo)準(zhǔn),曲面上的點(diǎn)分為橢圓點(diǎn),雙曲點(diǎn),_,平點(diǎn).4.曲面上一點(diǎn)的主曲率是曲面在這點(diǎn)所有方向的_的最大值和最小值.5.曲面的第三基本形式是它的_的第一基本形式.三、計算題（每小題10分，共50分）1、求三次曲線在點(diǎn)的切線和法平面。解 ，切線為，法平面為 。2、求球面=上任

20、意點(diǎn)的切平面和法線方程。解： ，=任意點(diǎn)的切平面方程為即 xcoscos+ycossin+zsin-a=0 ；法線方程為 。3、設(shè)曲面的第一基本形式為I =，求它上面兩條曲線u+v=0,uv=0的交角。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量，曲線u+v=0與uv=0的交點(diǎn)為u=0,v=0,交點(diǎn)處的第一類基本量為，。曲線u+v=0的方向為du=-dv,uv=0的方向為u=v, 設(shè)兩曲線的夾角為，則有cos=。4、求正交網(wǎng)的坐標(biāo)曲線的測地曲率。解： 因為坐標(biāo)網(wǎng)是正交的，所以F=0，故，而對u-曲線來說，=0，故，對v-曲線來說，= ，所以。5、求雙曲面z=axy上的曲率線.解： N=0 .由

21、得,積分得兩族曲率線為四、證明題（第1小題5分，2、3小題各10分，共25分）1、求證：如果測地線同時為漸近線，則它是直線；證 因為所給曲線是測地線，所以； 又因為所給曲線是漸近線，所以，而 ，所以k=0，故所給曲線是直線。2證明正螺面=vcosu,vsinu,au+b(a0)不是可展曲面。證：原曲面的方程可改寫為 =+ v，其中=0,0,au+b,=cosu,sinu,0.易見0, 所以曲面為直紋面, 又因為=a0.故正螺面不是可展曲面。3、 如果兩曲線在對應(yīng)點(diǎn)有公共的副法線，則它們是平面曲線。證： 設(shè)一曲線為：，則另一曲線的表達(dá)式為： ，為曲線在點(diǎn)s的主法向量，也應(yīng)為在對應(yīng)點(diǎn)的副法線的方向

22、向量。與正交，即·，于是，為常數(shù)。，k（k）也與正交，即·-=0,而,所以有，曲線為平面曲線。同理曲線為平面曲線浙江師范大學(xué)微分幾何考試模擬卷（G卷）說明：考生應(yīng)有將全部答案寫在答題紙上，否則作無效處理一、判斷題(正確的在題后括號內(nèi)打“”，錯的打“×”。每小題2分，共10分)1.在光滑曲線的正常點(diǎn)處，切線存在而且唯一。() 2.圓的曲率、撓率特征是：k=常數(shù)，=0。() 3.在曲面的非臍點(diǎn)處，有且僅有二個主方向。() 4.高斯曲率 與第二基本形式有關(guān)，不是內(nèi)蘊(yùn)量。()5.曲面上連接兩點(diǎn)的最短線一定是測地線。()1,2×,3,4×,5×

23、.二、填空題(每小題3分，共15分)1.曲面上曲線的弧長是_不變量。2.球極投影給出（除北極外）到平面的一個變換是_變換。3. 圓的曲率和撓率特征為_。4. 曲率恒等于0的曲線是_。5. 在曲面上的任意點(diǎn)，主方向的數(shù)目總為_。1等距，2保角，3 k=大于零的常數(shù)，=0，4直線，5。2三、計算題(每小題12分，共48分)1、求曲線在平面與y = 9a之間的弧長。解：曲線的向量表示為，曲面與兩平面與y = 9a的交點(diǎn)分別為x=a 與x=3a ,，所求弧長為。2、在曲線x=coscost,y=cossint,z=tsin的副法線的正向取單位長，求其端點(diǎn)組成的新曲線的密切平面。解： = -cossin

24、t, coscost, sin ,= -coscost,-cossint ,0sinsint ,- sincost , cos 新曲線的方程為= coscost + sinsint ，cossint- sincost ，tsin + cos 對于新曲線=-cossint+ sincost ，coscost+sinsint，sin =sin(-t), cos(-t), sin ,=-cos(-t), sin(-t),0 ,其密切平面的方程是3求正螺面=ucosv,usin,av上的測地線。解：易計算出E=1，F(xiàn)=0，G=，所以測地線的微分方程化為，對第一式積分得（常數(shù)）。于是，將此式代入第二式并

25、積分，則得所求測地線為 。4、求曲面上的曲率線的方程.解 可算得M=,N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是: .四、證明題(每小題9分，共27分)1. 證明如果一條曲線的所有法平面包含常向量，那么曲線是直線或平面曲線。證 ：根據(jù)已知，若是常向量，則k=0 ，這時曲線是直線。否則在兩邊微分得·=，即k·=,所以·=，又因，所以，而為單位向量，所以可知為常向量，于是，即，此曲線為平面曲線。2、證明過原點(diǎn)平行于圓柱螺線=a，a，b的副法線的直線軌跡是錐面.證 =-a,a, ,=-a,-a,0 ，×=為副法線的方向向量，過原點(diǎn)平行于副法線的直線的方程

26、是 ，消去參數(shù)t得。3、 證明一條曲線的所有切線不可能同時都是另一條曲線的切線。證 設(shè)曲線與在對應(yīng)點(diǎn)有公共的切線，且的表達(dá)式為： ，則：，其切向量為k應(yīng)與平行，所以k，從而曲線為直線。同理曲線為直線，而且是與重合的直線。所以作為非直線的兩條不同的曲線不可能有公共的切線。浙江師范大學(xué)微分幾何考試模擬卷（H卷）說明：考生應(yīng)有將全部答案寫在答題紙上，否則作無效處理一、判斷題(判斷下列各小題，正確的在題后括號內(nèi)打“”，錯的打“”。每小題2分，共10分)1、在空間曲線的非逗留點(diǎn)處，密切平面存在且唯一。 ( )2、在曲面的非臍點(diǎn)處，有且僅有二個主方向。 ( )3、存在第一類基本量E=1，F(xiàn)=3，G=3的曲