復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算

1、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算教案教學(xué)目標(biāo)：1 知識與技能：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運算法則，深刻理解它是乘法運算的逆運算2 過程與方法：理解并掌握復(fù)數(shù)的除法運算實質(zhì)是分母實數(shù)化類問題3 情感、態(tài)度與價值觀：復(fù)數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學(xué)生不 易接受，教學(xué)時，我們采用講解或體驗已學(xué)過的數(shù)集的擴充的，讓學(xué)生體會到這是生產(chǎn)實踐的需要從而讓學(xué)生積極主動地建構(gòu)知識體系。教學(xué)重點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算。教學(xué)難點：對復(fù)數(shù)除法法則的運用。課型:新知課教具準(zhǔn)備：多媒體教學(xué)過程：復(fù)習(xí)提問： 已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是實數(shù)） 加法法則：z1+z2=(a

2、+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.減法法則：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.即:兩個復(fù)數(shù)相加(減)就是 實部與實部,虛部與虛部分別相加(減) (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i復(fù)數(shù)的加法運算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.復(fù)數(shù)的加法運算滿足結(jié)合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)講解新課：一 復(fù)數(shù)的乘法運算規(guī)則：規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進行：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc

3、+ad)i.其實就是把兩個復(fù)數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結(jié)果中把i2換成1，并且把實部與虛部分別合并.兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù). 探究:復(fù)數(shù)的乘法是否滿足交換律、結(jié)合律?乘法對加法滿足分配律嗎?二.乘法運算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，

4、b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R). (z1z2)z3=(a1+b1i)(a2+b2i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3+(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可證：z1(

5、z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).z1(z2+z3)=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)(a2+a3)+(b2+b3)i=a1(a2+a3)-b1(b2+b3)+b1(a2+a3)+a1(b2+b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b

6、2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)iz1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1計算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的 我們知道

7、多項式的乘法用乘法公式可迅速展開運算,類似地,復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運用乘法公式來展開運算.例2計算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.練習(xí)課后第2題三.共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)通常記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為。 思考:若z1, z2是共軛復(fù)數(shù),那么 (1)在復(fù)平面內(nèi),它們所對應(yīng)的點有怎樣的位置關(guān)系? (2)z1z2是怎樣的一個數(shù)? 探究:類比實數(shù)

8、的除法是乘法的逆運算,我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算.試探求復(fù)數(shù)除法法則. 四:除法運算規(guī)則：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,yR)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記為：(a+bi)(c+di)或者設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a，bR)，除以c+di(c，dR)，其商為x+yi(x，yR)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi(x+yi)(c+di)=(cxdy)+(dx+cy)i.(cxdy)+(dx+cy)i=a+bi.由復(fù)數(shù)相等定義可知解這個方程組，得于是有:(a+bi)÷(c+di)= i.利用(c+di)(cdi)=c2+d2.于是將的分母有理化得：原式=.(a+bi)÷(c+di)=.點評：是常規(guī)方法，是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡無理分式時，都是采用的分母有理化思想方法，而(c+di)·(cdi)=c2+d2是正實數(shù).所以可以分母"實數(shù)"化. 把這種方法叫做分母實數(shù)化法例3計算解：1 先寫成分式形式2 然后分母實數(shù)化即可運算.(一般分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù))3 化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果練習(xí):課后第3題(1)(3)小結(jié):作業(yè):教學(xué)反思