2022年1999考研數(shù)二真題及解析

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -1999年全國碩士爭論生入學統(tǒng)一考試數(shù)二試題一、填空題 此題共 5小題，每道題3分，滿分 15分；把答案填在題中橫線上；(1) 曲線x ety etsin 2t cost，在點0,1 處的法線方程為2(2) 設(shè)函數(shù) yyx由方程 lnxyx 3 ysinx 確定，就dydx x 0x5(3) 2dxx6x(4) 函數(shù) y132x在區(qū)間x21 ,322上的平均值為(5) 微分方程y4ye2 x 的通解為二、挑選題 此題共 5小題，每道題3分，滿分 15分；每道題給出得四個選項中，只有一個是符合題目要求的，把所選項前的字母填

2、在提后的括號內(nèi)；(1) 設(shè)f x1cos x ,xx0，其中 gx是有界函數(shù)，就f x 在 x0 處 x2 gx ,x0(A) 極限不存在 .(B) 極限存在，但不連續(xù).(C) 連續(xù)，但不行導(dǎo).(D) 可導(dǎo) .(2) 設(shè)x5 x sin t dt ,xsin x11tt dt，就當 x0 時x是x 的 0t0(A) 高階無窮小B 低階無窮小C同階但不等價的無窮小D 等價無窮小(3) 設(shè)f x 是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)x是f x 的原函數(shù)，就(A) 當f x 是奇函數(shù)時，F(xiàn)x必是偶函數(shù) .(B) 當f x 是偶函數(shù)時，F(xiàn)x必是奇函數(shù) .(C) 當f x 是周期函數(shù)時，F(xiàn)x必是周期函數(shù).(D) 當f x 是

3、單調(diào)增函數(shù)時，F(xiàn)x必是單調(diào)增函數(shù).(4) “對任意給定的0,1 ，總存在正整數(shù)N ， 當 nN 時，恒有 xna2”是數(shù)列xn精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 15 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -收斂于 a 的 (A) 充分條件但非必要條件.B 必要條件但非充分條件.C充分必要條件.D 既非充分條件又非必要條件.x2x1x2x35 記行列式2x22x3x33x 4x4x1 2x2 4x3 5x22x53x74x3 為 fx ，就方程fx 530 的根的個數(shù)為A 1.B

4、2.C 3.D 4.三、 此題滿分 5分求l i m1 t a nx1sxi nx0x l n1.xx2四、 此題滿分 6分a r c t axn運算1x2dx .五、 此題滿分 7分求初值問題yx2y2dxxdy0 x0的解 .y x 10六、 此題滿分 7分為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口見圖，已知井深30m 30m,抓斗自重 400 N , 纜繩每米重50 N，抓斗抓起的污泥重2000 N ，提升速度為3m / s ,在提升過程中，污泥以20 N / s的速度從抓斗縫隙中漏掉，現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口，問克服重力需作多少焦耳的功？說明： 1N1m1J; 其中

5、m, N , s, J 分別表示米，牛頓，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽視不計.七、 此題滿分8 分x3已知函數(shù) y2 ，求x11函數(shù)的增減區(qū)間及極值； 2函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點3函數(shù)圖形的漸近線.八、 此題滿分8 分設(shè) 函數(shù)fx在 閉 區(qū)間1,1 上 具 有三 階連 續(xù)導(dǎo) 數(shù)， 且 f10 ， f11 ，f00 ，證明：在開區(qū)間1,1 內(nèi)至少存在一點，使 f3.精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 15 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -九、 此題滿分9 分

6、設(shè)函數(shù)yxx0 二階可導(dǎo)，且yx0 ， y01.過曲線yyx 上任意一點P x,y作該曲線的切線及x 軸的垂線，上述兩直線與x 軸所圍成的三角形的面積記為S1 ，區(qū)間0, x 上以 yyx 為曲邊的曲邊梯形面積記為S2 ，并設(shè)2S1S2 恒為1，求此曲線yyx 的方程 .十、 此題滿分6 分設(shè) fx 是區(qū)間0,上單調(diào)削減且非負的連續(xù)函數(shù)，nnnafkfxdx1i 1n1,2,，證明數(shù)列an的極限存在 .十一、 此題滿分8 分111設(shè)矩陣 A求矩陣 X .111111，矩陣 X 滿意*A XA1*2 X ，其中 A是 A 的相伴矩陣，十二、 此題滿分5 分TT設(shè)向量組11,1,1,3， 21,

7、3,5,1， 33,2, 1, pTT2， 42,6,10,pT(1) p 為何值時， 該向量組線性無關(guān)？并在此時將向量4,1,6,10用1 ,2 ,4線性表出；(2) p 為何值時，該向量組線性相關(guān)？并此時求出它的秩和一個極大線性無關(guān)組.1999年全國碩士爭論生入學統(tǒng)一考試數(shù)二試題解析精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 15 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -一、填空題1 【答案】y2 x10【詳解】點0,1 對應(yīng) t0 ，就曲線在點0,1 的切線斜率為dydydtet c

8、ostetsintcostsin tdxdx dtdyet sin 2t2et1cos2tsin 2t，2cos 2t把 t0 代入得dx，所以改點處法線斜率為2 ，故所求法線方程為2y2 x10 .2 【答案】 1【詳解】yx 是有方程 lnx2yx3 ysinx 所確定，所以當x0 時， y1 .對方程 lnx2yx3 ysinx兩邊非別對x 求導(dǎo)，得2 xy3x2 yx3 ycos x ，x2y把 x0 和 y1代入得y 0dy1dx x03 【答案】12ln xx36 x134arctanC22【詳解】通過變換，將積分轉(zhuǎn)化為常見積分，即x5dxx3dx8dxx26 x13x26 x13

9、x26 x1341 d x26x1382 x26x13 x3）2dx1 ln x26x134d x3） 22x3 2）121 ln x26x134arctan x3C22314 【答案】12【詳解】依據(jù)平均值的定義有精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 15 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -y132131222x21x2dx ，作變換令 xsin t ，就 dxcos tdt ，所以31sin 2 t cos tydt23 sin2 tdt3161sin 2 t2231631

10、3 11 cos 2t dt131t1331sin 2t622221265 【答案】yC e 2xC1 xe2 x ,其中 C , C 為任意常數(shù) .12124【分析】先求出對應(yīng)齊次方程的通解，再求出原方程的一個特解.【詳解】原方程對應(yīng)齊次方程y"4 y0 的特點方程為：240, 解得2,22 ，1故 y "4 y0 的通解為yC e 2 xC e2x ,112由于非齊次項為f xe2 x , 因此原方程的特解可設(shè)為y*Axe2 x , 代入原方程可求得A1 ，故所求通解為yyy*C e 2 xC1 xe2x11244二、挑選題1 【答案】 D 【詳解】由于可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)

11、就極限必存在，可以從函數(shù)可導(dǎo)性入手.由于f0limf xf 0lim1cos xlim1 x220,x0x0x0xxx0xxf 0limf xf 0lim2x g xlimxgx0,x0x0x0xx0從而，f0 存在，且f 00 ，故正確選項為D.2 【答案】 C 【詳解】當x0 有，精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 15 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -t5 x sin t dtsin 5x5lim x0limlim5xx0 xx0sin x101t t dtx011s

12、in xsin xcos x5limsin5 x15115x05x1lim 1sin xsin xlimcos xe1esin x0x0所以當 x0 時x是x 同階但不等價的無窮小.3 【答案】 A 【詳解】應(yīng)用函數(shù)定義判定函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性.f x的原函數(shù)F x 可以表示為F xxf tdtC, 于是0xutxF xf tdtCf 00uduC.當 f x 為奇函數(shù)時，f uf u ，從而有xxF xf uduCf t dtCF x00即 Fx為偶函數(shù) . 故A 為正確選項 .(B) 、C 、D 可分別舉反例如下：f xx2 是偶函數(shù)，但其原函數(shù)F x1 x331不是奇函數(shù)，可排除

13、B；f xcos2 x 是周期函數(shù)，但其原函數(shù)F x1 x1 sin 2 x 不是周期函數(shù)，可排除24(C) ；f xx 在區(qū)間 , 內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)， 但其原函數(shù)F x1 x2 在區(qū)間 ,2內(nèi)非單調(diào)增函數(shù)，可排除D.4 【答案】 C 【詳解】【方法 1】“必要性 ”：數(shù)列極限的定義“對于任意給定的10 ，存在N10 ，使得當nN1時恒有| xna |1 ” .由該定義可以直接推出題中所述，即必要性；“充分性 ”：對于任意給定的10 ，取min1, 1，這時0,1 ，由已知， 對于此存在 N0 ，33使得當 nN 時，恒有 | xna |2，現(xiàn)取 N1N1，于是有當nNN1 時，恒精選名師 優(yōu)秀

14、名師 - - - - - - - - - -第 6 頁，共 15 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -有 | xn2a |11 . 這證明白數(shù)列3xn收斂于 a . 故C 是正確的 .【方法 2】數(shù)列極限的精確定義是：對于任意給定的0 ，總存在 N0 ，使得當 nN 時| xna |，就稱數(shù)列xn收斂于 a . 這里要抓住的關(guān)鍵是要能夠任意小，才能使| xna | 任意小 .將 本 題 的 說 法 改 成 ： 對 任 意120,20 ， 總 存 在N10 ， 使 得 當nNN1 時，有| xna |21 ，就稱數(shù)列

15、xn收斂于 a .由于10,2 可以任意小，所以| xna |能夠任意小 . 故兩個說法是等價的.5 【答案】 Bx2x1x2x32x22x12 x22x33x33x24x53x5【詳解】利用行列式性質(zhì)，運算出行列式是幾次多項式，即可作出判別.f x4 x4x35x74x3x2列1列2x3列1列210121014列x21002x21002列4列1列3x314 x3x22x733x314x3x21x76x21x21AB2x21x76 x212 x2 1 如 A, B, C 均為 n 階方陣，就OCAC 6 x21x7x5x55 x x1故f xx 5 x5 有0兩個根x10, x21 ，故應(yīng)選

16、B.三【詳解】進行等價變化，然后應(yīng)用洛必達法就，【方法 1】 lim1tan x1sin x2lim1tan x1sin x 1tan x21sin xx0xln 1xxx0x ln 1xx 1tan x1sin x limtan xsin xlim1 sin x1cos xcos xx0 xln1xx 2x0 2xln1xx精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 7 頁，共 15 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -1 lim1cos x洛 1 lim 1xsin x12 x0 ln 1xx

17、2 x0x2【方法 2】 lim1tan x1sin x2limtan xsin xx0xln 1xxx0 xln1xx 2limtan x1cosxlimx1cosx1 lim1cos xx0 2xln1xxx0 2xln1xx2 x0 ln 1xx1 limx2 2洛 1 limx= 1 lim112 x0 ln 1xx2 x0x 1x2 x0 1x2四【詳解】采納分部積分法arctan x11111x2dxarctan xd 1xarctanx x1dx1x 1x2 1xdxln x1 ln1x2 41x1x24211lnx|1 ln 241x242五【詳解】將原方程化簡dyyx2y2y

18、1 y2dxxxx令 yu ，就 dyux du，代入上式，得ux duu1u 2 ，xdxdxdxd ud x化簡并移項，得，1u 2x由積分公式得lnu1u2 ln Cx，其中 C 是常數(shù)，由于 x0, 所以 C0 ，去掉根號，得u1u2Cx ，即y1 y 2xxCx ，把 y0 代入并化簡，得y1 x21 , x0x 122六【詳解】建立坐標軸如下列圖，解法 1：將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功WW1W2W3 ，其中 W1 是克服抓斗自重所精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 8 頁，共 15 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié)

19、- - - - - - - - - - - -作的功；W2 是克服纜繩重力作的功；W3 為提出污泥所作的功. 由題意知W1400N30m12000J .將抓斗由 x 處提升到xdx 處，克服纜繩重力所作的功為dW2 = 纜繩每米重 ×纜繩長 ×提上升度5030xdx,從而W23050300xdx22500J .在時間間隔 t, tdt 內(nèi)提升污泥需做功為dW3原始污泥重漏掉污泥重） 提上升度 3dt 200020t 3dt將污泥從井底提升至井口共需時間30m3m / s10 s,所以W3103200020t dt057000J .因此，共需做功WW1W2W3（1200022

20、50057000J91500J解法 2：將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功記為W ，當抓斗運動到x 處時，作用力f x 包括抓斗的自重400 N , 纜繩的重力5030xN ， 污泥的重力2000x20 N , 3即f x4005030x200020 x3900170 x,于是30W3900170 xdx3900 x85 x 2 30331170002450091500 J0033七【詳解】函數(shù)的定義域為,11, ，對函數(shù)求導(dǎo)，得x2 xyx3 ， y136x x14令 y0 得駐點 x0, x3；令 y0 得 x0 . 因此，需以0,1,3 為分界點來爭論，列表爭論如下：精選名師 優(yōu)秀名師 -

21、 - - - - - - - - -第 9 頁，共 15 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -x,000,11,333,y0y00y由此可知，凸，增拐點凹，增凹，減微小值凹，增1函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,13, ，單調(diào)減區(qū)間為1,3 ，微小值為27y x 34 .2函數(shù)圖形在區(qū)間,0 內(nèi)是向上凸的，在區(qū)間0,1,1, 內(nèi)是向上凹的，拐點為0,0 點.323由 limx，可知 x1是函數(shù)圖形的鉛直漸近線.x1 x1又由于yx3l i ml i m21xxxx x1 x3x3x x122x2xlimyxlim2xlim2li

22、m22xx x1xx1x x1故 yx2 是函數(shù)的斜漸近線.八、 此題滿分8 分設(shè)函數(shù)fx 在閉區(qū)間1,1 上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f10 ， f11， f00 ，證明：在開區(qū)間1,1 內(nèi)至少存在一點，使 f3.【詳解】 解法 1：由麥克勞林公式得f xf 0f 0x1 f 0 x21 fx3 ，其中介于 0 與 x 之間， x1,1分別令 x1, x2.3.1 并結(jié)合已知條件得11f 1f 0f0f10,11026f 1f 01 f01 f1,0122兩式相減，得f2 26f 1 6精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 10 頁，共 15 頁 - - - - - - -

23、 - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -由 f x 的連續(xù)性，知f x 在區(qū)間 1,2 上有最大值和最小值，設(shè)它們分別為M 和 m ，就有m1ffM212再由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，至少存在一點 1 ,2 1,1 ，使f1ff3212解法2：構(gòu)造函數(shù)x ，使得 x1,1 時 x 有三個 0 點，x 有兩個 0 點，從而使32用羅爾定理證明必定存在 .設(shè)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)xf xaxbxcxda11 f1 abcd02f10 0 f令 0 d0，將f11代入得bf 01 1 f 1 abcd02 0 f 0 c0f00c0代入x 得xf x1 x3 f

24、01 x 2f 0df 022由羅爾定理可知，存在11,0,20,1 ，使10,2 0又由于00 ，再由羅爾定理可知，存在1 1,0, 20,2 ，使得 1 0,20再由羅爾定理知，存在 1,2 1,2 1,1 ，使f30即f3 .九【詳解】如圖，曲線yyx 上點P x, y 處的切線方程為Yyxy x Xx所以切線與x 軸的交點為xy ,0 y '由于 y 'x0, y01,因此 y x10 x0于是S11 y xx 2yy 2.y '2y '精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 11 頁，共 15 頁 - - - - - - - -

25、- -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -又S2xyt dt0y2x依據(jù)題設(shè)2S1S21,得 22 y 'yt dt1,0dpdpdydppdxdydxdy兩邊對 x 求導(dǎo)并化簡得2yy"y '這是可降階的二階常微分方程，令py ,就 y，上述方程化為yp dpdyp 2 , 分別變量得dpdypy，解得pC1 y ， 即dyC y, dx1從而有yC exC ，依據(jù) y01, y '01, 可得 C1,C0,1212故所求曲線得方程為yex .十【詳解】利用單調(diào)有界必有極限的準就來證明.先將an 形式化簡，n23nn 1

26、k 1由于f x dxf xdxfxdxf xdxf xdx112n 1kk 1所以ann 1fkfi 1 nn 1k kk 11f xdxn 1k kk 11 fkf x dxfn又由于f x 單調(diào)削減且非負，kxk1 ，所以有n 1kk 1k1 fkf xdxf n00，故 an0 ；n 1n 1nn又由于an 1anfkfx dx i 11ifkfx dx 11n 1nn 1nfkfk fxdxfx dx i 1i 111f n1n 1f x dxnn 1 f n1nf x dx0所以an單調(diào)削減，由于單調(diào)有界必有極限，所以limnan 存在 .十一 【詳解】題設(shè)條件A* XA12 X精

27、選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 12 頁，共 15 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -上式兩端左乘A ，得AA* XAA12 AX由于 AA*A E, AA 1E ，所以AXE 2A XA E2AXE依據(jù)可逆矩陣的定義：對于矩陣An ，假如存在矩陣Bn ，使得 ABBAE ，就稱 A 為可逆矩陣，并稱B 是 A 的逆矩陣，故 A E2 A, X 均是可逆矩陣，且X A E2A 11112行1行又A1110111 0201113行+1行21110201行3行2002001行2行00110

28、2042200由于常數(shù) k 與矩陣 A 相乘， A 的每個元素都要乘以k ，故A E4 E400040004， 2 A222222222所以A E2A22 EA2222222221112111111對應(yīng)元素相減 11111111X A E2A 1211111112 kA 1k 1 A 1 111111用初等行變換求逆，當用初等行變換將矩陣A 化為單位矩陣時，經(jīng)過相同的初等行變初等行變換換，單位矩陣E 化成了A 1 ，即AEEA 111001 010112行111110013行11110010011行02211行00211111002行3行0200110021012行1111100201001/

29、 21/ 23行12001 1/ 201/ 2精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 13 頁，共 15 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -110 1/ 201/ 2100 1/ 21/ 201行3行01001/ 21/ 21行2行01001/ 21/ 20011/ 201/ 20011/ 201/ 21/ 21/ 2001/ 21/ 21/ 201/ 211001110111故X24十二【 概念 】向量組1,2 ,3 ,4 線性無關(guān)以i ,i1,2,3,4為列向量組成的線性齊次方程組1x12 x23x34 x41 ,2 ,3 ,4X0 只有零解向量能否由向量組1 ,2 ,3 ,4 線性表出以i , i1,2,3,4為列向量組成的線性非齊次方程組1 x12