線性代數(shù)第一章習題集

1、太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）判斷題（正確打"，錯誤打X）1. n階行列式aij的展開式中含有an的項數(shù)為n _1 .（ X ）正確答案：（n _1）!解答：方法1因為含有an的項的一般形式是ana2j2a.，其中j2j3jn是n -1級全排列的全體，所以共有（n-1）!項.方法2由行列式展開定理ai1ai2a21a22a n1a n2a1na2na nna1 1 A11a12A12 ' a1n A1n，第1頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）而3,12 amAm中不再含有3n，而 孫共有（n-1）!項，所以含有a的 項數(shù)是（n -1）!

2、.注意：含有任何元素a.的項數(shù)都是（n -1）!.2.若n階行列式aj中每行元素之和均為零，則a,等于零.（V ）a11解答：將a21a12a22a n2a2na nn中的2、3、n列都加到第一列，則行第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）列式中有一列元素全為零，所以a,等于零.第2頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）第3頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）3.ai00b4a2bs00b2as0bi00ai b4a4bi a2bsb2 .(asa4解答:方法1按第一列展開0 a2b20a2b2a2b2= aia4-Sb。0b3a30b3a3b3a3b400a4

3、aibiaibia 2b2=(aia4 bi b4 )=b4a4b4a4b3a 300biai方法2交換2, 4列，再交換2,4行ai00biaibi00aibi000a2b2000b2a2b4a4000b3a3000a3b300a3b3b400a4b4a40000b2a2ai da2 b2b4a4b3a3方法3 Laplace展開定理：設在行列式D中任意取定了k(1 乞 k< n -1）個行，由這k行元素所組成的一切k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式所以按2, 3行展開ai00b4a2b300b2a30bi00,八243七43aibia2daibia2b2(T)=b4 a4

4、b3a3b4a4b3a3a44.若n階行列式a。滿足aj二 Aijj =1,2,aij-0.( V)第4頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）解答：由行列式展開定理a11a 21ai2a 22a1 na2nan1an2a nn第5頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）a11A112=a 11 a：2/卜a1n _o .5.若n階行列式a。|的展開式中每一項都不為零，則aj解答：反例如=0.第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）.單項選擇題1.方程11111-24-81248x2x3x=o的根為（B）.(A) 1,2,3 ；(B

5、)1,2, -2 ；(C)0,1,2 ；(D) 1,-1,2.第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）解答：（范德蒙行列式）1111-2 244一8 8x2x3x=(_2 一 1)(2 - 1)(22)(x -1)(x2)(x -2) =0 ,第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）所以根為1,2, 一2.第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）ai32a 11a13a11* a12a23 = a ,2a 21a 23a 21+ a22=(D)a332a 31a 33a 31+ a32a 11 ai22.已知 a21 a22

6、a 31 a 32第6頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）(A)解答:(B)-a ；(C)2a ；2a11a13a11+ a“2a11a 13a 122a 21a 23a 21*22=2a 21a 23a 222a 31a33a 31+ a32a 31a33a 32a二2a(D) - 2a .第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）3.已知齊次線性方程組I zx y z = 0粧+3yz=0僅有零解，則(A)一 y + U = 0第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）（A） =o 且，

7、“ ；（B）；（C） 二0第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）解答：因為x 30僅有零解,所以所以11z113-1 =02-20-10-1Zh式0且;:;'z = 0_ y(2-2)0第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）扎ai2ain0 0入1(A)0、2a2n(B)0k2a2n00 扎a n 2a nn12n4.下列行列式中不一定等于的是（B）第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊(一)第7頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊(一)(C)a21(D)an1an2解答:、卜 、八注意a2nn(n _1)an2ann=(-

8、1)/# n 1 彳 # n 1 R=(-1)(T)5. n階行列式aij展開式中項a1n a 2,n _1a 3,n _2anam的符號為(D).n(n “1)n (n J)(A)(B) +；(C)(-1) 2(D)(-1) 2三.填空題1.已知方程組X二b有唯一解，且=1,那么-1-1解答：系數(shù)行列式D11101111-1=01-11-112-11DiDi-4,第8頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）abca 11a 11所以1-11=b -11=b 1-1=Dq = 4 .11-1c 1-1c -112.已知4階行列式中第3行的元素依次為-1 , 0, 2, 4,第4行的 余子式依次為10

9、，5, a ,2則a二9 .解答：因為10 -2a 8 =0，所以a =9 .n3.若V為n階范德蒙行列式，Aj是代數(shù)余子式，則A。»i, jn解答：1 Aiji ,j =1nAllA12 亠 亠 Am 亠二 Aij =V o = V .i =2,j =14.0001000200031000 二 120 .41101209876500010020解答：方法1031004110129876ooo =8148238328,55=420.05方法2000100001002000020002031000=5=-50310031004110120411012411098765=524= 120

10、 .5.設D2x1312-11則D的展開式中解答:D的展開式中有一項是ai2 a 21 a33 a 44由此可以看出的系數(shù)為-1.或者按第一行展開:2xx12x1-111-11x-11x-11x1-1=2x2x1-x3x1+321-232x32x111x11x11x111111x3四.計算題1.已知D1012-1103，計算A42 A43 A1110-1254解答：方法1101-110A41 + A42 + A43 + A44 =11123011002-11131100方法211011 0102102=110=00-1=1 .111111-1 1A41A42A43所以 A41 - A42 A4

11、3 - A44A44方法 3 A41 A42 A43 A44 = 一5 2 7 1 = _1 .22.計算行列式411-12416500-5-2-22-1162-1164-150-64030-160-120-5-120-5-6014-2-25201052-50-1510-50= 120-153.計算行列式1-323-322409-262-383解答:1-3221-3221-322-3409-3 =2409=20-56152-2621-131021-13-3833-38301812第11頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）第12頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）4.18121812= -2 21-

12、1=-20-15-25=50 .561504675計算行列式1-11x -11-1x 1-11x -11-1x 1-11-1解答：（行和相等）1-11X - 111X亠1-11x - 11-1x 1-11-1二 x1-11X 11-1X + 1一11X 11-11-11-15.1-11X 100XX=X0X0X000X1a0計算行列式一11 ab0-11_b00-1 110-1X10X 1X4=-X=X .00XX000X00c_c解答:1a001a00-11 -ab001b00-11 -bc0-11 -bc00-11 -c00-11 -c1a001a0001b001b01001c001c10

13、0-11 - c0001第13頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）第14頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）+b6.計算行列式a；aia 2a3a2 b a3a 2a3an +b第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）解答：（行和相等）aj + ba2a3an1a2a3anaia2 +ba3ann=(b +送 aj1a2 + ba3ani =1aia2a3a + bMn21a2a3a. + bn=(b ' aji -1n=(b 'ai )bn _1.i -11222227.計算行列式223222222n解答:=2時:2 ；當n 2時：i行-2行，

14、i = 2得到122 2-100 0222 2222 22232=001 0=-2(n 2)!222 n000 n -22第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊(一)五.證明題1X 12x 11.設 f(X)=1x 23x 2，證明：存在1x 34x 3-三(0,1),使得 f)= 0 .1 -1證明：因為f (0) =1-21 二31012=0，f (1)=1-11=0，1-21所以可導，所以由f (0) = f (1)，f (x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)Rolle定理知存在匚三(0,1),使得f)4512.證明當九=1時，行列式 51證明:第15頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊(一)第#頁太原理

15、工大學線性代數(shù)練習冊(一)415614丄5丄64784011101111110-311=3184001-311-3011-31-311=0.第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊(一)3.設a, b, c是互異的實數(shù)，證明a b a3 b31c =0的充分必要條件是a+b+c=0.3c第16頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊(一)第17頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊(一)1111abcX設 f (x)=2222，將其按第abcX3333abcX證明：方法234 例展開得到 f (x) =A14 - A24x - A34 x 亠 A44x ，第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊(一)第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習

16、冊(一)由于f (a) = f (b) = f (c) =0 ,且a,b,c是互異的實數(shù)，由方程根與系數(shù)的關系知A34而A44(c _ b)(c - a)( b _ a)，于是第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊(一)第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊(一)1所以a3a1 1 1a b c =Mb4=(c b)( c a)( b a)a+b+c ，3. 33a b c1 1b c = 0的充分必耍條件是a +b + c= 0 .33b c111X1X2X3222X1X2X3- *n_2n_2n _2X1X2X3nnnX1X2X3XnXnn _2Xnn= (Xi -Xj)C' Xi).1 勺：

17、:! 辿i d注，該方法具有一般性，利用它可以證明第#頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊（一）方法111100b - ac 一 aabc=ab - ac 一 a=333333333333b - ac - aabcab - ac - a1 1(b a)(c a) a2 +ab +b2 a2 + ac + c22 2 2 2=(b - a)(c _ a)(a ac c - a _ ab _ b ), 2 2=(b _ a)(c _ a)(ac c _ ab _ b )=(b - a)(c - a) a(c - b) (c - b)(c b)= (b_a)(c_a)(c_b)(a b c)第18頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊(一)a,a2b,c,b2 c2 ba C3第四個平面過(x°, y 0z)0點當且僅當a4x°b4y。C4z0=0 d 所以求四個平面ajX - bi y CiZ - di =0( i =1,2,3,4) 相交于一點(x°, y° ,z。)的充要條件解答想法：三個平面相交于一點，第四個平面過該點：(a/ 匕 y c, z dt=0方程組 a2x+b2 y +c2z+d2 =0有唯一解(x0, y0,z 0)，當且僅當asX bay gz d3=0第也頁太原理工大學線性代數(shù)練習冊(一)第也頁太原理工大學線性代數(shù)練