導(dǎo)數(shù)概念教案

1、導(dǎo)數(shù)的概念(教案講稿.PPT)一、教案【教學(xué)目標(biāo)】、知識(shí)與技能目標(biāo)1 .了解導(dǎo)數(shù)的歷史背景，體會(huì)導(dǎo)數(shù)定義的探索過程2 .掌握導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，初步會(huì)用它進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算求解.3 .使學(xué)生深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)在幾何、物理上的意義，能夠根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù).(2)、過程與方法目標(biāo)1.在導(dǎo)數(shù)定義的過程中，用形象直觀的兩個(gè)實(shí)際例子作為引例，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、抽象思維能力.體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.2,通過探究導(dǎo)數(shù)定義的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。(3)、情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)1 . 了解導(dǎo)數(shù)發(fā)現(xiàn)的歷史，感受數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)， 探究數(shù)學(xué)的興趣與本領(lǐng)。2 .在探究活動(dòng)中

2、，體驗(yàn)用極限方法解決平均變化率逼近某點(diǎn)處的變化率的思想，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念.【教學(xué)難點(diǎn)】如何引出導(dǎo)數(shù)的概念，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算導(dǎo)數(shù) .【教學(xué)方法】形象直觀式教學(xué)法、問題探究式教學(xué)法.【背景知識(shí)】自由落體物體的瞬時(shí)速度問題，曲線切線的斜率問題等 .【特色和創(chuàng)新之處】用通俗易懂的語言，通過文、理結(jié)合的方式，最后以口訣的形式結(jié)尾，講解抽象的內(nèi)容，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的草根本色?！窘虒W(xué)進(jìn)程概要】用兩個(gè)實(shí)際問題闡述函數(shù)在一點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)的定義，由例題1和例題2,來講述在一點(diǎn)上求導(dǎo)的方法；接著由例題 2,引出函數(shù)左、右導(dǎo)數(shù)的概念；用例題 3引出在 開區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)，即導(dǎo)函數(shù)的定義，在此基礎(chǔ)上給出求導(dǎo)

3、函數(shù)的例子，例題 4;最后以口訣的形式結(jié)尾?！景鍟鴥?nèi)容】導(dǎo)數(shù)的概念，、. S .文篦川四7二1明s(tot) S(to)kMT. y .: lixm 二 lixmf (x°x) f (x。)對一般函數(shù):y= f(x)y 1x30y: l ixmo 二則f(Xox) - f (Xo)yy = lim 口 = lim lxT . x=xTf (x ： =x) - f (x)二、講稿（一）、引言在前面，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的極限，利用極限討論了函數(shù)的一種性質(zhì)，叫連續(xù)，即：1典Ay=0,今天我們來研究函數(shù)的另外一種性質(zhì)。下面我們通過兩個(gè)實(shí)際的 問題引出這種性質(zhì)的概念描述。（二）、問題的實(shí)際背景首先

4、是一個(gè)物理問題，自由落體運(yùn)動(dòng)（讓粉筆落下）。*1、自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度：英國物理學(xué)家牛頓在研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)問題。設(shè)想有一鋼球做自由落體運(yùn)動(dòng)，自由落體運(yùn)動(dòng)的高度和時(shí)間容易 3八，L 12測量，他發(fā)現(xiàn)距離和時(shí)間的關(guān)系是：s = gt。這不是一個(gè)2勻速運(yùn)動(dòng)，速度每時(shí)每刻都在變化著。那么鋼球在時(shí)刻t的瞬里1強(qiáng)感熱，黎時(shí)速度如何來求？牛頓的辦法如下：用短時(shí)間段At內(nèi)的平均速度近似瞬時(shí)速度。他考慮t0時(shí)刻之 后經(jīng)過一個(gè)極短的瞬間At到達(dá)t時(shí)刻，即t = t0+ t ,在這一瞬間鋼球所走的路程為：=8（10+的-9）。這樣，在這一時(shí)間段內(nèi)的平均速度應(yīng)該是:ss(t0t)- s(t0)tt1gt0

5、2g tt越小，平均速度就越接近于瞬時(shí)速度，當(dāng)&tT 0時(shí)，平均速度的極限就是瞬時(shí)速度sv(tJ = lim TimWtt)- s(t)t二 gt這里討論的是一個(gè)物理問題，它體現(xiàn)的是平均變化率接近瞬時(shí)變化率的思想 卜面來看一個(gè)幾何上的問題2、幾何曲線的切線斜率問題德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在研究曲線切線的斜率的時(shí)候也碰到了類似的問題。給定一曲線f(x),求過M (x0,y0)點(diǎn)的切線的斜率k。什么是切線呢？和閉曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線稱為切線(見下圖2和圖3),這種定義對于圓和橢圓等曲線是可行的，但對于一般的曲線就不行了。因此要有更為 普遍可行的切線定義。圖2與圓只有一個(gè)公 共交點(diǎn)的直線一切線圖

6、M與橢圓F有一個(gè)會(huì) 共交點(diǎn)的直線切線圖4 與曲線只有一個(gè)公 共交點(diǎn)的直線不是切線)什么是切線，如何來定義切線呢？萊布尼茨是這么來考慮的：考慮曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N(x,y),其中y = f (x), X = x0 + X。MN為曲線的一割線，當(dāng)N沿著曲線向M無限接近的時(shí)候，割線的極限位置為 MT ,稱MT為切線。根據(jù) 定斜式知道確定一點(diǎn)處的切線就是確定斜率。用0善一塞的極明一司我沿曲線當(dāng)N T M時(shí)，則有：割線T切線，從而有kMN T kMT ,其中kMN為割線的斜率，女乂丁為切線的斜率。割線斜率kMN為:kMN ttan：=f(x。")所以切線斜率kMT:,yNT =1叩。k-=10。

7、3=1巳。f(Xox) - f (X0)y = f(x)x。 x x圖6割耀#EV的極限位置一好低這里體現(xiàn)的也是函數(shù)平均變化率逼近某點(diǎn)處的變化率問題。從上述兩個(gè)例題中,我們發(fā)現(xiàn)：雖然它們是兩個(gè)不同范疇的實(shí)際問題，但它們的數(shù)學(xué)形式是一樣的:ss(t。t) - s(t。)wt。)： lim 7t 二則ykMT - lim -二則f(X0x)- f (4)都是對某點(diǎn)處函數(shù)增量與自變量增量之比取極限。類似的問題還很多，如電流 強(qiáng)度，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際等等，所以對兩個(gè)增量之比取極限，這個(gè)東西并不是突然從天上掉下來的，硬要說是天上掉下來的，也是天上掉下個(gè)“林妹妹”。這個(gè)“林妹 妹”就是“定義1”（板書）。（三

8、）、導(dǎo)數(shù)的定義1、定義定義1：設(shè)函數(shù)y= f （x）在點(diǎn)x。的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x。處取得增量x時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)y取得增量Ay = f（xo + Ax）- f（x。）。若極限f (x。x) - f (x。)(1)存在，則稱函數(shù)y = f （x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)（這就是我們今天要講的函數(shù)的另一性質(zhì):可導(dǎo)性），并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)x。處的導(dǎo)數(shù)（言下之意，導(dǎo)數(shù)就是按增量之比取極限這一規(guī)則導(dǎo)出的數(shù)）。記為：yx=。，或者 f （X。）,當(dāng)dfx=x。dxOx二x。若上述極限不存在，則稱函數(shù)y= f（x）在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，或者說函數(shù)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)不存在。（板書）這些記號(hào)都是導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，隨便用哪一個(gè)

9、都行。它們就像“林妹妹”的衣服，“傳統(tǒng)服”、“休閑服”、“便裝”、“泳裝”。不過，無論穿了什么衣服，都還是這個(gè)“林 妹妹”。導(dǎo)數(shù)的表示還不止這一些。有人覺得&x不好看，我們就用一個(gè)符號(hào)h來表示。即令h = Ax,定義式（1） 也可簡單的寫成如下的形式：f(X0)=曬f(Xo h)- f (Xo)h(2)又有人認(rèn)為x0+h不夠漂亮，不妨用一個(gè)x來表示，即x= x0 + h,由于x0是固定的，那么hT 0等價(jià)于xt Xo,上述定義式（2）就可等價(jià)的寫成下面的形f （“卜呵f(x)- f(x。)x - xo(3)這么多表示方法，這么多記號(hào)，說明一個(gè)問題：導(dǎo)數(shù)的概念很重要牛頓在數(shù)學(xué)上最卓越的成

10、就是獨(dú)立地創(chuàng)建了微積分。萊布尼茲創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)對 微積分的發(fā)展有極大的影響。導(dǎo)數(shù)的符號(hào)是采用萊布尼茨的。萊布尼茨是一位數(shù)學(xué)界的符號(hào)大師，很多符號(hào) 都是采用他的，他發(fā)表微積分論文的時(shí)間要早于牛頓，但牛頓最先發(fā)現(xiàn)微積分，就 把手稿放在家里，萊布尼茨的論文發(fā)表之后，有人認(rèn)為萊布尼茨剽竊了牛頓的科研 成果，萊布尼茨覺得自己很冤，“他是先有導(dǎo)數(shù)后有積分，我是先有積分后有導(dǎo)數(shù), 他在英國，我在德國。我可沒偷他的九陰真經(jīng)，我可不是梅超風(fēng)”。后來人們公認(rèn)的是，他們兩個(gè)從不同的角度獨(dú)立發(fā)明了微積分。他們都是微積分的奠基人。閑話少 說，下面我們考慮如何求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。2、點(diǎn)導(dǎo)數(shù)例題例1、求函數(shù)y = C在

11、點(diǎn)x = x0處的導(dǎo)數(shù)。解：第 步求增量：yy= f(X0 + Ax)- f(Xo) = C-C= 0第二步求比值:第三步取極限：Cx=Hxmo0 = 0所以，函數(shù)y=C在點(diǎn)x= x0處的導(dǎo)數(shù)包為00說明，對于常數(shù)函數(shù)而言，他在X。點(diǎn)處的變化率為0是不是一個(gè)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)，每一點(diǎn)處都可導(dǎo)呢？下面我們就來考慮例2例2、討論函數(shù)y = |x|在x = 0處是否可導(dǎo)？解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義及求導(dǎo)數(shù)的步驟，易判斷函數(shù)在x = 0處的可導(dǎo)性。第一步求增量：y =| x|第二步算比值：二丫 = l兇x x第三步取極限：lim = limx 0 : xx 0 , x要將絕對值符號(hào)去掉，必須討論 x的符號(hào)問題:

12、lim四二x 0- x其左極限為-1 ,而右極限為1 ,左、右極限不相等。圖10根根頭發(fā)閃閃發(fā)亮 條條曲線處處可導(dǎo)則lmx'不存在，可見函數(shù)f (x)在點(diǎn)x= 0處的導(dǎo)數(shù)不存在，也就說明：一個(gè)函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)并不是每一點(diǎn)處都可導(dǎo)的。在例2中，從直觀上看：該函數(shù)的圖形在 X=0處切線不存在，即曲線在該點(diǎn)處不光滑。一般來說函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)(即切線存在)，其圖形必須在該點(diǎn)光滑。很多 同學(xué)都到過美發(fā)店，美發(fā)店做出來的頭發(fā)曲線優(yōu)美，非常光滑，用今天的話來說， 就是根根頭發(fā)閃閃發(fā)亮，條條曲線處處可導(dǎo)。從上面的例2中我們還發(fā)現(xiàn)，雖然他的極限不存在，但是它在 0點(diǎn)處的左極限 和右極限還是存在，只是可

13、惜不相等。這就是所謂左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。3、單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義 2:如果 lim f(xo + iX)- f(xo)存在，則稱該極限為左導(dǎo)數(shù)，記為x0-f(X0)；如果lim f (x0 + "x) f (xo)存在，則稱該極限為右導(dǎo)數(shù),記為f；(X0) i.x >0X左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。定理1：函數(shù)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)U左導(dǎo)數(shù)f二(xo)和右導(dǎo)數(shù)f；(X0)都存在且相等。前面例2中，我們有結(jié)論，函數(shù)圖形在光滑的地方存在切線，下面我們來求一求正弦函數(shù)在(-«,+«)內(nèi)的某一點(diǎn)小處的導(dǎo)數(shù)。例3設(shè)函數(shù)y=sinx,求函數(shù)在某點(diǎn)看點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。oc + P oc _ P解

14、：由公式： since -sin P =2cossin可知:sin(x0x) - sin x(sinx) |x* = lim。22x Lx x 2cos(xo)sin：2_2_xx=lxmoc0s(x0 y).x sin一2-二 cosx0 x2即：(sinx) lx。= cosx。例3中，若將換成x ,正弦函數(shù)在任意一點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)為cosx ,它是x的函數(shù)，把這樣的函數(shù)叫做導(dǎo)函數(shù)。下面給出導(dǎo)函數(shù)的具體定義4、導(dǎo)函數(shù)定義3：如果函數(shù)y= f(x)在開區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)。對于任一 xw I ,都對應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這個(gè)函dy df數(shù)叫做原函數(shù)f

15、(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。記作y，f何，冠&。即yy = lxm0-x = lxm。f (x x) - f (x)二眄f (x h)- f (x)這里，將函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)的性質(zhì)推廣到了在一個(gè)區(qū)間上的可導(dǎo)性，將點(diǎn)導(dǎo)數(shù) 的概念推廣到了導(dǎo)函數(shù)的概念上。下面來看幕函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的例題。例 4、設(shè)函數(shù) y = f (x) = x xw (0, +笛)，求 y，解：yT3mf (x h) - f(x)(x h) - x(1 h) 1二 x=xhim0h (等價(jià)無窮?。?1+-)a-lQ«-xx" x ' lim x _ _ x h >0 h - x1即：(x ) = u x o(四)、小結(jié):今天我們主要是講了求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，先給自變量一個(gè)增量Ax,并求函數(shù)的增量Ay (或者說函數(shù)的改變量Ay),接著將兩個(gè)改變量相除,最后求比值的極限，計(jì)算是比較簡單的，