函數(shù)恒成立存在性問(wèn)題1

1、函數(shù)恒成立存在性問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)歸納梳理1、成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：|a2、能成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：|afx恒成立afxmax；afx恒成立afxmin3、恰成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：afx能成立affx在M上恰成立xmin；afx能成立afx的解集為Mafxmaxafx在M上恒成立afx在CRM上恒成立A,假設(shè)另一轉(zhuǎn)化方法：1xD,f(x)A在D上恰成立,等價(jià)于f(x)在D上的最小值fmin(x)xD,f(x)B在D上恰成立,那么等價(jià)于f(x)在D上的最大值fmax(x)B.4、設(shè)函數(shù)fx、gx,對(duì)任意的為a,b,存在x?c,d,使彳#fxgx2,那么fminxgminx5、設(shè)函數(shù)fx、gx,對(duì)任意的xia,b,存在x2

2、c,d,使得fxgx2,那么fmaxxgmaxx6、設(shè)函數(shù)fx、gx,存在xia,b,存在x2c,d,使得fxgx2,那么fmaxXgminx7、設(shè)函數(shù)fx、gx,存在x1a,b,存在x2c,d,使得fxgx2,那么Gxgmaxx8、假設(shè)不等式fxgx在區(qū)間D上包成立,那么等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)yfx和圖象在函數(shù)ygx圖象上方；9、假設(shè)不等式fxgx在區(qū)間D上包成立,那么等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)yfx和圖象在函數(shù)ygx圖象下方；例題講解：題型一)常見(jiàn)方法1、函數(shù)f(x)x22ax1,g(x)a,其中a0,x0.x1)對(duì)任意x1,2,都有f(x)g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；2)對(duì)任意x11,2

3、,x22,4,都有f(x1)g(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；a11.2、設(shè)函數(shù)h(x)xb,對(duì)任意a一,2,都有h(x)10在x一,1恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.x2421x,一一,3、兩函數(shù)f(x)x,g(x)-m,對(duì)任息x10,2,存在x21,2,使得f(x1)gx2,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為題型二、卡參換位法(某個(gè)參數(shù)的范圍,整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù))一一_,、21、對(duì)于滿足p2的所有頭數(shù)p,求使不等式xpx1p2x恒成立的x的取值范圍.2、函數(shù)f(x)ln(exa)(a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),函數(shù)gxf(x)sinx是區(qū)間1,1上的減函數(shù),(I)求a的值；(n)假設(shè)g(x)t

4、2t1在x1,1上恒成立,求t的取值范圍；題型三|別離參數(shù)法(欲求某個(gè)參數(shù)的范圍,就把這個(gè)參數(shù)別離出來(lái))1、當(dāng)x1,2時(shí),不等式x2mx40恒成立,那么m的取值范圍是.題型四、I數(shù)形結(jié)合(包成立問(wèn)題與二次函數(shù)聯(lián)系(零點(diǎn)、根的分布法)1、假設(shè)對(duì)任意xR,不等式|x|ax恒成立,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是2、函數(shù)fXx22kx2,在x1恒有fxk,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.題型五不等式能成立問(wèn)題(有解、存在性)的處理方法：一I假設(shè)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fxA成立,那么等價(jià)于在區(qū)間D上fxA;max假設(shè)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fxB成立,那么等價(jià)于在區(qū)間D上的fxminB.1、存在實(shí)數(shù)x,使得不等式

5、x3x1a23a有解,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為.12、函數(shù)fxlnx-ax22xa0存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值沱圍恒成立與有解的區(qū)別：|恒成立和有解是有明顯區(qū)別的一以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考,甄別差異,恰當(dāng)使用,等價(jià)轉(zhuǎn)化,切不可混為一體.不等式fxM對(duì)xI時(shí)恒成立fmax(x)M?,xI.即fx的上界小于或等于M；不等式fxM對(duì)x1時(shí)有解fmin(x)M?,xIo或fx的下界小于或等于M；不等式fxM對(duì)*I時(shí)恒成立fmin(x)M?,xI.即fx的下界大于或等于M；不等式fxM對(duì)xI時(shí)有解fmax(x)M,xI.或fx的上界大于或等于M；課后作業(yè)：1、設(shè)a1,假設(shè)對(duì)于任意的xa,2a,都有ya,a

6、2滿足方程logaxlogay3,這時(shí)a的取值集合為()(A)a|1a2(B)a|a2(C)a|2a3(D)2,3xy02、假設(shè)任意滿足xy50的實(shí)數(shù)x,y,不等式a(x2y2)(xy)2恒成立,那么實(shí)數(shù)a的最大值是.y303、不等式sin2x4sinx1a0有解,那么a的取值范圍是4、不等式axJx4x-在x0,3內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.5、兩函數(shù)fx7x228xc,gx2x34女4(Xo(1)對(duì)任意x3,3,都有)成fxgx立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍；(2)存在x3,3,使成立fxgx,求實(shí)數(shù)c的取值范圍；(3)對(duì)任意X,"3,3,都有fx1gx2,求實(shí)數(shù)c的取值范圍；(4)存

7、在x1,x23,3,都有fx1gx2,求實(shí)數(shù)c的取值范圍；1Q996、設(shè)函數(shù)f(x)-x2ax3axb(0a1,bR).3(i)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間和極值；(n)假設(shè)對(duì)任意的xa1,a2,不等式fxa成立,求a的取值范圍.7、A、B、C是直線上的三點(diǎn),向量OAOBOW足：OAy2f1OBInx1OC0.2x(1)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式；(2)假設(shè)x>0,證實(shí)：f(x)>x+2；1222(3)假設(shè)不等式2xfxm2bm3時(shí),x1,1及b1,1都恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.8、設(shè)f(I)(III)px-21nx,且fex求p與q的關(guān)系；2e.設(shè)gx,右在1,exqe-e(II)2(

8、e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))假設(shè)fx在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求p的取值范圍;上至少存在一點(diǎn)x0,使得fx0gx0成立,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.參考答案：題型一、常見(jiàn)方法.1、分析：1)思路、等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)g(x)0恒成立,在通過(guò)別離變量,創(chuàng)設(shè)新函數(shù)求最值解決.2)思路、對(duì)在不同區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)分別求最值,即只需滿足fmin(x)gmaXx)即可.簡(jiǎn)解：(1)由x22ax1.對(duì)(x)min(x)3xx十巳一2求導(dǎo),2x212,所以3(x)2x43x2x22x2(2x21)x-成立,只需滿足(x)a的取值范圍是0ax3x,一,2一的最小值大于a即可2x210,故(x)在x1,2是增函

9、數(shù),2、分析：思路、解決雙參數(shù)問(wèn)題一般是先解決一個(gè)參數(shù),再處理另一個(gè)參數(shù).以此題為例,實(shí)質(zhì)還是通過(guò)函數(shù)求最值解決.方法1：化歸最值,h(x)10hmax(x)10;方法2:變量別離,b10方法3:變更主元,(亙x1簡(jiǎn)解：方法1：對(duì)h(x)g(x)由此可知,1-h(x)在,1上的最大值為4x)或a(10100?2b求導(dǎo),h(x)1x1h(一)與h(1)中的較大者.4a2xi-i-(xa)(x.a)1h(1)104h(1)104a11b104ab103949a4a1一,對(duì)于任息a,22得b的取值范圍是3、解析：對(duì)任意-1Q2,存在x21,2,使得f(Xi)gX2等價(jià)于g(x)12最小值一m不大于f

10、(x)x在0,2上的最小值0,41214m在1,2上的題型二、主參換位法(某個(gè)參數(shù)的范圍,整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù))1、解：不等式即2x10,設(shè)2x2x1,那么fp在-2,2上恒大于0,故有:2x2x4x32、(n)分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母:及t,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量,另一個(gè)作為常數(shù).顯然可將視作自變量,那么上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在立的問(wèn)題.(n)略解：由(i)知：f(x)x,遞減,只需g(x)sin1cosxt2t1,(tcosx在1,11)t2sin1g(x)x上恒成立,10(其中,1內(nèi)關(guān)于的一次函數(shù)大于等于0恒成sinx,Qg(x)在1,1上單調(diào)1g(x)maxg(1)s

11、in11)恒成立,由上述結(jié)論:可令f(t1)t2sin10(1),那么t1t1t20sin1t12,而t2ttsin10yIxtysin10恒成立y|x|yax,t1.題型三、別離參數(shù)法欲求某個(gè)參數(shù)的范圍,1、當(dāng)x1,2時(shí),不等式xmx4解析：當(dāng)x1,2時(shí),由x2mx4就把這個(gè)參數(shù)別離出來(lái)0恒成立,那么m的取值范圍是x2410得m.m5.x題型四、數(shù)形結(jié)合恒成立問(wèn)題與二次函數(shù)聯(lián)系零點(diǎn)、根的分布法1、解析：對(duì)xR,不等式|x|ax恒成立、那么由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知2、分析：為了使fxk在x1,恒成立,構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)Fxfxk,那么把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間解：令Fx1,時(shí)恒大于等于2xkx2

12、kx2當(dāng)圖象與當(dāng)圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)滿足x軸有交點(diǎn),且在0的問(wèn)題,k,那么F0,即x1,再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論,使問(wèn)題得到圓滿解決.4k21,0,恒成立,而Fx是開(kāi)口向上的拋物線.0,解得2k1.那么由二次函數(shù)根與系數(shù)的分布知識(shí)及圖象可得:0F12k0解得2,故由知小結(jié)：假設(shè)二次函數(shù)2axbxca0大于0恒成立,一.a0一一,一一2那么有0,同理,右二次函數(shù)yaxbxca0小于0恒成立,那么有0.假設(shè)是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題,還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解.題型五、不等式能成立問(wèn)題有解、存在性的處理方法.假設(shè)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)X使不等式fxA成立,那么等價(jià)于在

13、區(qū)間假設(shè)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)X使不等式fxB成立,那么等價(jià)于在區(qū)間D上的xmaxfxminA;B.1、解：設(shè)fxa23a有解,3a4,解得a23a2、解:由于函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以faxax2ax2x10,由題設(shè)a12""2；xx0,所以2xx210,1得,xa的取值范圍是課后作業(yè):B由lOgaxlOgay2、.25.答案：-.斛析:13由不等式3、解：原不等式有解asir2x而sinx2min能成立,設(shè)uuminx1,00,a(x21.于是,a1,對(duì)任意的xa,2a,221ay)(xy)可得4sinx2.1sinx22312a22a2.2_y,由線性規(guī)劃可得1xsinx

14、1有解,4、解：畫(huà)出兩個(gè)曲數(shù)yax和y0,3上的圖象如圖知當(dāng)3a33當(dāng)a直,x35、解析：(1)設(shè)0,3時(shí)總有axJx4x所以3x0恒成立,yax故hminx0.單調(diào)遞增,在gx6x26x12hx極小值1,2單調(diào)遞減,在c20h3c9(2)據(jù)題意:存在x2x33x212xc,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x6x1x20,得x2,3故hmaxx0,由(1)知hmaxxc7單調(diào)遞增,且h3hminxh3c45gx成立,即為：0,于是得c7o1或2.c45,3,3時(shí),hx由導(dǎo)數(shù)知識(shí),可知hx在3,1x極大值c7,由c450,得c45.0在x3,3有解,(3)它與(1)問(wèn)雖然都是不等式恒成立問(wèn)題,但卻有很大的區(qū)別,對(duì)任意

15、xi,x2都有fxigx2成立,不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同,3,3,上具有任意性,要使不等式恒成立的充要條件是:山)gmin(x)?x3孫2fx7x21/gx6x28xc28,x3,3fx4023x10x2,maxgxming2(4)存在x1,x248,1473,3,者B有x2fminxf2c28,gmaxx2f3147c,x0在區(qū)間3,3上只有一個(gè)解x2.195等價(jià)于fminx1gmaxx21由得g3102,c28102c點(diǎn)評(píng)：吹題的三個(gè)小題,外表形式非常相似,究其本質(zhì)卻大相徑庭,應(yīng)認(rèn)真審題,130深入思考,多加練習(xí),6、解：(令f(x)令f(x)準(zhǔn)確使用其成立的充要條件.22I)f(

16、x)x4ax3a(1分)0,得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,3a)0,得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,a)和(3a,+)(4分)當(dāng)x=a時(shí),當(dāng)x=3a時(shí),(II)由|f(x)極小值=3a3b；4f(x)極小值=b.(6分)f(x)|<a,得一awx2+4ax3a2Wa.(7分)0<a<1,f(x)f(x)ia+1>2a.x24ax3a2在a1,a2上是減函數(shù).maxf(a1)2a1.f(x)minf(a:是,對(duì)任意xa1,a2,不等式恒成立,a4a4,解得4a1.又0a1,a2a1.52)等價(jià)于4a(9分)4.1.-ln(x+1)OC2分7、解：(1)-.OAvy+2fZ

17、(1)OB+ln(x+1)Ofe=0,.條y+2f/(1)OB由于A、B、C三點(diǎn)共線即y+2f/(1)+ln(x+1)=1.y=f(x)=ln(x+1)+12f/(1)11fZ(x)=xT7,彳#f/(1)=2,故f(x)=ln(x+1)x22x12(x+2)2x(2)令g(x)=f(x)x+2,由g/(x)=x+1(x+2)2=(x+1)(x+2)2,-x>0,g/(x)>0,g(x)在(0,十)上是增函數(shù)6分故g(x)>g(0)=02x即f(x)>x+21(3)原不等式等價(jià)于2x2f(x2)<m2-2bm-32xx3x令h(x)=2x2f(x2)=2x2ln(

18、1+x2),由h/(x)=x1+x2=1+x2當(dāng)xC1,1時(shí),h(x)max=0,.m22bm3>0Q(1)=m2-2m-3>0令Q(b)=m22bm-3,那么Q(_1)=m2+2m3>010分12分8、解:(I)由題意得peq2lnee0,所以P(II)由(I)px2lnx,x2px2x-2x令hh(x)x>02px或h(x)0時(shí),2xP,要使fx在其定義域(0,+)內(nèi)為單調(diào)函數(shù),只需h(x)在(0,+)內(nèi)滿足:2px0,2x0fx在(0,+)內(nèi)為單調(diào)遞減,故P0；hminxf(x)另解：(II)要使f(x)(x)工0時(shí),px22xP,其圖象為開(kāi)口向上的拋物線,對(duì)稱軸

19、為P在(0,+由(I)1P0,即P>1時(shí),Ph(x)>0,f)內(nèi)為單調(diào)遞增,故p>1適合題意.知f(x)=px在其定義域恒成立.(0,+)P(1+Px2lnxf,(x)=p+內(nèi)為單調(diào)函數(shù),只需f'2x>0綜上可得,P(x)在(0,+2x=P(1+)內(nèi)滿足：P>1'(x)&2x/1=1'21/xx1p(1+x2)綜上可得,(III)x=e即g(x)時(shí)等號(hào)成立,故1)max=1x>0且x0時(shí),p>1或p<02eg(x)=工在1,e時(shí),g(x)min=2,2,2eP<0時(shí),由(II)知f(x)f(x)=P(x右邊為

20、f(x)時(shí),由x1-x)當(dāng)p=12-xW0x2xx2+11,e2lnx2xPwx2+1上是減函數(shù)時(shí),g(x)max=2e10分在1,e2xW(x2+1)min,遞減f(x)max=f(1)=0<21x>0,不合題意.2lnx時(shí)的表達(dá)式,故在1,e遞增1 11f(x)wxx2lnxWee2lneee2<2,不哈涅息.p>1時(shí),由(II)知f(x)在1,e連續(xù)遞增,f(1)=0<2,又g(x)在1,e上是減函數(shù)本命題f(x)max>g(x)min=2,x1,e1f(x)max=f(e)=p(ee)2lne>24e4ep>e2-1綜上,P的取值范圍是(

21、e21,+)其他特殊型：二次函數(shù)型一一利用判別式,韋達(dá)定理及根的分布求解例1:不等式x22xa對(duì)于xR恒成立,求a的取值范圍.變式1：SxR,使得不等式x22xa成立,那么a的取值范圍是.變式2:方程x22xa有邂那么a的取值范圍是.現(xiàn)實(shí)生活中存在與恒成立問(wèn)題：1、在某次測(cè)試中,我們班有同學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)大于120分最高分大于120分.2、在某次測(cè)試中,我們班每一位同學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)都高于60分最低分大于60分2、推理：對(duì)xD,f(x)m,n有:3)、符號(hào)11言:畤IR：(xF6%對(duì)制出愣乂f(x:¥口)|良D)圖象語(yǔ)言：yf(x),xD的圖象在直線y=a的上方最低點(diǎn)都在直線ya的上方4)圖象語(yǔ)

22、言：f(yx)mfn(x),aDa闡“海端?fax)(值施大于aaff(xx)nDa5)日常用語(yǔ)：求函數(shù)af(x),xD的值域af(x)|xD不等式f(x)a,xD,解集非空f(shuō)(x)maxa3)圖象語(yǔ)言：yf(x),xD的圖象有點(diǎn)在直線y=a的上方最高點(diǎn)都在直線ya的上方f(x)maxa4)日常用語(yǔ)：有f(x)值比a大f(x)maxa3、結(jié)論：對(duì)xD,f(x)m,n有：1、包成立問(wèn)題符號(hào)語(yǔ)言：函數(shù)f(x)a,xD恒成立f(x)mina函數(shù)f(x)a,xD恒成立f(x)maxa2、存在性問(wèn)題符號(hào)語(yǔ)言：存在xD,使得函數(shù)f(x)af(x)maxa存在xD,使得函數(shù)f(x)af(x)mina3、有解

23、問(wèn)題符號(hào)語(yǔ)言：不等式f(x)a,xD有解(解集非空)f(x)maxa等式f(x)a,xD解集為空集f(x)mina|方程f(x)a,xD有解(解集非空)af(x)|xD)思考：假設(shè)對(duì)xD,f(x)(m,n)又有怎么樣的結(jié)論呢？例1:不等式x22xa對(duì)于xR例成立,求a的取值范圍.變式1:存在xCR,使得不等式x22xa成立,那么a的取值范圍是.變式2:方程x22xa有解,那么a的取值范圍是.變式3:x22xa解集不空,那么a的取值范圍是.變式4：不等式x22xa解集為空集,那么a的取值范圍是.例2:函數(shù)f(x)x2axa,假設(shè)存在x1,2使得f(x)0,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：法一：f(1)1

24、0,所以對(duì)aR,均存在x1,2使得f(x)0.法二：原題同解于：當(dāng)x1,2時(shí),f(x)maxa,即：f(1)0或f(2)0代入可得：12a0或4a0解得a1或a4aR2例3:方程x22x2a0在區(qū)間(0,3)內(nèi)有解,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解：原題同解于：ax22x2,x(0,3),的值域.a(x1)21.adaf(1),f(3)即a1,5),謂比擬止匕題的后解問(wèn)題匕上題的后解問(wèn)題的區(qū)別例4:A=x|x2-mx+1>0,B=R+,AAB=B,求m的取值范圍分析:AAB=B可得BAo即:x>0時(shí),x2-mx+1>0法一(100(2)m0解略f(0)0法二：原題同解于：x2-mx

25、+1>0在(0,+°°)上包成立,求m的取值范圍.21x1mxx(0,)mx(別離變重法)m2x例5:不等式ax2xa10對(duì)滿足2a2的所有a都成立,求x的取值范圍分析：對(duì)f(x)ax2xa1而言,參數(shù)范圍,求定義域.設(shè)g(a)(x1)2ax102a2,那么轉(zhuǎn)化為定義域求參數(shù)范圍.即:g(-2)0g(2)01、對(duì)于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0當(dāng)|x|<2,上式包成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；當(dāng)|m|<2,上式包成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.2、假設(shè)不等式ax2-2x+2>0對(duì)xS(1,4)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍c23、設(shè)不等式2x22

26、kxk1對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,那么k的范圍是4x6x3可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為一次型的函數(shù)(利用單調(diào)性直接求解)對(duì)于一次函數(shù)f(x)kxb,xm,n有:f(x)0包成立f(m)f(n)0,f(x)0包成立f(m)0f(n)0例1：假設(shè)不等式2x1m(x21)對(duì)滿足2m2的所有m都成立,求x的范圍解析：我們可以用改變主元的方法,將m視為主變?cè)?即將元不等式化為:m(x21)(2x1)0令f(m)m(x21)(2x1),那么2m2時(shí),f(m)0包成立,所以只需f(2)°即2(X1)(2X1)°,解出即可f(2)02(x21)(2x1)0、數(shù)形結(jié)合(對(duì)于f(x)g(x)型問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合思

27、想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的關(guān)系再處理)假設(shè)把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后,能非常容易地畫(huà)出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象,那么可以通過(guò)畫(huà)圖直接判斷得出結(jié)果.尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷.例10(07安徽理科3)假設(shè)對(duì)任意xR,不等式|x|ax恒成立,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)a1(A)a1(B)|a|1(C)|a|1解析：對(duì)xR,不等式|x|ax恒成立那么由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知1a1,即|a|1.,171,3、x(2,)°四、賦值型一一利用特殊值求解等式中的恒成立問(wèn)題,常常用賦值法求解,特別是對(duì)解決填空題、選擇題能很快求得例1.如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖

28、象關(guān)于直線x=對(duì)稱,那么a=(A.1B.-1C.2D.-2.略解：取x=0及x=j那么f(0)=f()JPa=-1,應(yīng)選B.此法表達(dá)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍一.函數(shù)單調(diào)性.求參數(shù)的取伯范圍.類型1.像數(shù)放在函數(shù)表達(dá)式上.例1、設(shè)函數(shù)f(x)2x33(a1)x26ax即中aR.(1)假設(shè)f(x)在x3處得極值,求常數(shù)a的值.(2)假設(shè)£仁)在(,0)上為增函數(shù),求a的取值范圍略解：(1)由f(3)0解得a3.經(jīng)檢驗(yàn)知a3t,x3為f(x)的極值點(diǎn)(2)方法1：f(x)6x26(a1)x6a6(xa)(x1)當(dāng)a1時(shí),“乂)在(,1),(a,)上遞增,符合條

29、件.當(dāng)a1時(shí),f(x)6(x1)20恒成立,f(x)在(,)上遞增.當(dāng)a1時(shí),“乂)在(,a),(1,)上遞增,要保證f(乂)在(,0)上遞增,那么0a1綜上所述.a0時(shí),f(x)在(,0)上遞增.方法2:由于£(乂)在(,0)上遞增所以f'(x)0在x(,0)上恒成立即x(x1)a(x1)在x(,0)上包成立G0,x10xa從而a0方法3.,0上最小值大于或等于零2保證f(x)6x6(a1)x62在(a1八a1-00故有2或20f(0)0可解得a0.、-,、_.解題方法總結(jié)：求f(x)后,假設(shè)能因式分解那么先因式分解,討論f(x)=0兩根的大小判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,假設(shè)

30、不能因式分解可利用函數(shù)單調(diào)性的充要條件轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題1設(shè)函數(shù)/=2/-m-療+L其中431.構(gòu)1(工期單調(diào)區(qū)間；.討論武力的極值類型2.參數(shù)放在區(qū)間邊界上例2.函數(shù)f(x)ax3bx2cxd在x0處取得極值,曲線yf(x)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)p(-1,2),假設(shè)曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線與直線y2x的夾角為45且切線的傾余角為鈍角.(1)求f(x)的表達(dá)式(2)假設(shè)f(x)在區(qū)間2m-1,m+1上遞增,求m的取值范圍.略解f(x)x33x2(2)f'(x)3x26x3x(x2)可知£他)在(,2),(0,)上遞增,在(2,0)上遞減從而只要保證2m1,m1是(,2)或(0,)的一個(gè)

31、子區(qū)間m1222m10所以或m12m1m12m11解得m(,3-,22總結(jié):先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再保證問(wèn)題中的區(qū)間是函數(shù)單調(diào)遞增(遞減)區(qū)間的一個(gè)子區(qū)間即可2函數(shù)f(x)x33x27,假設(shè)£(*)在但a1上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.丁不等式在某區(qū)間上恒成立,求參數(shù)的取值范圍而!口參數(shù)放在不等式上例3.f(x)x3ax2bxc在x2與x1時(shí)都取得極值3(1)求a、b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)假設(shè)對(duì)x1,2,不等式f(x)C2恒成立,求c的取值范圍.1略解：(1)a1,b22,2,22-2223(2).f(x)3xx2,由3xx204x一或x1且f(一)一c,f(1)-c332721f(1)-c,f(2)2c,所以f(x)在1,2上的最大值為f(2)2c從而c22c,解得c1或c2總結(jié)：區(qū)間給定情況下,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值.類型2.參數(shù)放在區(qū)間上例4.三次函數(shù)f(x)ax35x2cxd圖象上點(diǎn)(1,8)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0),并且f(x)在x=3處有極值.(1)求f(x)的解析式.(2)當(dāng)x(Qm)時(shí),f(x)>0恒成立,