大學(xué)微積分課件幻燈片版

1、定積分第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)abxyoA ?曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線 y f ( x)( f ( x) 0)、 x軸與兩條直軸與兩條直線線x a 、 x b所圍所圍成成.實(shí)例實(shí)例1 1 （求曲（求曲邊梯邊梯形形的面積）的面積）一、問題的提出y f ( x)abxyxoabyo用矩形面積近用矩形面積近似似取取代代曲曲邊邊梯梯形形面面積積顯然，小矩形顯然，小矩形越越多多，矩矩形形總總面面積積越越接接近近 曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四（四個小矩形）個小矩形）（九（九個小矩形）個小矩形）曲邊梯形如圖曲邊梯形如圖所所示示，在在區(qū)區(qū)間間a,b內(nèi)內(nèi)插插入若入若干干 個個分分點(diǎn)點(diǎn)，a x0 x

2、1 x2 xn 1 xn b,oaxi 1 i xixn 1 bxyx1把把區(qū)區(qū)間間a,b 分分成成 n 個個小小區(qū)區(qū)間間 xi 1 , xi ， 長長度度為為 xi xi xi 1;在每個小區(qū)在每個小區(qū)間間 xi 1 , xi 上任取一上任取一點(diǎn)點(diǎn) ，i以以 xi 1 , xi 為底為底， f ( i ) 為高的為高的小小矩形矩形面面積為積為Ai f ( i ) xinA f ( i ) xii 1當(dāng)分割無限加細(xì), 記小區(qū)間的最大長度 或者( x )x maxx1 , x2 ,xn 趨近于零 ( x 0或者 0) 時，曲邊梯形面積曲邊梯形面積的的近近似似值值為為曲邊梯形面積曲邊梯形面積為為

3、A lim f ( i ) xin 0 i 1實(shí)例實(shí)例2 2 （求變（求變速直速直線線運(yùn)動的運(yùn)動的路路程）程）設(shè)某物體作直設(shè)某物體作直線運(yùn)線運(yùn)動動，已知已知速速度度v v(t )是是時間間時間間隔隔 T1 ,T2 上上 t 的一個連續(xù)函數(shù)，的一個連續(xù)函數(shù)，且且 v(t ) 0，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程思路思路：把整段：把整段時時間間分分割割成成若若干干小小段段，每每小小段上段上 速度看作不變速度看作不變，求求出出各各小小段段的的路路程程再再相相加加，便，便 得到路程的近得到路程的近似似值值，最最后后通通過過對對時時間間的的無無限細(xì)限細(xì) 分過程求得路分過程求

4、得路程程的的精精確確值值（1）分割）分割T1 t0 t1 t2 tn 1 tn T2 ti ti ti 1 si v( i ) ti部分路程值部分路程值某時刻的速度某時刻的速度（2）求和）求和ns v( i ) tii 1 max t1 , t2 , tn （3）取極限）取極限s lim v( i ) tin 0 i 1路程的精確值路程的精確值定定義義 設(shè)函設(shè)函數(shù)數(shù) f ( x) 在在a, b上有上有界界，在在a, b中中任任意意插插入入記記 x maxx1, x2 , xn，如如果果不不論論對對a, b若干若干個個分分點(diǎn)點(diǎn)a x x x x x b012n 1n把區(qū)把區(qū)間間a, b分分成成n

5、個個小小區(qū)區(qū)間間，各小各小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為 xi xi xi 1 ，(i 1,2,)，在各在各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn) i （ i xi ），作乘作乘積積 f ( i ) xin并作并作和和S f ( i ) xi ，i 1(i 1,2,)二、定積分的定義怎樣怎樣的的分分法法， 也不也不論論在在小小區(qū)區(qū)間間 xi 1 , xi 上上 a積分下限積分下限f ( x)dx I lim f ( i ) xibn 0 i 1被被 積積 函函 數(shù)數(shù)被被 積積 表表 達(dá)達(dá) 式式積積 分分 變變 量量a,b 積積分分區(qū)區(qū)間間點(diǎn)點(diǎn) i 怎怎樣樣的的取取法法，只要只要當(dāng)當(dāng) x 0 時時，

6、和和S 總總趨趨于于確定確定的的極極限限I ， 我們稱這個極我們稱這個極限限 I 為函為函數(shù)數(shù) f ( x)在區(qū)在區(qū)間間a, b上上的的定定積積分分， 記為記為積分上限積分上限積分和積分和注意：注意：（1）積分值僅積分值僅與與被積函被積函數(shù)數(shù)及積分及積分區(qū)區(qū)間有關(guān)間有關(guān)，而與積分而與積分變變量的字量的字母母無無關(guān)關(guān). abbf ( x)dx af (t )dt af (u)dub（2）定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和 i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）當(dāng)函當(dāng)函數(shù)數(shù) f ( x) 在區(qū)在區(qū)間間a, b上的定積分存上的定積分存在在時時，稱稱 f ( x)在區(qū)在區(qū)間間a, b上上可積可

7、積.當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) f ( x) 在在區(qū)區(qū)間間a, b上連續(xù)上連續(xù)時時，稱稱 f ( x)在在區(qū)區(qū)間間a, b上可上可積積. .定理定理1 1定理定理2 2設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) f ( x) 在區(qū)在區(qū)間間a, b 上有上有界界，且 只 有 有 限 個且 只 有 有 限 個 第 一第 一 類類 的的 間 斷 點(diǎn) ，間 斷 點(diǎn) ，則則 f ( x)在在區(qū)區(qū)間間a, b上可上可積積. .三、存在定理f ( x) 0, af ( x)dx Ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積f ( x) 0, af ( x)dx A曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值的負(fù)值bA1A2A3A4A4A2 A3f ( x)dx A1b a

8、四、定積分的幾何意義幾何幾何意義：意義：它它是是介介于于 x 軸、函軸、函數(shù)數(shù) f ( x) 的的圖圖形形及及兩兩條條 直直線線 x a, x b 之之間間的的各各部分部分面面積的積的代代數(shù)數(shù)和和 在在 x 軸軸上上方方的的面積面積取取正號正號；在在 x 軸軸下下方方的的面面 積積取取負(fù)負(fù)號號 例例1 1 利用定義計算定積分利用定義計算定積分x dx.102 解解 將將0,1n等等分分，分分點(diǎn)點(diǎn)為為x i ，(i 1,2, n)ni小區(qū)小區(qū)間間 xi 1 , xi 的的長長度度 xi取取 i xi ，(i 1,2, n) ，(i 1,2, n)n1n f ( i ) xii 1 i xii 1

9、n2x x ,i 12 i in ni 1 n 2 i 1n i 2 n3 i 1 n 161n(n 1)(2n 1)n3 1 ,1 2 1 16 n n x 0 n x dx 102 xiin 0 i 1 lim 2 n lim 1 1 1 2 1 1 .n n 6 3五、定積分 的性質(zhì)證證 a f ( x) g( x)dxnb lim f ( i ) g( i ) xi 0 i 1 lim f ( i ) xi lim g( i ) xinn 0 i 1 0 i 1 af ( x)dx a g( x)dx.（此性質(zhì)可以（此性質(zhì)可以推推廣廣到到有有限限多多個個函函數(shù)數(shù)作作和和的的情情況況）b

10、bbbb性質(zhì)性質(zhì)1 1 a f ( x) g( x)dx af ( x)dx a g( x)dx. a kf ( x)dx k af ( x)dxk(bb為為常常數(shù)數(shù)).證證 a kf ( x)dx lim kf ( i ) xibn 0 i 1 lim k f ( i ) xinni 1 0 k lim f ( i ) xi 0 i 1 k af ( x)dx.b性質(zhì)性質(zhì)2 2 abcbf ( x)dx af ( x)dx cf ( x)dx .補(bǔ)補(bǔ)充充：不：不論論 a,b,c的相對位置如的相對位置如何何, 上式總成上式總成立立.例例 若若 a則則a b c,cf ( x)dx af ( x

11、)dx b f ( x)dxcb abf ( x)dx af ( x)dx b f ( x)dxcccb af ( x)dx cf ( x)dx.（定積分對于（定積分對于積積分分區(qū)區(qū)間間具具有有可可加加性）性）性性質(zhì)質(zhì)3 3假假設(shè)設(shè)a c b性質(zhì)性質(zhì)4 4 1 dx badx b a .b a則則 af ( x)dx 0. .b(a b)證證 f ( x) 0, f ( i ) 0,(i 1,2, n) xi 0,n f ( i ) xi 0,i 1 max x1 , x2 , xn i in 0 i 1f ( ) x lim f ( x)dx 0. ba性質(zhì)性質(zhì)5 5如果如果在在區(qū)區(qū)間間a,

12、 b上上 f ( x) 0，例例 1 1比較積分比較積分值值 e dx 和和x 20 xdx 的大的大小小. 20解解令令 f ( x) ex x,x 2, 0 f ( x) 0, (ex x)dx 0,0 2 edx x 20 xdx,0 2 于于是是 e dx x 20 xdx. 20 可以可以直接作直接作出出答案答案性質(zhì)性質(zhì)5 5的的推論：推論：（1）如果在區(qū)如果在區(qū)間間a, b上上 f ( x) g( x)，證證 f ( x) g( x), g( x) f ( x) 0, a g( x) f ( x)dx 0, a g( x)dx af ( x)dx 0,bbb于是于是f ( x)dx

13、 bb ag( x)dx . a則則f ( x)dx g( x)dx . .(a b)bb a af ( x)dx f ( x)dx.(a b)b a ab證證 f ( x) f ( x) f ( x),f ( x)dx,f ( x)dx f ( x)dx b abb a a 即即f ( x)dx f ( x)dx.b a ab說明說明： | f ( x)|在區(qū)在區(qū)間間a, b上上的的可積性是顯然可積性是顯然的的.性質(zhì)性質(zhì)5 5的的推論：推論：（2）設(shè)設(shè)M 及及m分別是函數(shù)分別是函數(shù)證證a m f ( x) M , a mdx af ( x)dx a Mdx,bbbm(b a) f ( x)d

14、x M (b a).ba（此性質(zhì)可用（此性質(zhì)可用于于估估計計積積分分值值的的大大致致范范圍）圍）曲邊曲邊梯形的面積梯形的面積 夾在兩夾在兩個矩形之間個矩形之間則則m(b a) f ( x)dx M (b a). .bf ( x)在區(qū)在區(qū)間間a, b上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，性質(zhì)性質(zhì)6 6解解f ( x) ,sin xxx2x2f (x) x cos x sin x cos x( x tan x) 0 x , 42 f ( x)在在,上上單單調(diào)調(diào)下下降降,4 2 故故 x 為極為極大點(diǎn)大點(diǎn)， x 為極為極小小點(diǎn)點(diǎn),42例例2 不計算定積不計算定積分分 估估計計 的大小的大小dxx

15、sin x 242424M f ( ) 2 2 ,m f () 2 ,42 b a ,244 2 sin xdx 2 2 ,441 2sin xdx 2 .x 2x證證性質(zhì)性質(zhì)7 7（Th5.Th5.1 1 定積分第一中值定理）定積分第一中值定理）如果函如果函數(shù)數(shù) f ( x)在閉區(qū)在閉區(qū)間間a, b上連續(xù)，上連續(xù)，則在積分區(qū)則在積分區(qū)間間a, b上至少存在一上至少存在一個個點(diǎn)點(diǎn) ， f ( x)dx Mb a m ba1 m(b a) f ( x)dx M (b a)ba由閉區(qū)間上連由閉區(qū)間上連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的介介值值定定理理知知使使 af ( x)dx f ( )(b a). .(a b)

16、積分中值積分中值公式公式b在區(qū)在區(qū)間間a, b上至少存在一個上至少存在一個點(diǎn)點(diǎn) ，使使f ( x)dx, 1 f ( ) b abaf ( x)dx f ( )(b a).b a(a b)積分中值公式積分中值公式的的幾幾何何解解釋：釋：在區(qū)在區(qū)間間a, b上至少存在一上至少存在一xoab 個個點(diǎn)點(diǎn) ，使得以區(qū)使得以區(qū)間間a, b為為即即yf ( )以曲以曲線線 y f ( x)底邊，底邊，為曲邊的曲邊梯為曲邊的曲邊梯形形的面積的面積 等于同一底邊而等于同一底邊而高高為為 f ( ) 的一個矩形的面的一個矩形的面積積。ThTh5.25.2( (推推廣廣的的積積分分第第一一中中值值定定理）理）如果

17、函如果函數(shù)數(shù) f ( x), ,g(x)在閉區(qū)在閉區(qū)間間a, b上連續(xù)，上連續(xù)，且且 g(x)在閉區(qū)在閉區(qū)間間a,b上可積且不變上可積且不變號號,則在積分區(qū)則在積分區(qū)間間a, b上至少存在一個上至少存在一個點(diǎn)點(diǎn) ，使使f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx當(dāng)g(x) 1時,即為Th5.1bbaa六、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) f ( x) 在在區(qū)區(qū)間間a, b上上連連續(xù)續(xù)，并且并且設(shè)設(shè)x 為為a, b上的一點(diǎn)上的一點(diǎn)， 考察定積分考察定積分 ax xf ( x)dx af (t )dt記記 ( x) af (t )dt.x積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)如如果上果上限限x 在區(qū)在區(qū)間間

18、a, b上任意變動，則上任意變動，則對對于于 每一個取定每一個取定的的x 值，定積分有一值，定積分有一個個對應(yīng)對應(yīng)值值，所以，所以 它它在在a, b上定義了一上定義了一個個函數(shù)函數(shù)，ax xbxyf (t )dto定理定理 如如果果 f ( x) 在在a, b上連續(xù)，則積分上限上連續(xù)，則積分上限的的函函數(shù)數(shù) ( x) f (t )dt 在在a, b上具上具有有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)導(dǎo)x a數(shù)是數(shù)是f (t )dt f ( x)(a x b) ( x) dx d xa 證證 ( x x) x x a ( x x) ( x) af (t )dt af (t )dtx x x ( x)x ( x

19、) af (t )dt.xx x xbf (t )dtf (t )dt f (t )dt x ax x xx a xf (t )dt,x x由積分中值定由積分中值定理得理得 f ( ) x x 0, x f ( ), xlim lim f ( ) x0 x0 x ( x) f ( x).o x, x x,axy ( x)計算計算下列導(dǎo)數(shù)下列導(dǎo)數(shù)t 2etttcosxxxdtdxdx dedtdx dedtd111222(3)(2)(1)補(bǔ)補(bǔ)充充如如果果 f (t ) 連續(xù)連續(xù)，a( x) 、b( x) 可導(dǎo)，可導(dǎo)，則則F ( x) f (t )dt 的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)數(shù)F ( x) 為為b( x )

20、a ( x )證證F ( x) f (t )dt a( x )b( x )0 0 f (t )dt 0b( x ) 0f (t )dt,a ( x )F ( x) f b( x) b ( x) f a( x) a ( x)f (t )dt f b( x) b ( x) f a( x) a ( x)F ( x) dxb( x )a( x )d例例1 1求求 limx0.21cos x2xedt t 解解 e t d 1cos x2dt dxdt,cos xt 21 e dx d (cos x) cos2 x e, sin x e cos2 xx21cos xlimx02dte t 2x2sin

21、x e cosx limx0. 1 2e 00分析：分析：這是這是型不定式，應(yīng)用洛型不定式，應(yīng)用洛必必達(dá)達(dá)法法則則.定理定理2 2（原（原函函數(shù)數(shù)存存在在定定理理）如如果果 f ( x) 在在a, b上連上連續(xù)續(xù)，則積則積分分上上限限的函的函數(shù)數(shù) ( x) 原函數(shù)原函數(shù). .f (t )dt 就就是是 f ( x) 在在a, b上的一個上的一個x a定理的重要意定理的重要意義：義：（1）肯定了連）肯定了連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的原原函函數(shù)數(shù)是是存存在在的的.（2）初步揭示）初步揭示了了積積分分學(xué)學(xué)中中的的定定積積分分與與原原函函數(shù)之?dāng)?shù)之間的聯(lián)間的聯(lián)系系.定定理理 3 3（微積分基本（微積分基本公公式式

22、）如如果果F ( x)是連續(xù)函是連續(xù)函數(shù)數(shù) f ( x) 在區(qū)在區(qū)間間a, b上上b的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，則則 f ( x)dx F (b) F (a). .a又又 ( x) f (t )dt 也也是是 f ( x) 的一個原函的一個原函數(shù)數(shù),x a已已知知F ( x)是是 f ( x) 的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)， F ( x) ( x) Cx a,b證證七 牛頓萊布尼茨公式令令x aF (a) (a) C , (a) af (t )dt 0aF (a) C , f (t )dt F ( x) F (a),xa F ( x) f (t )dt C ,xa令令 x b f ( x)dx

23、F (b) F (a).ba牛牛頓頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) ba 微積分基本公微積分基本公式式表表明：明：一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間間a, b上的定積分等于上的定積分等于 它的任意一個原它的任意一個原函函數(shù)在區(qū)數(shù)在區(qū)間間a, b上的增上的增量量.求定積分問題求定積分問題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為求求原原函函數(shù)數(shù)的的問問題題.b a注意注意當(dāng)當(dāng)a b時時， f ( x)dx F (b) F (a)仍仍成成立立.ba例例4 4求求 2 (2cos x sin x 1)dx.0 原式原式 20 2sin x cos x x 3 .2f ( x)dx.

24、例例5 5設(shè)設(shè) f ( x) , 求求 2 x0 x 1 51 x 220解解解解12f ( x)dx 0f ( x)dx 1f ( x)dx 02在在1,2上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng) x 1時時， f ( x) 5 ,原原式式 0 2 xdx 1512dx 6.xyo12例例6 6求求 maxx, x2 dx.2 2解解由圖形可知由圖形可知f ( x) maxx, x2 x2 2 x 0 x0 x 1,1 x 2 2 xdx 0 xdx 1x dx 原原式式 0 x2 2122.2 112xyoy x2y x1 2設(shè) f (x) Ca,b, 且 F(x) f (x),則有1. 微積分基本公式a f (

25、x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F (b) F (a)b積分中值定理微分中值定理牛頓 萊布尼茨公式定定理理假設(shè)假設(shè)（1 1） f ( x) 在在a, b上連續(xù)；上連續(xù)；（2 2）函函數(shù)數(shù) x (t )在在 , 上上是是單單值值的的且且有有連連續(xù)續(xù) 導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)；（3 3）當(dāng)當(dāng)t 在區(qū)在區(qū)間間 , 上變化時上變化時， x (t ) 的值的值 在在a, b上變化上變化，且且 ( ) a 、 ( ) b ，則則 有有f (t ) (t )dt . .f ( x)dx b a 八、換元公式證證設(shè)設(shè)F ( x)是是 f ( x) 的一的一個個原原函函數(shù)數(shù)， f ( x)dx F (

26、b) F (a),ba (t ) F (t ), (t ) dF dx f ( x) (t ) f (t ) (t ),dxdt (t )是是 f (t ) (t )的一個原函的一個原函數(shù)數(shù).f (t ) (t )dt ( ) ( ), ( ) a、 ( ) b , ( ) ( ) F ( ) F ( ) F (b) F (a), f ( x)dx F (b) F (a) ( ) ( )ba f (t ) (t )dt.注注意意當(dāng)當(dāng) 時，換元公式仍成時，換元公式仍成立立. 應(yīng)用應(yīng)用換元公換元公式式時應(yīng)時應(yīng)注注意意:（1）用用 x (t )把變把變量量 x換成新變換成新變量量t 時，積分限也時，

27、積分限也 相應(yīng)的改相應(yīng)的改變變.（2）求求出出 f (t ) (t )的一個原函的一個原函數(shù)數(shù) (t )后，不后，不 必必象計算不定積分那樣再要象計算不定積分那樣再要把把 (t )變換成原變換成原 變變量量 x的函數(shù)，而只要把新變的函數(shù)，而只要把新變量量t 的上、下的上、下 限分別代限分別代入入 (t )然后相減就行然后相減就行了了.2cos5 x sin xdx.0例例1 1計算計算.x ln xe 43edx例例2 2計算計算例例1 1計算計算cos5 x sin xdx.20 2225cos5 xd (cos x)00cos6 x0cos x sin xdx (0 1) 1 .666 解

28、湊微分是第一類換元積分法，特點(diǎn)是不要明顯地?fù)Q元，也就不要更換積分的上下限。3 1 )42 2( 2 ln xln xd ln xx ln xe 4e 4ee dx 例例2 2 計計算算 解解原式原式3e 4e33.x ln xe 43edx例例3 3 計計算算 3解解2xdx三角代換和根式代換例例4 4計算計算解解12x1 x122dx.1令令 x sin t,x 1 t ,2x 12 t 6dx cos tdt,原式原式2226sin2 t cos tsin2 t66 cos t dt dt cot t (cot cot ) (0 3) 3 2 6 明顯換元例例 5 5 當(dāng)當(dāng) f ( x)在

29、在 a, a上連上連續(xù)，且有續(xù)，且有 f ( x)為偶函數(shù)為偶函數(shù)，則，則 af ( x)dx 2 0f ( x)dx；aa f ( x)為奇函為奇函數(shù)，數(shù)，則則 af ( x)dx 0.a證證f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,0a0a a a在在 a0f ( x)dx 中中令令x t , af ( x)dx af ( t )dt 0f ( t )dt,00a f ( x)為偶為偶函函數(shù)數(shù)，則則f ( t ) f (t ), af ( x)dx 0f ( x)dxf (t )dt;f ( x)dx aa 0a 2 0a f ( x)為奇為奇函函數(shù)數(shù)，則則 f ( t ) f

30、 (t ), af ( x)dx af ( x)dx 0f ( x)dx 0.a 0a在在 a0f ( x)dx 中中令令x t ,奇函數(shù)奇函數(shù)例例6 6計算計算解解2 x x cos x dx.1 1 x21 12原原式式 11 1 x2122 xdx 11 1 x21x cos x dx偶函數(shù)偶函數(shù) 4 0dx1 1 x2 4 0(1 12 x 01 (1 x2 ) 41x (1 1 x ) dx221 x )dx 4 412 1 x dx102 4 .單位圓的單位圓的面積面積總結(jié)：總結(jié)：1、定、定積分公積分公式式2、定、定積分積分計計算方法算方法（直直接接代入，代入，湊湊微微分分，根式根

31、式代換，三角代代換，三角代換換）3、根、根式和式和三三角代換為明角代換為明顯顯的代換，所的代換，所以以換換 元要元要換上下限換上下限4、 介紹了介紹了積分上限積分上限函函數(shù)數(shù)5、積、積分上分上限限函數(shù)是原函數(shù)函數(shù)是原函數(shù)6、計、計算上算上限限函數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)例例 7 7若若 f ( x) 在在0,1上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明（1） f (sin x)dx f (cos x)dx;2200（2） 0 xf (sin x)dx f (sin x)dx .20 由此計由此計算算 0 1 cos2 x x sin x dx .證證（1）設(shè)設(shè) x t2 dx dt,x 0 t ,2x t 0,2 20

32、f (sin x)dx f sin t dt 022 2 0f (cos t )dt f (cos x)dx; 20 x t2（2）x t dx dt,x 0 t ,x t 0, 0 xf (sin x)dx ( t) f sin( t)dt 0( t) f (sin t)dt, 0 由此計由此計算算 0 1 cos2 x2 0 0 xf (sin x)dx f (sin x)dx x sin x dx設(shè)設(shè)xf (sin x)dx 0 f (sin t)dt 0 tf (sin t)dt 0f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,f (sin x)dx.2 0 xf (sin x

33、)dx 0 0 1 cos2 x x sin x dx sin x 2 0 1 cos2 x dx2 0 1 cos2 x 1 d(cos x) arctan(cos x) 02.4 2) ( 244 0 avdu. .定積分的分部定積分的分部積積分分公式公式九、分部積分公式設(shè)函設(shè)函數(shù)數(shù)u( x) 、v( x) 在區(qū)在區(qū)間間 a, b 上具有上具有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有導(dǎo)數(shù)，則有 udv uvb abb a推導(dǎo)推導(dǎo) uv u v uv , (uv) dx uv ,baba u vdx uv dx,baabb auv udv uv vdu.bababa例例計算計算解解ln xdx.1e例例2 2計算

34、計算arcsin xdx.120 解解令令u arcsin x,dv dx,du dx ,1 x2v x, 120arcsin xdx x arcsin x 120 xdx 1 x2 120 2 61 1 d (1 x2 )1 x120212 1 x 12 1202 1.122 3則則例例3 3計算計算解解xe dxx10例例4 4 計算計算 x cos xdx10例例5 5計算計算解解1edxx2ln x一、無窮限的廣義積分定定義義 1 1設(shè)函設(shè)函數(shù)數(shù) f ( x) 在區(qū)在區(qū)間間a, ) 上連上連續(xù)，續(xù)，取取b a，如果，如果極極限限 lim bb af ( x)dx 存存在在，則稱此，則稱

35、此極極限為函限為函數(shù)數(shù) f ( x) 在無在無窮窮區(qū)區(qū)間間a, ) 上上的廣的廣義義積積分，記分，記作作 a f ( x)dx . . a f ( x)dx lim bb af ( x)dx當(dāng)極限存在時，稱廣義積分當(dāng)極限存在時，稱廣義積分收收斂；當(dāng)極限不存在斂；當(dāng)極限不存在 時，稱廣義積分發(fā)時，稱廣義積分發(fā)散散. .第四節(jié) 廣義積分類似地，設(shè)函類似地，設(shè)函數(shù)數(shù) f ( x) 在區(qū)在區(qū)間間( , b 上連上連續(xù)，續(xù)，取取a b，如果極，如果極限限 lim abaf ( x)dx 存在，則稱此極存在，則稱此極限為限為函函數(shù)數(shù) f ( x) 在在無窮無窮區(qū)區(qū)間間( , b 上上的廣的廣義義積積 分，

36、記分，記作作 f ( x)dx . .b bf ( x)dx limab af ( x)dx當(dāng)極限存在時，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在當(dāng)極限存在時，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在 時，稱廣義積分發(fā)時，稱廣義積分發(fā)散散. .設(shè)函設(shè)函數(shù)數(shù) f ( x) 在在區(qū)區(qū)間間( , ) 上上連連續(xù)續(xù), ,如果如果0 廣廣義積義積分分 f ( x)dx 和和 0f ( x)dx 都都收斂，收斂，則則稱稱上上述兩廣義積分之和為函述兩廣義積分之和為函數(shù)數(shù) f ( x) 在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間( , )上的廣義積分，記上的廣義積分，記作作 f ( x)dx . . 0 f ( x)dx f ( x)dx 0f ( x)

37、dx a b lim0af ( x)dx lim b0f ( x)dx極限存在稱廣義積分收斂；極限存在稱廣義積分收斂；否否則稱廣義積分發(fā)則稱廣義積分發(fā)散散. .例例1 1 計算廣義積分計算廣義積分解解 1 sin 1 dx. 22 x x 2 1 sin 1 dx x x2 2sind x 1 1x x 2 cos 1 cos 0 0 12 lim cos 1 cosxx lim F (x) F (a)x F () F (a)f (x)dx F (x)aa簡記為例例1 1 計算廣義積計算廣義積分分 .1 x2 dx解解 1 x2 dx 1 x20dx 0 1 x2dx 1 x0 1 limdx

38、 lima2a 0 1 x2bb 1 dx arctan x 0 limaa b arctan x b0 lim lim arctana lim arctanb a b .2 2 例例 3 3 證證明廣明廣義義積積分分 1 1dx 當(dāng)當(dāng) p 1時時收斂，收斂，x p當(dāng)當(dāng) p 1時時發(fā)發(fā)散散.證證(1) p 1, 1 1 dx x p 1 1dx ln x x 1 , ,p 1(2) p 1, 1 1 dx xp 1 p 1 x 1 1 p, p 1 p 1 因此因此當(dāng)當(dāng) p 1時廣義積分收斂，其值時廣義積分收斂，其值為為 1 ；p 1當(dāng)當(dāng) p 1時廣義積分發(fā)時廣義積分發(fā)散散. o, i iJy

39、$y()dbbo+cb/(z)dz , y( d . .:i a.aJ(z) dz-J-J(z) dz Ac r BU X if. 4ST J1. i *J1 I;- ,;y ,pJb/(,)dp2 z 4z 1 11 211 f= o i l y r- s jk. r yG& GT *fJ 5.7pa l e*dx( o0 ) t i 5. 8e 2z1回回顧顧曲邊梯形求面曲邊梯形求面積積的的問題問題A af ( x)dxb第五節(jié)、定積分應(yīng)用曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線 y f ( x)( f ( x) 0) 、 x 軸與軸與兩兩條條直直線線 x a 、 x

40、b所圍所圍成成。abxyoy f ( x)1、幾何上的應(yīng)用面積ax x dxb xyoy f ( x)A lim f ( i ) xi n 0 i 1 abf ( x)dx a f ( x)dx.bdA面面積積元元 素素一一、平面圖形的面、平面圖形的面積積1. 直角直角坐標(biāo)情坐標(biāo)情形形設(shè)曲線與直線及 x 軸所圍曲邊梯形面積為 A ,則dA f (x) dxA f (x) dxbaOaxbxyy f (x)x dxyby f2 (x)xay f1(x)Oxx d x f (x) f (x) dxA 右圖所示圖形，面積元素為dA f1(x) f2 (x)dxba12xyoy f ( x)axx x

41、bxyoy f1 ( x)y f ( x)2ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積A abf ( x)dx曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積A a f2 ( x) f1 ( x)dxbx xf1 (x) f2 (x) dxA baybxa x x d xy f2 (x)y f1(x)Oc f (x) f (x)dxca12 f (x) f (x)dxbc21A ( y) ( y) dydcy d yyOx ( y)xy d x ( y)cdA | f1(x) f2 (x) | dx有時也會選 y 為積分變量dA | ( y) ( y) | dy例例 1 1 計算由兩條拋物計算由兩條拋物線線 y2 x 和和

42、y x2 所所圍圍成成的的 圖形的面圖形的面積積.解解（1）作圖）作圖（2）求出兩曲）求出兩曲線線的的交點(diǎn)交點(diǎn)(0,0)(1,1)（3） 選選 x 為積分變量為積分變量x 0,1A ( x x2 )dx 101x3 3 0 3 223 x .13 y x2x y2（4）代公式代公式 A a f2 ( x) f1 ( x)dxb例例 2 2計算計算由由曲曲線線 y2 2x和和直線直線 y x 4所圍所圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn) y2 2 x y x 4 (2, 2), (8,4).選選 y 為積分變量為積分變量 y 2, 4dA y 4 y dy2 2 A dA 18.4 2 y2 2xy x 4解題解題步驟：步驟：(1) 畫出草圖；(2) 求出交點(diǎn)；(3) 選擇合適的積分變量，確定積分區(qū)間，計算。Ox x d x ayb例例3. 求橢圓解解: 利用對稱性 ,有 d A y dx所圍圖形的面積 .A 40y d x 4b0a利用橢圓的參數(shù)方程x