18-19第2章21214數(shù)乘向量

1、2.1.4數(shù)乘向量學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握數(shù)乘向量的定義并理解其幾何意義.(重點(diǎn))2.理解數(shù)乘向量的運(yùn)算律.(重點(diǎn))3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.(難點(diǎn))自主預(yù)習(xí)探新知(1) 數(shù)乘向量定義：實(shí)數(shù)入和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作入&且入a的長(zhǎng)度|入h=JLUai.若a0,當(dāng)。0時(shí)，入a的方向與a的方向相同;當(dāng)W0時(shí)，入a的方向與a的方向相反.當(dāng)日0或a=0時(shí)，0a=0或Q=0.(2) 幾何意義：把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮小.(3) 運(yùn)算律： 設(shè)入11為實(shí)數(shù),則(2d-ja入以a")=(Ala;ga+b)=入折入價(jià)配律).向量的線性運(yùn)算向量的加法、減法和數(shù)乘向量

2、的珠合運(yùn)算，通常叫做向量的線性運(yùn)算.思考：數(shù)乘向量與實(shí)數(shù)的乘法有什么區(qū)別？提示(1)數(shù)乘向量與實(shí)數(shù)的乘法是有區(qū)別的，前者的結(jié)果是一個(gè)向量，后者的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù).特別要注意口0時(shí)，入鏟0,此處最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是將實(shí)數(shù)0與0混淆，錯(cuò)誤地表述成入鏟0.要注意實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如入+a,卜a是無法運(yùn)算的.基礎(chǔ)自測(cè)判斷(正確的打“/”，錯(cuò)誤的打“x”)已知a,b是兩個(gè)非零向量.寸2a的方向與a的方向相同，且也a的模是a的模的也倍.()1一3a的萬(wàn)向與6a的萬(wàn)向相反，且一3a的模是6a的模的-.()4a與4a是一對(duì)相反向量.()ab與一(ba)是一對(duì)相反向量.()若a,b不共線，W

3、J0a與b不共線.()解析(1).事>0,瞻a與a同向,|.2a|=,2|a|,J2a的模是a的模的艘倍.一3<0,3a與a方向相反且|3a|=3|a|,乂.6>0,.6a與a方向相同且16a|=6|a|,1-3a與6a萬(wàn)向相反且模是6a的模的分.(2) 由數(shù)乘定義和相反向量定義可知.a-b與b-a是相反向量，-a-b與一(b-a)是相等向量.(4) 0a=0,.0a與b共線.1. 答案(1)VV(3)Vx(5)X(2ab)(2a+b)等丁()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402061a-2bB.2bC.0D.b-aB原式2a2abb2b.若a=e1+2e2,b=e一2e2,貝U2a3b=.

4、解析2a3b=2(e1+2e2)3(e12e2)=2e1+4e2-3e1+6&=e1+10e2.答案一e+10e2合作探究攻重難數(shù)乘向量的概念例康(1)若兩個(gè)非零向量a與(2x1)a方向相同，則x的取值范圍為.(2) 一，一一一12iAB|若平面內(nèi)不共線的四點(diǎn)O,A,B,C滿足OB=?OA+OC,貝"呼=33才|BC|已知點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上(在B點(diǎn)右側(cè))，且AB:AC=2:3. T，一T一T，一T用BC表小AB;用CB表小AC.思路探究根據(jù)數(shù)乘向量的定義運(yùn)算求解.1解析(1)由定義可知，2x1>0,即x>1.一,T1T2T一一TT1T2TT一T2因?yàn)镺B=弓

5、OA+三OC,所以O(shè)BOA=三OA+§OCOA,即AB=三AC,33333所以扁|=2AC|,一一m一，11三6同理可得|CB|=3|CA|,建得曾=2.|CB|1，答案(1)x>2(2)2如圖a,因?yàn)辄c(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，且AB:AC=2:3,所以AB=2BC,AC=3BC. 如圖b,向量AB與BC方向相同，所以AB=2BC;”一，一T.T、.一一一TT如圖c,向量AC與CB萬(wàn)向相反，所以AC=3CB.規(guī)律方法對(duì)數(shù)乘運(yùn)算的理解，關(guān)鍵是對(duì)系數(shù)入的作用的認(rèn)識(shí):知0時(shí)，入占a同向，模是|a|的入倍；K0時(shí)，入占a反向，模是|a|的一入倍；口0時(shí)，入鏟0.注意：當(dāng)口0或a=0時(shí)，

6、入鏟0.注意是0,而不是0.1. 跟蹤訓(xùn)練設(shè)a是非零向量，入是非零實(shí)數(shù)，判斷下列說法是否正確.a與入a的方向相反；|一入片a；,2(3)a與入a萬(wàn)向相同;|一2入尸2|4|a|.(1) 解由已知可得(1)若定0,WJa與一入州方向相同，故(1)錯(cuò)誤;實(shí)數(shù)與向量不能比較大小，故(2)錯(cuò)誤;(2) .2a與入a萬(wàn)向相同，故(3)正確；|-2入卜2|也|正確.向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)：(2a+3bc)(3a2b+c).已知向量a,b,x,且(xa)(bx)=x(a+b),貝Ux=.思路探究(1)可類比實(shí)數(shù)運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)方法化簡(jiǎn);(2)可類比解方程方法求解.解析(1)(2a+3bc)(3a2b+c)=2

7、a3a+3b+2bc-c=a+5b2c.(2)因?yàn)?xa)(bx)=x(a+b),所以2xab=xab,即：x=0.答案(1)a+5b-2c(2)0規(guī)律方法向量數(shù)乘運(yùn)算的方法：(1)向量的數(shù)乘運(yùn)算類似丁多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解代數(shù)方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算.1. 跟蹤訓(xùn)練化簡(jiǎn)："j2(2a+8b廣(4a2b)的結(jié)果是()A.2abB.2baC.ba

8、D.ab_、11B原式=o(a+4b4a+2b)=；(6b-3a)=2ba.33向量的線性運(yùn)算在平面幾何中的應(yīng)用探究問題怎樣理解入刪幾何意義?2. 提示入a的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小為原來的如何用已知向量表示所求向量？提示在向量的線性運(yùn)算中，用已知向量表示所求向量，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，結(jié)合圖形的有關(guān)性質(zhì)及聯(lián)想到相關(guān)的法則來求.如圖2-1-38所示，已知？ABCD的邊BC,CD上的中點(diǎn)分別為K,L,且AK=ei,AL=62,試用ei,e2表小BC,CD.圖2-1-38.TT思路探究解答本題可先將BC,CD視為未知量，再利用已知條件找等量關(guān)系,.TT列萬(wàn)

9、程（組），通過解萬(wàn)程（組）求出BC,CD.解設(shè)bC=x,CD=y,則bK=；x,dL=2y.由AB+BK=AK,AD+DL=AL得,1-y+2x=ei,1. 1x-?y=62,1用一2乘以與相加得x2x=e12e2,解得x=|（2e2-e1）,即BC=f（2e2-e），33同理得y=2（-2e+&）,即cD=-4e1+2e2.333規(guī)律方法由已知向量表示未知向量時(shí)，要善丁利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律，還應(yīng)重視平面幾何定理的應(yīng)用.2. 當(dāng)用已知向量表示未知向量比較困難時(shí)，應(yīng)考慮方程思想，利用方程的觀點(diǎn)進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練一，一一、，一，I，I，、一T1T已知任意四

10、邊形ABCD中，E,F分別是AD,BC的中點(diǎn).求證：EF=頂AB+一DC).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402062!證明取以點(diǎn)A為起點(diǎn)的向量，應(yīng)用三角形法則求證，如圖.E為AD的中點(diǎn)，.a!=拉F是BC的中點(diǎn)，1TTAF=2(AB+AC).一一一一乂.AC=AD+DC,1TTT1TT1TAF=2(AB+AD+DC)=2(AB+DC)+扣，TTT1TT1T1T1TTEF=AFAE=2(AB+DC)+ADAD=(AB+DC).當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基 1.下列各式中不表示向量的是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402063】0aa+3b|3a|D/-1-e(x,y£R,且x手y)xyC向量的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果仍為向量，顯然只有|

11、3a|不是向量.2.下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是()(3)2a=6a；2(a+b)(2ba)=3a；(a+2b)(2b+a)=0.A.0B.1C.2D.3C因?yàn)椋?）2a=6a,故正確；中左邊=2a+2b2b+a=3a成立，故正確；中左邊=a+2b2ba=0丈0,故錯(cuò)誤.1將衫2(23+8b)4(4a-2b)化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)式為()A.2abB.2baC.abD.ba111442.B原式=z(2a+8b)司(4a2b)=,a+qb孕+,b=a+2b.6333333. 一一，一一',一一，一一工一I.,_-O為平行四邊形ABCD的中心,AB=4e1,BC=6e2，見J3e2-2e1=.解析設(shè)點(diǎn)E為平行四邊形ABCD的邊BC的中