動力學(xué)中的臨界極值問題

1、動力學(xué)中的臨界極值問題臨界和極值問題是物理中的常見題型，結(jié)合牛頓運動定律求解的也很多，臨界是一個特殊的轉(zhuǎn)換狀態(tài)，是物理過程發(fā)生變化的轉(zhuǎn)折點。分析此類問題重在找臨界條件，常見的臨界條件有：1. 細線：拉直的臨界條件為T=0，繃斷的臨界條件為 T=Tmax2. 兩物體脫離的臨界條件為：接觸面上的彈力為零3. 接觸的物體發(fā)生相對運動的臨界條件為：靜摩擦力達到最大靜摩擦臨界或極值條件的標志有些題目中有“剛好”、“恰好”、“正好”等字眼，明顯表明題述的過程存在著臨界點；(2) 若題目中有“取值范圍”、“多長時間”、“多大距離”等詞語，表明題述的過程存在著“起止點”，而這些起止點往往就對應(yīng)臨界狀態(tài)；(3)

2、 若題目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明題述的過程存在著極值，這個極值點往往是臨界點；(4) 若題目要求“最終加速度”、“穩(wěn)定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度.例 3(2013 山東22)如圖5所示，一質(zhì)量 m= 0.4 kg的小物塊，以vo = 2 m/s的初速度，在與斜面成某一夾角的拉力F作用下，沿斜面向上做勻加速運動，經(jīng) t= 2s的時間物塊由 A點運動到B點，A、B之間的距離L = 10 m .已知斜面傾角 0= 30 °物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)尸.重力加速度g取10 m/s2.圖5(1) 求物塊加速度的大小及到達B點時速度的大小.(2) 拉力F

3、與斜面夾角多大時，拉力F最??？拉力F的最小值是多少？解析(1)設(shè)物塊加速度的大小為a，到達B點時速度的大小為 v，由運動學(xué)公式得L = vot + at2v = V0 + at聯(lián)立式，代入數(shù)據(jù)得a = 3 m/s2v = 8 m/s(2)設(shè)物塊所受支持力為Fn，所受摩擦力為Ff，拉力與斜面間的夾角為Fcos a mgsin 0 Ff = maFsin a+ Fn mgcos 0= 0聯(lián)立式得由數(shù)學(xué)知識得cos a+ sin a= sin(60 + a由式可知對應(yīng)最小 F的夾角a= 30聯(lián)立式，代入數(shù)據(jù)得 F的最小值為F min = N答案 (1)3 m/s28 m/s (2)30 °

4、 N規(guī)律總結(jié)動力學(xué)中的典型臨界條件Fn = 0.(1)接觸與脫離的臨界條件：兩物體相接觸或脫離，臨界條件是：彈力(2) 相對滑動的臨界條件：兩物體相接觸且處于相對靜止時，常存在著靜摩擦力，則相對滑動的臨界條件是：靜摩 擦力達到最大值.(3) 繩子斷裂與松馳的臨界條件：繩子所能承受的張力是有限度的，繩子斷與不斷的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力，繩子松馳的臨界條件是：Ft= 0.加速度變化時，速度達到最值的臨界條件：當加速度變?yōu)榱銜r.如圖突破訓(xùn)練36所示，水平地面上放置一個質(zhì)量為m的物體，在與水平方向成0角、斜向右上方的拉力 F的作用下沿水平地面運動物體與地面間的動摩擦因數(shù)為卩，重力加

5、速度為 g.求：圖6(1)若物體在拉力F的作用下能始終沿水平面向右運動且不脫離地面，拉力F的大小范圍；已知m= 10 kg，尸0.5，g= 10 m/s2，若F的方向可以改變，求使物體以恒定加速度a= 5 m/s2向右做勻加速直線運動時，拉力 F的最小值.答案 < F <(2)40N解析 (1)要使物體運動時不離開水平面，應(yīng)有： Fsin ew mg要使物體能一直向右運動，應(yīng)有：Fcos 0> Kmg Fsin 0)聯(lián)立解得：< F<根據(jù)牛頓第二定律得：Fcos 0- mg Fsin 0= ma解得：F =上式變形F =,其中 a sin 1，當sin( 0+ 0

6、)= 1時F有最小值解得：Fmin =,代入相關(guān)數(shù)據(jù)解得：Fmin = 40N.B組動力學(xué)中的臨界極值問題2 如圖所示，一質(zhì)量為 0.2kg的小球系著靜止在光滑的傾角為53。的斜面上，斜面靜止時，球緊靠在斜面上，繩與斜面平行，當斜面以 10m/s2加速度水平向右做勻加速直線運動時，求線對小球的拉力和斜面對小球的彈力.(g=10m/s2)3. (2007江蘇)如圖所示，光滑水平面上放置質(zhì)量分別為 m和2m的四個木塊，其中兩個質(zhì)量為 m的木塊間用一 不可伸長的輕繩相連，木塊間的最大靜摩擦力是卩mg現(xiàn)用水平拉力 F拉其中一個質(zhì)量為 2m的木塊，使四個木塊以同一加速度運動，則輕繩對 m的最大拉力為()

7、3 mg 3 mg 3 mg5 b.4 c.2 d. 3 mg例2.一根勁度系數(shù)為 k、質(zhì)量不計的輕彈簧上端固定，下端系一質(zhì)量為m的物塊，有一水平的木板將物塊托住，并使彈簧處于自然長度，如圖所示現(xiàn)讓木板由靜止開始以加速度a(a<g)勻加速向下移動，經(jīng)過多長時間木板與物塊分離？跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示，物體 A疊放在物體B 上, B置于光滑水平面上. A、B質(zhì)量分別為6.0kg和2.0kg，A、B 之間的動摩擦因數(shù)為 0.2.在物體A上施加水平方向的拉力 F,開始時F= 10N，此后逐漸增大，在增大到 45N的 過程中，以下判斷正確的是 ()A 兩物體間始終沒有相對運動B 兩物體間從受力開始就

8、有相對運動C .當拉力Fv 12N時，兩物體均保持靜止狀態(tài)D 兩物體開始沒有相對運動，當F> 18N時，開始相對滑動3如圖3- 3- 3所示，光滑水平面上放置質(zhì)量分別為m、2m的A、B兩個物體，A、B間的最大靜摩擦力為 卩mg現(xiàn)用水平拉力 F拉B，使A、B以同一加速度運動，則拉力F的最大值為()圖 3-3-3A.卩 mgB. 2 卩 mgC . 3 卩 mgD . 4 卩 mg【解析】 當A、B之間恰好不發(fā)生相對滑動時力 F最大，此時，對于A物體所 受的合外力為 卩mg由牛頓第二定律知aA= g；對于A、B整體，加速度a= aA =ag，由牛頓第二定律得F= 3ma= 3卩mg【答案】

9、C圖 3-3-44如圖3-3-4所示，一輕質(zhì)彈簧的一端固定于傾角 0= 30。的光滑斜面的頂端，另一端系有質(zhì)量 m= 0.5 kg的小 球，小球被一垂直于斜面的擋板擋住， 此時彈簧恰好為自然長度. 現(xiàn)使擋板以恒定加速度 a= 2 m/s2沿斜面向下運動(斜 面足夠長)，已知彈簧的勁度系數(shù) k = 50N/m，g取10 m/s2.(1) 求小球開始運動時擋板對小球的彈力的大小.(2) 求小球從開始運動到與擋板分離時彈簧的伸長量.(3) 判斷小球與擋板分離后能否回到原岀發(fā)點？請簡述理由.【審題指導(dǎo)】(1)初始時刻，彈簧處于自然長度，小球受重力和擋板的支持力.(2)球與擋板分離的臨界條件為二者之間作用力恰為零.【解析】(1)設(shè)小球受擋板的作用力為F1,因為開始時彈簧對小球作用力為零， 由牛頓第二定律得：mgin 0 F = maF1= 1.5N.(2)設(shè)小球受彈簧的拉力為F2，因為小球與擋板分離時