線性代數(shù)習(xí)題答案(1)

1、線性代數(shù)習(xí)題及答案習(xí)題一r(341782659rll,r(987654321尸36,1求F列各排列的逆序數(shù).(1)341782659：(3丿缺并一1)321；【解】(2丿(2) 987654321：(4) 13-*(2n-lX2nX2w-2)-*2.n(n-l) 廠(罠卅一1)3 2 1 尸 0+1+2+(«-1 尸一 、"13(加一1人5)("-2丿2)-0+l+(41Mn-l)+(”2)+】+C)-n(n-l)2. 略見教材習(xí)題參考答案.3. 略.見教材習(xí)題參考答案.5x 14.本行列式2=的展開式屮包含*和疋的項(xiàng).2x解：設(shè)卩=工(-1)“曲八氣2和,其中心

2、分別為不同列屮對(duì)應(yīng)元索¥:¥4的行卜標(biāo)，則卩展開式中含X項(xiàng)仃9展開式屮含*項(xiàng)有(_l)ZM2xxx2i=10xt5.用定義計(jì)算卜列各行列式.0 2 0 012 3 00 0 100 0 2 03 0 0 0； 3 0 4 50 0 0 40 0 0 1【解】 2>(-1丿3%=24,(2)Z>12.6.計(jì)算卜列各行列式.231-142-1-11123-2506-2a-100(3丿1b-1001c-001d5 0ab-ac-cie-bdcd-de-bf-cf-斫1 23 42 34 13 41 24 12 3D= abcdef(3)D=a6 -22 -13 -2

3、=6 -2-11 11-1-1-1-1=-4abcdef,b -101 c -101d+ (一1)-10-1=a b=abed + ab + ad +cd +10 2 3 41023410 23410 3 4 1011-3011-310 4 1 20 2 -2 -200-4410 12 30 -1 -1 -1000-4= 160.D J7.證明下列各式.>2aaba + bb22b1=(a-by:a2 (q +1)2 (a + 2)2 (ci + 3)2b2 (b + 1)：(b + 2)2 (b + 3尸c2 (c +1):(c + 2) (c + 3)，d2 (d +1)2 (d +

4、 2) (d-卜3)21 a1 az1 a1 b2 b3=(ab + 方c + ca)1 b1 c2 c1 c=o ；(2丿a2b2=(ad 一 bc)n ；1+Et«=l ai Ji=i【證明】(1)巧F 左端=(a + b)(a 一 b)2(a - b)0b(a-b)a_b0b22b(a + b)(a-b) b(a-b)2(a - b)a-b心a + b = (a b)：=(a-b)3 =右端.7 cr2a+ 14a+ 46a + 9CT2a+ 126C、Y V1I1*b1乃+ 14d + 46b+ 9勺2勺b1乃+126=0=右端.(2)左師=勺Fc2c+ 14c + 46c

5、+ 9c宀,L2c + l26 dz2d + 4d + 46d + 9d12d + l262(3)n先考慮4階范徳蒙行列式:1 丿(X)=；*>x*a2b2廠(x")()(Kc)g)從上面的4階范德蒙行列式知I,幺項(xiàng)式蟲列的x的系數(shù)為1 a a1 (gb + bc + ac)(q 一 b)(a 一 c)(b - c) = (ab + bc + ac) 1 b b11 c c1但對(duì)(*)式右端行列式按第-行展開知x的系數(shù)為兩者應(yīng)相等，故(4)對(duì)按第一行展開，得aa bb00 aa bb% = acc dd0-b0cc dd00dc00=ad -be %】)=d -bc)Dg,據(jù)此

6、遞推卜去，可得Dg = (ad - bc)Dg)= (ad - be)2 D2(n_2)=(ad - bc)nl D2 = (ad - bc)nl (ad - be)=(ad 一 bc)nD2n = (ad-bc)n.(5)對(duì)行列式的階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法.肖心2時(shí)，可直接驗(yàn)算結(jié)論成立，假定對(duì)這樣的41階行列式結(jié)論成立，進(jìn)而證明階 數(shù)為n時(shí)結(jié)論也成立.按D.的垠后一列，把2拆成兩個(gè)邢介行列式相加： + a2以=1+%但由歸納假設(shè)rt-1(n-1 1 Ai+y-I幺qj(二 1、從而有i+工匸=i+巧n® I 1=1 ui 丿 i=l ui 丿 1=18計(jì)算卜列A7階行列式.1222222

7、22 =223 2 2 2 9 9 92 nX 111X1 11X0 0y o(4)殳=%其中0 = Pt|qj = 12/)00012100121001200 0 0 -2(5丿 q= .0 0 01【解】(1)各行都加到第一行.再?gòu)牡谝恍刑岢龅?1-11X1q = x + (n l)11X將第一行乘(-1)后分別加到各行,得1 1 1 X 1q = x+(n 1) 0 0 10 | .=(x + n-l)(x-l)n X-1GF氏=2 2 2000010002-00022 2°0 1按第二行展開-0 0 ° L 0 n-222002-0 2(/? 2)!.0 n-2(3

8、)行列式按第一列展開后.得+丁(-1嚴(yán)000xyy000xn-2-1=於+ (-1嚴(yán)尸.012 n-ain101 n-2a 22a2n=210 n-3 a” nnn-1n-2n 30氏=H-1-1后一行減去詢一行門第三行起后一行減去前一行-122-10n-2-10n-1-10按第一列展開=-n-200n-i000.=(- l)f-1)2心.22 00 2 按第nl列展開(_1)”七?_1)I 0 0(5)210 00200 00010 001210012100121 0001200=01200+01200000 21000 21000 2100012000 12000 12D“ =2Dn-l

9、一 Dy 即有Dn- Dy D“- Dy= DU由(Dn - D,_2) + - +(D2 - ) = n -1 得Df-D=n-1, D=n-l+2 = /? + l.<11JJI9.計(jì)算力階行列式.=2Dn-l 一 Dy =2Dn-l 一 Dy 【解】各列都加到第一列，再?gòu)牡谝涣刑岢? + Vn,得1»1=2Dn-l 一 Dy 將第一行乘（-1）后加到其余各行，得=2Dn-l 一 Dy =2Dn-l 一 Dy 10.計(jì)算n階行列式（其中4工0丿=1、2,/）ft nMTr=2Dn-l 一 Dy =2Dn-l 一 Dy 【解】行列式的各列提取因子0（丿=12/）然后應(yīng)用范德蒙

10、行列式.11.已知4階行列式12343 344D4 =41 567112 2試求已+ 與4, + A，其中為彳亍列式9的第4行笫J個(gè)尤索的代數(shù)余子式.【解】4 4+(-1嚴(yán) 3 444 =3+9 = 12.7同理 4s + 4m = -15+ 6 = -9.12 用克萊姆法則解方程組.x, + x2 + x3 = 5, 2Xj + x2 - x3+ x4 = 1,X + 2x2 一 x3 + x4 = 2, x2 + 2x3 + 3x4 = 3.【解】方程組的系數(shù)行列式為11121-1D =12-10121 0 -11- 3-225x1 + 6x2X + 5x2 + 6x3= 0,x2 + 5

11、x3 + 6x4= 0,x3 + Sx4 + 6x5 = 0, x4 + 5x5 = 1-1 -311-21=123011 3-3 1-5 2 =180,1 4511)151011-1121-11D嚴(yán)= 18,D = 36,22-1112-11312 30323115 01115211 121-11d3 = 36,D =18.122 1412-12013 30123故原方程組冇惟一解，為= = 1, x, =2=2, x3 = = 2, x4 = l = -1.D DDD2)Q= 665,p = 1507, A = _1145,q = 703, p = -395, q = 212.150722

12、93779212° X =,X, =1665 -133 ' 35 4133 5 66513.久和“為何值時(shí)，齊次方程組 + x? + X, = 0,< X + /zx2 + x3 = 0,£ + 2/zx: +x3 = 0有非零解？【解】要使該齊次方程組有非零解只需其系數(shù)行列式i 111 /z 1 =0,12/z1即/z(l-2) = 0 故“=0或兄=1時(shí),方程組有非零解.14問：齊次線性方程組X + x? + X)+ 弧=0, xl + 2xz+xJ + x4 = 0,X + X? _ 3x3 + x4 = 0,X + x2 + ax3 + Z>x4

13、 = 0 有非零解時(shí)，Q0必須滿足什么條件？【解】該齊次線性方程組有非零解,ajb需滿足12 11=0,11-31 a b即(d+1=4b15. 求三次多項(xiàng)式 /(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3,使得/(-l) = 0,/(l) = 4,/(2)=3,/(3) = 16.【解】根據(jù)題意，得f(-) = aQ-al+a2-a, = 0, /(I)二兔 + q + + a嚴(yán) 4, f (2) = a0 + 2aL + 4a2 + Sa5 = 3;f (3) = a。+ 九 + 9a2 + 27a3 = 16.這是關(guān)丁四個(gè)未知數(shù)兔，4，亠，為的一個(gè)線性方程組，宙J-D=4&q = 336,q = a® = - 240, = 96.故得 a。= 7,q = 0,a2 = -S,a3 = 2于是所求的多項(xiàng)式為/(x)=7-5x: + 2