第二十二章曲面積分

1、第二十二章曲面積分§ 1 第一型曲面積分教學(xué)目的掌握第一型曲面積分的定義和計(jì)算公式 . 教學(xué)內(nèi)容第一型曲面積分的定義和計(jì)算公式 .(1) 根本要求：掌握第一型曲面積分的定義和用顯式方程表示的曲面的第一型曲面積分計(jì) 算公 式.(2) 較高要求：掌握用隱式方程或參量表示的曲面的第一型曲面積分計(jì)算公式 .教學(xué)建議(1) 要求學(xué)生必須熟練掌握用顯式方程表示的曲面的第一型曲面積分的定義和計(jì)算公式.(2) 對較好學(xué)生要求他們掌握用隱式方程或參量表示的曲面的第一型曲面積分計(jì)算公式. 教學(xué)程序背景：求具有某種非均勻密度物質(zhì)的曲面塊的質(zhì)量時(shí)，利用求均勻密度的平面塊的質(zhì)量的 方法， 通過“分割、近似、求

2、和、取極限的步驟來得到結(jié)果 ?一類大量的“非均勻問題都 采用類似的方 法，從而歸結(jié)出下面一類積分的定義 .一、第一型曲面積分的概念與性質(zhì)定義設(shè)S為空間上可求面積的曲面塊它把s分成n個(gè)可求面積的小曲面Si( 11,2,n) , Si的面積記為 S，分割T的細(xì)度為),lTlm 0i記作那么稱此極限為f x, y,z dS sx，y，z為定義在S上的函數(shù).對曲面S作分割T ,第一型曲面積分的性質(zhì)gds 存在 ,- c(1)線性性：設(shè)c( f f )dsR,c( f f)ds 存在 ,且fdscgds .c、第一型曲面積分的計(jì)算定理22.1設(shè)有光滑曲面S :z zx,y x,y D， f x,y,z為

3、定義在S上的連續(xù)函數(shù),那么f x,y,zdSx, y, z x,y . 1fx2f： dxdyS= D例i計(jì)算s2 2z，其中S是球面x yz2a2被平面z h 0 h a所截的頂部.解S :z a "2 2x y , x, yx, y2 2,2yah1 z ；2zya2dSS z =Da x y =o2a2 h2dxdy dra2hrdr 2a/7dr=o2a2a In a2h2lnh.dS反之亦然.fdss可加性：設(shè)fds存在,s si s2,那么sfds, fds 存在,sis2sifdss2fds作業(yè) P2821;2;3;4.§2第二型曲面積分教學(xué)目的 掌握第二型曲

4、面積分的定義和計(jì)算公式教學(xué)內(nèi)容曲面的側(cè)；第二型曲面積分的定義和計(jì)算公式.(1) 根本要求：掌握用顯式方程的第二型曲面積分的定義和計(jì)算公式(2) 較高要求：掌握用隱式方程或參量表示的曲面的第二型曲面積分計(jì)算公式，掌握兩類曲面積分的聯(lián)系 教學(xué)建議曲面積(1)本節(jié)的重點(diǎn)是要求學(xué)生必須掌握第二型曲面積分的定義和計(jì)算公式，要強(qiáng)調(diào)一、二型分的區(qū)別，要講清確定有向曲面?zhèn)鹊闹匾灶惽?2)本節(jié)的難點(diǎn)是用隱式方程或參數(shù)方程給出的曲面的第二型曲面積分的計(jì)算公式以及兩積分的聯(lián)系，可對較好學(xué)生要求他們掌握 .教學(xué)程序曲面的側(cè)雙側(cè)曲面的概念、曲面的側(cè)的概念背景：求非均勻流速的物質(zhì)流單位時(shí)間流過曲面塊的流量時(shí)，利用均勻

5、流速的物質(zhì)流單位 時(shí)間流過平面塊的流量的方法，通過“分害IJ、近似、求和、取極限的步驟，來得到結(jié)果 ？一類大量的“非 均勻問題都采用類似的方法，從而歸結(jié)出下面一類積分的定義 .一、第二型曲面積分的概念與性質(zhì)Sixy為負(fù) 1,2,，n ).在每個(gè)小曲面Si定義 設(shè)函數(shù)P，Q, R與定義在雙側(cè)曲面S上的函數(shù).在S所指定的一側(cè)作分割T它把S分成n個(gè)小曲面沁2 S(2 ,n)，分割T的細(xì)度陽maX S的直徑，以，%，丸分別為S在三個(gè)坐標(biāo)上的投影區(qū)域的面積，它們的符號由S的方向來確定.如S的法線正 向與z軸正向成銳角時(shí)，Si在xy平面上的投影區(qū)域的面積Sixy為正，反之，如。的法線正向與z軸正向成鈍角時(shí)

6、，'在xy平面上的投影區(qū)域的面積任取一點(diǎn)i，i，假設(shè)極限nnnTm0p i, i, i Siyz Tm0Q i， i， iSizx 啊 0R i, i, i 氐I 0 i 1+TI 0 i 1+1 I 0 i 1存在且與分割T與點(diǎn)i, i, i的取法無關(guān)，那么稱此極限為函數(shù) P，Q，Rd曲面S所指定的一側(cè)的第二型曲 面積分，記為Px,y, zdydz Qx, y,zdzdx Rx, y,zdxdyS ， (1)上述積分 (1)也可寫作P x, y, z dydz Q x, y, z dzdx R x, y,z dxdyS+ S+ S第二型曲面積分的性質(zhì)pi dydz Q i dzdx

7、R i dxdy假設(shè)S(i 1,2,n)都存在，Ci( i 1,2,")，為常數(shù)，那么有ci p dydzS i 1CjQji 1ndzdzci Ri dxdyi 1nCi pidydz Qidzdx Ri dxdy2假設(shè)曲面S由兩兩無公共內(nèi)點(diǎn)的曲面塊Si,S25所組成，SiP x, y, z dydz Q x, y,z dzdx R x, y, z dxdy(i 1,2, ,n )都存在，貝 U S也存在，且i 1 Si、第二型曲面積分的計(jì)算P x, y, z dydz Q x, y, z dzdx R x, y,z dxdy SPdydz Qdzdx Rdxdy定理22.2設(shè)R為

8、定義在光滑曲面S : z zx，y x，yDxy，上的連續(xù)函數(shù)，以S的上側(cè)為正側(cè)這時(shí)S的法線正向與z軸正向成銳角，那么有Rx,y,zdxdy Rx,y,z x,y dxdyxy. (2)xySSxyHdmo0，立刻可推得d max S ixy0，由相關(guān)函數(shù)R ml o 證明 由第二型曲面積分的定義 這里d max Sxy，因E max的直徑R x,y,z x, y dxdyxyxyR Hd modxdyRx, y,z dxdy R x, y, z x, y=Dxyy,z Dyz 上的連續(xù)函數(shù)時(shí) ,x xy,z類似地,P為定義在光滑曲面s :的連續(xù)性及二重積分的定義有 而s的法線方向與x軸的正向

9、成銳角的那一側(cè)為正側(cè)，那么有DxyP x, y,z dydz P x y' z'y' zdydz S乙X Dzx上的連續(xù)函數(shù)時(shí)，而s的法Q 為定義在光滑曲面 s: y yz,x線方向與y軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè)，那么有Q x,y,z dzdx Q x, y, z x, y dzdxDZX注：按第二型曲面積分的定義可以知道，如果 S 的法線方向與相應(yīng)坐標(biāo)軸的正向成鈍角的計(jì)算 Sxyzdxdy，其中 S 是球面1在 x 0,y 0局部并取球面外側(cè) .S2 : Z2S1 : 乙x, y D xy2 x, y x1,x 0, y曲面在第一， xyzdxdy xyzdxdy

10、S2 x,y x 五卦限間分的方程分別為x, y D xy1,x 0, ySi+ S2 xyzdxdyxy 1 x 2y2dxdyDxyDxyxy 1 x2 y2dxdy2 xy ,1=嗚x2_ 22y dxdy 2 d=oir3 cos sin . 1 r 2dr15例2計(jì)算積分(x y)dydz (y z)dzdx (z 3x)dxdy ,為球面x2y2z2R2取外側(cè).，貝U有解 對積分匚(x y)dydz,分別用前和后記前半球面和后半球面的外側(cè)刖x.R2y2 z2,Dyz:y2 2 2zR后:xR2y2z2,Dyz :y z2 2 2R .因此，門(xy)dydz=:=+前后.BLy 2

11、zy dydz卜： 弋 7 y dydzDyZDyz8 ; d °,RAr2rdr4 R3.32, R2y2 z2dydz32 2 2 r 23左記右半球面和左半球面的外側(cè)Z)d?d那么有別用右和yR2z2x2,Dzx:x2z2R2;Dzx :y R2z2x2 z2 R2.y2 z2 R2'00222z xvr2 z2 x2z dzdx.Rz dzdxDzxDzx因此，:(y z)dydz24 R3.x2z2R23下記上V R 2半球2dx w對積分二：(z 3x)dxdy,分別用上和上zR22 2x y ,Dxy :2 x2y2R下:xR22 2x y ,Dxy :2 x2

12、 2yR因此，:二 (z3x)dxdy=+上下Dxy2 x2 y2 3xdxdyDxy2 2.R2 x y3xdxdy綜上 IX y)dydz (y z)dzdx (z 3x)dxd y=3 4 R3 4 R3.作業(yè) P289:1;2.§ 3 高斯公式與斯托克斯公式教學(xué)目的 學(xué)會(huì)用高斯公式計(jì)算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計(jì)算第二型曲線積分教學(xué)內(nèi)容 高斯公式；斯托克斯公式；沿空間曲線的第二型積分與路徑無關(guān)的條件(1)根本要求：學(xué)會(huì)用高斯公式計(jì)算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計(jì)算第二型曲線積分.懂得高斯公式與斯托克斯公式證明的思路，掌握沿空間曲線的第二型積分與路徑無關(guān)的條件.(2)較高

13、要求：應(yīng)用高斯公式與斯托克斯公式的某些特殊技巧.教學(xué)建議本節(jié)的重點(diǎn)是要求學(xué)生學(xué)會(huì)用高斯公式計(jì)算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計(jì)算第二型曲線積分？要講清應(yīng)用兩公式的條件并強(qiáng)調(diào)曲面與曲面的邊界定向的關(guān)系.教學(xué)程序dxdydz -； P x, y, z dydz=SQ x, y, z dzdx R x, y, z dxdy證只證VP x, y, z dydz = S類似可證-dxdydzdxdydzR x, y, z dxdySdxdydz Q x, y, z dzdx=S這些結(jié)果相加高斯公式P Qx y定理22. 3設(shè)有空間區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)閉曲面 S圍成？假設(shè)函數(shù)PQR在V 上連續(xù),且具有一

14、階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么其中S取外側(cè)？稱為高斯公式便得到了高斯公式先V設(shè)是一個(gè)zxy型區(qū)域，即其邊界曲面S由曲面zZ2 x, y , x, yDxy$ : z z i x, y , x, y D xy及垂直于Dxy的邊界的柱面S3組成其中Zi x,yz2x, y .于是按三重積分的計(jì)算方法有Z2x,yRdzDxydxdydz dxdyzi x,yR x, y, z 2 x, y R x, y,乙 x, y dxdyxyR x,y,z x, y dxdyR x, y,Z 2 x,y dxdyxyDxyR x, y, z dxdy R x, y,z dxdyR x, y, z dxdy R x,=S2y

15、, zdxdy其中S,S2都取上側(cè)？又由于S3在xy平面上投影區(qū)域的面積為零，所以R x, y, z dxdy 0S3因此Rdxdydz R x, y, z dxdy R x,y, zdxdy R x, y, z dxdyV Z= S2S1+ S3匚 R x, y,z dxdy = S對于不是 xy 型區(qū)域的情形，那么用有限個(gè)光滑曲面將它分割成假設(shè)干個(gè)xy 型區(qū)域來討論 . 詳細(xì)的推導(dǎo)與格林相似 .空間區(qū)域 V 的體積公式1 dxdydz ： xdydz ydzdx zdxdy = S例 1 計(jì)算 S側(cè).解應(yīng)用高斯公式1 xdydz ydzdx zdxdy x2dzdyy x z dydzxz

16、 dxdy,其中S是邊長為a的正立方體外表并取外V =3 S所求曲面積分等于xz dxdydzax dxdydz dz dy yx dx=0 0 0a2 dy ay 2、斯托克斯公式定理 22.4 設(shè)光滑曲面 S 的邊界 L 是按塊光滑的連續(xù)曲線 雙側(cè)曲面 S 的側(cè)與其邊界曲線 L 的方向的規(guī)定：右手法那么 上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么假設(shè)函數(shù)PQR 在 S 連同 L R QP RQ Pdydzdzdxdxdy - Pdx Qdy RdzS yzz xx y=L 2 其中 s 的側(cè)與 L 的方向按右手法那么確定證明先證dzdx假設(shè)式在為面上投影區(qū)域?yàn)镈 xyL在平面上的投影曲線為y cos

17、其中曲面S由方程zcos ,cos ,cos ，所以zx， y確定，它的正側(cè)法線方向數(shù)為z cos z cos:P x, y, z dx :P x, y, z x, y dxLP x,y,z x,y yy z y，所以P x, y, z x, y dxdy Dxy yxyZx，Zy, 1,方向余弦為.現(xiàn)由第二型曲線積分的定義及格林P x, y, z x, y dxdy yP dxdy z y由于ycoscos，從而PcosS yPcoss ydxdyP 込 dxdy z cosPdzdxPcosdxdycospcos zdSdxdy y綜合上述結(jié)果，便得所要證明的3式.同樣對于曲面S表示為x

18、x y,z和y y乙x時(shí)，可證得dydz : Qdydxdy 一 Pdx y=LRdydz dRdzZ=L將(3) , (4) , (5)三式相加即得(2 )式.S分割為假設(shè)于小塊，使每如果曲面S不能以z zx, y的形式給出，那么可用一些光滑曲線把小塊能用這種形式來表示.因而這時(shí)2式也能成立.公式2稱為斯托克斯公式，也可寫成如dydz dzdxdxdyPdx Qdy Rdz下形式：=Lo 2y z dx x z dy yx dz例2計(jì)算L，其中L為平面x y z 1與各坐標(biāo)面的交線,取逆時(shí)針方向?yàn)檎?it-解應(yīng)用斯托克斯公式Kj2y z dx x z dy y x dzL/ 41 D jO |1 1