專題14直線與圓錐曲線doc

1、專題五直線 圓錐曲線平面向量一 能力培養(yǎng)1,函數與方程思想2,數形結合思想3,分類討論思想4,轉化能力5,運算能力二 問題探討問題1 設坐標原點為O,拋物線y22x 與過焦點的直線交于A,B兩點,求OA OB的值.問題 2 已知直線 L 與橢圓 x2y21交于 P,Q 不同兩點 ,記 OP,OQ 的斜率分別為a2b2kOP , kOQ ,如果 kOPkOQb2,求 PQ 連線的中點 M 的軌跡方程 .a2問題 3 給定拋物線C:2C,FCA,B.y 4x ,F是的直線 l 與相交于兩點的焦點 過點(I) 設 l 的斜率為 1,求 OA 與 OB 夾角的大小 ;(II)設FBAF ,4,9 ,求

2、 l 在 y 軸上截距的變化范圍.若問題 4 求同時滿足下列三個條件的曲線是橢圓或雙曲線;原點C 的方程O 和直線 x:1 分別為焦點及相應準線;被直線xy0 垂直平分的弦AB的長為 22.三 習題探選擇題1已知橢圓x2y21 的離心率 e10,則實數 k 的值為5k5A,325C,5D,15B,3 或315 或32一動圓與兩圓x2y21和 x2y28x 12 0 都外切 ,則動圓圓心的軌跡為A, 圓B, 橢圓C,雙曲線的一支D,拋物線3已知雙曲線的頂點為 (2,1) 與 (2,5), 它的一條漸近線與直線3x 4 y0 平行 ,則雙曲線的準線方程是A, y29B, x29C, y 2 12D

3、, x21255554拋物線 y22x 上的點 P 到直線 yx4 有最短的距離 ,則 P 的坐標是A,(0,0)B, (1,1 )C,(1 ,1)D,(1,1)已知點 F (1 ,0) ,直線 l : x212225,點 B 是 l 上的動點 .若過 B 垂直于 y 軸的直線與線段44BF 的垂直平分線交于點M,則點 M 的軌跡是A, 雙曲線B,橢圓C,圓D, 拋物線填空題6橢圓x2y21 (a b0) 上的一點到左焦點的最大距離為8,到右準線的最小距離a2b2為 10,則此橢圓的方程為.37與方程 xy3 的圖形關于yx 對稱的圖形的方程是.8設 P 是拋物線 y24 y4x0 上的動點

4、,點 A 的坐標為 (0,1) ,點 M 在直線 PA 上,且分 PA 所成的比為 2:1,則點 M 的軌跡方程是.9設橢圓與雙曲線有共同的焦點F1( 1,0), F2 (1,0) ,且橢圓長軸是雙曲線實軸的2 倍 ,則橢圓與雙曲線的交點軌跡是.解答題10已知點H(3,0)點在 y 軸上點Q在x軸的正半軸上,點M在直線PQ上, P,且滿足 HP PM0 ,PM3MQ.2(I) 當點 P 在 y 軸上移動時 ,求點 M 的軌跡 C;(II) 過點 T ( 1,0) 作直線 l 與軌跡 C 交于 A,B 兩點 ,若在 x 軸上存在一點E (x0 ,0) ,使得ABE 是等邊三角形 ,求 x0 的值

5、 .x2y21 ( a 0,b 0) ,點 B,F 分別是雙曲線C 的右頂點和右焦點 ,11 已知雙曲線 C:2b2aO 為坐標原點 .點 A 在 x 軸正半軸上,且滿足 OA , OB , OF 成等比數列 ,過點 F 作雙曲線 C 在第一 ,第三象限的漸近線的垂線l ,垂足為 P.(I) 求證 : PA OPPAFP ;(II) 設 a 1,b2 ,直線 l 與雙曲線 C 的左 ,右兩分D,E, 求DF支分別相交于點的值 .DE12 已知雙曲線的兩個焦點分別為F1 , F2 ,其中F1 又是拋物線y24x 的焦點 ,點A(1,2),B (3, 2)在雙曲線上.(I) 求點F2 的軌跡方程;

6、(II) 是否存在直線yxm 與點F2 的軌跡有且只有兩個公共點?若存在 ,求實數 m 的值 ,若不存在 ,請說明理由 .四參考答案問題 1解 :(1)當直線 ABx 軸時 ,在 y22x 中,令 x1,有 y1,則2A(1,1),B(1,1),得 OAOB(1,1)( 1 ,1)3.222241(2) 當直線 AB與 x 軸不互相垂直時 ,設 AB 的方程為 : yk ( x)2yk ( x11由)2222k02 ,k x(k2) xk0 ,.消去 y整理得4顯然y22設 A(x , y ), B( x , y ) ,則 x1x2k 22 , x1 x21,得1122k24OA OB (x

7、, y ) ( x , y) = x x + y y= x x + k( x11 ) k (x21)112212121222= (1 k2 ) x1 x2k2( x1x2 )1 k 224= 1 (1 k 2 )k2 k22 1 k 2 =3 .42k244綜(1),(2) 所述 ,有 OA OB3.4問題 2解 :設點 P,Q,M 的坐標分別為 ( x1 , y1),( x2 , y2 ) , ( x, y)2222y由條件知 x1y11x2y21pa2b2a2b2xxx1x2 ,yy1y2 y1 y2b2o2Q22x1 x2a+得 x1 2x22y12y222a2b2即 ( x1x2 )2

8、( y1y2 )22x1 x22 y1 y22,將 ,代入得4x24y22 ,a2b2a2b2a2b2于是點 M 的軌跡方程為x2y21.a2b222問題 3 解 :(I)C 的焦點為F(1,0), 直線 l 的斜率為1,所以 l 的方程為yx1,把它代入 y24x ,整理得 x26x10設 A ( x1, y1 ) ,B (x2 , y2 ) 則有 x1x26, x1 x21.OA OB(x1, y1 ) ( x2 , y2 )x1x2y1 y22x1 x2(x1x2 ) +1=3 .OA OBx12y12x22y22x1 x2 x1x24( x1x2 )1641cosOA, OBOA OB

9、341OA OB41,所以 OA 與 OB 夾角的大小為arccos 341.41(II) 由題設 FBAF 得 (x21, y2 )(1x1,y1) ,即x21(1x1 )y2y1.得 y222 y12 ,又 y124x1 , y224x2 ,有 x22 x1 ,可解得 x2,由題意知0 ,得B( ,2) 或 (,2) ,又 F(1,0),得直線 l 的方程為(1)y 2( x 1) 或 (1)y2( x 1) ,當4,9 時 , l 在 y 軸上的截距為2或2,由 222,可知111112在 4,9上是遞減的 ,于是 3214,4213,14334所以直線 l 在 y 軸上的截距為 4 ,

10、3 3,4.3443問題 4 解 :設 M ( x, y) 為曲線 C 上任一點 ,曲線 C 的離心率為 e (e0, e1) ,由條件 ,得x2y2e ,化簡得 : (122y2220(i)x1e )x2e xe設弦 AB所在的直線方程為yxm(ii)(ii) 代入 (i) 整理后得 : (2e2 )x22(m e2 )xm2e20(iii),可知 e22 不合題意 ,有2e20,設弦 AB的端點坐標為 A (x , y ) ,B ( x , y ) ,AB的中點 P( x , y ) .則 x , x 是方程 (iii) 的兩根 .11220012x1x22(m e2 ),y1y2(x1m

11、)(x2m)2(me2 )2m2e22e2x0x1x2me2, y0y1y2(m1)e2m ,又中點 P( x0, y0 ) 在直線 xy0 上 ,2e222e22有 me2+ (m1)e2m =0, 解得 m2 ,即 AB 的方程為 yx2 ,方程 (iii) 為e22e22(2e2 )x22(e22) x4 e20 ,它的8(e22)0 ,得 e22 .x1x22(2e2 )2, x1 x24e22 e22e2由 AB1 k2x1x2 ,得 AB2( x1x2 ) 2 (1k 2 )( x1x2 ) 24x1x2 (1k2 )2即 (22) 2(2 244e2 )(1 12 ) ,得 e2

12、42,將它代入 (i) 得 3x2y28x40 .2e( x4)2y2所求的曲線C 的方程為雙曲線方程:31 .44931焦點在x軸得 k3焦點在 y 軸得 k25選B.;3,2設圓心O(0,0), O1 (4,0), O' 為動圓的圓心則O 'OO'O( r4)(r1)3選C.,1,3 知雙曲線的中心為(2,2),由 3x4y0 變形得y2x20 ,于是所求雙曲線方程為916( y2) 2(x2)21,它的準線為 y299,選 A.916,即 y2554設直線 yxm 與y22x,x22(m 1)x m20 ,相切 聯立整理得由4(m 1)24m20,得 m1,這時得

13、切點 (1,1),選 B.225由 MFMB 知點 M 的軌跡是拋物線 ,選 D.ac886 可得a2a10 ,消去 c ,整理得 3a27a400 ,有 a5 或(舍去 ), 得 c3,c33b 4x2y2,所以所求的橢圓方程為1.25167設點P (x, y),x對稱的點P( y, x)在x y上,是所求曲線上任一點 它關于 y'3有 y( x) 3 ,即 y x3 .8 設點 P (x0 , y0 ) ,M ( x, y) ,有 xx02 0 , yy02 ( 1) ,得 x03x , y03y 233而 y024 y04x00 ,于是得點 M 的軌跡方程是 9 y2 12x4

14、0 .9 由條件可得 PF13 PF2 或 PF23 PF1,設 P ( x, y) 代入可知交點的軌跡是兩個圓 .10 解 :(I) 設點 M (x, y) ,由 PM3 MQ ,得 P(0,y ), Q ( x ,0)223由HP PM0 ,得 (3,y)( x,3 y )0, 所以 y24x .又點 Q 在 x 軸的正半軸上 ,得 x 0 .22所以 ,動點 M的軌跡 C 是以 (0,0)為頂點 ,以 (1,0)為焦點的拋物線 ,除去原點 .(II)設直線 l: yk( x1)其中 k0,代入y24x ,整理得2x22(k22)xk20,k設 A ( x1, y1 ) ,B (x2 ,

15、y2 ) , x1x22(k 22) , x1x21, y1y2k( x11)k(x21)k2= k (x1x2 )2k4,有 AB的中點為 ( 2k 2,2),kk 2kAB 的垂直平分線方程為y21(x2k221,有 E(21,0)kkk2) ,令 y 0, x0k2k2由ABE 為正三角形 ,E 到直線 AB 的距離為3 AB,知AB4 1k 21k2 .2k2由 2 3 1 k 22 1 k 2,解得 k3 ,所以 x011 .k 2k2311(I):l 的方程為: y( xc)證明 直線aba由yb ( xc)a2ab得P(,又 OA,OB,OF成等差數列,b x,) ,ycca得

16、A(a2(0,ab),OPa2ab), FPb2ab) ,0),有 PAc( ,(,ccccc于是 PA OPa2b2,PA FPa2 b2,因此 PA OPPA FP.c2c2(II) 由 a1,b2 ,得 c5 , l : y1 ( x5)2y1 ( x5)由2,消去 x ,整理得 15y216 5 y160x2y 214設 D ( x1, y1 ) ,E (x2, y2 ) ,由已知有 y1y2 ,且 y1 , y2是方程的兩個根 .y1y216 5 , y1 y216 ,y1y2( y1y2 )22 y1 y210 ,解得 y23或1.1515y2y1y1 y23y13又 yy ,得 y2 = 1 ,因此DFy113 .12y3DEy1y21y221y112 解 :(I)F1 (1,0), AF1BF222 ,設 F2 (x, y) 則AF1AF2BF1BF22a0,去掉絕對值號有兩種情況,分別得 F 的軌跡2方程為 x1 和 ( x1)2( y2) 21( y0, y4 )84(II) 直線 l1 : x1 , l2 : y(x1)2( y2) 21x