奧數(shù)提高班有理數(shù)的巧算含答案

1、第一講  有理數(shù)的巧算有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)它要求同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進(jìn)行運(yùn)算不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡(jiǎn)捷的算法解決問題，從而提高運(yùn)算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性 1括號(hào)的使用 在代數(shù)運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來(lái)改變運(yùn)算的次序，使復(fù)雜的問題變得較簡(jiǎn)單例1 計(jì)算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445例2 在數(shù)1，2，3，1998前添符號(hào)“+”和“-”，并依次運(yùn)算，所得

2、可能的最小非負(fù)數(shù)是多少？2用字母表示數(shù)我們先來(lái)計(jì)算(100+2)×(100-2)的值：這是一個(gè)對(duì)具體數(shù)的運(yùn)算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運(yùn)算過程變?yōu)?a+b)(a-b)=_于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式_這個(gè)公式叫_公式，以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí)，不必重復(fù)公式的證明過程，可直接利用該公式計(jì)算例3 計(jì)算 3001×2999的值 練習(xí)1 計(jì)算 103×97×10 009的值 練習(xí)2 計(jì)算：練習(xí)3 計(jì)算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) 練習(xí)4 計(jì)算：3觀察算式找規(guī)律例4 某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成

3、績(jī)?nèi)缦拢?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88例5 計(jì)算1+3+5+7+1997+1999的值 例6 計(jì)算 1+5+52+53+599+5100的值例7 計(jì)算：練習(xí)一1計(jì)算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636

4、； (6)1+4+7+244； 2某小組20名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦?，試?jì)算他們的平均分81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85第一講 有理數(shù)的巧算答案例1 計(jì)算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445分析 直接計(jì)算很麻煩，根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，添加括號(hào)改變運(yùn)算次序，可使計(jì)算簡(jiǎn)單本題可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來(lái)計(jì)算解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789

5、) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000說(shuō)明 加括號(hào)的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧例2 在數(shù)1，2，3，1998前添符號(hào)“+”和“-”，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少？分析與解 因?yàn)槿舾蓚€(gè)整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，所以在1，2，3，1998之前任意添加符號(hào)“+”或“-”，不會(huì)改變和的奇偶性在1，2，3，1998中有1998÷2個(gè)奇數(shù)，即有999個(gè)奇數(shù)，所以任意添加符號(hào)“+”或“-”

6、之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負(fù)數(shù)不小于1現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號(hào)“+”或“-”，顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0這啟發(fā)我們將1，2，3，1998每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號(hào)，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非負(fù)數(shù)是1說(shuō)明 本例中，添括號(hào)是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化例3 計(jì)算 3001×2999的值解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999例4 某班2

7、0名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)?nèi)缦?，?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析與解 若直接把20個(gè)數(shù)加起來(lái)，顯然運(yùn)算量較大，粗略地估計(jì)一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準(zhǔn)數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負(fù)”，考察這20個(gè)數(shù)與90的差，這樣會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算所以總分為90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分為 90+(-1)÷20

8、=89.95例5 計(jì)算1+3+5+7+1997+1999的值 分析 觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2；其次算式中首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999 再將S各項(xiàng)倒過來(lái)寫為S=1999+1997+1995+3+1 將，兩式左右分別相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500個(gè)2000)=2000×500從而有 S=500 000例6 計(jì)算 1+5+52+53+599+5100的值分析 觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍如果將和式各項(xiàng)都乘以5，所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外，其余與原和式中的項(xiàng)相同，于是兩式相減將使差易于計(jì)算 解 設(shè)S=1+5+52+599+5100， 所以5S=5+52+53+5100+5101 得4S=5101-1，例7