博弈分析及其應(yīng)用

1、博弈分析及其應(yīng)用1引言在社會(huì)生活和經(jīng)濟(jì)、軍事活動(dòng)中,經(jīng)常碰到各種各樣具有競(jìng)爭(zhēng)或利益相對(duì)抗的現(xiàn)象,如下棋、打撲克、為爭(zhēng)奪市場(chǎng)展開(kāi)的廣告戰(zhàn)、軍事斗爭(zhēng)中雙方兵力的對(duì)壘等,競(jìng)爭(zhēng)的各方總是希望擊敗對(duì)手,取得盡可能好的結(jié)果,都想用自己最好的戰(zhàn)術(shù)去取勝,這就是博弈現(xiàn)象.博弈現(xiàn)象實(shí)際上是一類特殊的決策,在關(guān)于不確定型的決策分析中,決策者的對(duì)手是“大自然,它對(duì)決策者的各種策略不產(chǎn)生反響,更沒(méi)有報(bào)復(fù)行為.但在博弈現(xiàn)象中,代替“大自然的是有理性的人,因而任何一方做出決定時(shí)都必須充分考慮其他對(duì)手可能作出的反響.博弈論的英文名為GameTheory,又稱對(duì)策論,用比擬簡(jiǎn)短的話來(lái)概括,所謂博弈是指局中人按一定規(guī)那么,在充

2、分考慮其他局中人可能采取的策略的根底上,從自己的策略集中選取相應(yīng)策略,并從中得到回報(bào)的過(guò)程.盡管博弈論中研究的問(wèn)題形形色色,但任何一個(gè)博弈問(wèn)題都包含以下三個(gè)要素：1 .局中人(players)是指參與競(jìng)爭(zhēng)的各方,它可以是一個(gè)人,也可以是一個(gè)集團(tuán),但局中人必須是有決策權(quán)的主體,而不是參謀或附屬人員.局中人可以有兩方,也可以有多方.當(dāng)存在多方的情況下,局中人之間可以有結(jié)盟和不結(jié)盟之分.2 .策略(strategies)是指局中人所擁有的對(duì)付其他局中人的手段、方案的集合.在靜態(tài)博弈中,策略必須是一個(gè)獨(dú)立的完整的行動(dòng),而不能是假設(shè)干相關(guān)行動(dòng)中的某一步.例如一次乒乓球男子團(tuán)體比賽中,包括兩名單打和一對(duì)雙

3、打選手出場(chǎng),比賽前提交的名單除規(guī)定出場(chǎng)球員姓名之外,兩名單打還必須明確誰(shuí)是第一單打,誰(shuí)是第二單打,這樣不同單打和雙打隊(duì)員的出場(chǎng)搭配以及兩名單打隊(duì)員的不同排序構(gòu)成了不同的策略.相應(yīng)每個(gè)局中人的策略選擇形成的策略組稱為一個(gè)局勢(shì).3 .收益函數(shù)(payofffunction)指一局博弈后各局中人的輸贏得失,通常用正的數(shù)字表示局中人的贏得,負(fù)的數(shù)字表示局中人的損失.博弈論研究決策主體的行為在發(fā)生直接相互作用時(shí),人們?nèi)绾芜M(jìn)行決策以及這種決策的均衡問(wèn)題.博弈論是研究理性的決策之間沖突與合作的理論.在博弈論分析中,一定場(chǎng)合中的每個(gè)對(duì)弈者在決定采取何種行動(dòng)時(shí)都策略地、有目的地行事,他考慮到他的決策行為對(duì)其他人

4、的可能影響,以及其他人的行為對(duì)他的可能影響,通過(guò)選擇最正確行動(dòng)方案,來(lái)尋求收益或效用的最大化.由于在現(xiàn)實(shí)生活中人們的利益沖突與一致具有普遍性,因此,幾乎所有的決策問(wèn)題都可以認(rèn)為是博弈.博弈論在政治學(xué)、軍事學(xué)、生物進(jìn)化學(xué)、心理學(xué)、社會(huì)學(xué)、倫理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中博弈論作為一種重要的分析方法已滲透到幾乎所有的領(lǐng)域,每一領(lǐng)域的最新進(jìn)展都應(yīng)用了博弈論,博弈論已經(jīng)成為主流經(jīng)濟(jì)學(xué)的一局部,對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論與方法正產(chǎn)生越來(lái)越重要的影響.正由于如此,1994年瑞典皇家科學(xué)院決定將諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予了納什(JohnNash)、哈薩尼(JohnSanyi)和澤爾騰(ReinhardSelt

5、en)三位博弈理論家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家,表彰他們?cè)诓┺恼摾碚摵蛻?yīng)用研究方面作出的杰出奉獻(xiàn).目前博弈論在定價(jià)、招投標(biāo)、談判、拍賣、委托代理以及很多重要的經(jīng)營(yíng)決策中得到應(yīng)用,它已成為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要根底.博弈中有關(guān)局中人的策略集、收益函數(shù)等構(gòu)成了博弈的信息.按局中人對(duì)信息掌握情況,可區(qū)分為完全信息博弈和不完全信息博弈.按局中人采取行動(dòng)的次序,當(dāng)同時(shí)采取行動(dòng)或在互相保密情況下采取行動(dòng),稱這種情況為靜態(tài)博弈.如果局中人采取行動(dòng)有先后,后采取行動(dòng)的人可以觀察到前面人采取的行動(dòng),那么屬于動(dòng)態(tài)博弈.綜合上述,博弈可分為完全信息靜態(tài)博弈,完全信息動(dòng)態(tài)博弈,不完全信息靜態(tài)博弈和不完全信息動(dòng)態(tài)博弈.當(dāng)然按局中人是否結(jié)盟情

6、況,博弈還可區(qū)分為合作博弈和非合作博弈.合作博弈是一種解決多利益主體協(xié)調(diào)行動(dòng)產(chǎn)生效益分配問(wèn)題的有效數(shù)學(xué)模型.合作是指參與者從自己的利益出發(fā),選擇行動(dòng),但選擇行動(dòng)的結(jié)果對(duì)各方都有利.合作博弈研究的問(wèn)題就是要找到一種效益分配方式,能促使所有利益主體合作.基于合作博弈理論的收益分配是希望通過(guò)聯(lián)合從事某項(xiàng)活動(dòng),使每個(gè)人的收益比單獨(dú)從事這項(xiàng)活動(dòng)或作小范圍聯(lián)合時(shí)的收益多.當(dāng)代世界,合作與競(jìng)爭(zhēng)共存成為時(shí)代的主題,而企業(yè)間各種形式的合作聯(lián)盟更成為當(dāng)今經(jīng)濟(jì)界競(jìng)爭(zhēng)的熱點(diǎn)模式.組成合作聯(lián)盟進(jìn)行合作創(chuàng)新已經(jīng)成為越來(lái)越多企業(yè)的選擇.在社會(huì)活動(dòng)中的假設(shè)干實(shí)體,為了在日益劇烈的競(jìng)爭(zhēng)中爭(zhēng)得一席之地,也為了獲得更多的經(jīng)濟(jì)或社會(huì)

7、效益,相互合作結(jié)成聯(lián)盟或集團(tuán).這種合作通常是為了利益,是非對(duì)抗性的,確定合理分配這些效益的最正確方案是促成合作的前提.2多人合作博弈概念在日常生活及社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中,一個(gè)人或集團(tuán)為了克服自身弱點(diǎn)如力量或財(cái)力有限,尋求與他人集團(tuán)進(jìn)行合作,結(jié)成一個(gè)聯(lián)盟,以完成單個(gè)人或集團(tuán)所不能完成的事,這就是多人合作博弈.該聯(lián)盟一旦形成,就作為一個(gè)整體共同采取行動(dòng),其目標(biāo)是使聯(lián)盟獲得最大利益.一旦博弈完畢,可以根據(jù)某種事先商定的契約以及各個(gè)局中人本身的奉獻(xiàn)大小,分配共同所得的利益.聯(lián)盟的數(shù)學(xué)定義是：設(shè)有n個(gè)局中人N=1,2,n進(jìn)行博弈,所謂一個(gè)聯(lián)盟就是N的一個(gè)非空子集S.為方便起見(jiàn),有時(shí)稱空集.也是一個(gè)聯(lián)盟.n個(gè)局

8、中人共能形成2n個(gè)聯(lián)盟.一旦聯(lián)盟S形成,組成聯(lián)盟S的局中人不再關(guān)心自己的特殊利益,而為整個(gè)聯(lián)盟的最大利益去努力.因此,他們主要關(guān)心聯(lián)盟S所能獲得的最大值.所有聯(lián)盟S所獲得的最大值都確定以后,整個(gè)博弈就完全清楚.這樣的博弈可以用特征函數(shù)加以描述：定義1口給定N=12,nA合作n人博弈記為=h,v】,N上的特征函數(shù)v是定義在2'上的實(shí)值函數(shù),滿足：V=0,vSUTvS+vTST=0,S,TuN.1對(duì)于一個(gè)聯(lián)盟S,vS的值可以通過(guò)以下方式獲得：S中局中人形成聯(lián)盟為使S獲得最大利益而努力,這時(shí)最糟的情況是剩下的所有局中人N-S形成一個(gè)聯(lián)盟和S抗衡,這樣可看成是兩個(gè)局中人S與N-S在進(jìn)行非合作博

9、弈,vS就是在上述兩人非合作博弈中,S所獲得的最大收入.對(duì)于合作博弈,局中人之間可以相互協(xié)商,共同采取使全體都有利的策略,如果某些局中人對(duì)采取某些特定策略不滿意,可以事先訂立契約,等博弈完了以后再進(jìn)行補(bǔ)償,以便大家共同采取的策略使聯(lián)盟總體的利益到達(dá)最大.因此,博弈完畢后,如何分配共同形成的總體聯(lián)盟N所得的收入v(N墩是合用博弈研究的主要任務(wù).v(S)的一種分配方案由n維向量X=x1,x2,xj表示,為表示局中人i的所得.顯然,對(duì)每一個(gè)局中人i來(lái)說(shuō),它至少期望得到的為滿足：xi之v(i)iwN.(2)(2)稱為個(gè)體合理性條件；還有一個(gè)必須滿足的條件是：nZxi=v(N)(3)i4(3)稱為群體合

10、理性條件.(2)、(3)合到一起就得到一種分配方案.當(dāng)所有n個(gè)局中人均參與合作時(shí),N="2,n為最大的一個(gè)聯(lián)盟,記v(N)為最大的聯(lián)盟成果,如何將v(N9配給各局中人？一個(gè)很自然的方法就是依據(jù)各局中人給聯(lián)盟帶來(lái)的奉獻(xiàn)來(lái)分配.設(shè)X為第i個(gè)局中人從v(N)中獲得的分配,i=1,2,n那么有：x1=v(1),x2=岫2%v(1),x3=v(l,2,3)v(a2),)xn=vN)-vN'n.然而上述的分配通常與局中人編號(hào)的次序有關(guān),如把局中人n,n-1,2,1的編號(hào)改為1：2：,n',那么有新的分配方案：x=v小),x2=v'n,n-1J-v'n；1x3=v&

11、#39;-n,n-1,n-2；)v'-n,n-1；),)xn=vN)-vN-1.對(duì)于局中人其它編號(hào)的次序均有對(duì)應(yīng)的分配方案,由于n個(gè)局中人編號(hào)的次序共有n!種,所以對(duì)應(yīng)的分配方案也有n!種.為此取各局中人分配的平均值作為局中人的平均奉獻(xiàn).記中i(v必第i個(gè)局中人的平均奉獻(xiàn),那么有：R(v)=1£V(S；Ui)_v(S：小=1,2,n.(4)n!二其中n為由1,2,n組成的所有n級(jí)排列,£為針對(duì)所有的n!個(gè)不同n級(jí)排列求和,S'=j|nj<,顯然S：為排列打中排在i之前的那些局中人組成的聯(lián)盟,將滿足S；=S排列歸為一類,(4)式可以表示為：nS!S-1!

12、*(v)=ZV(S)v(SGRi=1,2,n,(5)i.Sn!其中S為N中包含V的所有子集,S為子集S中局中人的人數(shù).可以證實(shí)：n£*(v)=v(N)(6)i1(6)式說(shuō)明各局中人在聯(lián)盟中的平均奉獻(xiàn)Q(v)之和等于聯(lián)盟的總“成果.定義23標(biāo)中(v)=(%(v嚴(yán)2(v),(v)為合作n人博弈的Shapley彳直.在多人合作博弈中,利用Shapley值法解決分配問(wèn)題是一種比擬公正、合理且行之有效的方法.本文的目的是探討Shapley值法在利益分配問(wèn)題,費(fèi)用分?jǐn)倖?wèn)題,及如何確定組合預(yù)測(cè)權(quán)系數(shù)中的應(yīng)用.下面就通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明Shapley值法在這些方面的具體應(yīng)用.3利益分配問(wèn)題隨著科學(xué)技術(shù)進(jìn)步

13、和信息技術(shù)的迅速開(kāi)展,世界市場(chǎng)已由過(guò)去的相對(duì)穩(wěn)定變成動(dòng)態(tài)多變的特征,由過(guò)去的局部競(jìng)爭(zhēng)演變成全球范圍的競(jìng)爭(zhēng).在此情景下,以最快的速度推出產(chǎn)品、以最好的質(zhì)量、最低的本錢(qián)和最優(yōu)的效勞滿足不同用戶的需求成為每個(gè)企業(yè)認(rèn)真解決的問(wèn)題.于是越來(lái)越多的企業(yè)紛紛尋找合作伙伴,結(jié)成聯(lián)盟,利用各方優(yōu)勢(shì)以更好地適應(yīng)快速變化的市場(chǎng)要求.各企業(yè)結(jié)成聯(lián)盟后獲得了更大的收益,如何利用Shapley值把聯(lián)盟的整體收益合理地分配給各個(gè)企業(yè),下面給出一實(shí)例.設(shè)現(xiàn)有三家企業(yè)A、B、C為了抓住某一市場(chǎng)機(jī)遇,決定實(shí)施聯(lián)盟生產(chǎn)某種新產(chǎn)品投入市場(chǎng),聯(lián)盟成功后將獲得一批可觀的收益,現(xiàn)如何用Shapley值分配這一聯(lián)盟收益.讓我們先看在特定場(chǎng)合

14、單家企業(yè)生產(chǎn)或兩家聯(lián)盟生產(chǎn)以及三家聯(lián)盟生產(chǎn)的收益情況(見(jiàn)表1).表1聯(lián)盟博弈收益表單位：萬(wàn)元企業(yè)收益A120B80C40A+B(A、B企業(yè)聯(lián)盟)240A+C(A、C企業(yè)聯(lián)盟)280B+C(B、C企業(yè)聯(lián)盟)200A+B+C(A、B、C企業(yè)聯(lián)盟)480由表中可以看出,兩家聯(lián)盟比單家生產(chǎn)合算,三家聯(lián)盟比兩家聯(lián)盟合算,按Shapley值法計(jì)算：.120240-80280-40480-200cp(A=+*'*'+=200,312313c80240-120200-40480-280一八:B=140,312313.c40280-120200-80480-240一八中(C)=+-'+=

15、140.3123134費(fèi)用分?jǐn)倖?wèn)題在我國(guó)區(qū)域經(jīng)濟(jì)中中小型制造企業(yè)數(shù)量很大,行業(yè)型企業(yè)聯(lián)盟有利于企業(yè)抵御風(fēng)險(xiǎn)、降低本錢(qián)、提升市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力.行業(yè)型企業(yè)聯(lián)盟中企業(yè)協(xié)作的形式有多種,基于行業(yè)信息網(wǎng)絡(luò)的行業(yè)聯(lián)合采購(gòu)是聯(lián)盟企業(yè)協(xié)作的重要手段之一.在聯(lián)合采購(gòu)中,各采購(gòu)企業(yè)通過(guò)合作使得在滿足各自采購(gòu)目標(biāo)時(shí)的采購(gòu)總費(fèi)用(YH、于各采購(gòu)企業(yè)單獨(dú)采貝時(shí)的采購(gòu)總費(fèi)用(X),每個(gè)采購(gòu)企業(yè)都希望自身分配的收益越大越好,分?jǐn)偟穆?lián)合采購(gòu)本錢(qián)費(fèi)用越少越好.下面就用Shapley值法對(duì)聯(lián)合采購(gòu)費(fèi)用進(jìn)行合理分?jǐn)傆?jì)算.先給出一些符號(hào)定義：C(S)：聯(lián)盟S的總采購(gòu)費(fèi)用；M=11,2,m：'：企業(yè)采購(gòu)物資的集合；y=(y1,yn戶

16、RN卻：其中RN股是聯(lián)盟N購(gòu)置的所有物資的集合,yi=(yi1,yim戶RM,其中y0是企業(yè)i購(gòu)置物資j的數(shù)量,iwn,jwm；Pj(y)：購(gòu)置第j種物資,數(shù)量為y時(shí)的價(jià)格；fi(k)：企業(yè)i采購(gòu)物資k次時(shí)的交易費(fèi)用,fS(k)為聯(lián)盟S聯(lián)合采購(gòu)k次的交易費(fèi)用.物資采購(gòu)中,采購(gòu)費(fèi)用包括采購(gòu)的交易費(fèi)用和采購(gòu)物資的實(shí)際費(fèi)用兩局部.采購(gòu)的交易費(fèi)用是指一次物資采購(gòu)中,采購(gòu)主體(單個(gè)企業(yè)或行業(yè)采購(gòu)中央)發(fā)布消息、組織招投標(biāo)等進(jìn)行輔助交易的費(fèi)用,而采購(gòu)物資的實(shí)際費(fèi)用是指采購(gòu)物資的實(shí)際數(shù)量和實(shí)際采購(gòu)價(jià)格之積.行業(yè)聯(lián)合采購(gòu)中,聯(lián)盟S的采購(gòu)總費(fèi)用為：mC(S)=fS&S)+£pj(ySjkySj

17、.(7)j1對(duì)所有白聯(lián)盟S都算出C(S),就得到行業(yè)聯(lián)合采購(gòu)的一個(gè)n人合作博弈(N,C).Shapley值法的行業(yè)聯(lián)合采購(gòu)的費(fèi)用分?jǐn)傆?jì)算公式為：Ui=£(n-S|)(S|-1)C(sjc(s_ij(8)sn!s.二N(8)式中Ui表示企業(yè)i聯(lián)合采購(gòu)時(shí)的分?jǐn)偛少?gòu)費(fèi)用,C(S-?)表示企業(yè)i沒(méi)有參加聯(lián)盟S時(shí)的采購(gòu)費(fèi)用,C(S)-C(S-)】表示企業(yè)的邊際費(fèi)用(也稱可別離費(fèi)用),即企業(yè)i參加到聯(lián)盟S中至少應(yīng)承當(dāng)?shù)馁M(fèi)用(最小分?jǐn)傎M(fèi)用).下面舉一實(shí)例說(shuō)明Shapley值法在行業(yè)聯(lián)合采購(gòu)中的費(fèi)用分?jǐn)傆?jì)算.某行業(yè)型企業(yè)聯(lián)盟中有四家企業(yè)擬聯(lián)合采購(gòu)兩類物資,假定企業(yè)單獨(dú)均能采購(gòu)這兩類物資并可任意結(jié)盟進(jìn)

18、行聯(lián)合采購(gòu).描述如下：N=1,2,3,4：局中人為四家企業(yè)；M=A,B：有兩類采購(gòu)物資；P(N?。篜(N)=1,2M3M4,1,2M1,3M1,4t2,3M2,4,3,4,1,2,3,1,2,4,234H1,2,3,4.對(duì)每一個(gè)聯(lián)盟SwP(N),其采購(gòu)費(fèi)用函數(shù)C(S)可由(7)式算出.在本實(shí)例中,不失一般性,假定企業(yè)單獨(dú)采購(gòu)或聯(lián)盟聯(lián)合采購(gòu)均能一次采購(gòu)?fù)晁栉镔Y,并且四個(gè)企業(yè)單獨(dú)采購(gòu)的交易費(fèi)用均相等,即：f1(1)=f2(1)=f3(1)=f4(1)=2000元.(9)而所有聯(lián)盟的采購(gòu)費(fèi)用也相等,即：fS(1)=3000元,SwP(N阻|S>1.(10)在本實(shí)例中,不失一般性,價(jià)格函數(shù)pj

19、(y)假定為購(gòu)置數(shù)量的線性函數(shù),其表達(dá)式為：Pjmax,yyjminPj(y)=bj-ajy,yjmin<y<yjmax.(11)、Pjmin,yyjmax式中,Pjmax和Pjmin分別是第j種物資在最小購(gòu)置量(yjmin懷口最大購(gòu)置量Ojmax)時(shí)的最高、最低價(jià)格.本實(shí)例中,設(shè)PAmax,PAmin,yAmax,yAmin分別為90元、60元、160單位和40單位,PBmax,PBmin,yBmax,yBmin分別為100元、60元、150單位和50單位.因此可分別算出物資A、B的價(jià)格函數(shù):因此可算出所有聯(lián)盟SwPN期采購(gòu)費(fèi)用如表2所示.表2各種聯(lián)盟采購(gòu)物資數(shù)量單位及采購(gòu)費(fèi)用元

20、表盟S類別口、1儲(chǔ)口1,2七,31,4匕,3物資A5030103080608040物資B8030205011010013050價(jià)格A87.590909080858090價(jià)格B88100100100768068100費(fèi)用CS1341577004900970017760161001824011600續(xù)表2各種聯(lián)盟采購(gòu)物資數(shù)量單位及采購(gòu)費(fèi)用元表界盟S類別、,、2,43,41,2,31,2,41,3,42,3,41,234物資A6040901109070120物資B8070130160150100180價(jià)格A859077.572.577.582.570價(jià)格B88926860608060費(fèi)用CS1514

21、0130401881520575189751677522200利用Shapley值法計(jì)算公式8求行業(yè)聯(lián)合采購(gòu)的費(fèi)用分?jǐn)?得:90,Pa(y)=?100-%460,y<4040<y<160,y.160100,Pby=120-Ln60,y.502y5,50:二y<150y.150(12)一1341511760-770016100-4900r(18240-9700U1二一44318815-1160020575-1514018975-1304022200-16775434二8742.08同理可得,U2=4837.08,U3=2743.75,U4=5877.09.由此可以看出,對(duì)

22、聯(lián)盟奉獻(xiàn)少采購(gòu)物資少的企業(yè)分?jǐn)偟牟少?gòu)費(fèi)用相對(duì)較少,將獲得更多收益,因此是一種根據(jù)企業(yè)對(duì)聯(lián)盟奉獻(xiàn)大小來(lái)分?jǐn)傎M(fèi)用的方法.5組合預(yù)測(cè)權(quán)系數(shù)確實(shí)定預(yù)測(cè)是根據(jù)以往及現(xiàn)在的信息,采取一定的方法或技術(shù),對(duì)事物的未來(lái)開(kāi)展趨勢(shì)和結(jié)果進(jìn)行估計(jì)或推測(cè).組合預(yù)測(cè)就是綜合利用各種預(yù)測(cè)方法所提供的信息,以適當(dāng)?shù)募訖?quán)平均形式得出組合預(yù)測(cè)模型.組合預(yù)測(cè)最關(guān)心的問(wèn)題就是如何求出加權(quán)平均系數(shù),使得組合預(yù)測(cè)模型更加有效地提升預(yù)測(cè)精度.設(shè)某社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的指標(biāo)序列的觀察值為xt|t=1,2,M,設(shè)有n個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè),n個(gè)單預(yù)測(cè)方法用N=1,2,n表示,那么N為組合預(yù)測(cè)方法的局中人集合.N中的任一子集Sw2'形成組合

23、預(yù)測(cè)方法的一個(gè)聯(lián)盟,假設(shè)干個(gè)局中人結(jié)成聯(lián)盟后,這個(gè)聯(lián)盟作為一個(gè)整體進(jìn)行組合預(yù)測(cè)就是希望盡可能多的降低組合預(yù)測(cè)誤差,本文采用誤差平方和這個(gè)指標(biāo)來(lái)反映預(yù)測(cè)精度.設(shè)Xit為第t時(shí)刻的預(yù)測(cè)值,記e=%-%為第i種預(yù)測(cè)方法在第t時(shí)刻的預(yù)測(cè)誤差,i=1,2,n,t=1,2,M.設(shè)Xt=l1Xit+l?X2t+lnXnt為Xt的組合預(yù)測(cè)值,li,l2,ln為各種預(yù)測(cè)方法的加權(quán)n系數(shù),且滿足£li=i,li至0,i=1,2,n.設(shè)et為第t時(shí)刻組合預(yù)測(cè)誤差,那么有：i1nnet=XtXt=Eli(xtXit)=工liej(13)I 4i1組合預(yù)測(cè)模型的誤差平方和為：MMnnJ(N)=2et2=Z1t

24、Zlilje©.(14)II tmimjm記E=(£eitejt),L二儲(chǔ)(,lnT,1T=(1,1,11M,稱矩陣E為組合預(yù)測(cè)模,t1mm型的誤差信息矩陣,稱L為組合預(yù)測(cè)模型加權(quán)系數(shù)向量,那么以組合預(yù)測(cè)誤差平方和的非負(fù)權(quán)最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型可寫(xiě)為：-l-minJN=LTEL7TL=1(15)L>0令v(S)=-J(S),v(S)為特征函數(shù),J(S演示聯(lián)盟S進(jìn)行組合預(yù)測(cè)所得的預(yù)測(cè)誤差平方和,v(S)表示J(S沖目反數(shù).由于預(yù)測(cè)誤差平方和越大,預(yù)測(cè)精度越低,所以VS颼大,說(shuō)明預(yù)測(cè)精度越高.由Shapley值即可1t算第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法同聯(lián)盟合作的平均奉獻(xiàn)*(v),考慮到v(

25、N)為誤差平方和的負(fù)值,需將*(v版如下歸一化處理可得組合預(yù)測(cè)的加權(quán)系數(shù)1i,12,ln：liZ辿NJ,i=1,2,n.(16)jJjvn顯然它們滿足£li=i,li至0,i=1,2,n.i1組合預(yù)測(cè)權(quán)系數(shù)確定的合作博弈方法計(jì)算步驟：1根據(jù)組合預(yù)測(cè)誤差信息矩陣對(duì)角線上的元素,采用某種正權(quán)組合方法,如方差倒數(shù)加權(quán)法,均方差倒數(shù)加權(quán)法等給出初始的組合預(yù)測(cè)權(quán)系數(shù)的估計(jì).2根據(jù)14式計(jì)算各種聯(lián)盟合作的特征函數(shù).3根據(jù)5式計(jì)算各種預(yù)測(cè)方法的所獲得的平均分配,即Shapley值.4根據(jù)16式對(duì)各種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的所獲得的平均分配做歸一化處理即得組合預(yù)測(cè)權(quán)系數(shù).下面用一實(shí)例來(lái)說(shuō)明.設(shè)某組合預(yù)測(cè)問(wèn)題有N=七,2,3三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法組合而成.其預(yù)測(cè)誤差的信息矩陣為：835E=©L=344：546_其中01,32,43分別是1,2,3這三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)誤差平方和.本例采用方差倒數(shù)加權(quán)法,其一般計(jì)算公式為：eii|en,e22,ein.17所以根據(jù)17式1,2,3這三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在組合預(yù)測(cè)中的加權(quán)系數(shù)