種群相互依存模型

1、種群的相互依存摘要：甲乙兩種群的相互依存有三種形式：1) 甲可以單獨生存，乙不能單獨生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增 長。2) 甲乙均可以單獨生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。3) 甲乙均不能單獨生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。本文分別對這三種相互依存的關(guān)系進行分析，從種群的增長規(guī)律出發(fā)，對 Logistic 模型進行修改，建立兩種群相互依存的模型。并通過微分方程組描述 了兩種群數(shù)量的變化規(guī)律，且對微分方程組穩(wěn)定點的分析，分別得出了兩種群相 互依存的條件。關(guān)鍵詞：Logistic模型微分方程組穩(wěn)定點鞍點平衡點自治方程第一種情況的分析：1.丨模型假設(shè)Xi(t)、X2

2、(t)表示甲、乙二種群在時刻t的數(shù)量，r1表示甲種群的固有增長率N i(i 1,2)分別表示甲、乙二種群在單種群情況下自然資源所能承受的最大種群 數(shù)量2. 甲單獨生存時，數(shù)量變化服從 Logistic 規(guī)律；甲乙一起生存時乙為甲提供食 物、促進增長。3. 乙種群沒有甲的存在會滅亡，死亡率為r2 ,甲乙一起生存時甲為乙提供食物、 促進增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用 (服從Logistic 規(guī)律)。4. 乙為甲提供食物是甲消耗的1倍,甲為乙提供食物是乙消耗的2倍(2.)模型建立：經(jīng)過分析得到以下方程：X1(t)1 X2 (1X1N1X2N2(1)X2(t)X12N上式刻畫了區(qū)域所考查的兩種群的

3、開展規(guī)律，即為依存模型(3)模型求解：欲求此問題的相互依存的條件我們先來介紹以下的知識內(nèi)容:微分方程理論性簡介： 此問題為動態(tài)過程，且建此模的目的是研究時間 充分長以后過程的變化趨勢 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。 為了分析這種穩(wěn)定與不 穩(wěn)定我們常常不是通過求解微分方程，而是通過用微分方程穩(wěn)定性理論研究 平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。a. 一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性設(shè)一階微分方程為 x(t) f (x) 1, 方程右端不顯含自變量 t, 稱為一 階非線性自治方程。 f (x) 0 的實根 x x0 為微分方程 1的平衡點 . 同時也是方程 1的解奇解。判斷平衡點是否穩(wěn)定的方法：間接法：假設(shè)從x0某鄰域的任一初值出

4、發(fā)，都有l(wèi)im it x(t) Xo ,稱x0 是方程 (1) 的穩(wěn)定平衡點。直接法： (1) 的近似線性方程 x(t) f (x0)(x x0)2，f (Xo) 0，那么Xo對于方程1和2都是穩(wěn)定的；f (Xo) 0，那么Xo對于方程1和2都是不穩(wěn)定的;b. 二階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性二階方程可用兩個一階方程表示為：3X1(t)f (X1,X2)?X2(t)g(X1,X2 )右端不顯含自變量 t 是自治方程。代數(shù)方程組：f(X1,X2) og(X1,X2) o的實根 X1 X1o , X2 X2o 為微分方程 3的平衡點 .記作 Po(X1o,X2o)判斷平衡點是否穩(wěn)定的方法：間 接 法

5、 ： 假 設(shè) 存 在 某 個 鄰 域 的 任 一 初 值 出 發(fā) ， 都有 lim it Xi(t) x；, lm it X2(t) x°，稱 Po(xi°,x；)是方程 的穩(wěn)定平衡點。直接法：的近似線性方程:?Xi (t)-f(Xi°,X；)(Xi0Xi )(Xi X)(X20X2)XiX25X2 (t)-g(Xi0,X°)(Xi0Xi )g(Xi,X2)(X20X2)XiX2ffA 4fX2(5)NX2(Xi0,x2)， Pfx gx2P，q det(A) |r，gxigX2ggXiX2特征方程det(AI) 0,特征根P P21,24q2p 0且q

6、 0 ,平衡點平衡點Po穩(wěn)定;p 0或q 0,平衡點平衡點po不穩(wěn)定根據(jù)以上的分析，以下為求解該模型的平衡點過的程：令：f(Xl,X2)riX2(1 NX22g(xi,x2) ax, 1XiX2NiN2)P Ni,0，P3(0,0),P2(Ni(11N2( 2 1)1 1 2從上式可以看出只有當(dāng) 2足夠大方可使乙存活令：Xi,X2iXiX21NiN23(Xi,X2)1Xi2 XiNiN2方程1的右邊不顯含自變量t,我們將其稱為自治方程。為此：令：f Xi,X20解為:g Xi,X20此為1的三個平衡點(或奇點)gXigX2riXiN1i*X2XiN222X2Niii記 pfxgx2 Ipq d

7、et(A)|p i i,2,3-P 、. p2 4q在P處的值列表如下2表i種群依存模型的平衡點及穩(wěn)定性平衡點pq穩(wěn)定條件P Ni,0riD( 21)22( 2 1)2 1,1 2 1、/Ni(1i)2(21)ri 1iD( 21)1 1 212(11)2 11 1, 2 1,1 2 15( 11 11 1 2 1 1 21 1 2F3(0,0),riJAD不穩(wěn)定(4.)結(jié)果分析:a.顯然，P2是甲乙相互依存而共生的平衡點，下面我們著重分析p2穩(wěn)定的條件。由p2的表達式容易看出，要使平衡點 必須滿足下面兩個條件中的一個：p2有實際意義，即位于相平面第一象限,Ai： i1,21,121A2: 1

8、1 >21,121由上面的分析知：僅在條A1件下p2才是穩(wěn)定的，而在A2條件下p2是不穩(wěn)，而 是鞍點。以下畫出在條件A1下平衡點 P2穩(wěn)定性的相軌線圖：直線0X2 0和(Xi,X2)0 將相平面劃分成 4 個區(qū)域：S, : X1 >0，X2 V0； S : X1 >0，X2>0；S3:X1V0，X2 >0；s4 :X1 V0，X2V0。從四個區(qū)域中X1,X2的正負不難看出其相軌線的趨勢如以下圖所示:2的含義： 消耗2倍;02>1表示甲必須為乙提供足夠的食物一一甲為乙提供的食物是乙1 2<1表示2>1前提下P2存在的必要條件；1<1，2>

9、;1, 1 2<1的需要，且1必須足夠小，才能在2>1條件下使1 2<1 成立。以下畫出在條件A2下平衡點P2的相軌線圖:從上的相軌線圖可以看出在A2情況下平衡點P2不穩(wěn)定，相互提供食物 可能使二者均趨于無窮。b.以下是平衡點p1的相軌線圖:0圖1所示情況下，pl N1,0穩(wěn)定，即能夠獨立生存的種群 趨向最大容量，而不能獨立生存的種群乙終將滅絕。圖2無穩(wěn)定平衡點，相互提供食物可能使二者均趨于無窮5.計算與驗證：僅針對平衡點p2進行數(shù)值求解設(shè) i 0.1, 23,ri 1.8,r21.5, Ni 1.6,N21，初始值分別?。簒1 (0) 0.1,x2(0) 0.1 x1(0)

10、 1,x2(0) 2。先建立M文件：fun ctio n xdot=zhier(t,x)r(1)=1.8;r(2)=1.5;a=0.1;b=3;N(1)=1.6;N(2)=1;xdot=r(1).*x(1)*(1-x(1)/N(1)+a*x (2)/N (2);r(2).*x (2).*(-1+b .*x(1)/N(1)-x (2)/N(2);。求解命令：>> ts=0:0.1:8;>> x0=0.1;0.1;>> t,x=ode45('zhier',ts,x0);t,x.>> plot(t,x),grid,gtext('

11、x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause.>> plot(x(:,1),x(:,2),gridx0=1；2;>> plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,3從上圖可以看出在平衡點 p2的條件下t的時候，兩種群的最大容量均增大，且相互依存，著與前面的分析是一致的。第二種情況的分析：1.丨模型假設(shè)：與第一種情況的假設(shè)一樣，只需要將 °修改為固有增長率即可(2.)模型建立:有甲乙兩個種群，當(dāng)它們單獨在一個自然環(huán)境中生存時，數(shù)量的演變均

12、 遵從Logistic規(guī)律。由因為兩種群均可獨立生存，共處時又能相互提供食物 故種群甲乙的數(shù)量演變規(guī)律可以寫作：Ix2 tr2x? 1X2N2x1x1 t必 1-N1x-2N-(1)那么1刻畫了該區(qū)域所考查兩種群的開展規(guī)律，即為依存模型(3)模型求解:令：f x1, x2X1N1X2N2g X1,X2r2x2 1X2N2X21兀3令：x1, x21-Ni4Xi,X21X2N2X12 N1再令：fX-,X20解為：gXi,X201 1 N121 NP N1,0P2 0,N2P3JP4 0,01 21 121此為1的四個平衡點。X1,20A 2aX11*邑11記Afx, fx,N1N2N2gX1g

13、X222生2 22昱22X1N1NN1記PJ gx2 bq detA |pi1,2,3,4-P p2 4q在P處的值列表如下：2表1獨立種群相互依存模型的平衡點和穩(wěn)定性Ppq穩(wěn)定條件P1N1,012122112不穩(wěn)定P20,N22A112111不穩(wěn)定P3 1 1N1,L1 2 1 1 2 1111 212 1211 121 2 11 1 21 1 2P4 0,01212不穩(wěn)定4.丨結(jié)果分析:以4式作圖，并在r-，2 0，Xl,2 0的背景下討論。由P3點的表達式容易看出，要使平衡點 P3有實際意義，即位于相平面第一象限Xl,20必須滿足下面兩個條件中的一個：氏:1 V 1,2 > 1 ,

14、1 2 V 1A2 : 1 > 1,2 V 1,1 2 V 1由表1可知，僅在條件A下P3才是穩(wěn)定的。直線 0和 0將相平面X1,2 0劃分成 4 個區(qū)域：S : X1 > 0，x2 v0；: X1 > 0，X2 >0；: X1V 0, X2 >0；S4:圖1 p3穩(wěn)定的相軌線圖X1 V0, X2 v 0。圖1畫出了條件A下相軌線的示意圖。1 V 1,2 > 1即乙提供給甲的食物量大于甲消耗的供養(yǎng)甲的食物量，而甲提供給乙的食物量卻小于乙消耗的供養(yǎng)乙的食物量。在1 2 1時，平衡點F321 2 11 N2是穩(wěn)定的。此時甲、乙兩種群將分別趨向于非零的有限值，否那

15、么由于二者均能獨立生存又相互提供食物， 將使二者均趨向無窮。因此, 在共處的條件下，兩種群不會同時都對對方有很大的促進作用圖2畫出了條件A下相軌線的示意圖X2S41從上的相軌線圖可以看出在A2情況下平衡點P2不穩(wěn)定，相互提供食物 可能使二者均趨于無窮。5.計算與驗證：僅針對平衡點p3進行數(shù)值求解設(shè)!0.1, 21.6, ri1.8,21.5,Ni1.6,2 1，初始值分別取xi (0)0.1,X2(0)0.1 X1(0) 1, X2 (0) 2。先建立M文件：fun ctio n xdot=hier(t,x)r(1)=2.5;r(2)=1.8;a=0.1;b=1.6;N(1)=1.6;N(2)

16、=1;xdot=r(1).*x(1).*(1-x(1)/N(1)-a.*x (2)/N(2);r(2).*x(2).*(1-b.*x(1)/N(1)-x (2)/N( 2);求解命令：>> ts=0:0.1:8;>> x0=0.1;0.1;>> t,x=ode45('hier',ts,x0);t,x,>> plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,>> plot(x(:,1),x(:,2),grid>> x0=1;2

17、;>> plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause.>> plot(x(:,1),x(:,2),grid從上圖可以看出在平衡點 p3的條件下t的時候，兩種群的最大容量均增大，且相互依存，這與前面的分析是一致的。此時甲、乙兩種群將分別趨向于 非零的有限值，第三種情況的分析:(1.)模型假設(shè):與第一種情況的假設(shè)一樣，只需要將ri修改為死亡率即可(2.)模型建立：甲乙沒有對方的存在均會滅亡，如果他們分別向?qū)Ψ教峁┦澄锬敲此麄兡軌蛳嗷ス?存，根據(jù)分析得到以下方程：1X1 t1X1X21X1

18、1N1N21X2 t1X2X12X22 N2N(1)那么1刻畫了該區(qū)域所考查兩種群的開展規(guī)律，即為依存模型(3)模型求解:g Xi,X22X2X2N22N13f Xf ,X2»Xf1竺N1X21 N2X1,X21 X1X21N1N2Xi,X2X2N22N再令:解為:X1,X2R 0,0，P2N121 N21 2 1A 2a魚 胡X21 r1 'X1AN1N2N2gx19x2r X2X2r人2222222N1N2N1記記 Pfxgx2 Ipq det(A)|p i 1,2,3,41 PpL4q在p處的值列表如下：2表1獨立種群相互依存模型的平衡點和穩(wěn)定性Ppq穩(wěn)定條件P1 (0,0)1 212穩(wěn)定-/( 11)N1 ( 21)2、P2(1 , 1 )1 2 1 1 2 1r1(1 1) r2(1 2)12(11)(12)不穩(wěn)定1 2 11 2 14結(jié)果分析:由此可知，不管1, 2如何，Pl(O,O)穩(wěn)定，二者終將滅絕，而當(dāng)1 21時，存在平衡點