參數(shù)方程化成普通方程

1、§3參數(shù)方程化成普通方程1.了解參數(shù)方程化成普通方程的意義.2.掌握參數(shù)方程化成普通方程的基本方法.(重點(diǎn))3.能夠利用參數(shù)方程化成普通方程解決有關(guān)問(wèn)題.(難點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理參數(shù)方程化為普通方程參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的兩種不同形式，普通方程用代數(shù)式直接表示點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；參數(shù)方程是借助于參數(shù)間接地反映點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系.兩者之間可以互化，將參數(shù)方程化成普通方程的常用方法有：(1)代數(shù)法消去參數(shù)代入法：從參數(shù)方程中選出一個(gè)方程，解出參數(shù)，然后把參數(shù)的表達(dá)式代入另一個(gè)方程，消去參數(shù)，得到曲線的普通方程.代數(shù)運(yùn)算法：通過(guò)乘、除、乘方等運(yùn)算把參數(shù)方程中的方程適當(dāng)?shù)刈?/p>

2、形，然后把參數(shù)方程中的兩個(gè)方程進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，消去參數(shù)，得到曲線的普通方程.(2)利用三角恒等式消去參數(shù)如果參數(shù)方程中的x，y都表示為參數(shù)的三角函數(shù)，那么可以考慮用三角函數(shù)公式中的恒等式消去參數(shù)，得到曲線的普通方程.填空：(1)將參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程是_.(2)將參數(shù)方程(為參數(shù))化為普通方程是_.(3)將參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程是_.【解析】(1)把tx代入得y2x即普通方程為y2x.(2)由sin2 cos2 1得x2y21.(3)由得ty1，代入得x2(y1)2.【答案】(1)y2x(2)x2y21(3)x2(y1)2質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并

3、與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解惑： 小組合作型把曲線的普通方程化為參數(shù)方程根據(jù)所給條件，把曲線的普通方程化為參數(shù)方程.(1)1，xcos 1.(為參數(shù))(2)x2yx10，xt1.(t為參數(shù))【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)題目要求代入可求解.【自主解答】(1)將xcos 1代入1得y2sin .(為參數(shù)).這就是所求的參數(shù)方程.(2)將xt1代入x2yx10得yx2x1(t1)2t11t23t1，(t為參數(shù)).這就是所求的參數(shù)方程.普通方程化為參數(shù)方程時(shí)，選取參數(shù)后，要特別注意參數(shù)的取值范圍，它將決定參數(shù)方程是否與普通方程等價(jià).參數(shù)的選取不同，得到的參數(shù)方程是不同的

4、.如本例(2)，若令xtan (為參數(shù))，則參數(shù)方程為(為參數(shù)).再練一題1.求xy1滿足下列條件的參數(shù)方程.(1)xt(t0)；(2)xtan .【解】(1)將xt代入xy1得t·y1.t0，y，(t為參數(shù)，t0).(2)將xtan 代入xy1得y，(為參數(shù)，kZ).探究共研型將參數(shù)方程化為普通方程的方法探究1下面將參數(shù)方程(t為參數(shù))，化成普通方程的過(guò)程是否正確？為什么？解：由x1，得x1，代入y12，得y2x3.這是一條過(guò)點(diǎn)(0,3)，且斜率為2的直線.【提示】解析過(guò)程不正確，因?yàn)闆](méi)有考慮x是有范圍的，即x11.探究2將參數(shù)方程化成普通方程應(yīng)注意什么？怎么來(lái)做？【提示】將參數(shù)方

5、程化成普通方程，應(yīng)注意，消參過(guò)程中要求不減少也不增加曲線上的點(diǎn)，即要求參數(shù)方程和消去參數(shù)后的普通方程是等價(jià)的；消參前必須是根據(jù)參數(shù)的取值范圍確定f(t)和g(t)的值域，從而得到x，y的取值范圍.探究3把參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，常用哪些方法？【提示】消去參數(shù)的方法一般有三種：(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式，然后代入消去參數(shù)；(2)利用三角恒等式消去參數(shù)；(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，選用一些靈活的方法從整體上消去參數(shù).將下列參數(shù)方程化成普通方程，并說(shuō)明方程表示的曲線.(1)(t為參數(shù))；(2)(a，b為大于零的常數(shù)，t為參數(shù)).【精彩點(diǎn)撥】(1)可用代入法；(2)可用代數(shù)運(yùn)算法.【

6、自主解答】(1)由已知t，代入y4t中，得4x3y40，它就是所求的普通方程，它表示的是一條直線.(2)x，t0時(shí)，xa，)，t0時(shí)，x(，a.由x，兩邊平方可得x2，由y兩邊平方可得y2，并化簡(jiǎn)，得1，這就是所求的曲線方程，它表示的曲線是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.將不含三角函數(shù)的參數(shù)方程化成普通方程時(shí)，若兩個(gè)方程中其中一個(gè)可以解出參數(shù)t，則用代入法消參，否則用代數(shù)運(yùn)算法消參.再練一題2.把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說(shuō)明它們各表示什么曲線.(1)(t0，t為參數(shù))；(2)(t是參數(shù)且ab0).【解】(1)由解得ty1，代入中，得x4(y1)2(y1)，即(y1)2x(y1).方程表示

7、的曲線是頂點(diǎn)為(0,1)，對(duì)稱軸平行于x軸，開(kāi)口向左的拋物線的一部分.(2)由已知可得22得1(ab0，xa)，這就是所求的普通方程，方程表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(去掉左頂點(diǎn)).將下列參數(shù)方程化為普通方程，并說(shuō)明方程表示的曲線.(1)(t為參數(shù)，0t)；(2)(為參數(shù)).【精彩點(diǎn)撥】(1)利用sin2tcos2t1消參；(2)cos 212sin2消參.【自主解答】(1)0t，1cos t1，0sin t1.3x5，2y2，(x1)2(y2)216cos2t16sin2t16.(x1)2(y2)216(3x5，2y2)，它表示的曲線是以(1，2)為圓心，半徑為4的上半圓.(2)由y1co

8、s 2，可得y2sin2，把sin2x2代入y2sin2，可得y2(x2)，即2xy40.又2x2sin23，所求的方程是2xy40(2x3)，它表示的是一條線段.對(duì)于含有三角函數(shù)的參數(shù)方程化成普通方程問(wèn)題，常聯(lián)想三角恒等式，利用三角變換消去參數(shù)，而得到其普通方程，但應(yīng)注意x，y的取值范圍.再練一題3.已知某條曲線C的參數(shù)方程為(其中t是參數(shù)，aR)，點(diǎn)M(5,4)在該曲線上.(1)求常數(shù)a；(2)求曲線C的普通方程.【解】(1)由題意，可知故所以a1.(2)由已知及(1)可得，曲線C的方程為由第一個(gè)方程，得t，代入第二個(gè)方程，得y2，即(x1)24y為所求.構(gòu)建·體系1.曲線(為參

9、數(shù))的一條對(duì)稱軸的方程為()A.y0B.xy0C.xy0D.2xy0【解析】曲線(為參數(shù))的普通方程為(x1)2(y2)24，圓心C的坐標(biāo)為(1,2)，過(guò)圓心的直線都是圓的對(duì)稱軸，故選D.【答案】D2.與普通方程x2y10等價(jià)的參數(shù)方程為()A.(t為參數(shù))B.(t為參數(shù))C.(t為參數(shù))D.(t為參數(shù))【解析】A化為普通方程為x2y10，x1,1，y0,1.B化為普通方程為x2y10，x1,1，y0,1.C化為普通方程為x2y10，x0，)，y(，1.D化為普通方程為x2y10，xR，y(，1.【答案】D3.若曲線(為參數(shù))，則點(diǎn)(x，y)的軌跡是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：12990028】【解析】x1cos 21(12sin2)22y，x2y20.又x1cos 20,2，ysin20,1.點(diǎn)(x，y)的軌跡是以(2,0)和(0,1)為端點(diǎn)的線段.【答案】以(2,0)和(0,1)為端點(diǎn)的線段4.參數(shù)方程(為參數(shù))化成普通方程為_(kāi).【解析】(為參數(shù))，(為參數(shù)).22得x2(y1)21，此即為所求普通方程.【答案】x2(y1)215.指出下列參數(shù)方程表示什么曲線.(1)(0)；(2)