電磁場(chǎng)-點(diǎn)電荷-電場(chǎng)線-電勢(shì)-MATLAB--仿真-中南大學(xué)(2024063506)

1、電磁場(chǎng)理論實(shí)驗(yàn)一利用Matlab模擬點(diǎn)電荷電場(chǎng)的分布.實(shí)驗(yàn)?zāi)康模? .熟悉單個(gè)點(diǎn)電荷及一對(duì)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)分布情況；2 .學(xué)會(huì)使用Matlab進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并繪出相應(yīng)的圖形；二.實(shí)驗(yàn)原理:根據(jù)庫(kù)倫定律：在真空中，兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間的作用力與這兩個(gè)電荷的電 量乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比，作用力的方向在兩個(gè)電荷的連線上，兩電荷同號(hào)為斥力，異號(hào)為吸力，它們之間的力 F滿足：F k警RR2式 1由電場(chǎng)強(qiáng)度E的定義可知:式 2對(duì)于點(diǎn)電荷，根據(jù)場(chǎng)論根底中的定義，有勢(shì)場(chǎng)E的勢(shì)函數(shù)為式3式4kQRUU,電場(chǎng)強(qiáng)度E后，可以用Matlab在Matlab中，由以上公式算出各點(diǎn)的電勢(shì) 自帶的庫(kù)函數(shù)繪出相應(yīng)電荷

2、的電場(chǎng)分布情況三實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：1.單個(gè)點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷的平面電力線和等勢(shì)線真空中點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)大小是 E=kq /rA2，其中k為靜電力恒量,q為電量,r為點(diǎn)電荷到場(chǎng)點(diǎn)Px,y的距離.電場(chǎng)呈球?qū)ΨQ分布，取電量q> 0,電力線是以電荷為 起點(diǎn)的射線簇.以無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)點(diǎn)，點(diǎn)電荷的電勢(shì)為U=kq /r,當(dāng)U取常數(shù)時(shí)，此 式就是等勢(shì)面方程 .等勢(shì)面是以電荷為中心以 r 為半徑的球面 .平面電力線的畫(huà)法在平面上,電力線是等角分布的射線簇,用MATLAB畫(huà)射線簇很簡(jiǎn)單.取射 線的半徑為 ( 都取國(guó)際制單位 ) r0, 不同的角度用向量表示 ( 單位為弧度 ) th=linspace(0,2*pi,13).射

3、線簇的終點(diǎn)的直角坐標(biāo)為：x,y=pol2cart(th,r0).插入 x 的 起始坐標(biāo)x=x; *x.同樣插入y的起始坐標(biāo)，y=y; *y, x和y都是二維數(shù)組，每 一列是一條射線的起始和終止坐標(biāo).用二維畫(huà)線命令plot(x,y)就畫(huà)出所有電力線.平面等勢(shì)線的畫(huà)法在過(guò)電荷的截面上 , 等勢(shì)線就是以電荷為中心的圓簇 , 用 MATLAB 畫(huà)等勢(shì) 線更加簡(jiǎn)單 .靜電力常量為 k=9e9, 電量可取為 q=1e- 9; 最大的等勢(shì)線的半徑應(yīng) 該比射線的半徑小一點(diǎn)？ r0.其電勢(shì)為u0=k8q /r0.如果從外到里取7條等勢(shì)線，最 里面的等勢(shì)線的電勢(shì)是最外面的 3 倍, 那么各條線的電勢(shì)用向量表示為

4、： u=linspace(1,3,7)*u0.從-r0到r0取偶數(shù)個(gè)點(diǎn)，例如100個(gè)點(diǎn)，使最中心點(diǎn)的坐 標(biāo)繞過(guò) 0, 各點(diǎn)的坐標(biāo)可用向量表示 ： x=linspace(- r0,r0,100), 在直角坐標(biāo)系中可 形成網(wǎng)格坐標(biāo)：X,Y=meshgrid(x).各點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為：r=sqrt(X.A2+Y.A2),在乘 方時(shí), 乘方號(hào)前面要加點(diǎn) , 表示對(duì)變量中的元素進(jìn)行乘方計(jì)算 .各點(diǎn)的電勢(shì)為 U=k8q. /r, 在進(jìn)行除法運(yùn)算時(shí) , 除號(hào)前面也要加點(diǎn) , 同樣表示對(duì)變量中的元素進(jìn) 行除法運(yùn)算 .用等高線命令即可畫(huà)出等勢(shì)線 contour(X,Y,U,u), 在畫(huà)等勢(shì)線后一般 會(huì)把電力線擦

5、除 , 在畫(huà)等勢(shì)線之前插入如下命令 hold on 就行了.平面電力線和 等勢(shì)線如圖 1, 其中插入了標(biāo)題等等 .越靠近點(diǎn)電荷的中心 , 電勢(shì)越高, 電場(chǎng)強(qiáng)度 越大, 電力線和等勢(shì)線也越密 .單個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線與等勢(shì)線0.15圖1點(diǎn)電荷的立體電力線和等勢(shì)面立體電力線的畫(huà)法先形成三維單位球面坐標(biāo)，繞z軸一周有8條電力線X,Y,Z=sphere(8),每維 都是9X 9的網(wǎng)格矩陣,將X化為行向量,就形成各條電力線的終點(diǎn)x坐標(biāo) x=r0=X(:)',其他兩個(gè)坐標(biāo)也可同樣形成終點(diǎn)坐標(biāo)y=r0+Y(:)' , z=r0+Z(:)'.對(duì)x坐標(biāo)插入原點(diǎn)x=x(zeros(size(x

6、),其他兩個(gè)坐標(biāo)如下形成y=y(zeros(size(y), z=z(zeros(size(z),用三維畫(huà)線命令plot3(x,y,z),就畫(huà)出所有電力線.立體等勢(shì)面的畫(huà)法畫(huà)5條等勢(shì)面時(shí),各面的電勢(shì)為u=linspace(1,3,5)+u0,各等勢(shì)面的半徑為 r=k6q. /u,其中第一個(gè)球面的半徑為rr=r(1).三維單位球面的坐標(biāo)可由 X,Y,Z=sphere命令形成，每維都是21X 21的網(wǎng)格矩陣，由于外球會(huì)包圍內(nèi)球， 因此把球面的四分之一設(shè)為非數(shù),表示割去該局部Z(X<0&丫<0)=nan.用曲面命 令可畫(huà)出第一個(gè)曲面surf(rr6X,rr6Y,rr6Z),只要取

7、不同的半徑就能畫(huà)出不同的等 勢(shì)面.為了使等勢(shì)面好看，可設(shè)置一個(gè)顏色濃淡連續(xù)變化的命令 shadi ng in terp點(diǎn) 電荷的立體電力線和等勢(shì)面如圖2,旋轉(zhuǎn)圖片可從不同的角度觀察.正電荷電場(chǎng)線等勢(shì)面的三維圖形0.20.150.1 -0.05 .-0.05-0.1-0.15-0.20.20.10.20.1-0.1-0.1y圖2-0.2 -0.22 一對(duì)點(diǎn)電荷平面等勢(shì)線的畫(huà)法,電量不妨分仍然用MATLAB的等高線命令畫(huà)等勢(shì)線.對(duì)于正負(fù)兩個(gè)點(diǎn)電荷 別取q1=2e- 9,q2=- 1e- 9,正電荷在x軸正方,負(fù)電荷在x軸負(fù)方,它們到原點(diǎn) 的距離定為a=0.02;假設(shè)平面范圍為xx0=0.05,yy

8、0=0.04,兩個(gè)坐標(biāo)向量分別 x=linspace(- xx0,xx0,20)和 y=linspace(- yy0,yy0,50).設(shè)置平面網(wǎng)格坐標(biāo)為 X,Y=meshgrid(x),各點(diǎn)到兩電荷的距離分別為 r仁sqrt(X- a).A2+Y.A2)和 r2=sqrt(X+a).A2+Y.A2).各點(diǎn)的電勢(shì)為 U=k6q1. /r1+k6q2. /r2,取最高電勢(shì)為 u0=50, 最低電勢(shì)取其負(fù)值.在兩者之間取11個(gè)電勢(shì)向量u=linspace (u0,- u0,11),等高線 命令contour(X,Y,U,u,'k-')用黑實(shí)線,畫(huà)出等勢(shì)線如圖4所示,其中,左邊從里到

9、外的第6條包圍負(fù)電荷的等勢(shì)線為零勢(shì)線.平面電力線的畫(huà)法利用MATLAB的箭頭命令,可用各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向代替電力線.根據(jù)梯度可求各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的兩個(gè)分量Ex,Ey=gradient(- U),合場(chǎng)強(qiáng)為E=sqrt(Ex.A2+Ey.A2).為了使箭頭等長(zhǎng),將場(chǎng)強(qiáng)Ex=Ex. /E,Ey=Ey. /E歸一化,用箭頭命令 quiver(X,Y,Ex,Ey)可標(biāo)出各網(wǎng)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向，異號(hào)點(diǎn)電荷對(duì)的場(chǎng)點(diǎn)方向如 圖3所示.為了畫(huà)出連續(xù)的電力線，先確定電力線的起點(diǎn)電荷的半徑可取為ro=O.OO2, 如圖4所示，假設(shè)第一條電力線的起始角為30度,其弧度為q=30+pi /180,起始 點(diǎn)到第一個(gè)點(diǎn)電荷的坐標(biāo)

10、為 x仁r0+cos(q),y=r0+sin(q),到第二個(gè)點(diǎn)電荷的坐標(biāo)只 有橫坐標(biāo)x2=2+a+x1不同.用前面的方法可求出該點(diǎn)到兩個(gè)電荷之間的距離r1和r2,從而計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的兩個(gè)分量以及總場(chǎng)強(qiáng)Ex=q1+x1 /r1A3 +q2+x2 /r2A3,Ey=q1+y/r1A3+q2+y/r2A3, E=sqrt(Ex6Ex+Ey6Ey).下面只要用到場(chǎng)強(qiáng)分量與總場(chǎng) 強(qiáng)的比值，在計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)分量時(shí)沒(méi)有乘以靜電力常量k.由于電力線的方向與場(chǎng)強(qiáng)的切線方向相同,取線段為s=0.0001 由此可求出終點(diǎn)的坐標(biāo)為 x1=x1+s#Ex/E,y=y+s+Ey/E,從而計(jì)算x2.以終點(diǎn)為新的起點(diǎn)就能計(jì)算其他終點(diǎn).

11、當(dāng)終點(diǎn)出界時(shí)或者到達(dá)另一點(diǎn)電荷時(shí)，這個(gè)終點(diǎn)可作為最后終點(diǎn).這種計(jì)算電力 線的方法稱為切線法.y 0對(duì)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)分布圖0.050.040.030.020.01-0.01-0.02-0.03-0.04一對(duì)不相等的電荷的等勢(shì)線圖和電場(chǎng)線圖0.050.040.030.020.01-0.01-0.02-0.03-0.04-0.05-0.05,/2*? <-F- h*i雀' 時(shí).Td !#、峯't十r*- -1KH.4 m廠 JV1 -Vxr«-i>-乂./%/*' v崔 L_ h -*"-w +- ： - - z、T1 q z、. x - *i&

12、quot;【-.-/9' - / 11 fl=一 A*-:.'-" Vu -.-!：i L1二 Ttjj 3(v 一11 1 1 1'、q .宰C' I-11 J.1 rr r -y * .'""Th' i.;耳M.1/ >"- . -K E=r r",-r*>1屮H >1/n/f1-廠薩* /*-r-_梓*/ A: X.-'“=-./ $ATl*- 甲;%, <直- 1%K ' *J.'-r 4.- -.Jt-a/、I、 >>1F Jf

13、r'l、 >(!氣 -0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05-5點(diǎn)電荷電場(chǎng)分布的3-D圖100 一0.5-0.5-1.5-2-2-102 1.5局部 M-file;1. 點(diǎn)電荷的平面電力線和等勢(shì)線 %點(diǎn)電荷的平面電力線和等勢(shì)線 %平面電力線的畫(huà)法 q=1e-9;r0=0.12; th=linspace(0,2*pi,13); x,y=pol2cart(th,r0);x=x;0.1*x;y=y;0.1*y;plot(x,y);grid onhold on plot(0,0,'o','MarkerSize',1

14、2) xlabel('x','fontsize',16) ylabel('y','fontsize',16)title('單個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線與等勢(shì)線','fo ntsize',20)%平面等勢(shì)線的畫(huà)法k=9e9;r0=0.1;u0=k*q/r0;u=linspace(1,3,7)*u0;x=linspace(-r0,r0,100);X,Y=meshgrid(x);r=sqrt(X.A2+Y.A2);U=k*q./r;hold on;contour(X,Y,U,u)2);2. 一對(duì)電荷平面等勢(shì)線和電場(chǎng)

15、線圖%一對(duì)電荷平面等勢(shì)線和電場(chǎng)線clear all;clf;%平面等勢(shì)線的畫(huà)法q1=2e-9;q2=-1e-9;a=0.02;%到原點(diǎn)的距離xx0=0.05;yy0=0.04;k=9e9;x=linspace(-xx0,xx0,20);y=linspace(-yy0,yy0,50);X,Y=meshgrid(x);r11=sqrt(xx0/1.7-a)A2+(yy0/1.7)A r22=sqrt(xx0/1.7+a)A2+(yy0/1.7)A r1=sqrt(X-a).A2+Y.A2);%各點(diǎn)到點(diǎn)電荷的距離r2=sqrt(X+a).A2+Y.A2);U=k*q1./r1+k*q2./r2;%各

16、點(diǎn)的電勢(shì)u0=k*q1/r11+k*q2/r22; u=linspace(u0,-u0,11); %取21 個(gè)等勢(shì)向量contour(X,Y,U,u,'k-');hold ongrid on plot(a,0,'o','MarkerSize',12); plot(-a,0,'o','MarkerSize',12); xlabel('x','fontsize',16); ylabel('y','fontsize',16);%平面電力線的畫(huà)法Ex,Ey=g

17、radient(-U);E=sqrt(Ex.A2+Ey.A2);Ex=Ex./E;Ey=Ey./E;hold on;quiver(X,Y,Ex,Ey);title('對(duì)不相等的電荷的等勢(shì)線 圖和電場(chǎng)線圖 ','fontsize',20)clear;4.3. 立體電力線的畫(huà)法%立體電力線的畫(huà)法q=1e-9;X,Y ,Z=sphere(8);r0=0.18;r1=0.2;k=9e9;u0=k*q/r0;x=r1*X(:)'y=r1*Y(:)'z=r1*Z(:)'x=x;zeros(size(x);y=y;zeros(size(y);z=z;z

18、eros(size(z);plot3(x,y,z)hold on;%立體等勢(shì)線之畫(huà)法u=linspace(1,3,5)*u0;%畫(huà) 5 條等勢(shì)面時(shí) , 各面的電勢(shì) 為 u=linspace(1,3,5)+u0, r=k*q./u;%各等勢(shì)面的半徑為 r=k6q. /u X,Y ,Z=sphere; Z(X<0&Y<0)=nan; surf(r(1)*X,r(1)*Y ,r(1)*Z);%第一到第五個(gè)球面 surf(r(2)*X,r(2)*Y ,r(2)*Z); surf(r(3)*X,r(3)*Y ,r(3)*Z); surf(r(4)*X,r(4)*Y ,r(4)*Z);

19、 surf(r(5)*X,r(5)*Y ,r(5)*Z); shading interp % 個(gè)顏色濃淡連續(xù)變化的命令 shading interp.xlabel('x','fontsize',16);ylabel('y','fontsize',16);zlabel('z','fontsize',16); title('正電荷電場(chǎng)線等勢(shì)面的三維 圖形','fo ntsize',20);clear all;clf;q1=1;q2=1;a=0.02;xx0=0.05;yy

20、0=0.04;k=9e9;x=linspace(-xx0,xx0,20);y=linspace(-yy0,yy0,50);X,Y=meshgrid(x);r1仁 sqrt(xx0/1.7-a)A2+(yy0/1.7)A2);r22=sqrt(xx0/1.7+a)A2+(yy0/1.7)Ar1 =sqrt(X-a).A2+Y.A2); r2=sqrt(X+a).A2+Y.A2); U=k*q1./r1+k*q2./r2; u0=k*q1/r11+k*q2/r22; u=linspace(u0,-u0,11); contour(X,Y,U,u,'k-');hold onEx,Ey=

21、gradient(-U);E=sqrt(Ex.A2+Ey.A2);Ex=Ex./E;Ey=Ey./E; dth1=20;th1=(dth1:dth1:180-dth1)*pi/180; r0=a/5;clear;x1=r0*cos(th1)+a; y1=r0*sin(th1); streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1); streamline(-X,-Y,-Ex,-Ey,x1,-y1); q=abs(q1/q2);dth2=dth1/q; th2=(180-dth2:-dth2:dth2)*pi/180; x2=r0*cos(th2)-a;y2=r0*sin(th2); stre

22、amline(X,Y,Ex,Ey,x2,y2); streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x2,-y2); grid on plot(a,0,'o','MarkerSize',12); plot(-a,0,'o','MarkerSize',12); xlabel('x','fontsize',16); ylabel('y','fontsize',16);title(' 一對(duì)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)分布圖 '); clear;clear all;clf;q1=

23、1;q2=1;a=0.02;xx0=0.05;yy0=0.04;k=9e9;x=linspace(-xx0,xx0,20);y=linspace(-yy0,yy0,50);X,Y=meshgrid(x);r1仁 sqrt(xxO/1.7-aF2+(yyO/1.7F2);r22=sqrt(xxO/1.7+a)A2+(yyO/1.7)A2);r1=sqrt(X-a).A2+Y.A2); r2=sqrt(X+a).A2+Y.A2); U=k*q1./r1+k*q2./r2; uO=k*q1/r11+k*q2/r22; u=linspace(uO,-uO,11);contour(X,Y,U,u,'k-');