雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)精品教案

1、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第一課時(shí)（一）教學(xué)目標(biāo)1 .通過(guò)對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，掌握橢圓的范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、漸近線和離心率 等幾何性質(zhì).2 . 了解雙曲線中心、實(shí)軸、虛軸、漸近線等概念，以及 a、b、c、e的關(guān)系及其幾 何意義.3 .通過(guò)啟發(fā)、誘導(dǎo)，讓學(xué)生明確雙曲線性質(zhì)的研究過(guò)程和研究方法，培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比、 分析、歸納、猜想、概括、論證等邏輯思維能力.4 .通過(guò)類(lèi)比舊知識(shí)，探索新知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，探索新知識(shí)的能力及勇 于創(chuàng)新的精神.（二）教學(xué)過(guò)程吊【情境設(shè)置】提問(wèn)（1）前節(jié)課根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究了橢 圓的哪幾種性質(zhì)？（如圖）（范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率）22（2）請(qǐng)同學(xué)說(shuō)出橢圓 與=

2、1的幾何性質(zhì)：a b方口 性、程 質(zhì)22土+_V_121a b范圍-a <x <a , bEyEb對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心頂點(diǎn)四個(gè)、頂點(diǎn)坐標(biāo)離心離e = c/a,（幾何意義）（學(xué)生回答）教師用投影顯示下表，并畫(huà)出焦點(diǎn)在x軸上的橢圓說(shuō)明：研究雙曲線幾何性質(zhì)后，依次在另一縱列填上相應(yīng)的性質(zhì).上節(jié)課已根據(jù)雙曲線的特征（包括雙曲線的坐標(biāo)系內(nèi)的位置）導(dǎo)出了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程， 現(xiàn)在我們能根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究雙曲線的幾何性質(zhì)嗎？（板書(shū)課題）【探索研究】x2 V21 .類(lèi)比橢圓 f +今=1（a A0, b A0 ）的幾何性質(zhì)，探討雙曲線a2 b22 2 4=1佰>0, b>0）的幾

3、何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率. a b程序是：學(xué)生：自我思考一得出初步結(jié)論一小組討論一得出滿意結(jié)論一回答所得結(jié)論（與大家交宛）教師：?jiǎn)l(fā)誘導(dǎo)一點(diǎn)撥釋疑一補(bǔ)充完善 列表：程 質(zhì)22xy八八，八f=1(a >0, b >0 )222_乙=1何>0, b>0)/ b2范圍-a <x <a, -b < y < bx 之 a或 x < -a , y w R對(duì)稱(chēng)性關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱(chēng)的.（對(duì) 稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心）關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱(chēng) 的.（對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心）頂點(diǎn)四個(gè)、坐標(biāo)A1(-aQ),A2(a,0), B0,_b ), B20 b)二個(gè)坐標(biāo)

4、 A1(a,0), A2(a,0)離心離c . . . e =一,反映橢圓圓扁程度 ac .c = 一 >1 a（教師說(shuō)明實(shí)軸、虛軸、實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)）離心率的幾何意義下面繼續(xù)研究圖演示222C（a、b、c、e關(guān)系：c =a +b , e= >1）a2.漸近線的發(fā)現(xiàn)與論證22根據(jù)橢圓的上述四個(gè)性質(zhì)， 能較為準(zhǔn)確地把+L =1畫(huà)169出來(lái)嗎？（能）22根據(jù)上述雙曲線的四個(gè)性質(zhì)，能較為準(zhǔn)確地把土_y_ = 1畫(huà)出來(lái)嗎？（能）169通過(guò)列表描點(diǎn)，能把雙曲線的頂點(diǎn)及附近的點(diǎn)，比較精確地畫(huà)出來(lái)， 但雙曲線向何處伸展就不很清楚.1我們能較為準(zhǔn)確地回出曲線 y = ,這是為什么？（因?yàn)楫?dāng)雙曲線

5、伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它與xx1 軸、y軸無(wú)限接近）此時(shí)， x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線.x對(duì)漸近線并不陌生，例如：直線x=kn+（kw Z ）是正切函數(shù)y =tanx圖像的漸近線. 222問(wèn)：雙曲線4=1有沒(méi)有漸近線呢？如果有，又該是怎樣的直線呢？a2 b2引導(dǎo)猜想：在研究雙曲線范圍時(shí)，由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可解出:y = ±bdx2 -a2 二±b xJ1 -ay aa . xa2當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，' 就無(wú)限趨近于零，也就是說(shuō)，這時(shí)雙曲線x b線y = ±Bx無(wú)限接近.（引導(dǎo)學(xué)生分析、猜想）ab這使我們有理由猜想直線 y =x為雙曲線的漸近線.ab直線y =x恰好是過(guò)

6、實(shí)軸端點(diǎn) A、A2,虛軸端點(diǎn)Bi、B2,作平行于坐標(biāo)軸的直線ax = ±a , y = ±b所成的矩形的兩條對(duì)角線，那么，如何證明雙曲線上的點(diǎn)的沿曲線向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，與漸近線越來(lái)越接近呢？找學(xué)生板演其推理過(guò)程,其他方法用投影給出）顯然，只要考慮雙曲線在第一象限就可以了.學(xué)生探討證明方法，教師可給予適當(dāng)提示，尋找不同證明方法，對(duì)于基礎(chǔ)好一點(diǎn)的學(xué)生， 可能會(huì)得到如下三種證法.（板演其中一種,22x V 證法一：如圖，設(shè)M（x0, Vo為第一象限內(nèi)雙曲線 一2-22=1 a bb -22上的任一點(diǎn)，則y0=一寸x0a , M (x0, y0劇漸近線ay bx = 0 a的距離為:M

7、Qay。-bxob x(2 - a2 -bx0,a2b2b xo - x2 - a2 cc xox； -a2向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)，X0隨著增大,b就無(wú)限接近于直線 y=bxa證法二：如圖，設(shè)N為漸近線上與標(biāo)的點(diǎn)，于是 yN =bx。aMN | = yN _y。=b(x。- Jx2 -a2 aaX。abr=r點(diǎn)M沿曲線 22xo 一.： xo - a向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)，X0隨著增大,MP逐漸減小，于MQ也逐漸減小.證法三：設(shè)P為漸近線上與M （xo, y。后相同縱坐標(biāo)的點(diǎn)，于2a. y a -2.2xp=by°, xO =a+了 =by0+b1 MP = x0 xP =y； + b2 - y0 = b

8、*bb2ab點(diǎn)M沿曲線向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)，x0隨著增大,y0y2 b2MP逐漸減小，于MQ也逐漸減小，故把b22y=±x叫做雙曲線之一）=1的漸近線.aa b解決了雙曲線向遠(yuǎn)處伸展時(shí)的趨向問(wèn)題，從而可較準(zhǔn)確地畫(huà)出雙曲線，比如畫(huà)22土匕=1,先作雙曲線矩形，畫(huà)出其漸近線，就可隨手畫(huà)出比較精確的雙曲線.169（演示）3.離心率的幾何意義問(wèn)：橢圓的離心率反映橢圓的圓扁程度，那么雙曲線的離心率有何幾何意義呢?C22.2- e=，c>a, e>1 ,由等式 c -a =b ae越大（接近于1)bu °越接近于01雙曲線開(kāi)口越?。ū猹M） a be越大u 越大ua（完善表格）雙曲線開(kāi)

9、口越大（開(kāi)闊）4.說(shuō)出雙曲線2 y2 a2x-xy=1的幾何性質(zhì).（圖形演木）b25.鞏固練習(xí)題1.求下列雙曲線的漸近線方程，并畫(huà)出雙曲線. 4x2 - y2 = 4題2.已知雙曲線的漸近線方程為x±2y =0且雙曲線過(guò)點(diǎn) M 4, ,3M（4,“用分別求出兩雙曲線方程然后分別總結(jié)兩題的解題步驟, 間的內(nèi)在變化規(guī)律.最后通過(guò)仔細(xì)分析，揭示出雙曲曲線與其漸近線的方程雙曲線方程：4x2 -y2 =±4 ,漸近線方程：2x_y=0 x_2y=0一般地，雙曲線方程為 B2x2 A2y2 =C(C ¥0 ),它漸近線方程為 B2x2A2y2=0,即Bx ± Ay

10、=0 ,反之當(dāng)漸近線方程為Bx ± Ay =0時(shí)，它的雙曲線方程為：_2 22 2B x -A y =±m(m >0).(三)隨堂練習(xí)求下列雙曲線的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.(1) x2-8y2=32(2) x2-y2=-4答案：(1) 8尤,4, &4V2Q ) (±6,0 ) e = 32 , y = ±2x 44(2) 4, 4, (0, ±2 ),(0, ±V2 ), e = 42, y = ±x(四)總結(jié)提煉1 .雙曲線的幾何性質(zhì)及 a、b、c、e的關(guān)系，完善上述表格，(投影

11、顯示)2.漸近線是雙曲線特有性質(zhì)，其發(fā)現(xiàn)證明蘊(yùn)含重要的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法.3.雙曲線的幾何性質(zhì)與橢圓的幾何性質(zhì)有不少相同或類(lèi)似之處，要注意它們的區(qū)別與 聯(lián)系，不能混淆，列表如下：橢圓雙曲線方程22xy八F+F=1(a>0, b>0) ab224 = 1佰>0, b>0) a ba、b、c 的 關(guān)系c2 =a2 -b2(a > b > 0 )c2 = a2+b2(a >1, b>0)圖形ipFS Jpl范圍|x|a|y|<bix 占 ayw R對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：x軸、y軸 對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸：x軸、y軸 對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)(_a ,0(0,-b

12、)長(zhǎng)軸長(zhǎng)2 a)、(a ,0)、(0, b),短軸長(zhǎng)2b(-a,0 )、(a,0)實(shí)軸長(zhǎng)2 a虛軸長(zhǎng)2b離心率e = , (0 <e < -1) ae = , (e>1 ) a漸近線無(wú)有兩條，其方程為b y = ±xa（五）布置作業(yè)1 .雙曲線x2 y2 = 3的（）a.頂點(diǎn)坐標(biāo)是 住J3,0、虛軸端點(diǎn)坐標(biāo)是 9，士J3）B.頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0, 土 V3 1虛軸端點(diǎn)坐標(biāo)是（±，3,0）C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是 住。3,0 ）,漸近線方程是 y = ±xx = yY2倍,且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0, 2）,224422左-幺=184d .虛軸端點(diǎn)坐標(biāo)是（0, 士 73）,漸近線方程是2 .雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于其焦距的則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）22x y /A.-=14422y x .c.匚=1483.雙曲線中a, b, c的長(zhǎng)成等差數(shù)列，則224,以橢圓 +L=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是 . 855 .已知下列雙曲線方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.（1） 16x29y2 =144 ；（2） 16x29y2 =-144 .6 .求一條漸近線方程是 3x+4y=0, 一個(gè)焦點(diǎn)是（4, 0）的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.5x2 y254答案：1.B;2. B