2022年1993考研數(shù)二真題及解析

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -1993 年全國(guó)碩士討論生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題 此題共 5 小題 , 每道題 3 分, 滿分 15 分 . 把答案填在題中橫線上.(1) limx ln x.x0(2) 函數(shù)yy x 由方程sin x2y2 exxy20 所確定 , 就 dydx.(3) 設(shè) F xx 211tdt x0 , 就函數(shù)F x 的單調(diào)削減區(qū)間是.(4) tan xdx cos x.(5) 已知曲線yf x 過點(diǎn)0,1 , 且其上任一點(diǎn)x, y 處的切線斜率為2x ln1x2 , 就f x .二、挑選題 此題共 5 小題 , 每道題

2、3 分, 滿分 15 分. 每道題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)符合題目要求 , 把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).(1) 當(dāng) x0 時(shí), 變量1 sin x21 是x(A) 無(wú)窮小B無(wú)窮大C有界的 , 但不是無(wú)窮小D有界的 , 但不是無(wú)窮大(2) 設(shè)f x| x21|, xx12,x1, 就在點(diǎn) x1,1 處函數(shù)f x(A) 不連續(xù)B連續(xù) , 但不行導(dǎo)C可導(dǎo) , 但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)D可導(dǎo) , 且導(dǎo)數(shù)連續(xù)(3) 已知f xx2 ,01, 1x1,x2,設(shè) F xxf t dt 01x2 , 就F x 為1 x3 ,0x11 x31 ,0x1A3B33x,1x2x,1x21 x3 ,0x11 x31 ,

3、0x1C3x1,1x2D33x1,1x2(4) 設(shè)常數(shù) k0 , 函數(shù)f xln xxk 在 0, 內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為e精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -A 3B 2C 1D 0(5) 如f xf x , 在 0, 內(nèi) f x0, f x0 , 就f x 在 ,0 內(nèi)(A) f x0, fx0(B)f x0, f x0(C) f x0, f x0(D)f x0, f x0三、 此題共 5 小題 , 每道題 5 分, 滿分 25 分.2d 2

4、 y(1) 設(shè) ysin f x , 其中 f 具有二階導(dǎo)數(shù), 求.dx2(2) 求limxx2 x100x .(3) 求4x dx .(4) 求0 1cos 2 xxdx .01(5) 求微分方程x3 x21dy2xycos xdx0 滿意初始條件y x 01的特解 .四、 此題滿分9 分設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程y yyex 的一個(gè)特解為ye2 x1xex , 試確定常數(shù), 并求該方程的通解.五、 此題滿分9 分設(shè)平面圖形A 由 x2y22x 與 yx 所確定 , 求圖形 A 繞直線 x2 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 .六、 此題滿分9 分作半徑為 r 的球的外切正圓錐, 問此圓錐的高h(yuǎn) 為何

5、值時(shí) , 其體積 V 最小 , 并求出該最小值.七、 此題滿分6 分設(shè) x0 , 常數(shù) ae, 證明 axaaa x .八、 此題滿分6 分aMa 2設(shè) f x 在 0, a 上連續(xù) , 且f 00 , 證明：f xdx, 其中 Mmax | f x | .020 x a精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -1993 年全國(guó)碩士討論生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題 此題共 5 小題 , 每道題 3 分, 滿分 15 分 .(1) 【

6、答案】 0【解析】這是個(gè)0型未定式 , 可將其等價(jià)變換成型 , 從而利用洛必達(dá)法就進(jìn)行求解.limx ln xlimln x 洛1limxlim x0 .x0x01x01x02x(2) 【答案】ye2x cosx2y 2 xx22y cosx2y2 2xy【解析】這是一個(gè)由復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)所確定的函數(shù), 將方程邊對(duì) x 求導(dǎo) , 得sinx2y2 exxy20 兩cosx2y2 2x2 yy exy 22xyy0 ,化簡(jiǎn)得yy2ex2x cosx222y2 .2 y cosxy 2xy【相關(guān)學(xué)問點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法就：假如 ug x 在點(diǎn) x 可導(dǎo) , 而yf x 在點(diǎn)ug x 可導(dǎo) , 就復(fù)合

7、函數(shù)yfg x在點(diǎn) x 可導(dǎo) , 且其導(dǎo)數(shù)為dyfdxu g xdydydu或.dxdudx(3) 【答案】 0x14【解析】由連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與0 的關(guān)系判別函數(shù)的單調(diào)性.精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -將函數(shù)F xx 211t dt , 兩邊對(duì) x 求導(dǎo) , 得F x21.x如函數(shù)F x 嚴(yán)格單調(diào)削減, 就 Fx210 , 即x1 .x2所以函數(shù)F x 單調(diào)削減區(qū)間為0x1 .4【相關(guān)學(xué)問點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)yf x 在

8、a, b 上連續(xù) , 在 a, b 內(nèi)可導(dǎo) .(1) 假如在 a, b 內(nèi) fx0 , 那么函數(shù)yf x 在 a, b 上單調(diào)增加；(2) 假如在 a, b 內(nèi) fx0 , 那么函數(shù)yf x 在 a, b 上單調(diào)削減 .(4) 【答案】2cos1/ 2 xC【解析】tan xdxsin x3dxsin x cos 2xdxcosxcosxcos x31cos2 xd cos x2cos2 xC .(5) 【答案】1 1x2 ln1x2 1 x21222【解析】這是微分方程的簡(jiǎn)潔應(yīng)用.由題知dyx ln1 dxx2 , 分別變量得dyx ln1x2 dx , 兩邊對(duì) x 積分有由分部積分法得yx

9、 ln12xdx1ln1222x d x1 .1ln1x2 d x211 1x2 ln1x2 11x2 2 xdx2221x21 121 1x2 ln1x2 ln1x2 x2 xdx1 x2C.22由于曲線yf x 過點(diǎn)0,1) , 故C21, 所以所求曲線為2y1 1x2 ln1x2 1 x21 .222二、挑選題 此題共 5 小題 , 每道題 3 分, 滿分 15 分 .(1) 【答案】 D精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -【解析

10、】由于當(dāng)x0 時(shí),1sinx是振蕩函數(shù) , 所以可用反證法.如取x1k11x, 就2k1ksin1x1kk2 sin k0 ,x2k12k1 2, 就1x22 ksin1x2 k2k1 22 , k21,2, .因此 , 當(dāng) k時(shí), 有x1k0 及 x2k0 , 但變量1 sin 1x2x或等于0 或趨于, 這表明當(dāng) x0 時(shí)它是無(wú)界的 , 但不是無(wú)窮大量, 即D 選項(xiàng)正確 .(2) 【答案】 A【解析】利用函數(shù)連續(xù)定義判定, 即假如函數(shù)在x0 處連續(xù) , 就有l(wèi)imxx0f xlimxx0f x f x0 .由題可知| x21|x21limf xlimlimlim x12 ,x1x1x1x1

11、x1x122limf xlim | x1|lim 1xlim x12 .x1x1x1x1x1x1因 f x 在 x1 處左右極限不相等, 故在 x1 處不連續(xù) , 因此選 A.(3) 【答案】 D【解析】這是分段函數(shù)求定積分.當(dāng) 0x1時(shí) , 0xt1 , 故f t t 2 , 所以xx 2x1 313F xf t dtt dttx1.11313當(dāng) 1x2 時(shí) , 1tx2, 故f t1 , 所以xxx應(yīng)選 D.(4) 【答案】 BF xf tdt11dtt11x1 .【解析】判定函數(shù)f x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于判定函數(shù)yf x 與 x 的交點(diǎn)個(gè)數(shù) .對(duì)函數(shù)f xln xxk 兩邊對(duì) x 求導(dǎo) ,

12、 得ef x11 .xe令 fx0 , 解得唯獨(dú)駐點(diǎn)xe ,精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -f x0,0即xe;f x嚴(yán)格單調(diào)增加 ,f x0, ex; f x嚴(yán)格單調(diào)削減 ,所以 xe 是極大值點(diǎn) , 也是最大值點(diǎn), 最大值為xf eln eekk0 .elimf xlimlnxkx0又由于x0e,limf xlim ln xxkxxe由連續(xù)函數(shù)的介值定理知在0, e 與 e, 各有且僅有一個(gè)零點(diǎn) 不相同 .故函數(shù)f xln xx

13、k 在 0, 內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2, 選項(xiàng) B 正確 .e(5) 【答案】 C【解析】 方法一 ：由幾何圖形判定.由 f xf x, 知f x 為奇函數(shù) , 圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；在 0, 內(nèi) f x0, f x0,f x 圖形單調(diào)增加且向上凹,依據(jù)圖可以看出f x 在 ,0 內(nèi)增加而凸 , f x0, fx0 , 選C.方法二 ：用代數(shù)法證明.對(duì)恒等式f xf x 兩邊求導(dǎo) , 得f xfx, fxfx .當(dāng) x,0時(shí) , 有x0, , 所以f xf x0, fxfx0 ,故應(yīng)選 C.三、 此題共 5 小題 , 每道題 5 分, 滿分 25 分.(1) 【解析】ysin f x2 cos f x2 f

14、 x2 2x ,ycos f x2 f x2 2xcos f x2 f x2 2xcos fx2 fx2 2xcos fx2 f x2 2 xsinf x2 f x2 22x2cos f x2 f x2 2 x2精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 6 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -cos fx2 f x2 2 .【相關(guān)學(xué)問點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法就：假如 ug x 在點(diǎn) x 可導(dǎo) , 而yf x 在點(diǎn)ug x 可導(dǎo) , 就復(fù)合函數(shù)yfg x在點(diǎn) x 可導(dǎo) , 且其導(dǎo)數(shù)為dyf

15、dxu g xdydydu或.dxdudx(2) 【解析】應(yīng)先化簡(jiǎn)再求函數(shù)的極限,2xx2100xx2100xlimxx100xlimxxlimx2100x100xlim100.由于 x0 , 所以xx2100xx1x2x1001lim100lim10010050 .2x1xx1001x1100x 2111(3) 【解析】先進(jìn)行恒等變形, 再利用基本積分公式和分部積分法求解.xx sec2 x14dx40 1cos2 x0dx4220xd tan x1x tan x 414 tan xdx1 014 sinx dx20202420cos x148201cos xd cos x1lncos x

16、48201 lncoslncos01 ln21 ln 2 .82482284(4) 【解析】用極限法求廣義積分.01xx3 dx101x1 dx x310x 21x 3 d 1x1x 11 12x 2limb2 x2 xb11200lim2b11011 .b2b12222(5) 【解析】所給方程是一階線性非齊次微分方程, 其標(biāo)準(zhǔn)形式是精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 7 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -2xcos x2yy,x10 ,x21x212 x dx2 x dx

17、通解為yex2 1cos x ex2 1dxC x21d x2 12ex1cosxd x 22ex11 dxCx211cos xdxCsin xC .x21sin 0Cx21sin x1代入初始條件y x 01 , 得0211 , 所以C1 . 所求特解為y2.x1【相關(guān)學(xué)問點(diǎn)】一階線性非齊次微分方程yp x yq x 的通解公式為 :ye四、 此題滿分9 分p x dxq xep x dxdxC, 其中 C 為常數(shù) .【解析】要確定常數(shù), 只需將特解代入原微分方程后, 用比較系數(shù)法即得.對(duì)于特解ye2 x1xex , 有y2e2xex1xex2e2 x2xex ,y2e2 x2xex4e2x

18、ex2x ex4e2 x3xex ,代入方程yyyex , 得恒等式4e2 x3xex2e2 x2xexe2 x1x exe x ,化簡(jiǎn)得42e2x32ex1 xexex ,比較同類項(xiàng)系數(shù), 得42032,10解之得3,2,1 .于是原方程為y3y2 yex , 所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程y3 y2 y0 的特點(diǎn)方程為 r 23r20 , 解之得r1, r2 .12所以微分方程y3y2 yex 的通解為精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 8 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -yc

19、 exc e2 xy*c exc e2 xe2x1xexc exc e2xxex .121212五、 此題滿分9 分【解析】利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積, 用微元法 .x2y22x 等價(jià)于 x12y 21 .解法一 ：考慮對(duì)y 的積分 , 就邊界線為x111y2 與x2y0y1 ,如右圖所示 . 當(dāng) yydy 時(shí),dV2x 2 dy2x2 dy12211y2 22y2dy21y21y2dy .1所以V201 y21y 2dy .1對(duì)于1y2 dy , 令 y0sin t , 就 dycos tdt , 所以2122121121y dycostdt1cos 2t dttsin 2t；00202204

20、31100對(duì)于1y2 dy11y 2 d 1y1y1 ,30312211所以V2 1y01ydy2.43解法二 ：取 x 為積分變量 , 就邊界線為1y2 xx2與 y2x0x1,如右圖所示 .當(dāng) xxdx 時(shí) ,dV22x y1y2 dx222x2 xxxdx,所以 V1220x2xx2xdx .令 x1t , 就 x1t , dxdt , 所以精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 9 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -12x2xx20xdx01t 211t1t 201t

21、dt11t2t1t 2t 21 dt .再令 tsin, 就 dtcosd,02所以1t12t1t2t1 dt02cossincossin21cosd0cos2d0sincos2d0sin 2cosd0cosd2222101cos 2d0cos2d cos0sin 2d sin0cosd222220303011 sin 2cossin0sin223322221111.43343所以V1220x2xx2xdx2 11 .43六、 此題滿分9 分【解析】這是一個(gè)將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值的問題.設(shè)圓錐底半徑為R , 如圖 ,BCR,ACh,ODr .A由 BCODACAD, ADOA2OD 2

22、 , 有DRrRhr.Ohhr 2r 2h22hr于是圓錐體積CB2V1R2h1r 2h2 rh .33h對(duì)上式兩端對(duì)h 求導(dǎo) , 并令 V2 r0 , 得V1r 2 2hh2r h21r 2hh4r 0 ,得唯獨(dú)駐點(diǎn)hh4 r , 且3h2r 23 h2r 22rh4rh4r ,V0,V0所以 h4r 為微小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn), 最小體積V 4 r 8r 3 .3精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 10 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -七、 此題滿分9 分【解析】第一應(yīng)簡(jiǎn)化不等式, 從中發(fā)覺規(guī)律 .當(dāng) x0 , 常數(shù) ae 時(shí), 原不等式兩邊取自然對(duì)數(shù)可化為a ln axaxlna或ln axln a .axaa證法一 ：令f xaxlnaa ln ax , 就 f xln a.ax由 ae, x0, 知 ln a1,a ax1, 故f x0 x0 .從而 fx為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù), 且f xaxlnaa ln axf