立方插值簡介

1、三次樣條插值（Cubic SplineInterpolation）及代碼實現(xiàn)（C語言）樣條插值是一種工業(yè)設(shè)計中常用的、得到平滑曲線的一種插值方法，三次樣條又是其中用的較為廣泛的一種。本篇介紹力求用容易理解的方式，介紹一下三次樣條插值的原理，并附C語言的實現(xiàn)代碼。1.三次樣條曲線原理假設(shè)有以下節(jié)點If :腳 如1.1定義樣條曲線才是一個分段定義的公式。給定 n+1個數(shù)據(jù)點，共有n個區(qū)間，三次樣條方程滿足以下條件：a. 在每個分段區(qū)間幾"匚41 （i = 0, 1,-仁用遞增），冒（時=盡都是一個三次多項式。b. 滿足 * "門"（i = 0, 1,），nc. 覘Jf

2、），導數(shù)r，二階導數(shù)中時在a, b區(qū)間都是連續(xù)的，即圧（1曲線是光滑的。所以n個三次多項式分段可以寫作：5（*）=曲+ b（工-嶺）+ G（曲一 *i）3 +血（兀一巧）巴，i = 0, 1,-1 , n其中ai, bi, ci, di代表4n個未知系數(shù)。1.2求解已知：a. n+1 個數(shù)據(jù)點xi, yi, i = 0, 1,，nb. 每一分段都是三次多項式函數(shù)曲線c. 節(jié)點達到二階連續(xù)d. 左右兩端點處特性（自然邊界，固定邊界，非節(jié)點邊界）根據(jù)定點，求岀每段樣條曲線方程中的系數(shù)，即可得到每段曲線的具體表達式。插值和連續(xù)性:樣條曲線的微分式:-2 , n閤H «, +- j 牛-+F

3、 + 叫 斗F占：1 巧 =-fci 4-斗+ ：如/工X, )J町倒=+盹3 mJS；(x)= 8 + & (工十宵(工£滬 +缶卩啓(W)= ®碼)+曲尸= 2ct + 64r(z 3fj)將步長c.由(i = 0,1,-2)推)出hi xi帶入樣條曲線的條件:stCx;+i)- + 2勺(亂"一禺)+ 3必(旳十1 -石嚴=® + 2cth + 3dt li2 f+l(i + i)= 0+1 + 2C£(3ti+i i+i) + 3( Off+i 21+1)2 = +1由此可得:6； + 心 + 3hfdi ®+i =

4、0d. 由 *(E)=略(E)(i = 0, 1,-2)推出2ci + fih jdt 2«：j+i = 0丁e = S.r.i) = 2ci，則a.2：j + ahfdf = 0可寫為:nij + Hhjdt = 0，推岀j -卅巧+1_卄釘8 _ Ghtb.將ci, di帶入b嚴啥恤1A十h曲百十hfq十h,也:=J/.+ i可得:c.將 bi, ci, di 帶入軟刑41 - g)bi + 2A口 十 3h®di = b*,(i = 0, 1,-2)可得:講+2"屮 _ ?A+l?/rh片険+ 2(/ij + /i*_|_i)»n；_|_i + 6

5、端點條件由i的取值范圍可知，共有 n-1個公式，但卻有n+1個未知量m。要想求解該方程組，還需另外兩個式 子。所以需要對兩端點 x0和xn的微分加些限制。選擇不是唯一的，3種比較常用的限制如下。a. 自由邊界(Natural)首尾兩端沒有受到任何讓它們彎曲的力，即日"=。具體表示為三)和 則要求解的方程組可寫為:5100 02伽+ i3加】hl2(/11 + 如)U0o2ftj十斤耳）* -2(治T +丹片_訂h_ i()*層0 1Ua 血"丁一的V4-WXfl 1”一ghjJfn- l !/一；!“Fl忙 一*1_“1 M"珂rtf 2Eg4rm r.55b.

6、固定邊界(Clamped)首尾兩端點的微分值是被指定的，這里分別定為A和B。則可以推出& 茁一 Mh 尿 加#i”! =fHll 石“"1 1 f °)2/ionifl + hom i = 6 -n!-i*»n-i + 2hnmn = 6 B-將上述兩個公式帶入方程組，新的方程組左側(cè)為*h0* * * * 02(S + h>)hi0 ；02(1+M知0s(*= = 0nI- e00a n - r0*邛*_2JFin_ ic.非節(jié)點邊界（Not-A-Knot）指定樣條曲線的三次微分匹配，即霽Z = 街）I _ 幷訂-仙根據(jù) y）血和J 一 ，則上述條件

7、變?yōu)樾模?quot;-）=切（"一 mJ觴_1（皿“_1 一 nrJ =亦久皿口 一 卅5_1）新的方程組系數(shù)矩陣可寫為：-Al山0 +加一 h斗d «0hu2(ho + hjh】0r4t)2(h| + 血)帕Dfi-I0I'1'II»i0(I« i- n1m-221 嘰-a + hfl-i)嘰-I0I I- #-1 1 »h_Lllft-2 + /l rt -1fljr-?右下圖可以看岀不同的端點邊界對樣條曲線的影響:1.3算法總結(jié)假定有n+1個數(shù)據(jù)節(jié)點a. 計算步長加二叫和一 J：i (i = o, 1,-1) , nb. 將數(shù)據(jù)節(jié)點和指定的首位端點條件帶入矩陣方程c. 解矩陣方程，求得二次微分值“鞋。該矩陣為三對角矩陣，具體求法參見我的上篇文章：三對角矩陣的 求解。d. 計算樣條曲